THIẾT DIỆN

BÀI TẬP

DẠNG 3. THIẾT DIỆN

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD. có SAvuông góc với đáy, ABCDlà hình vuông cạnh a 2; 2 .SA= a Gọi Mlà trung điểm của cạnh SC,

( )

α là mặt phẳng đi qua A M, và song song với đường thẳng

BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S ABCD. bị cắt bởi mặt phẳng

( )

^α .

Câu 10: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABClà tam giác vuông cân tại A, AB AC a= = ; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA a= . Gọi Mlà trung điểm của SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

( )

P đi qua Mvà vuông góc với AC.

Câu 11: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABClà tam giác vuông tại Bvới AB a= , BC a= 3, cạnh bên 3

SA a= và vuông góc với mặt phẳng

(

ABC

)

. Mặt phẳng

( )

P đi qua trung điểm M của ABvà vuông góc với SBcắt AC SC SB, , lần lượt tại N P Q, , . Diện tích của tứ giác MNPQbằng:

Câu 12: Cho tứ diện ABCDcó ABvuông góc với CD, AB CD 8, M là điểm thuộc cạnh BCsao cho MC x BC .



0 x 1



. Mặt phẳng qua M, song song với AB CD, và lần lượt cắt

, ,

DB AD ACtại N P Q, , . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQbằng bao nhiêu?

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD. có SAvuông góc với đáy, ABCDlà hình vuông cạnh a 2, SA=2a. Gọi M là trung điểm cạnh SC,

( )

α là mặt phẳng đi qua A M, và song song với đường thẳng

BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp .S ABCDbị cắt bởi mặt phẳng

( )

α .

Câu 14: Cho hình chóp S ABCD. có SAvuông góc với đáy, ABCDlà hình vuông cạnh a 2; SA=2 .a Gọi M là trung điểm của cạnh SC,

( )

^α là mặt phẳng đi qua A,M và song song với đường thẳng

BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S ABCD. bị cắt bởi mặt phẳng

( )

α .

Câu 15: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABClà tam giác đều cạnh a, SA a= và vuông góc với đáy. Mặt phẳng

( )

^α qua Avà vuông góc với trung tuyến SIcủa tam giác SBC. Tính diện tích Scủa thiết diện tạo bởi

( )

^α với hình chóp đã cho.

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD. với đáy ABCDlà hình thang vuông tại A, đáy lớn AD=8, đáy nhỏ 6

BC = , SAvuông góc với đáy, SA=6. Gọi M là trung điểm AB,

( )

P là mặt phẳng qua Mvà vuông góc với AB. Thiết diện của hình chóp S ABCD. cắt bởi mặt phẳng

( )

P có diện tích bằng.

BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 1.1. Định nghĩa

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng

( )

^α nếu d vuông góc với mọi đường thằng a thuộc mặt phẳng

( )

α .

Kí hiệu: d ⊥

( )

α hay

( )

α ⊥d.

1.2. Định lý 1

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng ấy.

1.3. Định lý 2:

+ Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

+ Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

( )

a, a

( )

d ⊥ α ⇔ ⊥ ∀ ⊂d α

( ) ( ) ( )

a

a .

a ,

a d d b

b b M

α α α

 ⊥

 ⊥ ⇒ ⊥

 ⊂ ⊂

 ∩ =



Có duy nhất đường thẳng d đi qua B và vuông góc với

( )

^α .

Có duy nhất mặt phẳng

( )

^α đi qua A và vuông góc với d.

CHƯ Ơ NG

VIII QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

LÝ THUY Ế T.

I

2. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Định lý 3

 Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

( )

P thì các đường thẳng song song a cũng vuông góc với mặt phẳng

( )

P .

 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Định lý 4

 Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì mặt phẳng nào song song mặt phẳng ấy.

 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Định lý 5

 Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song mặt phẳng ấy.

 Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng.

3. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC Định nghĩa

Phép chiếu song song theo phương ∆ vuông góc với mặt phẳng

( )

P được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng

( )

P .

Định lí ba đường vuông góc Định lý 6

Cho đường thẳng a và mặt phẳng

( )

P không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng

( )

P vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a′ của a trên

( )

P .

M′ là hình chiếu của M lên

( )

α .

2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho đường thẳng a và mặt phẳng

( )

P .

 Nếu a vuông góc với mặt phẳng

( )

P thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

( )

P bằng 90 .°

 Nếu a không vuông góc với mặt phẳng

( )

P thì góc giữa a với hình chiếu a′ của nó trên

( )

P được gọi là góc giữa đường thẳng a vả mặt phẳng

( )

P .

 Nếu α là góc giữa đường thẳng a vả mặt phẳng

( )

P thì 0° ≤ ≤ °α 90 .

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

a2 Hai đường thẳng

vuông góc

Định nghĩa

( ) a, a ( )

d⊥ α ⇔ ⊥ ∀ ⊂d α

Định lí

( ) ( ) ( )

a;

a ,

a

d d b

b d

b M

α α α

⊥ ⊥

 ⊂ ⊂ ⇒ ⊥

 ∩ =



Hệ quả

( )

: ABC

d AB d ABC d AC

∆

 ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥



Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì đường thẳng nào song song mặt phẳng ấy.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với bất kì mặt phẳng nào song song mặt phẳng ấy.

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Định lí ba đường vuông góc

Tính chất

( )

( ) ( )

( )

,

b b

b α

α α

α

⊂



⊄ ⊥

 ′

 a

laø hình chieáu cuûa b treân a⊥ ⇔ ⊥b a b′

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Cách 1. Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng chứa trong mặt phẳng

( )

P .

Cách 2. Chứng minh d song song với a mà

( )

a⊥ P .

Cách 3. Chứng minh d ⊥

( )

Q và

( ) ( )

Q // P .

Ví dụ. Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với dáy.

Chứng minh BC⊥

(

SAB

)

. Lời giải

Ta có tam giác ABC vuông tại B nên BC AB⊥ . Do SA⊥

(

ABC

)

nên BC SA⊥ .

Ta có:

{ }

( )

( )

. ,

BC AB BC SA

BC SAB AB SA A

AB SA SAB

 ⊥

 ⊥

 ⇒ ⊥

 ∩ =

 ⊂



Câu 1: Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng

(

ABC

)

. Chứng minh

a) BC⊥

(

OAH

)

. b) H là trực tâm của ∆ABC. Lời giải

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN . II

PHƯƠNG PHÁP.

1

BÀI TẬP.

2

a) Ta có OA OB

( )

. OA OBC OA BC OA OC

 ⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥



Mà

( )

( )

OH ABC BC ABC

 ⊥

 ⊂

 nên OH BC⊥ .

Vậy BC⊥

(

OAH

)

.

b) Do OH ⊥

(

ABC

)

nên OH AC⊥

( )

1 . Ta có OB OA

OB OC

 ⊥

 ⊥

 nên OB⊥

(

OAC

)

⇒OB AC⊥

( )

2 . Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra AC⊥

(

OBH

)

⇒AC BH⊥ . Mặt khác BC ⊥

(

OAH

)

⇒ AH BC⊥ .

Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy.

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên SB SD, . a) Chứng minh AK ⊥

(

SCD

)

.

b) Chứng minh AH ⊥

(

SBC

)

. c) Chứng minh SC ⊥

(

AHK

)

.

Lời giải

a) Ta có SA⊥

(

ABCD

)

⇒CD SA⊥ . ABCD là hình chữ nhật nên CD AD⊥ . Suy ra CD⊥

(

SAD

)

⇒CD AK⊥ .

Ta lại có AK SD⊥ . Suy ra AK ⊥

(

SCD

)

. b) Ta có CB SA⊥ (do SA vuông góc với đáy)

CB AB⊥ (do ABCD là hình chữ nhật).

Suy ra CB⊥

(

SAB

)

.

Mà AH ⊂

(

SAB

)

nên CB AH⊥ .

Ta lại có AH SB⊥ . Suy ra AH ⊥

(

SBC

)

. c) Ta có AK ⊥

(

SCD

)

suy ra AK SC⊥ .

( )

AH ⊥ SCB suy ra AH SC⊥ . Suy ra SC⊥

(

AHK

)

.

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi, có SA vuông góc

(

ABCD

)

. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SD. Chứng minh rằng HK ⊥

(

SAC

)

.

Lời giải

Xét ∆SAB vuông tại A, đường cao AH. Ta có SA² SH SB^{. SH SA2}₂

( )

^{1 .}

SB SB

= ⇒ =

Xét ∆SAD vuông tại A, đường cao AK. Ta có SA² SK SD. SK SA²₂

( )

2 .

SD SD

= ⇒ =

Mà

( )

2 2 2

2 2 2 3 .

SB SA AB

SD SA AD SB SD AB AD

 = +

 = + ⇒ =

 =



Từ

( ) ( )

1 , 2 và

( )

3 suy ra SH SK HK BD// . SB = SD⇒

Lại có BD AC⊥ (tính chất hình thoi)

mà SA⊥

(

ABCD BD

)

, ⊂

(

ABCD

)

⇒BD SA⊥ . Suy ra BD⊥

(

SAC

)

mà HK BD// nên HK ⊥

(

SAC

)

. Câu 4: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′.

a) Chứng minh AC′⊥

(

A BD′

)

. b) Chứng minh AC′⊥

(

CB D′ ′

)

. Lời giải

a) Gọi O I, lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD AA B B, ′ ′ . Ta có ^{BD AC} BD

(

ACC A

)

BD AC

( )

^{1 .}

BD AA

 ⊥ ⇒ ⊥ ′ ′ ⇒ ⊥ ′

 ⊥ ′



( ) ( )

^{2 .}

BA AB

BA AB C D BA AC BA B C

′⊥ ′

 ⇒ ′⊥ ′ ′ ⇒ ′⊥ ′

 ′⊥ ′ ′



Từ

( )

1 và

( )

2 , ta có AC′⊥

(

A BD′

)

.

b) Ta có

( )

( ) ( ) ( )

// //

// .

// //

BD CB D BD B D

A BD CB D A B CD A B CB D

 ′ ′

 ′ ′⇒ ⇒ ′ ′ ′

 ′ ′  ′ ′ ′

 

Mà AC′⊥

(

A BD′

)

nên AC′⊥

(

CB D′ ′

)

.