Dạng toán: Đây là dạng toán tìm góc giữa hai mặt phẳng

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

DẠNG 4: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. Dạng toán: Đây là dạng toán tìm góc giữa hai mặt phẳng

2

2 2 3 22 5 5

2 2 6

EP= ED +PD =    + = ⇒EF=

  .

Trong tam giác EDFcó 

2 2 2

2 2 2

5 13 3

6 3 2 13

cos 2 . 2. .5 13 65

6 3 EF FD ED

EFD EF FD

 

  +  − 

   

   

+ −  

= = = − .

Do góc giữa hai mặt phẳng là góc nhỏ hơn hoặc bằng 90°nên Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

(

AB C′ ′

)

và

(

MNP

)

bằng ¹³

65 .

Câu 17: Cho hình chóp S ABCD. có SA vuông góc với mặt phẳng

(

ABCD

)

, 2 2

SA=a , đáy ABCDlà hình thang vuông tại Avà Dcó AB=2AD=2DC a= (Hình vẽ minh họa). Góc giữa hai mặt phẳng

(

SBC

)

và

(

ABCD

)

bằng

Lời giải

D C

A B S

D C

A B S

Ta có:

(

^SBC

) (

^{∩ ABCD}

)

^=BC.

Vì ABCDlà hình thang vuông tại Avà Dcó AB=2AD=2DC a= ⇒AC BC⊥ (1).

( )

SA⊥ ABCD ⇒SA BC⊥ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: BC SC⊥ nên góc giữa hai mặt phẳng

(

SBC

)

và

(

ABCD

)

bằng góc SCA.

Trong tam giác vuông DACcó 2

2 2

a a

AD DC= = ⇒ AC= .

Trong tam giác vuông ASCcó 2  45

2

SA AC= =a ⇒SCA= °.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

(

SBC

)

và

(

ABCD

)

bằng 45°.

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình vuông có cạnh bằng a, cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy và SA a= 2(hình bên). Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB SD, . Số đo của góc tạo bởi mặt phẳng

(

AHK

)

và

(

ABCD

)

bằng

Lời giải

Ta có:

{ }

( )

( )

, BC AB BC SA

BC SAB AB SA A

AB SA SAB

 ⊥

 ⊥

 ⇒ ⊥

 ∩ =

 ⊂



. Suy ra AH ⊥BC.

Lại có:

{ }

( )

( )

, AH BC AH SB

AH SBC AH SC BC SB B

BC SB SBC

 ⊥

 ⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 ∩ =

 ⊂



.

Chứng minh tương tự ta có AK ⊥

(

SCD

)

⇒ AK SC⊥ .

A D

B C

S

H

K

Có

{ }

( )

( )

, AH SC AK SC

SC AHK AH AK A

AH AK AHK

 ⊥

 ⊥

 ⇒ ⊥

 ∩ =

 ⊂



.

Do

( )

( )

SC AHK SA ABCD

 ⊥

 ⊥

 suy ra

(

^

(

^AHK

) (

^{, ABCD}

) )

⁼

⁽

^{ SC SA,}

⁾

^=ASC.

Có AC a= 2,SA a= 2⇒ASC= °45 . Vậy

(

^

(

^AHK

) (

^{, ABCD}

) )

^=45°.

Câu 19: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình thang vuông tại Avà B, biết AD=2a,

= =

AB BC a, cạnh SAvuông góc với đáy và ⁶

= a2

SA . Gọi Elà trung điểm của AD, tính góc giữa hai mặt phẳng

(

SBE

)

và

(

ABCD

)

.

Lời giải

Ta có ABCElà hình vuông cạnh bằng a. Gọi I AC BE^{= ∩} . Khi đó

( ) (

^∩

)

⁼

 ⊥

 ⊥



SBE ABCD BE AI BE

SI BE

.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng

(

SBE

)

và

(

ABCD

)

là SIA^.

Lại có ²

2 2

= AC a=

AI , ⁶

=a2 SA .

Trong tam giác vuông SAI : tan^{ 6}: ² 3

2 2

= SA a= a =

SIA IA ⇒SIA= °60 .

Câu 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ' ' ' 'có AB AD a AA b= = , '= . Gọi Mlà trung điểm của '

CC . Tỉ số a

bđể hai mặt phẳng

(

A BD'

)

và

(

MBD

)

vuông góc với nhau là

Lời giải

+) Gọi I là giao điểm của ACvà BD. +) Ta có góc

(

^

(

^{A BD MBD'}

) (

^,

) )

⁼

⁽

^{IA IM',}

⁾

^.

Để hai mặt phẳng

(

A BD'

)

và

(

MBD

)

vuông góc với nhau thì IA IM'⊥ ⇒ A IM' = °90 . +) Xét ∆A IM' có: ' ^{2 2 2}

2

A I =b +a ; ' ² 2 ^{2 2} 4

A M = a +b ; ^{2 2 2}

2 4

a b IM = + . Ta có: A M' ² =A I' ²+IM²

2 2 2 2

2 2

2 4 2 2 4

b a a b

a b

⇔ + = + + + ⇔a² =b² ⇒ =a b. Vậy a 1

b = .

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' 'có cạnh bằng a. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng

(

BA C'

)

và

(

DA C'

)

.

Lời giải

+ ∆BA C' vuông tại B(vì BC⊥

(

ABB A' '

)

⇒BC A B⊥ ' ).

Kẻ BH A C⊥ ' trong ∆BA C' .

(

'

)

BD⊥ AA C (vì BD AC BD AA⊥ , ⊥ ')⇒BD A C⊥ ' .

a H

D

C A

B

D' B' C'

A'

+

(

BA C'

) (

∩ DA C'

)

=A C' .

( )

' ⊥ A C BHD

(

BHD

) (

∩ BA C'

)

=BH

(

BHD

) (

∩ DA C'

)

=DH

⇒góc giữa hai mặt phẳng

(

BA C'

)

và

(

DA C'

)

bằng góc giữa BHvà DH. + BH DH=

(

∆_vBA C' = ∆_vDA C'

)

.

'

∆_vBA C:

( )

2 2 2

2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3 2

' 2 2 3

= + = + = ⇒BH = a =DH

BH BA BC a a a .

 ^{2 2 2 2 2}

( )

² _{ 0}

2

23 23 2 1

: cos 120 .

2

2 . 2. 2

3

+ −

+ −

∆ = = = − ⇒ =

a a a

BH DH BD

BHD BHD BHD

a BH DH

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

(

BA C'

)

và

(

DA C'

)

bằng 180 120⁰− ⁰ =60⁰.

Câu 22: Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Gọi α là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính cosα.

Lời giải

Gọi M N, là chân đường cao hạ từ các đỉnh B S, của tam giác SBC.H là hình chiếu của Strên mặt phẳng

(

ABC

)

.

Ta có: AB⊥

(

SHC

)

⇒AB SC⊥

Mặt khác SC BM⊥ ⇒SC⊥

(

ABM

)

⇒SC AM⊥

Vậy

( ) ( )

( )

( ) ( ( ) (

^;

) ) ⁽

^;

⁾

,

SAC SBC SC AM SAC

SAC SBC AM BM BM SBC

SC AM SC BM

∩ =



 ⊂ ⇒ =

 ⊂

 ⊥ ⊥



.

Ta tính góc AMB. Xét tam giác AMB.

Tam giác SBCcân tại Snên Nlà trung điểm của BC.

N M

H

C

B A

S

+) ^{2 2} 4 ^{2 2} 15

4 2

a a SN = SC −NC = a − = .

+) ^{. 15. 15}

2.2 4

SN BC a a a BM = SC = a = .

+) AM = AC²−MC² = BC²−MC² =BM .

Ta có 

2 2

2 2 2 2

2

15 15

16 16 7

cos 0

15

2. . 2. 15

16

a a a

AM BM AB

AMB MA MB a

+ −

+ −

= = = > , suy ra góc AMBnhọn.

Vậy ^{α =}

( (

^{SAC SBC}

) (

^;

) )

⁼

⁽

^{AM BM;}

⁾

^{=AMB⇒cosα =}₁₅^{7 .}

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình thoi tâm O,cạnhAB a= , góc BAD=60 ,⁰ SA vuông góc với mặt phẳng

(

ABCD SA x

)

, = .Tìm xđể góc giữa

(

SBC

)

và

(

SCD

)

bằng 90⁰.

Lời giải

Ta có tam giác SBCvà SCDbằng nhau (c-c-c) và chung cạnh SC. Kẻ BK ⊥SC DK, ⊥SC,khi đó góc giữa

(

ABC

)

và

(

SCD

)

là góc DKB^ . Nối OK, do SC⊥

(

BDK

)

⇒SC OK⊥ ⇒tam giác

OKCvuông tại K.

Khi DKB 90 ,= ⁰ _{suy ra} ¹

2 2

OK= BD= a. Ta có 3 , ² 3 ²

2

OC= a SC= x + a _{mà ∆SAC OKC,∆}

đồng dạng, suy ra SA SC SA OC². ² SC OK². ²

OK =OC ⇒ = ⇒ ^{3a x}₄^{2 2 =}

(

^x2+3a2

)

^a₄^{2 ⇒ =x a}₂^6.

Câu 24: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABClà tam giác vuông tại A, góc ABCbằng ⁶⁰⁰, tam giác SBCđều cạnh

a

, hình chiếu vuông góc của Slên

(

ABC

)

là trung điểm Hcủa cạnh BC. Gọi ϕlà góc giữa hai mặt phẳng

(

SAB

)

và

(

ABC

)

.Khi đó

a x

a O

D

B C

S

A

K

Tam giác SBCđều cạnh a, Hlà trung điểm của cạnh BCnên SH BC⊥ và ³ 2 SH =a .

Dựng HF AC/ / ⇒HF AB⊥ .

Xét tam giác vuông BHF có sin 60⁰ .sin 60^{0 3} 4

HF HF BH a

= BH ⇒ = = .

Ta có ^{AB HF} AB

(

SHF

)

AB SH

 ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥

 mà SF ⊂

(

SHF

)

nên SF AB⊥ . Khi đó

(

^{ }

(

^{ABC SAB}

) (

^,

) )

^{=SFH =ϕ.}

Trong tam giác vuông SHFcó

3 3

tan 2

4 2 2 SH a HF a

ϕ= = = .

Câu 25: Cho hình chóp đều S ABC. có cạnh đáy bằng avà chiều cao bằng 6a . Gọi ϕlà góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính tanϕ_.

Lời giải

Gọi I là trung điểm BCvà Olà tâm đáy.

( )

SO ABC

⇒ ⊥ ⇒

(

^ABC SBC,

)

=

(

^{ }AI SI,

)

=SIA=ϕ ∆SOIvuông tại O).

a

φ

60° F

H B

C

A S

Vì đáy là tam giác đều cạnh anên ^{1 1}. ^{3 3}

3 3 2a a6

OI = AI = = .

Do đó: tan ⁶ 6 2

3 6 SO a OI a

ϕ= = = .

Câu 26: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình vuông cạnh avà SA⊥

(

ABCD

)

, SA x= . Xác định x để hai mặt phẳng

(

SBC

)

và

(

SDC

)

tạo với nhau một góc bằng 60°.

Lời giải

Gọi Olà tâm hình vuông ABCDvà G hc= ^O_AC.

Vì BD⊥

(

SAC

)

nên BD SC⊥ , mà SC OG⊥ suy ra SC⊥

(

BGD

)

. Do đó 

(

SBC

) (

, SCD

) (

= GB GD,

)

= °60 ⇒BGO= ° ∨60 BGO =120°

SAC OGC

∆ ∆ nên: ^{SA SC}

OG OC=

2 2

. 2 2

2 x a OG x a

⇒ =

+ ₂ ² ₂ ²

xa x a

= + .

Xét tam giác BGO: TH1:

2 2

2 2 2

tan 60 BO a 2 x a

GO xa

° = = + 3 a x² 2a²

xa

⇒ = + ⇒ 3x= x²+2a² ⇒ =x a. TH2:

2 2

2 2 2

tan 30 BO a 2 x a

GO xa

° = = + 3 ² 2 ²

3

a x a xa

⇒ = + ⇒ 3x=3 x²+2a²

2 2

6x 18a 0 :vn

⇒ + =

Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy bằng avà chiều cao bằng 3 2

a . Số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

x

B O

A D

C S

G

Xét hình chóp tứ giác đều S ABCD. có ABCDlà hình vuông cạnh avà I là tâm hình vuông ABCD. Khi đó SI ⊥

(

ABCD

)

nên chiều cao của hình chóp là 3

2 SI = a . Gọi Mlà trung điểm của đoạn thẳng AB.

VìIM là đường trung bình của tam giác ABDsuy ra IM AD// . Mặt khác AB AD⊥ (do ABCD là hình vuông). Do đó IM ⊥ AB.

S ABCD. là hình chóp tứ giác đều nên tam giác SABcân tại S ⇒SM ⊥ AB.

Ta có:

(

SAB

) (

∩ ABCD

)

= AB; SM ⊂

(

SAB

)

; SM AB⊥ ; IM ⊂

(

ABCD

)

; IM ⊥ ABnên

(

^

) ( )