Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian Toán 11 CTST

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a b, trong không gian, kí hiệu

( )

a b, , là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Với hai đường thẳng a và b bất kì: 0° ≤

( )

a b, ≤ °90 . 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN:

Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a b⊥ , nếu góc giữa chúng bằng 90°.

CHƯ Ơ NG

VIII QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng

( )

d1 và

( )

d2 ta có thể thực hiện tính thông qua góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Bước 1. Sử dụng tính chất sau:

(

^{1 2}

) (

1 2

) (

1 3

)

2 3

, , ,

/ /

d d d d d d

d d

α α

 = ⇒ = =



Bước 2. Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc.

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân,

, 120

AB AC a BAC= = = ° và cạnh bên AA a′ = 2. Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC.

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Tính góc giữa 2 đường thẳng a) AB và B C′ ′

b) AC và B C′ ′ c) A C′ ′ và B C′

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc

(

MN SC,

)

bằng:

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA a= 3. Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cosα bằng

Câu 6: Cho hình hộp thoi ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng a và   ABC B BA B BC= ′ = ′ = °60 . Chứng minh tứ giác A B CD′ ′ là hình vuông.

Câu 7: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA A AB, ′ ′, đều bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA CD′, . Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C′ , tính giá trị của cosα.

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DM.

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ⁴

CD=3AB. Gọi G E F, , lần lượt là trung điểm của BC AC DB, , , biết 5

EF =6AB. Tính góc giữa CD và AB.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a ; SA vuông góc với đáy và

SA a = 3

. Tính côsin góc giữa SB và AC.

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN . II

PHƯƠNG PHÁP.

1

BÀI TẬP.

2

Câu 11: Cho hình chóp S ABC. có BC =a 2, các cạnh còn lại đều bằng

a

. Góc giữa hai đường thẳng SBvà ACbằng:

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có đáy là hình vuông ABCDcạnh a, độ dài cạnh bên cũng bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SAvà BC. Góc giữa MNvà SCbằng Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′, gọi Ilà trung điểm của cạnh AB. Tính côsin của góc

giữa hai đường thẳng A D′ _và B I′ được kết quả là

Câu 14: Cho tứ diện ABCDcó AB CD a= = . Gọi M , N lần lượt là trung điểm ADvà BC. Xác định độ dài đoạn thẳng MNđể góc giữa hai đường thẳng ABvà MNbằng 30°.

Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB AD a= = và  BAC BAD= = °60 ,CAD= °90 . Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính độ dài cạnh AC để côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng 1

3 ^.

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a b, trong không gian, kí hiệu

( )

a b, , là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Với hai đường thẳng a và b bất kì: 0° ≤

( )

a b, ≤ °90 . 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN:

Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a b⊥ , nếu góc giữa chúng bằng 90°.

CHƯ Ơ NG

VIII QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng

( )

d1 và

( )

d2 ta có thể thực hiện tính thông qua góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Bước 1. Sử dụng tính chất sau:

(

^{1 2}

) (

1 2

) (

1 3

)

2 3

, , ,

/ /

d d d d d d

d d

α α

 = ⇒ = =



Bước 2. Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc.

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân,

, 120

AB AC a BAC= = = ° và cạnh bên AA a′ = 2. Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC.

Lời giải

Ta có BC B C/ / ′ ′⇒

(

^AB BC′,

)

=

(

^AB B C′ ′ ′,

)

Xét ∆AB C′ ′ có AB AC′= ′= AB²+BB′² =a 3 Áp dụng định lý cosin cho ∆ABC, ta có



2 2 2 2. . .cos

BC = AB +AC − AB AC BAC

2 2 2. . .cos120 3 2

a a a a a

= + − ° =

3 BC B C a′ ′

⇒ = =

Suy ra ∆AB C′ ′ đều, do đó

(

^AB BC′,

)

=

(

^{ }AB B C′ ′ ′,

)

=AB C′ ′= °60

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Tính góc giữa 2 đường thẳng a) AB và B C′ ′

b) AC và B C′ ′

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN . II

PHƯƠNG PHÁP.

1

BÀI TẬP.

2

a) Ta có AB A B/ / ′ ′ mà

(

^A B B C′ ′ ′ ′ = °,

)

90 nên

(

^AB B C, ′ ′ = °

)

90 b) Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên

(

^AC BC,

)

= °45 .

Ta có BC B C/ / ′ ′ nên

(

^AC B C, ′ ′ = °

)

45

c) Ta có AC A C/ / ′ ′ và ∆ACB′ là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó

(

^A C B C′ ′ ′,

)

=

(

^AC B C, ′

)

= °60 .

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc

(

MN SC,

)

bằng:

Lời giải

Ta có: MN SA/ / ⇒

(

MN SC,

) (

= SA SC,

)

.

Ta lại có: AC a= 2. Xét ∆SAC, nhận thấy: AC² =SA²+SC². Theo định lí Pitago đảo, ∆SAC vuông tại S. Suy ra: ∠ASC=90⁰ hay

(

MN SC,

) (

= SA SC,

)

=90⁰.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA a= 3. Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng

Lời giải

Gọi I là trung điểm của SD OI

⇒ là đường trung bình của ∆SBD

2 2 2 2

/ /

3

2 2 2

OI SB

SB SA AB a a

OI a



⇒  + +

= = = =



Vì OI SB/ / ⇒

(

^SB AC,

)

=

(

^{ }OI AC,

)

= AOI

Ta có: ^{2 2} 3 ^{2 2}

2 2 2

SD SA AD a a

AI + + a

= = = =

AI OI AOI

⇒ = ⇒ ∆ cân tại I.

Gọi H là trung điểm của OA⇒IH OA⊥

Và ²

2 4 4

OA AC a OH = = =

Xét ∆OHI, ta có: 

2 2

cos 4

4 OH a

HOI = OI = a =

Vậy cos

(

^,

)

cos^{ 2} SB AC = HOI = 4 .

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cosα bằng

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của AC MN

⇒ là đường trung bình của ∆ABC / /

1 2 MN AB MN AB



⇒  =

Vì ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều cạnh bằng a 3

2 MD ND a

⇒ = = .

Vì MN AB/ / ⇒ =α

(

^AB DM,

)

=

(

^MN DM,

)

Xét ∆MND, ta có:

 ^{2 2 2}

cos 2 .

MN MD ND

NMD MN MD

+ −

=

2 2

2 3 3

2 2 2 1 3 0

3 2 3 6

2. .2 2

a a a

a a

   

  +  − 

      

= = = >

 90

(

^{ },

)

NMD MN DM NMD

⇒ < ° ⇒ =

Vậy cos cos^{ 3}

NMD 6

α = = .

Câu 6: Cho hình hộp thoi ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng a và   ABC B BA B BC= ′ = ′ = °60 . Chứng minh tứ giác A B CD′ ′ là hình vuông.

Lời giải

Ta có tứ giác A B CD′ ′ là hình bình hành.

Do B BC′ = °60 nên ∆BB C′ đều. Suy ra B C a′ = . Do đó CD B C a= ′ = nên A B CD′ ′ là hình thoi.

Ta có ^{CB CD} ′^. =

(

CB BB BA CB BA BB BA      + ′

)

^. = ^. + ′^. = −^a₂² +^a₂² =⁰ . Suy ra CB CD′ ⊥ . Vậy tứ giác A B CD′ ′ là hình vuông.

Câu 7: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA A AB, ′ ′, đều bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA CD′, . Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C′ , tính giá trị của cosα.

Lời giải

Ta có / / / / A D B C MN A P

′ ′

 ′

 với P là trung điểm của DC′. Suy ra

(

^MN B C, ′

)

=

(

^{ }A P A D′ , ′

)

=DA P′

Vì   BAD=DAA A AB′= ′ = °60 và các cạnh của hình hộp bằng a.

Do đó A D a C D C A a′ = , ′ = ′ ′= 3.

Suy ra ^{2 2 2 5}

2 4 2

A D A C DC a

A P′ = ′ + ′ ′ − ′ ⇒ A P′ = . Áp dụng định lý cosin cho tam giác A DP′ , ta có

2 2 2 3 5

cos 2 . 10

A D A P DP A D A P α = ^{′ + ′ −} =

′ ′

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DM.

Gọi N là trung điểm AC thì MN AB/ / . Suy ra

(

^AB DM,

)

=

(

^MN DM,

)

.

Ta có cos ^{2 2 2}

2. .

MN DM DN

DMN MN DM

+ −

=

2 2

2 3 3

2 2 2 3

3 6 2. .2 2

a a a

a a

   

  +  − 

      

= =

Suy ra  arccos 3 DMN = 6 _. Vậy

(

^,

)

arccos ³

AB DM = 6 _. Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ⁴

CD=3AB. Gọi G E F, , lần lượt là trung điểm của BC AC DB, , , biết 5

EF =6AB. Tính góc giữa CD và AB.

Lời giải

Gọi G là trung điểm của BC.

Đặt AB a= . Ta có

2 2

GE= AB a= .

2 2 ; 5 5

2 3 3 6 6

CD a a

GF = = AB= EF = AB= .

Từ đó ^{2 2 2} 4 ² 25 ^{2 2}

4 9 36

a a a

GE GF+ = + = =EF GEF

⇒ ∆ vuông tại G.

Vì GE AB GF CD/ / , / / nên

(

^AB CD,

)

=

(

^{ }GE GF,

)

=EGF =90°.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a ; SA vuông góc với đáy và

SA a = 3

. Tính côsin góc giữa SB và AC.

Lời giải

Gọi I là trung điểm của SD OI

⇒ là đường trung bình của ∆SBD. Suy ra

2 2 2 2

/ /

3

2 2 2

OI SB

SB SA AB a a

OI a



 = = + = + =



Vì OI SB/ / ⇒

(

^SB AC,

)

=

(

^{ }OI AC,

)

= AOI

Ta có ^{2 2} 3 ^{2 2}

2 2 2

SD SA AD a a

AI = = + = + =a

AI OI AOI

⇒ = ⇒ ∆ cân tại I.

Gọi H là trung điểm của OA⇒IH OA⊥ và 2

2 4 4

OA AC a OH = = =

Xét ∆OHI có 

2 2

cos 4

4 OH a

HOI = OI = a = Vậy cos

(

^,

)

cos^{ 2}

SB AC = HOI = 4 .

a

Tập có AB²+AC² =a²+a² =2a² =BC². Suy ra tam giác ABCvuông tại A. Gọi H M N, , lần lượt là trung điểm của BC AB SA, , .

//

//

MN SB MH AC



 nên góc giữa SBvà AClà góc giữa MNvà MH.

2 2

MN = SB a= ,

2 2

NH = AC a= , 2

2 2

AH = BC a= _.

Xét tam giác SBCcó SB SC= nên SH BC⊥

2 2 2 2 2 2

4 2

a a SH SB HB a

⇒ = − = − = .

Lại có Hlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà SA SB SC a= = = nên SH⊥

(

ABC

)

. Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H.

2 2

HN= SA a= . Do đó tam giác MHNđều cạnh 2

a. Góc cần tìm bằng 60⁰.

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có đáy là hình vuông ABCDcạnh a, độ dài cạnh bên cũng bằng a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SAvà BC. Góc giữa MNvà SCbằng

Lời giải

Gọi Plà trung điểm của SB, ta có SC NP// ⇒

(

MN SC,

) (

= MN NP,

)

=MNP^.

Mà ¹

2 2

MP= AB=a; ¹

2 2

NP= SC= a ; ₂ ²

(

^{2 2}

)

^{2 2}

(

^{2 2 2}

)

² 5 ²

4 4 4

SC AC SA a a a a

MC + − + −

= = = ;

N

M

H A B C

S

3 2 MB=a _.

(

^{2 2}

)

^{2 2 2 2 2}

2

5 3

2 2 4 4 3

4 4 4

a a a

MC MB BC a

MN

 + −

 

+ −  

= = = .

Do đó  ^{2 2 2}

3 3

cos 2

2. . 2 2. 2

2 NP MN MP MN a

MNP NP MN NP a

+ −

= = = = .

Vậy

 MNP = ° 30

_.

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′, gọi Ilà trung điểm của cạnh AB. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng A D′ _và B I′ được kết quả là

Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a>0. Ta có ^{B C′ || Α′D⇒}

(

^{A D B I′ , ′}

)

⁼

(

^{B I B C′ , ′}

)

^.

Tính được

2 2 5 ; 2

2 2

a a

B I′ = a +    = =CI B C a′ = ^.

Trong tam giác B CI′ có ^{ 2}

( )

^{2 2} ₂

2

5 2 5

2 2 2 10

cos 2. 5. 2 10 5

2

a a a

IB C a

a a a

   

+ −

   

   

′ = = = .

Vậy ^cos

(

^{A D B I′ , ′ =}

)

^{10 .}

Câu 14: Cho tứ diện ABCDcó AB CD a= = . Gọi M , N lần lượt là trung điểm ADvà BC. Xác định độ dài đoạn thẳng MNđể góc giữa hai đường thẳng ABvà MNbằng 30°.

Lời giải

Gọi Plà trung điểm AC. Ta có NP AB MP CD/ / , / / à

2 NP MP= = a

(

^AB MN,

) (

^NP MN,

)

⇒ = .



2 2

2 2 2 2

4 4

cos 2. . 2. .

2 a a

MN NP MP MN MN

MNP MN NP MN a a

+ −

+ −

= = = .

(

^,

)

30 ^_ ³⁰

150 AB MN MNP

MNP

 = °

= ° ⇒ 

 = °



 30 3 3

2 2

MN a

MNP MN

= ° ⇒ a = ⇔ = _.

 150 3 2 MNP MN

= ° ⇒ a = − _(loại).

Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB AD a= = và  BAC BAD= = °60 ,CAD= °90 . Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính độ dài cạnh AC để côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng 1

3 ^. Lời giải

N A

B

C

D M

P

Gọi N là trung điểm của AD. Ta có

(

^BM AC,

)

=

(

^BM MN,

)

=α Đặt AC=2x⇒MN x= >0

Theo bài ra ta có tam giác ABD đều cạnh a nên , 3 2 BD a BN= =a _. Tam giác ACD vuông tại A nên DC² =AD²+AC² =a²+4x² Xét tam giác ABC ta có BC² =a²+4x² −2ax

Do đó

2 2 2 2 2 2 2

2 4 2 4 3 4 4

2 4 4

a a x ax a x a x ax

BM + + − + + −

= − =

Ta tính ^

2 2 2

2 2 2 2

2 2

3 4 4 3

4 4

cos 2 . 2. 3 4 4 .

2

a x ax x a BM MN BN

BMN BM MN a x ax x

+ − + −

+ −

= =

+ −

2

2 2 2 2

8 4 2

4 . 3 4 4 3 4 4

x ax x a

x a x ax a x ax

− −

= =

+ − + −

Theo giả thiết ta có

2

2 2

2 1 0

cos 8 8 0

3 4 4 3

x a x ax x

a x ax x a

α = + ⁻ − = ⇔ − = ⇔ ^ ⁼= Do x>0 nên x a= ⇒AC=2x=2a

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D.    . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng

A. 60. B. 90. C. 45. D. 30.

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Góc giữa hai đường thẳng AB và A C′ ′ bằng

A. 60°. B. 45°. C. 90°. D. 30°.

Câu 3: Cho hình chóp ^{S ABCD.} có ^ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác ^SAD đều. Góc giữa ^BCvà SA là:

A. 60°. B. 30°. C. 90°. D. 45°.

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Tính góc giữa hai đường thẳng B D′ ′ và AA′.

A. 90°. B. 45°. C. 60°. D. 30°.

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc

(

IJ CD,

)

bằng:

A. 90°. B. 45°. C. 60°. D. 30°.

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Góc giữa hai đường thẳng BA′ và CD bằng

A. 45°. B. 60°. C. 30°. D. 90°.

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ^{/ / / /}. Góc giữa hai đường thẳng A B^/ và AD^/ bằng

A. 60^o. B. 120^o. C. 90^o. D. 45^o.

CHƯ Ơ NG

VIII QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

III

Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ’ ’ ’có AB a AA a= ; ’= 3. Góc giữa hai đường thẳng

’

AB và CC’ bằng

A. 30 . ⁰ B. 60 . ⁰ C. 45 . ⁰ D. 90 . ⁰

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D. _{1 1 1 1}. Góc giữa hai đường thẳng AC và DA₁ bằng

A. 60°. B. 90°. C. 45°. D. 120°.

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng a. Số đo góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A. 30°. B. 90°. C. 60°. D. 45°.

Câu 11: Cho lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng nhau

Góc giữa hai đường thẳng AB và C A′ ′bằng

A. 30°. B. 60°. C. 45°. D. 90°.

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?

A. 120°. B. 60°. C. 90°. D. 30°.

Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a 3 và cạnh bên bằng a. Góc giữa đường thẳng BB' và AC' bằng

A. 90°. B. 45°. C. 60°. D. 30°.

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD. có ABCD là hình bình hành và mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S. Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A. 60°. B. 90°. C. 30°. D. 45°.

Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và CD.

A. 30°. B. 60°. C. 45°. D. 90°.

Câu 16: Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C. Các điểm M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của AB AC, ,BC CD, . Góc giữa MN và PQ bằng

A. 45⁰. B. 60⁰. C. 30⁰. D. 0⁰.

Câu 17: Cho hình chóp S ABC. có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a= = = = = và BC a= 2. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A. 60°. B. 90°. C. 30°. D. 45°.

A

C A'

C'

B' B

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều. Góc giữa BC và SA bằng

A. 60^. B. 30^. C. 90^. D. 45^.

Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, ² 2 SO= a , góc giữa hai đường thẳng AB và SD là

A. 120°. B. 60°. C. 30°. D. 90°.

Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm của BC .

Góc giữa hai đường thẳng B C′ ′ và AM bằng

A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 90°.

Câu 21: Cho tứ diện ABCD có , 3 2

AB CD a JI= = = a , I J, lần lượt là trung điểm của AD BC, . Số đo góc giữa hai đường thẳng ABvà CD bằng

A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 90°.

Câu 22: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi F là trung điểm cạnh AB và G là trung điểm của SF. Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng CG và BD. Tính cosα?

A. ⁸²

41 . B. ⁴¹

41 . C. ^{2 41}

41 . D. ⁸²

82 .

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD. có đáy hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và SBA^ 30⁰. Mặt phẳng



^SAB



vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng



^{SM BD,}



^.

A. ¹

3 . B. ²

3 . C. 26

13 . D. 2

4 .

Câu 24: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi Mlà trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM

A. ³

6 . B. 1

2. C. 3

2 . D. 2

2 .

Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông tại A, BA=2AC=2a, cạnh bên 2

AA′ = a, M là trung điểm BC. Cosin góc giữa hai đường thẳng B C′ và AM bằng

A. ⁵

− 5 . B. ⁵

5 . C. ¹

−2. D. ¹

2.

Câu 26: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Tam giác SABvuông cân tại S và BSC= °60 . Gọi M là trung điểm cạnh SB, ϕ là góc giữa đường thẳng ABvà CM . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. cos ⁶

ϕ= 3 . B. cos ⁶

ϕ= 2 . C. cos ³

ϕ= 6 . D. cos ⁶ ϕ= 6 . Câu 27: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA, ′, A AB′

đều bằng 60°. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA CD′, . Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C′ , giá trị của cosα bằng:

A. 2

5. B. 1

5. C. 3

5. D. ^{3 5}

10 .

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥

(

ABCD

)

, _{SA a}= và M là trung điểm cạnh SD. Cô-sin góc giữa đường thẳng AC và đường thẳng BM bằng

A. 6 .

3 B. 1 .

3 C. 3 .

6 D. 2 .

6

Câu 29: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, Gọi là trung điểm của Góc giữa và bằng

A. 45°. B. 30°. C. 90°. D. 60°.

Câu 30: Cho hình chóp S ABC. có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a= = = = = và BC a= 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là?

A. 60°. B. 90°. C. 30°. D. 45°.

.

S ABCD ABCD SA

.

SA AB a= = M SB. AM BD

DẠNG 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Câu 31: Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O. Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d?

A. 3. B. vô số. C. 1. D. 2.

Câu 32: Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Câu 33: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.

Câu 34: Trong hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. BB′ ⊥BD. B. A C′ ′ ⊥BD. C. A B DC^{′ ⊥ ′}. D. BC′⊥A D′ .

Câu 35: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng BC′

?

A. A D′ . B. AC. C. BB′. D. AD′.

Câu 36: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi tâm O và SA SC= , SB SD= . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A. AC SD⊥ . B. BD AC⊥ . C. BD SA⊥ . D. AC SA⊥ .

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D.    . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng

A. 60. B. 90. C. 45. D. 30.

Lời giải

Ta có AB CD nên



^{BA CD,}



^



^{BA AB,}



^.

Vì ABB A  là hình vuông nên



^{BA AB,}



^{ABA45.}

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Góc giữa hai đường thẳng AB và A C′ ′ bằng

CHƯ Ơ NG

VIII QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

III

A. 60°. B. 45°. C. 90°. D. 30°. Lời giải

Vì AB A B// ′ ′ _nên

(

^{AB A C, ′ ′}

)

⁼

(

^{A B A C′ ′ ′ ′,}

)

^{=B A C′ ′ ′.}

Tam giác A B C′ ′ ′ vuông cân tại B′ nên B A C′ ′ ′ = °45 .

Câu 3: Cho hình chóp ^{S ABCD.} có ^ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác ^SAD đều. Góc giữa ^BCvà SA là:

A. 60°. B. 30°. C. 90°. D. 45°.

Lời giải

Vì BC AD nên

(

BC SA,

) (

= AD SA,

)

= °60

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Tính góc giữa hai đường thẳng B D′ ′ và AA′.

A. 90°. B. 45°. C. 60°. D. 30°.

Lời giải

Vì ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′là hình lập phương nên các tứ giác AA D D′ ′ và AA B B′ ′ đều là hình vuông.

Do đó    AA A D AA A B′ ′. = ′ ′ ′. =0

Vậy :     ^{AA B D}′ ′ ′^. =^{AA A D A B}′^.

(

′ − ′ ′

)

=   AA A D AA A B′ ′^. − ′ ′ ′^. =⁰ Do đó  AA′⊥B D′ ′

nên

(

^{ AA B D′ ′ ′ = °,}

)

^{90 . Suy ra}

(

^{AA B D′ ′ ′ = °,}

)

⁹⁰

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc

(

IJ CD,

)

bằng:

A. 90°. B. 45°. C. 60°. D. 30°.

D'

B' C'

C A'

D B

A

Lời giải

Theo giả thiết ta có IJ là đường trung bình của ∆SBC nên IJ SB // . Vì IJ SB // và CD AB // nên

(

IJ CD^,

) (

= SB AB^,

)

=SBA^= °⁶⁰ .

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′. Góc giữa hai đường thẳng BA′ và CD bằng

A. 45°. B. 60°. C. 30°. D. 90°.

Lời giải

Vì CD AB// nên

(

^{BA CD′,}

) (

^{= BA BA′,}

)

^{=ABA′= °45 .}

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ^{/ / / /}. Góc giữa hai đường thẳng A B^/ và AD^/ bằng

A. 60^o. B. 120^o. C. 90^o. D. 45^o.

Lời giải J

I

C

D

B

A S

A

B C

D B′

D′ A′

C′

Ta có A B D C^/ / / ^/ , nên góc giữa hai đường thẳng A B^/ và AD^/ bằng góc giữa hai đường thẳng D C/ và AD^/và là góc AD C^/ ⇒AD C^/ =60^o;

Mà tam giác ACD^/ là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng A B^/ và AD^/ bằng 60 .^o Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ’ ’ ’có AB a AA a= ; ’= 3. Góc giữa hai đường thẳng

’

AB và CC’ bằng

A. 30 . ⁰ B. 60 . ⁰ C. 45 . ⁰ D. 90 . ⁰

Lời giải

Vì AA CC’/ / ’ nên góc giữa CC’ và AB' bằng góc giữa AA’ và AB’ và bằng góc A AB' ' Với AB a AA a= ; ’= 3 thì ' ' ' ' 1 ' ' 30⁰

' 3 3

tanA AB A B a A AB

AA a

= = = ⇒ =

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D. _{1 1 1 1}. Góc giữa hai đường thẳng AC và DA₁ bằng

A. 60°. B. 90°. C. 45°. D. 120°.

Lời giải

A

B

C

C' B'

A'

Ta có AC A C _{1 1}, do đó góc giữa

(

AC DA^, ₁

) (

= A C DA_{1 1}^, ₁

)

, bằng góc DAC_{1 1}. Do DA AC DC₁; _{1 1}, ₁ là các đường chéo hình vuông nên bằng nhau. Vậy ∆DAC_{1 1} đều, Vậy góc DAC_{1 1} bằng 60°.

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng a. Số đo góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A. 30°_{. B.} 90°. C. 60°. D. 45°.

Lời giải

Vì AB CD ⇒

(

^SA CD,

)

=

(

^SA AB,

)

.

Tam giác SAB đều cạnh a⇒SAB = °60 . Vậy

(

^{SA CD,}

)

^=60°.

Câu 11: Cho lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng nhau

Góc giữa hai đường thẳng AB và C A′ ′bằng

A. 30°. B. 60°. C. 45°. D. 90°.

Lời giải Chọn B

Ta có tam giác ABC là tam giác đều suy ra BAC = °60 . Lại có CA C A// ′ ′⇒

(

^AB C A, ′ ′

)

=

(

^{ }AB CA,

)

=BAC= °60 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và C A′ ′bằng 60°.

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?

A. 120°. B. 60°. C. 90°. D. 30°.

Lời giải

Gọi I là trung điểm của AB

Vì ABC và ABD là các tam giác đều Nên CI AB

DI AB

 ⊥

 ⊥

 .

Suy ra AB⊥

(

CID

)

⇒ AB CD⊥ .

A

C A'

C'

B' B

C

I A

B

D

Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a 3 và cạnh bên bằng a. Góc giữa đường thẳng BB' và AC' bằng

A. 90°. B. 45°. C. 60°. D. 30°.

Lời giải

Ta có BB CC′// ′⇒

(

^BB AC′, ′

)

=

(

^{ }CC AC′, ′

)

=AC C′ .

Khi đó ∆ACC′ vuông tại C nên tanAC C AC a 3 3 AC C 60 CC a

′ = = = ⇒ ′ = °

′ .

Vậy góc giữa đường thẳng BB' và AC' bằng 60°.

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD. có ABCD là hình bình hành và mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S. Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A. 60°. B. 90°. C. 30°. D. 45°.

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: CD AB// ⇒

(

^SA CD;

)

=

(

^{ }SA AB;

)

=SAB= °45 .

Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M N, lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và CD.

A. 30°. B. 60°. C. 45°. D. 90°.

Lời giải

Gọi P là trung điểm của BD.

Ta có MN NP MP, , lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC BCD ABD, , . Do đó:

//

MN AC, 1 MN =2AC. //

NP CD, 1 NP= 2CD. //

MP AD, 1 MP= 2AD.

ABCD là tứ diện đều ⇒AC CD AD= = ⇒MN NP MP= = nên tam giác MNP là tam giác đều.

(

^{MN CD}^,

)

⁼

(

^{MN NP,}

)

^{=MNP =60°.}

Câu 16: Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C. Các điểm M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của AB AC, ,BC CD, . Góc giữa MN và PQ bằng

A. 45⁰. B. 60⁰. C. 30⁰. D. 0⁰.

Lời giải

Do MNsong song BCvà PQ song song BD nên góc giữa MN và PQ bằng góc giữa BCvà BD và bằng góc CBD =45⁰.

Câu 17: Cho hình chóp S ABC. có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a= = = = = và BC a= 2. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A. 60°. B. 90°. C. 30°. D. 45°.

Lời giải

Cách 1:

Gọi M N Q, , lần lượt là trung điểm của SA SB AC, , . Mặt khác, ta có ^{/ /}

(

^,

) (

^,

)

/ / MN AB

AB SC MN MQ MQ SC

 ⇒ =

 .

Ta có ³

2 AN = a .

2 2 2 2 2 2 2 5

2 4 2 4 2

SC BC SB a a a a

NC + +

= − = − = .

Xét tam giác NAC có

2 2

2 2 2 3 5 2

4 4 3

2 4 2 4 2

a a

NA NC AC a a

NQ + +

= − = − = .

Xét tam giác MNQ có ^

2 2 2

2 2 2 3

4 4 4 1

cos 2 . 2. . 2

2 2 a a a MN MQ NQ

NMQ MN MQ a a

+ −

+ −

= = = − .

 120

(

^,

)

180 120 60

NMQ MN MQ

⇒ = ° ⇒ = ° − ° = °.

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều. Góc giữa BC và SA bằng

A. 60^. B. 30^. C. 90^. D. 45^.

Lời giải

Vì BC AD// ⇒

(

^BC SA,

)

=

(

^{ }AD SA,

)

=SAD=60^.

Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, ² 2 SO= a , góc giữa hai đường thẳng AB và SD là

A. 120°. B. 60°. C. 30°. D. 90°.

Lời giải

Ta có: AB CD// ⇒

(

AB SD,

) (

= CD SD,

)

.

1 2

2 2

OD= BD= a .

2 2

2 2

2 2

a a

SD= SO OD+ = + =a ⇒SD SC CD a= = = ⇒ ∆SCD đều⇒SDC= °60 . Suy ra

(

AB SD^,

) (

= CD SD^,

)

=SDC^= °⁶⁰ .

Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm của BC .

O C

A B

D S

Góc giữa hai đường thẳng B C′ ′ và AM bằng

A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 90°.

Lời giải

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm đoạn BC nên AM BC⊥ . Ta có BC B C/ / ′ ′ do đó

(

B C AM′ ′,

) (

= BC AM,

)

= °90 .

Câu 21: Cho tứ diện ABCD có , 3 2

AB CD a JI= = = a , I J, lần lượt là trung điểm của AD BC, . Số đo góc giữa hai đường thẳng ABvà CD bằng

A. 60°. B. 30°. C. 45°. D. 90°.

Lời giải

Gọi M là trung điểm AC. Khi đó góc giữa hai đường thẳng AB CD, bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.

Ta có cos ^{2 2 2} 1

2 . 2

IM MJ IJ IMJ MI MJ

+ − −

= = .

Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB CD, bằng 60⁰.

Câu 22: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi F là trung điểm cạnh AB và G là trung điểm của SF. Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng CG và BD. Tính cosα?

Lời giải

Gọi I là trung điểm AD và H là trung điểm SI. Dễ thấy GH FI//

//

BD FI

Nên GH BD // suy ra

(

CG BD;

) (

= CG GH;

)

.

Ta có

2

2 2 2 5 5

2 2 2

a a a

CI = CD +DI = a +   = ⇒CF CI= =

  ;

( )

^{2 2}

2 2 2 17

2 2

a a

SF SI= = SA +AF = a +   =

  ;

( )

²

( )

²

2 2 2 2 6

SC= SA +AC = a + a =a .

Khi đó

2 2

2 2 2 2 2

2

54 6 94 41 41

2 4 2 4 16 4

a a a

CF CS SF a a

CG = + − = + − = ⇒CH CG= = ;

1 1 1. 2

2 2 2 4

GH = FI = BD= a .

Ta có 

2 2 2

2 2 2

41 2 41

4 4 4 82

cos 2. . 2. 41. 2 82

4 4

a a a

GC GH HC

CGH GC GH a a

     

+ −

     

+ −      

= = = .

Vậy cos ⁸²

α = 82 .

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD. có đáy hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và SBA^ 30⁰. Mặt phẳng



^SAB



vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính cosin góc tạo

I H G

F

D

B C

A S

bởi hai đường thẳng



^{SM BD,}



^.

A. ¹

3 . B. ²

3 . C. 26

13 . D. 2

4 . Lời giải

Đặt ^{AB a a}



^0



^.

Ta có 1 ⁰

; .sin 30

2 2 2

a a

SM  AB  SASA  nên tam giác SAM cân tại S.

Gọi H là hình chiếu của S lên AB, do



^SAB

 

^{ ABCD}



^và



^SAB

 

^{ ABCD}



^{AB nên}

 

SH  ABCD hay H là trung điểm của AM .

Gọi K là trung điểm của AD, khi đó



^{SM BD,}



^



^{SM MK,}



^{và MK  1}₂^{BD a}₂^{2 .}

Khi đó .tan 30^{0 3} . ^{1 3}

4 3 4

a a

SH HB   ;

2 2 2 2 2 2 2

2 SK SH HK SH AH AK a .

Ta có 

2 2 2

2 2 2 4 2 2 2

cos 2. . 2. . 2 4

2 2

a a a SM MK SK

SMK SM MK a a

 

 

   .

Câu 24: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi Mlà trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM

A. ³

6 . B. 1

2. C. 3

2 . D. 2

2 . Lời giải

Gọi E là trung điểm cạnh AC. Khi đó ta có EM  AB. Suy ra cos

(

AB DM,

)

=cos

(

EM DM,

)

. Tứ diện ABCD đều, cạnh a. E, M lần lượt là trung điểm của AC, BC. Suy ra ³

2 DM =a , 3

2 DE =a ,

2 2

EM = AB a= .

Do đó, cos ^{2 2 2} 1 3

2 . 2 3 6

DM EM DE

DME DM EM

+ −

= = = .

Vậy cos

(

,

)

³

AB DM = 6

Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông tại A, BA=2AC=2a, cạnh bên 2

AA′ = a, M là trung điểm BC. Cosin góc giữa hai đường thẳng B C′ và AM bằng

A. ⁵

− 5 . B. ⁵

5 . C. ¹

−2. D. ¹

2.

Lời giải

Gọi N là trung điểm BB', ta có MN B C/ / ' nên

(

AM B C, '

)

=(AM MN, ). Ta có: BC= AB²+AC² = 4a a²+ ² = 5 .a

2 25 . BC a AM = =

2 2 4 2 2 5 .

AN = AB BN+ = a a+ = a

2 2 2 2

' ' 5 4 3 .

2 2 2 2

B C BC BB a a

MN + + a

= = = =

Áp dụng định lý cosin trong tam giác MNA ta có:



2 2 2

2 2 2 94 54 5 5

cos .

2. . 2.3 . 5 5

2 2

a a a

MN MA AN

NMA MN MA a a

+ −

+ −

= = = −

Vậy cos

(

, '

)

⁵. AM B C = 5

Câu 26: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Tam giác SABvuông cân tại S và BSC= °60 . Gọi M là trung điểm cạnh SB, ϕ là góc giữa đường thẳng ABvà CM . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. cos ⁶

ϕ= 3 . B. cos ⁶

ϕ= 2 . C. cos ³

ϕ= 6 . D. cos ⁶ ϕ= 6 . Lời giải

Đặt SA a= . Suy ra SB CA CB a= = = và AB a= 2. Lại có BSC =60^o. Suy ra tam giác SBCđều nên SC a= .

Suy ra ³

2 CM CN= = a . Hay MNsong song với AB.

Khi đó

(

^AB CM,

)

=

(

^MN CM,

)

. Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMNta có:

 ^{2 2 2} 6

cos CMN

2 . 6

MC MN CN MC MN

+ −

= =

( ) ( )

^{ 6}

cos , cos , cos

AB CM MN CM CMN 6

⇒ = = = .

Câu 27: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD DAA, ′, A AB′ đều bằng 60°. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA CD′, . Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C′ , giá trị của cosα bằng:

A. 2

5. B. 1

5. C. 3

5. D. ^{3 5}

10 . Lời giải

Gọi P là trung điểm của