Chuyên đề lũy thừa của một số hữu tỉ Toán 7

(1)

CHỦ ĐỀ 3: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trong bài này học sinh cần nắm được:

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên:

Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1):

. . ...

=

n n

x x x x x

(

^x^ ^,ⁿ^ ^,ⁿ^¹

)

Trong đó: x: cơ số; n: số mũ Quy ước: x¹=x x; ⁰ =1 (x0)

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng ^a

(

^{a b}^, ^^{Z b}^, ^⁰

)

b , ta có:   = 

 

n n

n

a a

b b

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:

. = ⁺

m n m n

x x x

: = ⁻ ( 0;  )

m n m n

x x x x m n

3. Lũy thừa của lũy thừa:

( )

^x^m ⁿ ⁼^x^{m n}^.

4. Lũy thừa của một tích, thương:

( )

^{x y}^. ⁿ ⁼^{x y}ⁿ^. ⁿ

( )

n n

n

x x

= y 0

y y

  

  

5. Lũy thừa với số mũ nguyên âm:

1 1

( 0)

− = 

a a

a

−ⁿ = 1_n

a a với n là số tự nhiên PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1: Thực hiện phép tính về lũy thừa

I. Phương pháp giải : Vận dụng định nghĩa và quy tắc phép tính ở trên để giải Chú ý: Với a0 thì:a²ⁿ 0; a²ⁿ⁺¹0 (n  N)

( )

⁻¹ ²ⁿ^{= 1;}

( )

⁻¹ ²ⁿ⁺¹ ⁼^-1

II. Bài toán Bài 1 - NB. Tính:

( )

²

) −0, 5 ; a

( )

³

b) −0, 5 ; 1 0

) 10 ;

2

− 

 

 

c

1 2

d) 5 . 3

− 

 

 

Lời giải.

( ) (

²

) ( )

) −0, 5 = −0, 5 . −0, 5 =0, 25 a

( ) (

³

) ( ) ( )

) −0, 5 = −0, 5 . −0, 5 . −0, 5 = −0,125 b

1 0

) 10 1

2

−  =

 

 

c

2 2

1 16 16 16 256

) 5 .

3 3 3 3 9

−  = −  = −  − =

       

       

d

Bài 2 - NB. Hãy tính:

(2)

( ) ( )

² ³

) −3 . −3 ;

a ^b)

(

⁻^{0, 25}

) (

³^: ⁻^{0, 25 ;}

)

) .ⁿ 2

c a a

( )

(

²

)

²

) −0,5 ; d

5

1 5

) .5 ; 5

  

e  

( )

2 2

) 3 .

0, 375 f

3 3

) 120 ;

g 40 h) 0,125 .512;

( )

³

Lời giải.

( ) ( )

² ³

( )

⁵

) −3 . −3 = −3 = -243;

a

( ) (

³

) ( )

²

) −0, 25 : −0, 25 = −0, 25 = 0,0625;

b

2 2

) ⁿ. = ⁿ⁺ ; c a a a

( )

(

²

)

²

( )

⁴

) −0,5 = −0,5 = 0,0625;

d

5 5

1 5 1

) .5 = .5 1;

5 5

    =

   

   

e

( )

2 2

3 3

) 8 64.

0,375 0,375

 

=   = = f

3 3

120 120

g) 3 = 27;

40 40

 

=   =

 

( )

³

( )

³ ³

( )

³

) 0,125 .512 = 0,125 .8 = 0,125.8 =1;

h

Bài 3 – NB. Thu gọn

a) 7 .7³ ⁵ b) 5 .5⁶ ⁴ c) 4 .4³ ⁷

d)

( ) ( )

−^{2 .}⁵ −² ⁶ e)

( ) ( )

−^{6 .}⁵ −⁶ ³ f)

(

−^{0,1 .}

) (

² −^0,1

)

³ Lời giải.

a) 7 .7³ ⁵ =7⁸ b) 5 .5⁶ ⁴ =5¹⁰ c) 4 .4³ ⁷ =4¹⁰

d)

( ) ( ) ( )

⁻^{2 .}⁵ ⁻² ⁶ ^{= −}² ¹¹ ^e)

( ) ( ) ( )

⁻^{6 .}⁵ ⁻⁶ ³ ^{= −}⁶ ⁸ ^f

(

⁻^{0,1 .}

) (

² ⁻^0,1

) (

³ ^{= −}^0,1

)

⁵

Bài 4 – NB. Thu gọn

3 2

3 3

) .

2 2

   

   

   

a b)

5 3

4 4

5 . 5

−  − 

   

    c)

2 7

1 1

2 . 2

   

   

    d)

2 3

7 7

8 . 8

− −

   

   

    e)

2 2 3

3 . 3

− −

   

   

    f)

3 3 4

4 . 4

  − 

   

    Lời giải.

a)

3 2 5

3 3 3

2 . 2 2

    = 

     

      b)

5 3 8

4 4 4

5 . 5 5

−  −  = − 

     

      c)

2 7 9

1 1 1

2 . 2 2

    = 

     

      d)

2 3 5

7 7 7

8 . 8 8

− −

    = − 

     

      e)

3 4

2 2 2

3 . 3 3

− − −

    = 

     

      f)

4 4 5

3 3 3 3 3

. .

4 4 4 4 4

  −  =    = 

         

          Bài 5 - NB. Hãy tính:

a)

( (−0,5)2)3 b) −234 c) −133

d) 5 2

17

− 

 

  e)

(

⁻^{0, 6}

)

⁴ ^f) ³ ⁰

25

− 

 

 

(3)

Lời giải.

a)

( (−0,5)2)3 = −( 0,5)6 = 641 b)

2 4 16

3 81

−  =

 

  c)

1 3 1

3 27

−  = −

 

 

d)

2 2

5 12 144

17 7 49

−  = −  =

   

    e)

(

0, 6

)

⁴ ⁸¹

− = 625 f) 3 0

25 1

−  =

 

 

Bài 6 - TH. Hãy viết các số sau đây dưới dạng một lũy thừa với số mũ khác 1 ) - 1 ;

a 27 16

b) ; 81

c) 0,001;

d) -0,001; e) 125; f) 27.− Lời giải.

1 1 3

) - ;

27 3

− 

=    a

16 2 4

b) ;

81 3

=    

( )

³

) 0, 001 = 0,1 ;

c d) 0, 001 = −

(

−0,1 ;

)

³

) 125 = 5 ;3

f f) 27 − = − ( 3) .³

Bài 7- TH. Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa:

) 6.36.1296;

a b) 25.5.125;

) 49.7.343;

c ) . .^{2 4 8} ; 3 9 27 d

3 9 27 ) . .

4 16 64 e

Lời giải.

2 4 7

) 6.36.1296=6.6 .6 =6 a

2 3 6

) 25.5.125=5 .5.5 =5 b

2 3 6

) 49.7.343=7 .7.7 =7 c

( )

⁵

5 5 5

) 7 .2 = 7.2 = 14 ; d

( )

⁴

4 7 4 7 16 7 23

) 16 .2 = 2 .2 = 2 .2 = 2 ; e

Bài 8- TH. Rút gọn rồi tính

a) 45 : 9² ² b) ^{36 :}⁶

(

⁻¹⁸

)

⁶ c) ^{75 :}³

(

⁻²⁵

)

³

Lời giải.

a) ^{45 : 9}² ² ⁼

(

^{45 : 9}

)

² ⁼⁵² ⁼²⁵

b) ^{36 :}⁶

(

⁻¹⁸

)

⁶ ⁼^_^{36 :}

(

⁻¹⁸

)

^_⁶ ^{= −}

( )

² ⁶ ⁼²⁶ ⁼⁶⁴ c) ^{75 :}³

(

⁻²⁵

)

³⁼^_^{75 :}

(

⁻²⁵

)

^_³ ^{= −}

( )

³ ³ ^{= −}²⁷

Bài 9- TH. Rút gọn rồi tính a)

3 3

2 8

3 : 27

   

   

    b)

5 5

7 14

5 : 18

−  − 

   

    c)

2018 2018

1 1

7 : 7

−   

   

    Lời giải.

a)

3 3 3 3

2 8 2 8 9 729

: :

3 27 3 27 4 64

    =  =  =

       

       

b)

5 5 5 5

7 14 7 14 9 59049

: :

5 18 5 18 5 3125

− − −

−    =  =  =

       

       

c) ¹ ²⁰¹⁸^: ¹ ²⁰¹⁸ ^{1 1}^: ²⁰¹⁸

( )

¹ ²⁰¹⁸ ¹

7 7 7 7

−    =−  = − =

     

     

Bài 10- TH. Thực hiện phép tính:

(4)

a)

2 2

5 35

4 : 24

−  − 

   

    b)

2 2

1 2

2 . 5

−   

   

    c)

2 3

1 1

9 : 3

   

   

    d)

3 3

1 3

2 . 2

−   

   

    Lời giải.

a)

2 2 2 2

5 35 5 35 6 36

: :

4 24 4 24 7 49

−  −  =− −  =  =

       

       

b)

2 2 2

1 2 1 1

2 . 5 5 25

−    =−  =

     

     

c)

2 3 4 3

1 1 1 1 1

: :

9 3 3 3 3

    =    =

       

        d)

3 3 3

1 3 3 27

2 . 2 4 64

−    = −  =−

     

     

Bài 11- VD: Tính giá trị của các biểu thức sau:

( ) ( ) ( )

² ² ³ ² ² ²

) = 3 − −2 − −5

a A ⁾ ²³ ^3. ¹ ⁰^. ¹ ²^.4

( )

² ²^:¹ ^{: 8}

2 2 2

     

= +        + −  b B

Lời giải.

( ) ( ) ( )

² ² ³ ² ² ²

) = 3 − −2 − −5 a A

( ) ( )

⁶ ⁴

34 2 5

= − − − − A

81 64 625

= − −

A

= −608 A

0 2

( )

3 1 1 2 1

) 2 3. . .4 2 : : 8

2 2 2

     

= +        + −  b B

8 3 8 : 8

= + + B

= +11 1 B

=12 B

2 2

3

1 1

) 3 . .81 .

243 3

a A= ⁾

( )

^4.2⁵ ^{: 2 .}³ ¹

16

 

=   b B

Lời giải.

2 2

3

1 1

) 3 . .81 .

243 3

a A=

( )

²

2 4

5 3

1 1

3 . . 3 .

3 3

A=

2 8

5 3

1 1

3 . .3 .

3 3

A=

2 8 5 3

3 .3

= 3 .3 A

10 8

3

= 3 A

32 9

= = A

(5)

( )

⁵ ³ ¹

) 4.2 : 2 . 16

 

=   b B

(

² ⁵

)

³ 4

2 .2 : 2 . 1 2

 

=  

B

7 1

2 :2 B=

7 8

2 .2 2 256

= = =

B

3 2

1 1 1

) . .

3 3 3

− − −

     

=           

a A

1 0 2

1 6 1

) : 2

3 7 2

− − −

     

=  −  +   b B

Lời giải.

3 2

1 1 1

) . .

3 3 3

− − −

     

=            a A

1

= 729 A

1 0 2

1 6 1

) : 2

3 7 2

− − −

     

=  −  +   b B

3 1 1: 2

= − − +4 B

4 1

= − +8 B

31 8

= − B

( )

² ⁰ ¹ ¹ ² ¹

( )

² ³ ⁵

) 0,1 : . 2 : 2

7 49

    

 

=  +      

a C ⁾

(

^{0,5 :}

) (

⁵ ^0,5

)

³ ¹⁷ ⁷^: ¹⁷ ⁶

2 2

   

= − − −        b B

Lời giải.

( )

² ⁰ ¹ ¹ ² ¹

( )

² ³ ⁵

) 0,1 : . 2 : 2

7 49

    

 

=  +       a C

(

⁶ ⁵

)

1 1

1 : . 2 : 2 49 49

C= +

1 1.2 3

= + = C

( ) (

⁵

)

³ ¹⁷ ⁷ ¹⁷ ⁶

) 0,5 : 0,5 :

2 2

   

= − − −        b B

(

^0,5

)

² ¹⁷ ¹ ¹⁷ ³³

2 4 2 4

= − − = − = −

B

( )

3 2

3 3 0

) 1 1 1, 031

4 4

   

=  −  + −

a A

3 2 3

2 3 2

) 4. 1

3 4 3

     

=   − −  + −  b B

Lời giải.

( )

3 2

3 3 0

) 1 1 1, 031

4 4

   

=  −  + − a A

3 2 3

1 1 1 1

4 4

   

=    − + A

(6)

7 2 7 49 3 211

1 1 . 1

4 4 16 4 64

   

=     − + = + = A

3 2 3

2 3 2

) 4. 1

3 4 3

     

=   − −  + −  b B

3 3 2

2 2 7 49 49

4 4.

3 3 4 16 4

     

=   −   − −  = − = − B

Bài 16 – VDC . Tìm giá trị của các biểu thức sau:

10 20 15

45 .5

) ;

a 75

( ) ( )

5 6

b) 0,8 ; 0, 4 Lời giải.

10 20 10 10 20 20 30

5

15 15 15 15 30

45 .5 9 .5 .5 3 .5

) = = 3 243;

75 3 .25 3 .5 = =

a

( ) ( )

( )

( ) ( )

5 5 5 5

6 6 6

0,8 0, 4.2 0, 4 .2 b)

0, 4 = 0, 4 = 0, 4 2⁵ 32 0, 4 0, 4 80;

= = =

15 4 6 3

) 2 .9 .

a 6 .8

( )

7 8

7

0,3 .2 )

0, 6 b −

Lời giải.

15 4 15 8 15 8

2

6 3 6 6 9 15 6

2 .9 2 .3 2 .3

) 3 9.

6 .8 = 2 .3 .2 =2 .3 = = a

( )

7 8 7 8

8

7 7

0,3 .2 0,3 2

) .2 2

0, 6 2

0, 6

− =−  = − = −

 

b

7 3

5 2

3 .16 a) 12 .27

( ) ( )

3 3 7

4 8

2 . 0,5 .3

) .

2. 0,5 .3 b

Lời giải.

7 3 7 6

5 2 5 5 6 4

3 .16 3 .4 4 4

a) 12 .27 =3 .4 .3 =3 =81

( ) ( )

3 3 7 2

4 8

2 . 0,5 .3 2 4 8

) .

0,5.3 1,5 3

2. 0,5 .3 = = =

b

17 11

10 15

3 .81 ) 27 .9

a

2 11

2 3

) 9 2 16 6

 b  Lời giải.

( ) ( ) ( )

17 4 11

17 11 17 44 61

10 15

10 15 3 2 30 30 60

3 3

3 81 3 3 3

9 3

) 27 3 3 3 3 3

 =  =  = =

a 

( ) ( )

2 2 11

2 11 4 11

2 3 4 2 3 3 11 3

3 2

9 2 3 2

) 3

16 6 2 2 3 2 3

  

= = =

   

b

Bài 20– VDC . Tìm giá trị của các biểu thức sau:

( ) ( )

10 5

3 7

3 .15 )

25 . 9

= −

a A −

30 43

57 15

) 4 .3

2 .27

= b B

(7)

2 3 4 2022

) = − +1 2 2 − +2 2 − +.... 2

c C d D) = + + + + + +1 3 3² 3³ 3⁴ .... 3²⁰²² Lời giải.

( )

( ) ( )

10 5 10 5 5 15 5

7 7 6 14

3 6 2

3 .15 3 .3 .5 3 .5 3

) 25 . 9 5 . 3 5 .3 5

− −

= = = =

− − − a A

( ) ( )

2 30 43

30 43 60 43 3

15

57 15 57 3 57 45 3

2 .3

4 .3 2 .3 2 8

) 2 .27 2 . 3 2 .3 3 27

= = = = =

b B

2 3 4 2022

) = − +1 2 2 − +2 2 − +.... 2 c C

2 3 4 5 2023

2. 2 2 2 2 2 .... 2

 C= − + − + − + Vậy 3.C = +1 2²⁰²³

1 22023

3

 =C +

2 3 4 2022

) = + + + + + +1 3 3 3 3 .... 3 d D

2 3 4 2023

3. 3 3 3 3 .... 3

 D= + + + + + 2. 32023 1

 D= − 32023 1

2

 =D −

Dạng 2: Tìm thành phần chưa biết

I. Phương pháp: 1. Để tìm số hữu tỉ x trong cơ số của một lũy thừa, ta thường biến đổi hai vế của đẳng thức về lũy thừa cùng số mũ, rồi sử dụng nhận xét:

( )

2 1 2 1 *

2 2 *

A = -B

+ = +  = 

 =

=  



n n

A B A B n N

A B

A B n N

2. Để tìm số x ở số mũ của lũy thừa, ta thường biến đổi hai vế của đẳng thức về lũy thừa cùng cơ số, rồi sử dụng nhận xét

(

^{, n} ^{Z, A} ^{0, A} ¹

)

=  =   

n m

A A m n m

II. Bài tập:

Bài 1 – NB . Tìm số hữu tỉ x, biết rằng:

2 7 11

) 11^x⁻ =11

a b) 2²^x⁺¹=2⁷ Lời giải.

2 7 11

) 11^x⁻ =11 a

2x− =7 11 2x=18

=9 x

2 1 7

) 2 ^x⁺ =2 b

2x+ =1 7

=3 x

Bài 2 – NB . Tìm x, biết:

2 1 5

5 5

) 6 6

  − = 

   

   

x

a b) 2²^x⁻³ =2⁹ Lời giải.

2 1 5

5 5

) 6 6

  − = 

   

   

x

a

2x− =1 5

=3 x

2 3 9

) 2 ^x⁻ =2 b

2x− =3 9

(8)

=6 x

2 4 10

) 5^x⁻ =5

a

3 3 5

) 2 2

−  = − 

   

   

x

b

Lời giải.

2 4 10

) 5^x⁻ =5 a

2x− =4 10

=7 x

3 3 5

) 2 2

−  = − 

   

   

x

b

=5

x Bài 4 – NB . Tìm x, biết:

2 6 10

) 3^x⁺ =3

a b) 5^x⁻¹ =5² Lời giải.

2 6 10

) 3^x⁺ =3 a

2x+ =6 10

=2 x

1 2

) 5^x⁻ =5 b

1 2 x− =

=3 x

1 1 5

) 2 2

  = 

   

   

x

a b) 6^x⁺⁴ =6¹⁰ Lời giải.

1 1 5

) 2 2

  = 

   

   

x

a

4 10

) 6^x⁺ =6 b

+ =4 10 x

=6 x

Bài 6 – TH . Tìm x, biết:

( )

⁴

) 3 −1 =81;

a x

^b)

(

^x⁺¹

)

⁵ ^{= −}^32.

Lời giải.

( )

⁴

) 3 −1 =81

a x

3 1 3

 x− = hoặc 3x− = −1 3 Với 3x - 1 = 3 x = ⁴

 3

Với 3 1 3 x = ² 3

− = −  − x

( )

⁵

b) x+1 = −32

(

^x⁺¹

) ( )

⁵ ^{= −}² ⁵

1 2

3 + = −

= − x x

Bài 7 – TH . Tìm x, biết:

=5 x

(9)

10 8

5 5

) :

9 9

− −

  = 

   

   

a x

8 8

5 9

) : 9 5

− −

  = 

   

   

b x Lời giải

10 8

5 5

) :

9 9

− −

  = 

   

   

a x

10 8 2

5 5 5 25

9 : 9 9 81

− − −

     

=     =  = x

8

5 8 9

) :

9 5

− −

  = 

   

   

x b

8

9 8 5

5 9 1

− −

   

=     = x

Bài 8 – TH . Tìm số hữu tỉ x, biết:

( )

⁶

) 5 −1 =729;

a x

( )

³

b) 2 + 1x = −0, 001;

Lời giải.

( )

⁶

) 5 −1 =729;

a x

(

⁵^x⁻¹

)

⁶ ⁼³⁶ ^{= −}

( )

³ ⁶

5 1 3

 x− = hoặc 5x− = −1 3 Với 5x - 1 = 3 x = ⁴

 5

Với 5x - 1 = -3 x = ² 5

 −

( )

³

b) 2 + 1x = −0, 001;

(

^{2 + 1}x

) (

³ = −^0,1

)

³

2 + 1 = -0,1x x = -0,55

Bài 9 – TH . Tìm số hữu tỉ x, biết:

( )

⁴ ⁴

) 2 −3 =5 .

a x ^b^{) 2}

(

^x⁻³

)

³ ^{= −}⁶⁴

Lời giải.

( )

⁴ ⁴

) 2 −3 =5 (1)

a x

2 3 5 2 5 3 4

2 3 5 2 5 3 1

− = = + =

  

 − = −  = − +  = −

x x x

(2 3)3 64 ) x− = − b

3 3

(2x−3) = −( 4) 2x− = −3 4

1

= −2 x

Bài 10 – TH. Tìm xQ, biết rằng:

1 0

) 0;

2

 −  =

 

 

a x

( )

²

b) x−2 =1;

Lời giải.

1 0

) 0

2

 −  =

 

 

a x x = 1

2

(10)

( )

²

b) x−2 =1

(

x−²

)

² =¹² = −

( )

¹ ²

Với x− =  =2 1 x 3 Với x− = −  =2 1 x 1

Bài 11 – VD. Tìm xQ, biết rằng:

( )

³

) 2 −1 = −8;

a x

1 2 1

b) 2 16

 +  =

 

x  Lời giải.

( )

³

) 2 −1 = −8

a x

(

²^x⁻¹

) ( )

³ ^{= −}² ³

2x− = −1 2 x = 1

2

−

1 2 1

b) 2 16

 +  =

 

x 

2 2 2

1 1 1

2 4 4

 +  =  =− 

     

x     

Với ¹ ¹ ¹

2 4 4

+ =  =−

x x

Với ¹ ¹ ³

2 4 4

− −

+ =  =

x x

Bài 12 – VD . Tìm x, biết:

1 1 10

) ;

16 2

  = 

   

   

x

a 8 2 ₁

b) ;

25=5 ⁻^x

x

Lời giải:

4 10

1 1

) 2 2

  = 

   

   

x

a

Suy ra 4x = 10 x = 5

2

1

8 2

b) 25=5_x⁻^x

2 3 2

5 = 5

   

   

   

x

ra x = 3 Suy

64 8

) ;

169 13

− 

=   

x

a a) 9 : 3^x ^x =3.

Lời giải:

64 8

) 169 13

− 

=   

x

a

8 2 8

13 = 13

− −

   

   

   

x

Suy ra x = 2 b) 9 : 3^x ^x =3

(11)

3^x =31

Suy ra x = 1

1 2

) 4

4

 −  =

 

 

a x

2 3

) 27

5

 +  =

 

 

b x Lời giải:

1 2

) 4

4

 −  =

 

 

a x

Với ¹ 2

− =2

x Với ¹ 2

− = −2 x

1 5

2 2 2

= +  =

x x 2 ¹ ³

2 2

= − +  = −

x x

2 3

) 27

5

 +  =

 

 

b x

3

2 3

5 3

 +  =

 

x  2 3 + =5 x

13

= 5 x

( )

²

) +0,8 =0, 25

a