V N U . J O U R N A L OF SC IE N CE , N at Sci , t X V , n^’5 - 1999
E S P A C E S E T P R O B L E M E D E D I R I C H L E T - P O I S S O N P O U R U N S Y S T E M E D E S E Q U A T I O N S
A U X D E R I V E E S P A R T I E L L E S E L L I P T I Q U E S D ’O R D R E 2K
V u V a n K h u o n g
Jnstitiit (ỈC la ConiniiiiiicHtioii et des Transports de Hanoi Chìí Gỉhv - Til Lieiii - Hh Noi.
1. I N T R O D U C T IO N
D a ns C(‘ travail, on présoiitc luie m é t h o d e p o u r résoudre le p ro bl ème d e Dirichlet - Poisson pour im systèm o des óquatioiis aux đéiivóes partielles elliptiques d ’ordre 2k.
L( ‘S s u p p o s i t i o n s f a i t e s i ci s o i i t c e l l o s I i t i l i b é e s ( I a n s l a n i é t h o d e v a r i a t i o n n e l l e , p a r t a n t
la notion (le^ trace. Le doinaiiu' considéió a la fiontiere lipchitzienno et les coefficients (ies equations soiit bornés ot Iiiesural)les.
On (léiiioiitre ici 1 Vxi.staiicp cl'uiK' uniqu(‘ solution dll pioblènie de Dirichlet - Poisson A /
(Ians Tesparr loisqu'on S(' donno sa tra c e sur la frontiero.
La niéĩhode do CO travail est très ] ) r o c l u ' à ('(‘llo do M. I. Visllik (cf. [2]), oil appiianf sur line ii,0u('ratioii (lu tlióoièiiH' (Ir P.D.Lax - A. ([1]) (Supposant \a\ < 1).
A/
2. T R A C E DES V E C T E U R S D E '
On (1(’.SÌỊ2,U('pai . // > 1, I'i'spact* eucliiluMi av('c-les coonloiiéos [.Ti, ./'2,. . . ,.r„] — X . On (lit ( 1 1111 ììOiiit'' o (líiìis F , , rpi'il ('St iln ( < 4 on I'ori'it {)
si
1) [1 c x i s t c /// s y s t è n i o s (!(' ((JordoiiiUH^s ( I a n s E n ('Ĩ ÌÌÌ f o i i c t i o n s a,, ( le s u i t e q i i ' o i i p(Mit
Ị)1 (’\s('nt('I t o u t p o i n t (!(' hi I r oi it i( ' i t ‘ s o n s la f o r n u ' :
) • • ■ ) ? Q'ri^ri
5^r2 Í • • • ) ) 1
6n bref X r i 0.-r[Xr)L(^S foiii-tioijs n,. satisfont à la coỉKÌitioii (le Lipsrhitz (laiis la boule A;. - \Xj.\ < fv, c. à. (1.
- n,.(VV)| <
c\x,-
- Yr\ p o mXj.Yr
G A , .2) il oxiste un Iioiiibre ^3 1 tel quo lf\s points [ . Y ; . , \ Xr\ < a . a r { X r ) ~ l i < Trn <
a, i X, - ) sont à rin to iio u r do ii, tandis quo Ifvs points [.Y,., |.Y,-| < a , a,.(A',.) <
.Vri) < ^0!it à ['(’xíériíMir (lo íỉ.
45
46 Vu Van K h u ô n g
I V ' s o i U i a i s . u n Ỉ K ' c o i i s i d ò i ( ' CI I K' ỉ c s ( l o n i i i i i i i ' s ( l u ĩ v p ( ' A /
o n l (lf‘s 11 ac<'S. C'i'St 1(‘
N o u s p o i i v o n s ( k ' n i o u t 1 Í ' 1 CỊ UC 1(' S V ( ' c l c u i ( 1 ( C O Ị I Í C M U I ( l u t l i ó o r ò i u r s u i v a i i t .
T h é o r è i n e 2.1. Soji íì e < n < / > - ! ■ Alors il existc tnic et ĩine scìỉk
t i H ỉ i S Í o n n c ì l ì o ỉ i l i n c ỉ i i r c et c o n í ì i i i i e z ( k
M
< Ị Ị - 1. Al o is ĩl existc l ỉ i i e e t ỉ i u e scnh
q j i ' o n ỉ ì i t
Z ( / / ) = / / , V í / ẽ ị e n ì ) ]
3 . T H E O R E M E D Í M M L R S I O X I ) K S O B O I . K X '
E n u í i l i s a n t 1(' S t l ì ( ' C ) r è i i i t ‘ s ( r i i n i i K ' i ' s i o n ( 1 ( ‘ S u ỉ ) o l ( ' \ ' ( c t . p a i ( ‘XÍ ' 111Ị ) 1( ' ( 5 j . [ 8 ] , [ 9 oi l p(Hit d é i i i o n s t í a c i l e i i i O i i t Ics t hcoK'iiu'iS .suivkĩit:
T h é o r è i i i e 3.1 . .Sưit i ì G 0 £ < /> ” 1- 1 ^ ợ < p
14 - 0
. O ì i ỉ ì ỉ d ( j ỉ s
c
A/
Noiis dirÌROOiis m a i n r c i i a n t u o t r e v e i s 1('S t h ó u r è i n c H criiiiDiersion d u t y p (
a>
c
qui juiu'ia un iulí‘ piiucÌỊml tlaiis Cí’ ( ị u i \ a stii\ ĩc ('11 a])Ị^u\aiii siir 1('S iiu'^aliti'S d(’ H a n l \
( c f . G . H . H a n l y . G . P o l v a [ G ] . c . M u z o x a i a [ 9 ] ) . O i l ( h ' - s i - i u ' p a r [ L ; , , / , ; , ( 0 ) ] - ' ^ r e s p a c c
des f o i i c r i o i i s v e c t e ur i( *l l( ' s . ( l o u t 1(M11S f o m p o s H u t s s o i i t (1(* Ị> ì ì i ú s s a n c í ' s o i u n i a b l e Sl u chaqiu^ compact cơntoĩiu (laus ii.
T l i é u r è i i u i 3 . 2 . Si^ií iií S'i t '. (/ c ‘ Ỉ ’ ^ ' “
1 r “ 1. M ' ( ( i v n v c r s Í Ì Ỉ Ỉ s c ỉ i s ( Ỉ C S ( l ị s t i ì ỉ ì i ì t ì O ỉ i s ì . Ỉ Ì Ì O Ì S ỈI G [ ỉ ^ p . n n > / > - 1 c . à . í / . II € Ị / . / , . - I Ị , ( ^ ) ] ‘^ ^ U f ' / í > 0 o s t ỉ ì ỉ ì í ị t i ỉ ì ỉ i c ì i i c i i t p e t i t . L c s ì ỉ t i i n e i s i o ì i s ( l ì i
c o n t i n u e s .
T h é o r è i n e 3.3. sòit íì 6 a < p - l On ã ãỉors M
c
M
ỉ < 1 < k.
4.
LES O P E R A T E Ư R S E L L IP T IQ U E S .
Oil c o i i s id ÒK' ( l a u s la s u i t ( ' M ơ p ó r a t p u r s d i ẩ ó m i t i o l s d(' l a forme
A'" ^ y
( - l ) l ’l D ' ( o ' j D ' ) - Ị/|.ỈH<^(4.1)
E s p a c e s W.2ÍL.\ 2{ ĩ ì ) e t p r o b l e m e , . ,
(
47
. 4 " 41A/ ^
^ 2 A /
. . .
\ A^>^ A ^ ’ -^ . . . A ^ ' ^ ' J
/ //' \ ií2
. . ,A/ ,
(4.2)
o ù i , j s o n t d e s v e c t e u r s i = ^ i n ì ^ i = , j n ) ^ v e c c o m p o s a n t s e n t i o r s ,
n o n Iiégativos
I / 1 = / 1+/-2 H- . I j I = 7 1 + J 2 + ■ - ■ + Jt> • 0 < |/| < Ẳ'. 0 < | j | < k, Ẳ- > l
0 ^' hi
(i“^ Hont cles fo iutio n s nipsuiablos, honiérs. O n fait C’o im sp o n d ip ail systèine (4.2) une forme bilinóairo de la foinie
( 4 . 3 )
O n c l i t q i u ’ l e s y s ĩ ò n i e ^ ( 4 . 2 ) e s t e l l i p t i q i i o p o u r l e p r o b l è n i e d ( ‘ D i r i c h l f ' t - P o i s s o n s i I ' o n a
\FỈ{^,^n)\ > G [D(i2)]-'^ . (4.4)
On a mainte'iiaiii le t hó o rè iu e siiivaiit. ciui a nil rol(‘ ii apoi ĩ ai i t Ị) o u i 1(' próseiit travail.
T h é o r è i n e 4.1. S u p p o s e qìie le svstèỉiỉC (4.2) soit cllipĩique. Le plus grãnd ỉỉitcivMỈỈe ( ui nvj t , tenué. s c i n i o i ì v e r t ) J des a < 1 teỉs (ị ì ị'ơ!ì ỉìit
\ Ỉ 3 ( Ụ \ ^ ) > r ( a ) | ^ M
M
V'
(4-5)
= l c s t liUìi v i d c
o ù I ’ e s Ị Ỉ I Ỉ Ì v v c t c ì ì i c o n v v n n h l o ỉ ì i c i i t c l i o i s i ( i c D{í ì ) , V í v - i / < Ì \ ] M — - —
et contỉcut ỉiỉi voisiỉiHge (le 0. Le pỊììs giỉìiiíỉ inteivrìlỊc ./* (lcs fv > ~1 tcls cỊỉíon iìỉt
V ' * ) | > c* (q) |v/p|j^ , . ) y ^ e [ D { n ) hỉ (4.6)
ơù V’* G coij\'eija/jJeiiiCijí chuỉsi, |ỉ/’* f ínMA/ — ^ coiitìent tin
1^2,- ư
v o ìs iiiã g e d c 0 . S i B ( ý \ = B { ^ . ự ’) ' i ì Ị Í J = - s u p . r . s u p .7 — “ i n f J * D e ĩ n o ĩ i s t r a t i o n : N o u s e s q i i i s s o n s d e d e m o n s t r a t i o n ;
O a p o s e ỉ / ’ = <pơ^\ o i l ơ o s t l a f o n c t i o i i a y a n t l ( \ s p r o p r i ó t ó s s u i v a i i t ( ' s ( i f. [8]) Cif){.r) < a { . r ) < C2f){.r)
Ớ l ' l ơ ( . r ) < c Ụ )
í a ( . r )
48 Vu Van K h u o n g on a
r _____
r . q - i Ị , | . | ; | < A '
=
/ z z
<>f! 0’ i ỵ c r ‘^ ) D ' { ự ' a ĩ ) , l r + Fị , . (■4.7)OÙ
Ỉ L == I a '" [ d '( ^ '. 't " ) D V ^ '' - D ' ( ự a ' i ) D > ( . p ^ ơ ‘i ) Jo ''
l « « l <
(L on a clénioiitiP CJU<>
I R . I < ! ' - l < ' k l í „ , ụ . | „ , | „ .
Ell vertu tréllìpticitó (lu systòiiu\ lo pioinier teriiie (111 second meiiibio dp (4.7) p e n t ètn*
apprécié coinniP sviito
En appuyaiit s u r le théorènio 3.3 on ( ' S t aiìKMió à
r
iné^alité:ipơ < — C ‘ > a
d ’où on obtiput
On a finalement
B { y \ ^ ) > (Cị - r i C 2 c> — (ỉ a )\^
> ■| ” a ' ia\]M
En posaiit |a | < c
oil obtient (4.5). La (lém onstration (4.6) est analogue si Ton C1C2 + (ì
posp ?/'* = Oil achèvc par lè la ( i é i i i o n s t r a tiori (lu théorèmp (4.1). ộ 5. P R O lỉL K M t: DE D IR IC IIL E T POISSO N
On désigne pau / é ta n t de W2~ a \ ũ )
Soit uq e
/ _ ■ X ì A/ r OíA'ì
m ị ( í ỉ ) Tcspaco clos vecíeiirs foiictionnellos sur u;.2 q (ỉ2) M M
. On écrit formellement f { v ) = { v , f ) . M
. P our u 6
z?(ỉ^ ỉ/) ^ ( i \ / ) . On dit que ti a les ĩtjẻmes valours froiitieres que Uo, si
ivị^liíì) on d i t Dn = / s i V t - G \ D{ n) M
u - ÌLO e
M
011 a (5.1)
(5.2)
í (h) 1
On (Jit qtie u G a(^ỉ) tósout le problèm e de Dírichlet-Poisson Du ^ / sur n , ÌI = Ỉ/Q sur dĩ ì si (5.1), (5.2) ont lieu. On a d ém o ntré le théorèm e suivant:
r ] A/
Espaces e t p r o b l e m e , , , 49
T h é o r è m e 5 .1 .
Soit
Í2 €Soit D ÌIII opérateur eỉỉiptiqìic,
0 < a < la e J
(J est rinteivãUe détenninée dans ìe théorèỉne
(4.1), '//0 € [u;.2^ c t f e wị~^'\íì) ^
Ị- , . . T M
Alois
iiexistc exãcteineiìt ìine solution u
G i(f^)du problème de Dirichỉet - Poissoiì
et r oil a
í i I .. Ấ/ < r
W.2 I » 0
+ 1 /
(5.3)Dé.nioĩistratiov:. La forme biliiiéaire (4.3) vóriíie toutes les coridiúons (lu thóorènir géiiéralisé de P.D. Lax ot de A.Milgrani (cf. pai exemple ([1])), si Ton pose
Hx ■=
Oil (. ) / / j , (. )n^ pai
M A/
v W / v -
(»,Í’) = 2 J / ) D 'v ’-D’n'p^\lx
r = i |,Ị<A.
D ’ơù. on o b tie n t une tia iis fo im a tio n lin é a iie f't co n tiin ie z de IỈ2 daiis Hị telle q u’011
ail B( i ’.ii) = (c, Z ( ») ) / / , . O il a Z{H>) = Hị . En soiont h G H\ ot /í/,. ^ }i dans H i . lỉị,- G [ D ( í 2 ) j ' . L a i o l u t i o i i i u ' l l c ( r . ///. ) / / , p(Mit ( ' t n ' p i o l o np , ó ( ' ('11 mi(' t b n c t i o i u i e l k ' HIU
(Í>2' \ ’(íỉ) En VIU' <1(' I'rllipticitf' (1(> ropciato-ui
D,
il ('xist(> un Vf'ctoul' foiic tioiiiH’l (cf.8 ) Í/A d i '
i r T \ n )
A/
„ £ > ( ( ! )
M
])0U1 Icqucl B( r . i n. ) = (<’, /íA-),/,. Oil a alons Z(//^.) lì. Du théon-mo (le Lax ('ĩ (lo
M i l ^ i a i i i Í'í d(' = / / ị 011 u n \ ’í ' c t ( ’iii //' G t('l q u ' o i i a i ĩ
B { r . í/’) — ( / ’./y) Ví' G
M
y e
M
« ’2.a
( “ )J
• Ol'l(/ = / -Eu posaiit II = » 0 + IV. oil ohtirnt I'l'xistancf' Pt I'unicitf' (1(> la solut ion. L(’ thóoròiiiP est (lónionstió. ộ
L IT T É R A T Ư R E
1. L . Nironbei-g. Remarks oil t.rangly elliptic partial differential équaíiuĩiv.s. V ol V I I K 1995), 649 - 675.
2. M . L . Visik. o ppivoj krajpvoj zada^ dla ellip tieskich éuia\-iiéii uij \’ Iiovoj fuiikcioualnoi poslanovsk, Doklady akadéri mil Nauk S S S R 107(1956). 781 - 784.
3. A. E. Sliislikov, E x i s t a n c í ' (1('S s o h i t i u n s (lu p r o h l ó u u ' (lf‘ D i r i c h h ' t - P o i s s o u (1(’S ('CỊiiatiuus HUX Ị)iuti<'llí‘s if|U('s. Al l . ) C C P . 1 ( 1 97 9 ) . 3 0 - 'M].
4. . s. CI. núcliluii. lÙỊUiitiovs ìiíìCdtrts au.r (Ịnn^érs ỊHỉvíirỉìrs. 1'íliĩioiKs Mil , Mosccnv 1977.
5. E . CỉaỊi,lolai(lo- P i o p i i ó í a di alaiiH' classi (li fuiijioiii iìi Ị)ià va i ia bi l i. Iỉu'ei'< ỉif (Ỉ!
Mat cni ni ioi i \ o \ , V I I (1958) , 102 - 137.
6. G. H. í ỉ a i đ v . J . E. L i t t!('W0 0(L G. P ó l v a . ỉ néíỊỉULỶiov 1934 .
7. .1. .]- L. Liuiis. Lcs (\s])act's (111 t v p í ‘ (1(‘ B ( ' p p o l t n i . A i ì ì i d h s (Ị( ư l u s h í n ỉ t F o u r w t r V ị 195:3 - 195-i). 305 - 370.
8. J . Ni'cas. Sui' uiìt' I i i r t h o d í ' Ị>uur i('‘soiulr<' Ics e q u a t i o n s aiix il('i ị\■('('^ i('lỉ('s (Ịi!
t v p p ('lliptiqiu' vuisiiK' (le la v a r i a t i o n n e l l e . A i i v . SỉiỊ). Pi.s(i 1 6 (ỈÍ)G2).
9. s . Mizocliata. Théorừ: (Irs e q u at i o ns au.r (iérhìée.H partrelles. Hditions Mir. Mo s co u I98Í)
T A P CHI KHOA HỌC ĐHQGHN, KH T N , t . x v , - 1999
K H O N G G I A N V À BÀI T O Á N D I R I C H L E T - P O I S S O N C H O HẸ C Á C P H Ư Ơ X C ; T R Ì N H Đ A O HÀ.M HIENCỈ E I . L I P T I C C’A P ' 2 K
V ũ V á n K h ư ơ ĩ i g
V7ệii Gim) thỏug \Vỉii t4i. c ăỉ/ Giiỉy, Tìĩ Liỏin. Hà Nội
Bài báo này yẽ tiìuli ỉ)ày mọt Ị)liưưuị; pliáj) (lo' giài bài toáii \)U*\i Diiichlct - Poissoii đói vứi hệ cùa các p h ư ư a g tih ih (lạo hàiH ri(Mig ìoaì (‘Hip hạc 2k.
Các tliiếĩ (lirực ỉuni la ữ clav tlurờii” i\ượi- sir (lụn^ tỉouj> Ịíhưưiiị^ pliáỊ) hiếu p h ả n . MÌPII đ ư ự c k h ả ọ sát (‘ó hioii L i p c l n t , fòii các- họ bố t r oi ì ^ cái- p h ư ơ n g t i ì n h đ ạ o h àu i
là giới Iiội và (lo (ìưực.
Ý t ư ò n g c hí a ỉ i v>ài h á o í l ã í l ự a v à o s ự m ờ r ọn« c ù a đ ị n h Iv P . D . La x. A. Milgr aiii ( x e i ì i L . N i n ; i i h o r f > [ 1 ] ) v à I i h ừ n ó t a c ó t h ố t i ố Ị ) c ạ n r a t í ^ ầ u v ớ i V t i r ờ i i ^ c ù a M . l . V L s l i i k .
òiig (lả giải q u y ế t hài t o á n tưưiiỊỉ,' r ự n h ư t o á n đ ặ t r a ờ (lay. Vì vạy. Sir l ồ n tại và <'ii\
n h ấ t ĩigliièin c ù a bài t o á n DirichlíH - p o i s s o n k li ỏ ug giaii [lì 2 a đ i r ự c c h i h i ^ minh.
5 0 Vu Van Khxíonq
