臺北市立建國高級中學第 128 期通訊解題題目解答與評析
12801
在七張紙片的正面分別寫上整數1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，打亂次序後將紙片翻過來，在 它們的反面也隨意寫上1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這七個整數，然後計算每張紙片正面與反 面所寫數字之差的絕對值，得到七個數字。請你證明：所得的七個數中至少有兩 個是相同的。
【證明】設七張紙片的正面寫的數字是a a a a a a a1, 2, ,3 4, , ,5 6 7，反面寫的數是
1, , , , , ,2 3 4 5 6 7
b b b b b b b ，則七張卡片正反面數字之差的絕對值分別為
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
|a b |, |a b |, |a b |, |a b |, |a b |, |a b |, |a b |。
設這七個數字兩兩不相等，則它們只能取0,1, 2, 3, 4, 5, 6這七個數值，
於是，
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
|a b | | a b | | a b | | a b | | a b | | a b | | a b | 0 1 2 3 4 5 6 21
（奇數）與
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
(a b) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
(a a a a a a a ) (b b b b b b b ) 0
（偶 數）這兩數的奇偶性應相同，故矛盾。
所以，|a1b1|, |a2b2|, |a3b3|, |a4b4|, |a5b5|, |a6b6|, |a7b7 |這 七個數中至少有兩個是相同的。
【評析】
1. 本題共有13人徵答，平均得分只有1.69分。其中得滿分7分的有 兩人，分別為新北市永和國中柯志恩同學及新北市貢寮國中吳尚 昱同學，他們皆是以奇偶性的論證得出證明。而台北市大安國中劉 奕辰同學得6分、新北市中山國中王 勻同學得2分則是採窮舉法 驗證，由於窮舉法較為冗長且容易有疏漏，故不建議以窮舉法解 題。其他9位同學則是論證不清楚或是有嚴重瑕疵。
2. 本題解題重點在奇偶性的應用，同學們如果能發現
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
|a b | | a b | | a b | | a b | | a b | | a b | | a b | 與
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
(a b) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
(a a a a a a a ) (b b b b b b b ) 0
這兩數的奇偶性相同。就能得出若這七個數字
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
|a b |, |a b |, |a b |, |a b |, |a b |, |a b |, |a b |兩兩 不相等，則會產生矛盾，故其中至少有兩個是相同的。
12802
當正整數n滿足條件：「只有一對非負整數( , )a b 使得a2 n b2」，則稱正整數
n為〝好數〞，求不大於60的〝好數〞共有幾個？
【簡答】24
【詳解】因為n(a b a b＋－)( )且a b , a b 奇偶性相同，所以n不為4的倍數多 2。
(1) 當n為奇質數時，只有一對非負整數 1 1
( , ) ( , )
2 2
n n
a b 滿足條件。
(2) 當n為奇合數時，設n uv ，至少有兩組非負整數
1 1
( , ) ( , )
2 2
n n
a b
或( , )
2 2
u v u v ；不合。
由(1) (2)奇數中滿足條件的有：
1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59，共17個。
(3) 當n為4的倍數，如果 4
n為合數，至少有兩組非負整數( , )a b 滿足
條件。故偶數中滿足條件的有4, 8, 12, 20, 28, 44, 52共7個。
因此共有24個。
【評析】先說明此題所應用的數學原理與解題想法 1. 數學性質：
(1) 若a, b為整數，則a b , a b 奇偶性相同。
(2) 若a, b均為奇數，則ab≡1或3 (mod 4)；
若a, b均為偶數，則ab≡0 (mod 4)。
(3) 若p質數，則p的正因數只有1和本身p。
(4) 設u, v(uv)為奇數，若整數a, b(ab)滿足uv＝(a b )(a b )，則a＝
2 u v
，b＝ 2 u v
。
由上述數學性質，得知要對於n為奇質數時、n為奇合數時、n為4 的倍數且4
n為合數時分別討論。
2. 本題同學們踴躍作答，大部分採用逐一檢驗的方式，或者列出一部 份，歸納〝好數〞的性質。
3. 部分同學疏忽了正整數n為〝好數〞時，滿足條件：「只有一對非負 整數( , )a b 使得a2 n b2」，只有一對非負整數( , )a b 這個重要的條 件，以至於最後答案錯誤。
4. 本題參與徵答者有15人：
得7分者，3人：
新北市土城國中蔡柏叡同學 新北市中山國中王 勻同學 新北市貢寮國中吳尚昱同學
得6分者，2人：
新北市文山國中陳彥睿同學 新北市永和國中柯志恩同學 得5分者，1人：
臺北市麗山國中江子新同學 得4分者，8人：
臺北市大安國中劉奕辰同學 臺北市弘道國中曾允帝同學 新北市土城國中江承洲同學 新北市土城國中胡寧芮同學 新北市土城國中莫家茵同學 新北市土城國中謝佩芸同學 新北市永和國中蔡杰達同學 新北市江翠國中張芷綺同學 得4分以下者，1人：
新北市土城國中黃家頎同學
12803
如下圖所示，有一半圓以O為圓心、AB為直徑。已知AB2 5 5 且CAAB 於A、DB AB於B, CA AB , 2DB3AB。若P是半圓上任一點，求△CPD面 積的最小值。
【簡答】10
【詳解】令AB2r CA2r, DB3r, OC CD 5r，其中r 5 5 ， 作CEBD於E點，則△△CED CAO OCD900，
若△CPD面積有最小值時，則△CPD的高PH 要最小，
又OP PH OH OC ，則高PH 最小為OC OP 5r r ， 所以△CPD面積的最小值為
1 5 5 1 5 5 2 1 5 5 5 5 10
2 r r r 2 r 2
【評析】
1. 本題徵答人數比較少，共11人，全部答對得7分者有7人，特別值 得嘉許，分別是：台中市明德國中廖盈榕同學、台中市明德國中廖 桓毅同學、 台北市麗山國中江子新同學、新北市中山國中王 勻同學 新北市文山國中沈執中同學、新北市永和國中蔡杰達同學、新北市貢 寮國中吳尚昱同學。
2. 本題為幾何中等程度的問題，徵答的同學，大部份的同學都能求出 最小值時的P點，即CO與半圓的交點，且求出面積的最小值，計 算錯的同學大部份是面積最小值時的P點找錯了。
12804
甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加籃球三分球大賽，通過抽籤決定出賽順序。在未 公布順序前每人都對出賽順序進行了猜測。
甲猜：乙第3，丙第5；
乙猜：戊第4，丁第5；
丙猜：甲第1，戊第4；
丁猜：丙第1，乙第2；
戊猜：甲第3，丁第4。
老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，則正確的出賽順序為何？
【簡答】丙→乙→甲→戊→丁
【詳解】將每人猜測的出賽順序列表如下：
1 2 3 4 5
甲 v v
乙 v v
丙 v v
丁 v v
戊 vv
由於每人的出賽順序至少被一人猜中，戊被猜測的兩個順序都是4，
故可確定戊是第4位。這時丁不能第4位出賽，而丁的順序至少被一人 猜中，所以丁是第5位出賽。繼續推得丙只能第1位出賽，甲為3位出 賽，乙為第2位出賽。
出賽順序：丙→乙→甲→戊→丁。
【方法二】將每人猜測的出賽順序列表如下：
1 2 3 4 5
甲 v v
乙 v v
丙 v v
丁 v v
戊 vv
每人的出賽順序必被1人猜中，又五個人剛才分到5個位置。換句話 說，每個位置被猜測的人中必有1個是正確的。
第2位出賽的位置只有乙，故確定乙是第2位。這時乙不是第3位，
則甲是第3位。繼續推得丙是第1位，丁是第5位，戊為第4位。
出賽順序：丙→乙→甲→戊→丁。
【評析】
1. 本題徵答人數共33人，全部答對得7分者有31人，特別值得嘉許，
分別是：
臺中市明德國中周哲煒、黃育筠、楊秉叡、廖盈榕、廖桓毅，臺北市 大安國中劉奕辰，臺北市天母國小周誠亮，臺北市弘道國中曾允市，
臺北市麗山國中江子新，新北市土城國中江承洲、胡寧芮、徐碩廷、 莫家茵、蔡柏叡、謝佩芸，新北市中山國中王勻，新北市文山國中沈 執中，新北市永和國中柯志恩、蔡杰達，新北市江翠國中王秉宸、吳 柏毅、吳祉穎、洪榮盛、張芷綺、梁恩齊、陳冠勳、陳煌凱、蔡憙滿，龔 毓庭，新北市貢寮國中吳尚昱，臺北市薇閣高中。
獲得6分同學有1人：新北市土城國中黃家頎。
獲得5分同學有1人：新北市江翠國中戴于弋。
2. 本題目是簡單的邏輯問題，將題目條件用列表的方式整理是常用的 方法。本題有兩種觀點進行解題，第一種是每人出賽順序被一人所 猜中，也是多數人選用的方式，另一種是每個位置被猜測的人中必 有1個是正確的。以上兩種方式皆可順利的解出答案。
12805
已知7 7 方格表能被
所示的圖形既無間隙又不重疊的完全覆蓋。例如：
設n為正整數，且n5，證明：n n 方格表能被
所示的圖形既無間隙又不重疊的完全覆蓋。
【證明】(1) 當5 n 9時，下面滿足題設，既無間隙又不重疊的完全覆蓋。
(2) 當n10時，設n5k r (0 r 5, k2, k, rN)，
則n5(k 1) (r 5)，
可把n n 表格劃分為一個(r 5) (r 5)小方格表、
一個n5(k1)小方格表、一個5(k 1) (r 5)小方格表。
由(1)(r 5) (r 5)小方格表能被完全覆蓋，
因為5a b 小方格表、c5d小方格表均能被5 1 小方格完全覆蓋，
所以n5(k1)小方格表和5(k 1) (r 5)小方格表均能被5 1 小 方格完全覆蓋，故n n （當n5）方格表能被完全覆蓋。
【評析】
1. 關於覆蓋問題是數學上常討論的問題，生活上也有許多的應用!
這樣的覆蓋問題經由實際的操作，先解決5 5 、6 6 、7 7 、8 8 、 9 9 方格表的覆蓋，當嘗試10 10 、11 11 、12 12 …方格表的覆蓋，
發現在想要覆蓋的方格表的一角留下5 5 、6 6 、7 7 、8 8 、9 9
其中一種，其餘的部分都能被 覆蓋，
問題因此迎刃而解。
2. 部分同學因為尚未解決所有的n n (n5)方格表其覆蓋問題，因此 酌予扣分。
3. 本題參與徵答者有7人：
得7分者，2人：
臺北市麗山國中江子新同學 新北市貢寮國中吳尚昱同學 得6分者，1人：
新北市江翠國中李赫珈同學 得5分者，1人：
臺北市大安國中劉奕辰同學 得4分以下者，3人：
新北市土城國中江承洲同學 新北市土城國中黃家頎同學 新北市土城國中蔡柏叡同學
