CHỦ ĐỀ 4. RÚT GỌN PHÂN SỐ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử số và mẫu số của phân số cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng.
Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà cả tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1.
Chú ý: Phân số
a
b là tối giản nếu |a| và |b| là hai số nguyên tố cùng nhau.
Khi rút gọn một phân số ta thường rút gọn phân số đó đến tối giản. Phân số tối giản thu được phải có mẫu số dương.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Nhận biết phân số tối giản
Phương pháp giải: Để nhận biết phân số nào là phân số tối giản ta dựa vào định nghĩa phân số tối giản.
1A. Chỉ ra các phân số tối giản trong các phân số sau:
1 2 6 13 14 20
; ; ; ; ;
4 10 9 14 21 50
1B. Chỉ ra các phân số tối giản trong các phân số sau:
1 2 8 10 15 21
; ; ; ; ;
3 5 10 11 12 42
Dạng 2. Rút gọn phân số
Phương pháp giải: Để rút gọn phân số ta chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho ước chung khác 1 và -1 của chúng.
Lưu ý: Để rút gọn 1 lần được phân số tối giản, ta chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho ƯCLN của chúng.
2A. Rút gọn các phân số sau
3 30 5
) ; b) ; c)
6 60 15
a
12 54 12
d) ; e) ; f)
24 270 28
18 45
g) ; h)
27 24
2B. Rút gọn các phân số sau:
2 20 3
a) ; b) ; c)
4 40 15
5 75 10
d) ; e) ; f)
10 300 15
36 15
g) ; h)
24 27
3A. Rút gọn các phân số sau
33 22 3030
a) ; b) ; c)
66 77 6060
1212 120120 1313
d) ; e) ; f)
2424 240240 1414
3B. Rút gọn các phân số sau:
22 33 2020
a) ; b) ; c)
44 88 4040
1010 360360 1515
d) ; e) ; f)
1515 240240 1717
4A. Rút gọn các phân số sau
11.8 11.3 24 12.13 7.6 7.4
a) ; b) ; c)
17 6 12 4.9 7.3
2 2
7 ( 7).3 4.( 6) ( 17).13 17.2
d) ; e) ; f)
9.10 2.10 ( 5).3 2.3 11.2 11.19
4B. Rút gọn các phân số sau:
9.6 9.3 17.5 17 49 7.49
a) ; b) ; c)
18 3 20 49
2 2
9 ( 5).4 8.( 7) ( 14).11 14.2
d) ; e) ; f)
13.3 4.3 ( 12).5 7.4 11.21 7.22
5A. Rút gọn các phân số sau Mẫu:
2.3.5 2 12.( 25) 2.6.5.5 5 3.5.7 7; 30.18 5.2.3.3.6 9
( 2).7 3.( 5) ( 6).7
a) ; b) ; c)
7.5 15.( 6) ( 7).( 8)
9.( 13) ( 21).( 5) 32.9.11
d) ; e) ; f)
13.( 12) 15.( 7) 12.24.22
5B. Rút gọn các phân số sau:
( 3).8 ( 7).13 ( 5).11
a) ; b) ; c)
8.6 7.( 13) ( 10).( 11)
( 14).( 5) ( 14).( 15) ( 32).( 9).3
d) ; e) ; f)
10.14 ( 5).21 6.27.8
Dạng 3. Chọn ra các phân số bằng nhau
Phương pháp giải: Để chọn ra các phân số bằng nhau, ta đưa các phân số đã cho về dạng phân số tối giản có mẫu số là số dương. Các phân số có dạng tối giản giống nhau thì chúng bằng nhau.
6A. Chỉ ra các nhóm phân số có giá trị bằng nhau trong các phân số sau:) 6; 12 18; ; 24 36; ; 40 ;
8 15 24 30 48 50
6 10 25 15 30 36
b) ; ; ; ; ; ;
10 12 35 21 36 60
a
6A. Chỉ ra các nhóm, phân số có giá trị bằng nhau trong các phân số sau:)10 ; 13 ; 12; 20; 21; 18 ;
20 26 24 30 42 27
5 24 24 11 15 20
b) ; ; ; ; ; ;
15 36 16 33 10 30
a
7A. Trong các phân số sau đây, tìm phân số không bằng phân số nào trong các phân số còn lại:
9 1 5 9 27 13
) ; ; ; ; ; ;
36 4 15 27 81 52
a
5 14 7 10 1 7 21 1 b) ; ; ; ; ; ; ;
9 6 3 18 3 3 63 3
7B. Trong các phân số sau đây, tìm phân số không bằng phân số nào trong các phân số còn lại: ) 7; 8; 6 ; 9 ; 10 ;21;
21 24 12 27 30 42
5 3 12 8 1 10 21
b) ; ; ; ; ; ; ;
10 6 36 24 3 20 42
a
Dạng 4. Biểu thị các số đo (độ dài, diện tích,...) dưới dạng phân số với đơn vị cho trước
Phương pháp giải: Để biểu thị các số đo (độ dài, diện tích,...) dưới dạng phân số tối giản với đơn vị cho trước ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1. Viết kết quả dưới dạng phân số, chú ý quy tắc đổi đơn vị, chẳng hạn: 1m = 10dm;
1m2 = 100 dm2; 1m3 = 1000 dm3...
Bước 2. Tiến hành rút gọn phân số (nếu có thể) để đưa ra kết quả cuối cùng là một phân số tối giản.
8A. Biểu thị các số sau đây dưới dạng phân số tối giản với đơn vị là:
a) Mét: 5dm; 14cm; 250mm;
b) Mét vuông: 8dm2; 125cm2 ; c) Mét khối: 444 dm3.
8B. Biểu thị các số sau đây dưới dạng phân số tối giản với đơn vị là:
a) Mét:4dm; 32cm; 150mm;
b) Mét vuông: 22 dm2; 420 cm2; c) Mét khối: 666dm3.
Dạng 5. Tìm các phân số bằng với phân số đã cho
Phương pháp giải: Để tìm các phân số bằng với phân số đã cho và thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1. Rút gọn phân số đã cho về dạng tối giản (nếu có thể);
Bước 2. Áp dụng tính chất:
. . a a m b b m
với m và m0 để tìm các phân số thỏa mãn điều kiện còn lại.
9A. Viết tập hợp B các phân số bằng với phân số
3 15
và có tử số là số tự nhiên nhỏ hơn 6.
9B. Viết tập hợp A các phân số bằng với phân số
2 8
và có tử số là số tự nhiên nhỏ hơn 5.
10A. a) Tìm tất cả các phân số bằng với phân số
40
60 và có mẫu số là số tự nhiên nhỏ hơn 23.
b) Tìm tất cả các phân số bằng với phân số
11 33
và có mẫu số là số tự nhiên nhỏ hơn 23.
10B. a) Tìm tất cả các phân số bằng với phân số
15
25 và có mẫu số là số tự nhiên nhỏ hơn 24.
b)Tìm tất cả các phân số bằng với phân số
12 24
và có mẫu số là số tự nhiên nhỏ hơn 20.
Dạng 6. Tìm điều kiện để một phân số là phân số tối giản
Phương pháp giải: Để tìm điều kiện để một phân số là phân số tối giản ta cần tìm điều kiện để ƯCLN của tử số và mẫu số là 1.
11A. Cho phân số
M 1
2 n n
(n ; n2). Tìm n để A là phân số tối giản.
11B. Cho phân số
M n 1 n
(n ; n0). Tìm n để A là phân số tối giản III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
12. Chỉ ra các phân số tối giản trong các phân số sau
2 2 5 13 21 20
; ; ; ; ;
3 6 10 12 17 44
.
13. Rút gọn các phân số sau
4 15 4
a) ; b) ; c)
12 60 12
14 35 15
d) ; e) ; f)
28 140 25
16 42
g) ; h)
24 28
14. Rút gọn các phân số sau
55 33 2020
a) ; b) ; c)
66 88 8080
2121 130130 1616
d) ; e) ; f)
4242 260260 1313
15. Rút gọn các phân số sau:
13.9 13.2 42 14.8 9.6 18.4
a) ; b) ; c)
25 12 7 21.3 12.3
2
2 2
5.5 ( 7).3 4.( 6) ( 17).13 17.2
d) ; e) ; f)
9.10 4.10 ( 5).3 2.3 11.2 11.9
16. Rút gọn các phân số sau:
( 4).5 ( 7).15 ( 13).( 15)
a) ; b) ; c)
10.4 5.( 14) 10.13
( 5).22 ( 16).( 15) ( 30).( 5).3
d) ; e) ; f)
( 10).( 11) ( 25).24 6.25.8
17. Chỉ ra các nhóm phân số có giá trị bằng nhau trong các phân số sau:
11 17 15 20 19 18
) ; ; ; ; ;
22 34 30 30 38 27
a
2 25 20 11 15 50
b) ; ; ; ; ;
8 35 16 44 21 40
18. Trong các phân số sau đây, tìm phân số không bằng phân số nào trong các phân số còn lại:
1 5 7 8 23 1313
) ; ; ; ; ; ;
3 15 21 24 69 3939 4 10 7 12 14 5 14 5
b) ; ; ; ; ; ; ;
7 8 4 21 8 4 8 4
a
19. Biểu thị các số sau đây dưói dạng phân số tối giản với đơn vị là:
a) Giờ: 15 phút; 2700 giây;
b) Ngày: 18 giờ; 720 phút.
20. Viết tập hợp M các phân số bằng với phân số
6 15
và có tử số là số tự nhiên nhỏ hơn 9.
21. a) Tìm tất cả các phân số băng vói phân số
22
33 và có mẫu số là số tự nhiên nhỏ hơn 17.
b) Tìm tất cả các phân số bằng với phân số
14 35
và có mẫu số là số tự nhiên nhỏ hơn 35 22. Với mọi số tự nhiên n chứng minh các phân số sau đây là phân số tối giản:
2 1 1 2 3
) A ; b) B ; c) C
2 3 3 4 3 5
n n n
a n n n
HƯỚNG DẪN
1A. Trong các phân số trên, các phân số tối giản là:
1 13; 4 14
1B. Trong các phân sốtrên, các phân số tối giản là:
1 2 10
; ; 3 5 11
2A.
3 3 : 3 1 30 30 : 30 1
a) )
66 : 32 b 60 60 : 60 2
5 ( 5) : 5 1 12 ( 12) : ( 12) 1
c) d)
15 15 : 5 2 24 ( 24) : ( 12) 2
54 54 : 54 1 12 ( 12) : ( 4) 3
e) f)
270 270 : 54 5 28 ( 28) : ( 4) 7 18 ( 18) : ( 9) 2 45 45 : ( 3) 15
) )
27 ( 27) : ( 9) 3 24 ( 24) : ( 3) 8
g h
2B. Kết quả rút gọn làn lượt là:
1 1 1 1 3 2 3 5
; ; ; ; ; ; ; 2 2 5 2 8 3 2 9
3A. a)
33 33: 33 1 22 22 :11 2
66 66 : 332 b)77 77 :11 7
3030 3030 : 3030 1 1212 ( 1212) : ( 1212) 1
c) d)
6060 6060 : 3030 2 2424 ( 2424) : ( 1212) 2 120120 120120 : ( 120120) 1
e) 240240 240240 : ( 120120) 2
1313 1313: ( 101) 13 f) 1414 1414 : ( 101) 14
3B. Tương tự 3A
Kết quả rút gọn lần lượt là:
1 3 1 2 3 15
; ; ; ; ; 2 8 2 3 2 17
4A. a) 5. b)
11 4
. c)
2 3. d)
1
100. e) 5. f) 1.
4B. a)
3
2. b) -4. c) 8.
d)
1
9. e)
19
8 . f)
18 11
.
5A. a
2 1 3
) b) c)
5 6 4
3 1
) e) 1 f)
4 2
d
5B.
1 1
) b)1 c)
2 2
a
1 2
) e) 2 f)
2 3
d
6A. a) Ta có
6 18 36 3 12 24 40 4
8 24 48 4 15; 30 50 5
b) Ta có
6 36 3 10 30 5 15 25 5
; ;
10 60 5 12 36 6 21 35 7
6B. a) Ta có
10 12 1 13 21 1 20 18 2
; ;
20 24 2 26 42 2 30 27 3
b) Ta có
5 11 1 24 20 2 24 15 3
; ;
15 33 3 36 30 3 16 10 2
7A. a) Ta có
1 13 1 5 27 9 1
4 52 4 ; 15 81 27 3
nên phân số cần tìm là :
9 36
b) Ta có
5 10 14 7 7 1 21 1
; ;
9 18 6 3 3 3 63 3
nên phân số cần tìm là:
7 3
7B. Tương tự 7A.
a) Phân số cần tìm là:
9
27 b)Phân số cần tìm là:
1 3
8A.
5 1 14 7 250 1
a)5d ;14 ; 250
10 2 100 50 1000 4
m m m cm m m mm m m
2 2 2 2 2 2
3 3 3
8 2 125 1
)8d ;1251
100 25 10000 80
444 111
c)444d
1000 250
b m m m m m m
m m m
8B. Tương tự 8A.
2 8 3 11 21 333
a) ; ; ) ; c)
5 25 20 b 50 500 500
9A. Ta có
3 1 1
15 5 5
, do đó
1 2 3 4 5
B ; ; ; ; .
5 10 15 20 25
9B. Tương tự 9A. Tính được
1 2 3 4
A ; ; ; .
4 8 12 16
10A. a) Ta có
40 2 603
do đó các phân số cần tìm là:
2 4 6 8 10 12 14
; ; ; ; ; ; 3 6 9 12 15 18 21
b) Ta có
11 1 33 3
do đó các phân số cần tìm là:
1 2 3 4 5 6 7
; ; ; ; ; ;
3 6 9 12 15 18 21
10B. Tương tự 10A
a) Các phân số cần tìm là:
3 6 9 12
; ; ; 5 10 15 20
b) Các phân số cần tìm là:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 6 8 10 12 14 16 18
11A. Để
1 2 M n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN (n – 1, n -2) = 1.
Gọi ƯCLN (n - l, n - 2) = d => n – 1 d; n – 2 d
=> ( n – 1) – ( n – 2) d => 1d => d = 1 với mọi n. Vậy với mọi n thì
1 2 M n
n
là phân số tối giản.
11B. Để
1 M n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN ( n +1,n) = 1 Gọi ƯCLN ( n + 1,n) = d => n + 1d; nd
=> ( n + 1) – n d=> 1d=> d = 1 với mọi n. Vậy với mọi n thì
1 M n
n
là phân số tối giản.
12. Các phân số tối giản là:
2 13 21
; ;
3 12 17
.
13.
1 1 1
a) ) c)
3 b 4 3
1 1 3
d) e) f)
2 4 5
2 3
g) h)
3 2
14.
5 3 1
a) ) c)
6 b 8 4
1 1 16
d) e) f)
2 2 13
15.
a)7. ) 1 c) 1
b 2
1 1 17
d) e) f)
4 7 21
16.
1 3 3
a) . ) c)
2 b 2 2
2 3
d) 1 e) f)
5 8
17.
11 15 1 17 19 1 20 18 2
a) ; ;
22 30 2 34 38 2 30 27 3
2 11 1 25 15 5 20 50 5
b) ; ;
8 44 4 35 21 7 16 40 4
18. a) Ta có
1 8 5 23 1313 1 7
3 24 15 69 3939 3 21
nên
7 21
là phân số cần b) Ta có nên
4 12 10 5 5 7 14
; ;
7 21 8 4 4 4 8
nên
14 8
là phân số cần tìm.
19. a) 15 phút =
15 60 giờ
1
4giờ. 2700 giây =
2700 3600 giờ
3 4 giờ.
b) 18 giờ =
18
24 ngày
3
4 ngày.
720 phút =
720
24.60 ngày
1 2ngày
20. Ta có
6 2
15 5
nên
2 4 6 8
; ; ;
5 10 15 20 M
21. a) Ta có
22 2 33 3
nên các phân số cần tìm là:
2 4 6 8 10
; ; ; ; 3 6 9 12 15
b) Các phân số cần tìm là:
2 4 6 8 10 12
; ; ; ; ;
5 10 15 20 25 30
22. HS tự làm.
