2. CẤP SỐ CỘNG
Dạng 4 Các bài toán thực tế
Các bài toán thực tế về cấp số cộng có thể được giải bằng cách sử dụng công thức của cấp số cộng. Công thức của cấp số cộng là:un =u1+(n−1)d. Trong đó:
○ un là số hạng thứncủa cấp số cộng.
○ u1là số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
○ dlà công sai của cấp số cộng.
○ Một số công thức thường gặp:
○ un = un−1+un+1
2 =u1+(n−1)d.
○ Sn = (u1+un)·n
2 = 2u1+(n−1)d
2 ·n.
Ví dụ 1
Một người có một khoản tiền gửi ngân hàng với lãi suất 10% năm. Nếu sau 5năm người đó nhận được tổng số tiền là550triệu đồng thì số tiền gửi ban đầu của người đó là bao nhiêu?
¤366,67triệu đồng.
. . . . . . . . . . . .
Ví dụ 2
Bạn An muốn mua một món quà tặng mẹ nhân ngày mùng 8/3. Bạn quyết định tiết kiệm từ ngày 1/2/2017đến hết ngày6/3/2017. Ngày đầu An có5 000đồng, kể từ ngày thứ hai số tiền An tiết kiệm được ngày sau cao hơn ngày trước mỗi ngày1 000đồng. Tính số tiền An tiết kiệm
được để mua quà tặng mẹ. ¤731 000đồng.
. . . . . . . . . . . .
Ví dụ 3
Một hội đồng quản trị quyết định tăng lương cho nhân viên hàng năm theo tỷ lệ cố định. Ví dụ, lương của một nhân viên được tăng thêm5% so với năm trước. Hỏi nếu lương của một nhân viên là10triệu đồng/năm vào năm nay, thì lương của nhân viên đó sẽ là bao nhiêu vào năm
thứ5? ¤12,1550625triệu đồng/năm.
Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành42đô la, và trong mỗi tuần tiết theo, anh ta đã thêm8đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá400đô la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây
guitar đó? ¤n=46.
. . . . . . . . . . . .
Ví dụ 5
Hàng tháng ông An gửi vào ngân hàng một số tiền như nhau là5 000 000đồng (vào ngày đầu mỗi tháng) với lãi suất0,5%một tháng, biết tiền lãi của tháng trước được nhập vào tiền gốc của tháng sau. Hỏi sau36tháng ông An nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu? (làm tròn đến
hàng đơn vị). ¤ 197 663 927đồng.
. . . . . . . . . . . .
Ví dụ 6
Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là6triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên0,5 triệu cho 1quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau5năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?
¤ 215triệu đồng.
. . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN C
C
Bài 1
Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng:1; −3; −7; −11; −15.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 2
Cho(un)là cấp số cộng với số hạng đầuu1 = 4và công sai d = −10. Viết công thức số hạng tổng quátun.
Bài 3
Cho cấp số cộng(un)có số hạng đầuu1 =−3và công said=2.
a) Tìmu12.
b) Số195là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 4
Trong các đãy số sau đây, đã số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
un =3−4n;
a) un = n
2 −4;
b) c) un =5n; un = 9−5n
3 . d)
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 5
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng(un), biết:
®u3−u1 =20 u2+u5 =54;
a)
®u2+u3 =0 u2+u5 =80;
b)
®u5−u2=3 u8·u3 =24.
c)
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 6
Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là45cm,43cm,41cm,. . .,31cm.
a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành
. . . . . . . .
Bài 7
Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là:16;48;80;112;144;. . .(các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
a) Tính công sai của cấp số cộng trên.
b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.
. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài 8
Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là AvàBcùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trộiAhayBthì chiều cao cây tăng thêm5cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABBcó chiều cao bao nhiêu?
. . . . . . . . . . . . . . . .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM D
D
BẢNG TÔ ĐÁP ÁN TỰ LUYỆN – ĐỀ SỐ 1
Học sinh làm BTTL xong, tô phương án đúng. Buổi học sau, cùng với GV kiểm tra kết quả.
1 A B C D 8 A B C D 15 A B C D 22 A B C D 29 A B C D
2 A B C D 9 A B C D 16 A B C D 23 A B C D 30 A B C D
3 A B C D 10 A B C D 17 A B C D 24 A B C D 31 A B C D
4 A B C D 11 A B C D 18 A B C D 25 A B C D 32 A B C D
5 A B C D 12 A B C D 19 A B C D 26 A B C D 33 A B C D
6 A B C D 13 A B C D 20 A B C D 27 A B C D 34 A B C D
7 A B C D 14 A B C D 21 A B C D 28 A B C D 35 A B C D
Câu 1
Xen vào giữa hai số4và40bốn số để dược một cấp số cộng? Tìm tổng bốn số đó?
A 72. B 88. C 100. D 66.
. . . . . . . . . . . .
Câu 2
Cho cấp số cộng(un)có số hạngu5=13,u6 =17. Số hạng thứ10là
A 33. B 37. C 40. D 45.
. . . . . . . . . . . .
Câu 3
Cho cấp số cộng (un)có u4 = −12, u14 = 18. Tính tổng 16số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
A S16 =−24. B S16 =26. C S16 =−25. D S16 =24.
. . . . . . . . . . . .
Câu 4
Cho cấp số cộng(un)cóu1 =−3vàd= 1
2. Khẳng định nào sau đây đúng?
. . . . . . . .
Câu 5
Cho cấp số cộng(un)cóu5 =−15,u20 =60. TổngS20 của20số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A S20 =600. B S20 =60. C S20 =250. D S20 =500.
. . . . . . . . . . . .
Câu 6
Cho cấp số cộng(un)cóu1 =1vàu2 =3. Giá trị củau3bằng
A 6. B 9. C 4. D 5.
. . . . . . . . . . . .
Câu 7
Cho cấp số cộng(un)có
®u3 =9
u4 =3. Khi đó công sai là
A 6. B 12. C 3. D −6.
. . . . . . . . . . . .
Câu 8
Tổngnsố hạng đầu tiên của một cấp số cộng làSn = 3n
2−19n
4 với n ∈ N∗. Tìm số hạng đầu tiênu1và công saidcủa cấp số cộng đã cho,.
A u1 =2,d=−1
2. B u1 =−4,d= 3
2. C u1 =−3
2,d=−2. D u1= 5
2,d = 1 2. . . . . . . . . . . . .
Câu 9
Dãy số nào sau đây làmột cấp số cộng?
. . . . . . . .
Câu 10
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt7hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là5,. . .và cứ thế tiếp tục đến ô thứn. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?
A 100. B 102. C 98. D 104.
. . . . . . . . . . . .
Câu 11
Nếu các số5+m; 7+2m; 17+mtheo thứ tự lập thành cấp số cộng thìmbằng bao nhiêu?
A m =3. B m=2. C m=4. D m =5.
. . . . . . . . . . . .
Câu 12
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A un =7−3n . B un =7−3n. C un =7·3n. D un = 7 3n .
. . . . . . . . . . . .
Câu 13
Cho cấp số cộng(un)cóu1 =−5vàd=3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
A Thứ36. B Thứ15. C Thứ20. D Thứ35.
. . . . . . . . . . . .
Câu 14
Cho cấp số cộng(un)thỏa mãn
®u7−u3 =8
u2u7 =75 . Tìm công saidcủa câp số cộng đã cho.
A d =3. B d =2. C d= 1. D d = 1.
Câu 15
Với giá trị nào củaxvàythì các số−7; x; 11; ytheo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?
A x =4;y=18. B x=1; y=21. C x =2;y =20. D x=3;y−19. . . . . . . . . . . . .
Câu 16
Cho hai số−3và23. Xen kẽ giữa hai số đã chon số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công said=2. Tìmn.
A n=12. B n =13. C n=14. D n=15.
. . . . . . . . . . . .
Câu 17
Cho cấp số cộng(un)thỏa mãnu2+u8+u9+u15 =100. Tính tổng16số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
A S16 =300. B S16 =200. C S16 =100. D S16 =400.
. . . . . . . . . . . .
Câu 18
Cho cấp số cộng(un)cóu2 =2001vàu5 =1995. Khi đóu1001bằng:
A u1001 =1. B u1001 =4005. C u1001 =4003. D u1001 =3.
. . . . . . . . . . . .
Câu 19
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm5.000đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A 10.125.000đồng. B 4.000.000đồng. C 4.245.000đồng. D 5.2500.000đồng.
Câu 20
Cho cấp số cộng(un)cóu4 = −12vàu14 = 18. Tìm số hạng đầu tiên u1và công sai dcủa cấp số cộng đã cho.
A u1=−22;d=3. B u1=−21;d=3.
C u1=−21;d=−3. D u1=−20;d=−3.
. . . . . . . . . . . .
Câu 21
Cho cấp số cộng(un), biết:un =−1,un+1=8. Tính công saidcảu cấp số cộng đó.
A d =−9. B d=−7. C d=9. D d =7.
. . . . . . . . . . . .
Câu 22
Ba góc A, B, C(A < B <C)của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng:
A 60◦. B 80◦. C 45◦. D 40◦.
. . . . . . . . . . . .
Câu 23
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn
®u1−u3+u5 =15
u1+u6 =27 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A
®u1 =21
d=−3. B
®u1=18
d =3 . C
®u1 =21
d =3 . D
®u1 =21 d=4 .
. . . . . . . . . . . .
Câu 24
Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công saidcủa cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?
A d =2. B d=4. C d=3. D d =5.
Cho cấp số cộng(un)cóu1 =−5vàd=3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A u15 =45. B u13 =31. C u15 =34. D u10 =35.
. . . . . . . . . . . .
Câu 26
Viết ba số hạng xen giữa các số2và22để được một cấp số cộng có năm số hạng.
A 6; 12; 18. B 7; 12; 17. C 8; 13; 18. D 6; 10; 14.
. . . . . . . . . . . .
Câu 27
Người ta trồng3003cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng1cây, hàng thứ hai trồng2cây, hàng thứ ba trồng3cây,. . .Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?
A 75. B 73. C 77. D 79.
. . . . . . . . . . . .
Câu 28
Cho cấp số cộng có số hạng đầuu1 = −1
2,công said = 1
2. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:
A −1 2; 0;1
2; 0;1
2 . B −1
2; 0; 1;1
2; 1. C 1 2; 1;3
2; 2;5
2 . D −1
2; 0;1 2; 1;3
2.
. . . . . . . . . . . .
Câu 29
Cho cấp số cộng(un)cóu1 =4vàd=−5. Tính tổng100số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
A S100 =−24350. B S100 =24600. C S100 =24350. D S100 =−24600.
Câu 30
Cho các số−4; 1; 6; xtheo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìmx.
A x=10. B x =12. C x=11. D x =7.
. . . . . . . . . . . .
Câu 31
Cho cấp số cộng(un)cóu1 =−3vàd= 1
2. Khẳng định nào sau đây đúng?
A un =−3+1
2(n−1). B un =−3+1
2(n+1).
C un =−3+1
4(n−1). D un =−3+1
2n−1.
. . . . . . . . . . . .
Câu 32
Cho cấp số cộng(un) có các số hạng đầu lần lượt là5; 9; 13; 17; . . .. Tìm số hạng tổng quát un
của cấp số cộng.
A un =4n−1. B un =5n−1. C un =5n+1. D un =4n+1.
. . . . . . . . . . . .
Câu 33
Một rạp hát có30dãy ghế, dãy đầu tiên có25ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước3ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
A 1635. B 2055. C 1792. D 3125.
. . . . . . . . . . . .
Câu 34
Cho dãy số 1
2; 0;−1
2;−1;−3
2; . . . .là cấp số cộng với:
A Số hạng đầu tiên là 1
2, công sai là−1
2. B Số hạng đầu tiên là0, công sai là 1 2. C Số hạng đầu tiên là0, công sai là−1
2. D Số hạng đầu tiên là 1
2, công sai là 1 2.
Câu 35
Cho cấp số cộng(un)cód=−2vàS8 =72. Tìm số hạng đầu tiênu1 A u1 =16. B u1 =−16. C u1 = 1
16. D u1=− 1
16.
. . . . . . . . . . . .
Câu 36
Ba góc của một tam giác vuông tạo thành cấp số cộng. Hai góc nhọn của tam giác có số đo (độ) là: A 45◦và45◦. B 20◦ và45◦. C 30◦và60◦. D 20◦ và70◦.
. . . . . . . . . . . .
Câu 37
Tính tổngS =1−2+3−4+5+· · ·+(2n−1)−2nvớin≥1vàn∈ N.
A S=0. B S =−1. C S=n. D S=−n.
. . . . . . . . . . . .
Câu 38
Cho cấp số cộngu1; u2;u3; . . . ;un có công said,các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác0.
Với giá trị nào củadthì dãy số 1 u1
; 1 u2
; 1 u3
; . . . ; 1
un là một cấp số cộng?
A d=0. B d =1. C d=−1. D d=2.
. . . . . . . . . . . .
Câu 39
Cho cấp số cộng(un)thỏa mãnu2+u23 =60. Tính tổngS24 của24số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.
A S24 =60. B S24 =120. C S24 =1440. D S24 =720.
Câu 40
Cho cấp số cộng (un)thỏa
®u2+u4+u6 =36
u2u3 =54 . Tìm công sai d của cấp số cộng (un)biết d <
10.A d =4. B d=3. C d=6. D d=5.
. . . . . . . . . . . .
—HẾT—