Tmh on dinh cót có do cufhg tiét dièn thay doi bang phUdng phàp sai phàn huTU han
Column stability analysis with variation cross section using finite difference metl^od
Tran Thj Thùy Vàn, Hoàng Vièt Bach
Tom tat Bài bào trình bay càdì àp dung phutfng phàp sai phàn hihi han de tình on ^nh cho còt có dò cùng tiet dièn thay dói theo quy luàt bit ky vói càc diéu kièn bièn khàc nhau. Vìéc giài càc phU'mg trình vi phàn dUOcthay the bang he phiTtfng trinh dai so xàc dinh càc thóng so tinh ón cRnh cho còt. Tà dò, thiét lap
trình tirtfnh toàn bang phàn mém làp trình Mathcad cho bài toàn on djnh cót có do ciUng tiet dièn thay dói theo quy luàt bàt ky.
Kkhòw. Cót có dò cùng tiit dién thay 3Ói,6n dinh còt, phuang phàp sai phàn hùu hgn, tal
trong tói hgn
Abstract This paper presents the application of
finite difference method to cakulate maximum buckling ioad of columns with random variation cross section and
differenf boundary condìfions Solving of differenfial equation was replaced by solving of algebraic equations system that defermines the parameters to cakulate the maximum buckling Ioad of columns. Thereof, establishing the calculation procedure by Mathcad programming software forstability problem of column with random variation cross section Keywords: column with variation cross section, stability ofcolmn. Mìe difference
method, maximum buckling Ioad
TS. Tran Thi Thùy Vàn Khoa Xày dizng, Truàng D(ii hoc Kién trite Ha Nói Email <ttthvan hau@gmail com>
ThS. Hoàng Viét Bach Cty TNHH TVTK&XD Dò thj Ha NQI UCDC
Email. --
1. Dàt vén de
Trong càc còng trình xày dyng dàn dyng và cóng nghi?p, còt là càu kién chiù lyc CO' bàn Vièc tinh toàn khà nàng chiù lu'c cùa còt phài dàm bào ba yèu càu ve dò ben, dò cù-ng và dò èn d\r\\\. Có nhièu farò'ng ho'p két càu thòa man diéu kièn ve ben và ci>ng nhu'ng van khòng thè SLP dung du'ac do khóng dàm bào ve dièu kièn on djnh.
Hinh dàng và kich fhu'óc màf cat ngang cùa cót du'ac lya chon phu fhuòc vào sa dò làm vièc và hinh thù'c fàc dung cùa tài trong. Trong phàn lón càc két càu xày du'ng kich fhu'óc mgt càt ngang du'ac lifa chon là khòng dèi fai mèi dogn còt Tuy nhièn, trong mot sè tru'àng hgp do yèu càu ve kién trùc hoac dàc fru'ng tàc dung cùa tài trong cung nhu' do yèu càu ve tinh kinh té, ngu'àì fa su dung còf có kich thifóc mat càt ngang thay dèi theo quy luàt nhàt dinh nào dò. Bài toàn èn djnh cùa cóf có fiét dièn thay dèi dà duac de càp trong càc fai lièu cùa co hoc còng frinh cho mot sé tru'àng hap dan giàn nhu' còt có chièu cao hoàc bé róng thay dèi theo quy luàt bàc nhàt; cót c6 dò cùng fièf dién thay dèi theo tùng doan nhàf dinh. Càc du'óng lÓi giài bài toàn này dirac xày dyng trén ca so phu'ang phàp giài tich có thè cho lai già! chinh xàc trong trifóng hap dan giàn Dói vói càc bài toàn phóc tap nha c5t dò cùng tièt dièn thay dèi theo quy luàt bàt ky và có dièu kièn bièn bàt ky fhi vièc su dung phu'ang phàp giài tich gap phài càc khó khan ve màt toàn hoc Hièn nay, càc phàn mèm ùng dung phaang phàp phàn t u hl^u han dà cho phép tinh èn djnh còl có dò cùng tiét dièn thay dèi, nhu'ng chi phù hap khi dò cùng tiét dièn thay dèi theo mot quy luàt dan giàn và sè khó àp dung néu dò cùng tiét dièn thay doi theo mot hàm bàt ky. Vói sy phàf trièn cùa cóng nghè thóng tin và càc còng cu làp frinh cac bài toàn phùc tgp có thè giài quyét du'ac bang càch àp dung càc phu'ang phàp so. I^òt trong nhùng phu'ang phàp sé c6 thè àp dung và giài quyét du'ac faang dèi friéf de vàn de nghièn cùu dat ra là phaang phàp sai phàn hùu han. Bài bào trình bay càch àp dung phu'ang phàp sai phàn hùu han trong vièc thiét làp du'óng lèi tinh èn dmh cóf có fièf dién thay dèi theo quy iuàt bàt ky. Tu dò du'a ra thuàt toàn giài su dung phàn mèm làp trình MafhCad.
2. Thiét l i p duiòTig lèi tình on djnh cija còt có dò cOng tiét dién thay dói bang phuxyng phàp sai phàn hiru han
2.1. Phuang phàp sai phàn hihi harì trong tinh toàn én dltìh cùa cót có tiét dién thay dèi
Theo [4] vièc àp dung phu'ang phàp sai phàn hùu han giài bài toàn èn djnh còt du'ac trién khai theo trình ty sau
- Làp phu'ang trình vi phàn du'óng bién dang cùa he ó trang fhài lèch khói trang thài ban dàu,
- Già thiét chuyén vi fai mot so dièm chia cùa he ó trang fhài càn bang léch. Thay phu'ang trình vi phàn bang càc phu'ang trình sai phàn tu'ang ùng fai mòi dièm chia nhàn du'ac he phu'ang trình d?i so thuàn nhàt vói an là càc chuyén vi yi cùa thanh (là chuyén vi fai diém chia thù ì);
- Thiét làp phu'ang trình èn dinh: Cho dinh thùc cùa he phu'ang trình dai sé bang khóng;
- Giài phaang trình ón djnh d i tim càc lu'c tói han
Su dung phu'ang phàp sai phàn hùu hgn, chia thanh thành n khoàng fhi sè àn so y, bang (n+1}baogòm yo,yi y^, con so phaang trình sai phàn chìcó (n-l) Dodo, de giài bài toàn fa càn bè sung ftièm 2 phaang trình dièu kién bién
De tàng dò chinh xàc cùa phu'ang phàp ta có thè vàn dung sai phàn bàc cao hoàc tàng sè lu'ang doan chia.
Xét mot thanh chiù lyc nén doc truc, có dò cùng thay dèi dpc theo chièu dai thanh theo quy luàt Jj{x}=J(,.f(x) Thanh mot dàu lién két ngàm cùng và mot dàu lién két ngàm truiaf nhu' thè hièn trén hinh 1.
Su dung phu-ang phàp lyc de giài bài toàn, Ioai bò lién két trèn dàu thanh và thay
23
KHOA HOC & CONG NGHE
thè bang càc phàn l y c tipcng Lrng là RQ và MQ P h i j a n g trình vi phàn dipòng dàn hoi cùa thanh tal t h ò i ctièm thanh bj màt on djnh iisqc viét tiuò\ dang s a u '
E J . y - = - M , - R „ x - P , ^ y , , , Chia lu-ól sai phàn v ó i bipòc sai phàn là . Thay dao hàm
trong btèu thù'c trèn bang biéu thCrc sai phàn h i f u han tai dièm chia thCp i, còng t h u c (1} dircyc viét lai du'ól dang sau
EJof, . - M . - R . : - p . y , Bién dèi biéu thù'c (2), ta có f , A ^ y - P y i + R o . l ' * M D = 'J, i = 0 , 1 , 2 , . Trong dò:
(2)
(3)
R, = - ^ ^ h ' M ,
E J . . EJn
Oè tinh già fn cùa lu'c fai hgn Pi^ khi thanh bi màt èn i^nh fa càn xàc dinh già trj c ù a tham so p thòa m a n phu'ang trình (3). T u dò, già tri lu'c tói han P,h du-ac xàc dinh t u cóng t h ù c :
Khai fnèn v ó i sai phàn bàc hai A^, p h a a n g trình (3) có thè du'ac viét n h u ' s a u '
f,y,.,+(-2f,+b)y|+f,y,^i+Ro>ti + Mo = 0
= 0,1,2,. (5)
Trén c a s o cùa phu'ang trình (5) fhu du'ac mot hg phu'ang trình dai so thuàn nhàf dèi v ó i àn sè là càc chuyén vj y, và càc phàn lu'c chu'a bièt Ro và Mg
D e h e phu'ang trình dai sè thuàn nhàt (5) có nghiém khàc khòng (nghièm khàc nghiém tàm thu'òng), djnh t h ù c cùa càc he sè cùa p h y a n g trình phàl bang 0. Làn lu'pf cho i nhàn càc già fri f u 0, 1 , 2, . .n, thu d a a c djnh t h ù c h? so cùa phu'ang trình cho tru-óng hg'p thanh dàu n g à m c ù n g , dàu ngàm t a r g t nhu' sau-
2fo 0 . 0 0
2f„ u . ( g j Khi xày d y n g càc he phu'ang trình (5) s u dung càc diém bièn y., và y^+i và ké tói dièu kién bièn yo=yn=0, y'o=y'n=0- Hai dièu kién cuòi là càc phu'ang trình y . i = y i , yr,*i = yn.t. Càc dàu c h à m trong djnh t h ù c trèn thè hién càc thành phàn frùng làp theo du'óng chéo f| -2f,-f-|3 f, hoàc càc so khóng ó ben trai và ben phài d y ó n g chéo.
Khai trièn djnh t h ù c ta thu du'c^'c mot da t h ù c bàc (n-1) dèi VÓI t h a m sè p. T u viéc t i m già trj nhò nhàt cùa nghiém phu'ang trình dang da t h ù c sè xàc djnh du'O'c già tri cùa l y c t ó i han (theo cóng t h ù c (4), là già tri c ù a l y c khi he bàt dàu màf ón i ^ n h .
T h y c hi$n tu'ang tu' nhu' trèn v ó i càc dièu kién lién két khàc nhau thi dinh t h ù c (6) sè có mgt sè thay d è i , cu thè là:
'A \
\
7777
H i n h 1 . S d d o t i n h o n d j n h c ù a t h a n h ^ u n g à m , (Riu n g à m t r i f d t
• T h a n h có lién két là d à u n g à m dàu k h ó p Trong t r a ó n g hg'p này Mo=0 và trong dinh t h ù c (6) bò di hàng dàu tién và cgt cuèi cùng (còt có càc già tri là don vi), lue này djnh t h ù c d(P) có d a n g s a u :
fi 0 -Z\^j3 f^
fa
- 2 f „ . , + ^ n-1 (7}
• T h a n h có lién két hai d à u là k h ó p
Lijc này càc phàn l y c MQ và RQ dèu bang 0. Trong dinh t h ù c bò di hàng dàu tién và hàng cuòi cùng và 2 cót cu6i cùng D i n h t h ù c d(P) có d a n g sau
-2fi + f,
fr.2
(8)
* T h a n h có lién két d à u n g à m , dàu t y do Tru'àng h g p này d m h t h ù c d(P) bò di h à n g d à u t i è n v à 2 còt ngoài c ù n g , con hai hàng cuoi cùng du-gc thay thè bang 2 hàng s a u .
lo 0 f „ . - 2 f , . + ^ f „ . I
Nhu' vày, v ó i thanh d à u n g à m dàu f u do djnh thùc di có d a n g s a u :
f„.i •2f„.i+>5 fn_,
24
TAP CHi KHOA HOC K I É N T R Ù C - X À Y DUTIG/ Nhàpltióngs5dàjvào:vaiiàj,tiàmd5ciJn9lia[fièn chièudài 7
"i '
I Chia lu'ói sai phàn hOu han 1 I Ve d5 thi dò oing tièt dién l(x) 1
nz l=lo-fW-
i
1 XàydungmatrànhésóPTchuymja |
-l.
j Xàydyngmatrànchùathamsó^ |
i 1
l> -^- .
Thiétlàpphu'ongtrìnhónc&ihctiùa ^ I
Tinhi-^-^ff^'
^
fKéf qua^
Hinh 2. So dò khoi cùa phifdng phàp sai phàn hù'u han
2.2. Thiét làp trình ty giài bài toàn và sa tSo khói cùa bài toàn
Trèn ca so phu-ang phàp giài bài toàn èn djnh còt có tiét dién thay dèi du'ac trình bay fai muc 2.1, tàc già dà viét chuang trình tinh òn dinh cóf có tìét dién thay dèi bang phàn mèm làp frinh MafhCad [1]. Sa de khói và thuàt toàn giài dygc trình bay chi fiét nhu- sau.
a) Trinh fy giài bài toàn
Baóc 1: Khai bào càc thòng sè ban dàu và chia laóì sai phàn. Chièu dai cót: 1 (m); sè do^n chia: n, lu'ói sai phàn' ù=l/n; Thòng so vàt liéu: Mòdun dàn hèi vàt liéu E; dò cùng tiét dièn ban dàu lo, Hàm sé thè hién sa thay dèi cùa dò cùng tiét dién f(x). EI(x)=Elo.f(x)
Bu'óc 2: Ve dò thi hàm sè thè hién sy thay dèi dg cùng tiét dién
Bu'óc 3. Thiét làp ma tran he so cùa phu'ang trình dyóng dàn hai [Q„]
Bu'óc 4. Thiét làp ma tran chùa tham so P' [d(p)]
Hinh 3. Stì dò tinh toàn on djnh và kich thu'dc cót
Bu'óc 5. Giài phu'ang trình òn dmh chùa tham sò p |d(p)| =0
Bu'óc 6, Xàc dinh già tn IIFC tói hgn khì he bì màf àn dinh:
b) Sa dò khói bài toàn
Trèn co so frinh ty giài bài toàn, thiét làp sa dò khòi nhu- hinh 2.
3. Vi dij tinh toàn
Su dung chu'ang trình tinh èn djnh cót cà tìét dién thay dèi bang phu'ang phàp sai phàn hùu han fhiét làp ó trèn, tàc già dà thyc hièn viéc tinh lyc tói hgn cho cót có tiét dién thay dèi theo quy luàt bàt k;^ vói càc dièu kién bièn khàc nhau (dàu ngàm dàu khóp, 2 dàu khóp, dàu ngàm dàu ty do), trièn khai cu thè trong [1]. Trong gioì han bài bào này tàc già trình bay két qua tinh cho mótvidy cu thè.
Tinh èn dinh cho cOf dàu ngàm dàu khóp, có chiéu dai l=6m, mòdun dàn hèi vàf liéu E=2.10®KPa; dò cùng fiét dién ban dàu lo=0.85m^, hàm sò thè hièn su' thay dòi dò cùng tiét
Thyc hién giài bài toàn bang phu'ang phàp sai phàn hùu han vói bu'óc sai phàn khàc nhau [1] và kiém nghiém bang phu'ang phàp Bubnov-Galerkin [2] ta thu du'ac già tri tài trong tói hgn nhu' trong bang 1.
Càc két qua tinh toàn thè hién trong bang 1 cho thày già tri tài trgng tói han tinh theo 2 phaang phàp có sy sai khàc khóng dàng kè. Tuy nhièn, su dung phaang phàp do tàc già de xuàt dan giàn và hièu qua han trong traóng hgp tiét dién cót thay dèi theo mot hàm sè bàt ky. Bu'óc sai phàn càng nhò két qua càng chinh xàc so vói phyang phàp giài tich hoàc càc phaang phàp phè bién khàc
Bang 1. Già trj tài trong tdì han theo cac phircfng phàp Già tn
P», kN A, %
PhLfóng phàp Bubnov-Galerkin
3 778x10"
Phu'óng phàp sai phàn h&u han N=4
3.862x10*
2.176%
N=8 3.822x10*
1.15%
N=16 3.788x10*
0.264%
N=20 3.784x10*
0.16%
N=30 3.778x10*
0%
25
KHOA HOC & CONG NGHE
4. Két luàn
Phaang phàp sai phàn hùu han àp dyng de tinh èn dinh cót có tiét dién thay dèi cho phèp thù'c hién du'ac vói càc hàm sò thay dòi tiét dién theo quy luàt bàt ky ma khóng gap tra ngai ve màf toàn hoc do có thè àp dung phàn mèm làp trình Mathcad de giài bài toàn. Trèn ca so ly thuyét trình bay, tàc già dà thiét làp trinh tu' giài bài toàn òn i^nh còt có tiét dién thay dèi bang phàn mèm làp trình Mathcad, trong nói dung bài bào trình bay két qua mot vi du cu thè de kièm nghiém phu'ang phàp tinh. /.
Tài liéu tham khào
/. Hoàng Vi?t Bach, Nghién cùu tinh toàn ón dinh cùa CQI CÓ I dién thay dói bang phuang phàp sai phàn hùu hgn, Luàn và thac si 1^ thuàt, Tntòng àgi hgc kìén trùc Ha npi. 2016 ' / Leu ThQ Dinh, Ón dinh cóng trình, NXB khoa hoc và kp thu
Ha NÓI. 2008
j Nguyén Manh Yèn. Phuang phàp so trong co hoc két càu, NXB khoa hoc và ky thudt. Hd Ngi, 2000 1, B.H. fieauoa. OcHoabi yucneuHbiXMemoàoepociema
KOHCmpyKiiuù. MocKea, 2007
:>. AB AJieKcauópoe. BH Tlomanoe, E.I7 JJepoicaeuii, ConpomueìieiiuE Mamepuanoe. Mocnea i(i 2003
Postbuckling behaviorof functionally graded sandwich...
(tiép theo trang 22) Fig. 5 gives the postbuckling behavior of FGIVl SSSSs with
vanous values of non-dlmensional foundation stiffness K,, Kj. it ìs obvious that elasfic foundations have very beneficiai influences on the Ioad canyìng capabilìfy of FGM SSSSs under uniform external pressure. On the one hand, the extreme-type buckling pressures and load-deflecfion curves are considerably enhanced as the stiffness parameters of foundations, especially Pasternak type foundafions, are mcreased. On fiie ofher hand, the severity of snap-through instability ìs decreased, that ìs, the difference between upper and lower poìnt pressures is reduced because of the presence of elastìc foundations.
5. Concluding remarks
The postbuckling behavior of sandwich shallow sphencal shells (SSSS) constructed from two functionally graded material (FGM) face sheets and thicker metal core layer, rested on elasfic foundations and subjected fo uniform external pressure has been investìgafed Governlng
equations are based on the first order shear defomnation shell theory taking geometncal nonlmearity and Pastemak type foundation interaction info consideration. Approximate analytical solufions are assumed to satìsly immovably clamped boundary condition and Galerkin procedure is applied to derive explicit expression of nonlinear load- deflecfion relation from which the nonlinear stability of FGM SSSSs is analyzed The resuits show that pressure-loaded FGM SSSS exhibit an extreme type buckling response and an unsfable postbuckling behavior with a relatively infense snap-through phenomenon The study also reveais that increase in the volume fraction index, thickness of face sheefs and the nse of sphencal shell lead to an increase in buckling Ioads, Ioad-deflection curves and severity of snap- through insfability. In addition, the Ioad carrying capacity is enhanced and the postbuckling behavior of pressure-loaded FGM SSSSs is more stable due to the supporf of elasfic foundations, especially Pasternak type elasfic foundations./.
Tài li^u tham khào
/ T. House, L Librescu, and C. Carmarda. PostbucHing of anisotropie fiat and doubly-curved sandwich panels under complex loading conditìons, Int. J. Sohds Strucl, Voi 35,3007- 3027. 1998
2 L. Librescu and T House, Recent developments in the modehng and behavior of advanced sandwich constructions. a survey.
Compos Struct,. Voi 48. 1-17. 2000,
3. A.M. Zenkour, A comprehensive analysis offunctionally graded sarutivich plates: pari 2-buckltng andfree vibration. Int. J.
Solìds Sinici.. Voi. 42, 5243-5258. 2005.
1. AM Zenkour and M Sobhy. Thermal buckling of various types of FGM sandwich plates. Compos. Struct.. Voi. 93. 93-102.
2010
5. H.S. Slien and S.R Li, Postbuckling of sandwich plates-n-ith
FGM face sheets and temperalure-dependent properties.
Compos. PartB-Eng.. Voi 39. 332-344. 2008, . H.V.Tung, Thermal and thermomechanical postbuckling of FGM
sandwich plates resting on elusile foundations with tangential edge constramls and Icmperaliiiv dependenl properties, Compos. Struct. Voi 131. 1028-1039. 2015 ' H V Tung, Nonlinear thermomechanical stability qf shear
deformable FGM shallow sphencal shells resting on elaslic foundations with temperature dependenl properties, Compos.
Struct., 114. Ì07-H6. 2014.
'. H. V. Tung. Nonlinear axisymmetric response of FGM shallow spherical shells with tangential edge constraints and resting on elastìc foundations. Compos. Sinici., Voi. 149. 231-238. 2016.
: M Sathyamoorthy. Vìbratians of moderately Ihick sliallow spherical shells at large amplitudes, J Sound Vib, Voi 13.
157-170. 1978.
