a) Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

Aplikasi penjumlahan bilangan bulat banyak ditemukan dalam aktivitas kehidupan atau dalam masalah nyata. Mari kita perhatikan ilustrasi berikut. Setiap hari Sabtu Widodo selalu mengikuti kegiatan ekstrakurikuler pramuka yang diadakan di lapangan sekolah. Pada saat latihan baris berbaris diperintahkan dari komandan regu: “Maju 3 langkah”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 3 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur 4 langkah”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh 4 langkah, demikian seterusnya. Secara matematis dapat ditulis mundur 4 langkah = -4, dan maju 3 langkah = 3.

Jika digambarkan dalam garis bilangan maka:

P

t

n

A

-4

A

b

n a

m -3 -2 mundu

A

d

a

t 0 -1 ur t n 1 2 maju

e

3 4 Gambar 2.6 Sketsa Maju-Mundur

Pemanfaatan pola bilangan lebih memudahkan kita untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan bulat yang cukup banyak. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.1

Tentukanlah hasil penjumlahan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 48 + 49 + 50 = …

Alternatif Penyelesaian

Diketahui 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 48 + 49 + 50

Kita bangun pola bilangan dengan menjumlahkan 1 dengan 49, 2 dengan 48 dan

seterusnya. Bilangan mana di antara bilangan 1 sampai 50, yang tidak punya pasangan sehingga jumlahnya 50?

1 + 49 = 50 2 + 48 = 50 3 + 47 = 50

dan seterusnya dapat siswa lanjutkan sehingga kita peroleh 25 buah bilangan 50 dan angka 25 adalah bilangan yang tidak punya pasangan.

50 + 50 + 50 + 50 + ... + 50 + 25 = 25 (50) + 25 = 1.250 + 25 = 1.275 Jadi hasil penjumlahan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 48 + 49 + 50 = 1.275

Beri kesempatan pada siswa untuk mencoba cara lain untuk menjumlahkan bilangan 1 sampai 50. Minta mereka membandingkan hasilnya dalam kelompok dan meminta salah satu kelompok untuk menyajikan hasil kerjanya di depan kelas. Ajak kelompok lain untuk mengkritisi hasil kerja kelompok penyaji dan ujilah kebenaran hasil kerja siswa.

Contoh 2.2

Tentukan hasil 7 + 8 + 9 + 10 + … + 56.

Alternatif Penyelesaian

Pola yang diperoleh dari penjumlahan 7 + 8 + 9 + 10 + … + 56, dapat dinyatakan

dalam bentuk

(6+1) + (6+2) + (6+3) + (6+4) + … + (6+50).

Ditanya: tentukan nilai p!

p = (6+1) + (6+2) + (6+3) + (6+4) + … + (6+50). = 6 × (50) + (1 + 2 + 3 + … + 50)

= 300 + 1275 (manfaatkan jawaban soal contoh 2.1 di atas)

p = (6+1) + (6+2) + (6+3) + (6+4) + … + (6+50) = 300 + 1.275 = 1.575. Jadi 7 + 8 + 9 + 10 + … + 56 = 1.575.

Aplikasi penjumlahan bilangan bulat banyak ditemukan dalam aktivitas kehidupan atau dalam masalah nyata. Mari kita perhatikan ilustrasi berikut.

Sebuah pesawat Garuda, mula-mula terbang pada ketinggian 3.000 kaki di atas permukaan laut, karena gumpalan awan dekat maka pesawat terbang naik sampai ketinggian

7.000 kaki. Coba tentukan kenaikan

posisi pesawat dengan penjumlahan bilangan bulat!

Masalah-2.1

Gambar 2.6: Pesawat Terbang

Alternatif Penyelesaian

Ketinggian pesawat mula-mula 3.000 kaki.

Ketinggian akhir pesawat 7.000 kaki.

Kita peroleh persamaan : 3000 + t = 7000 t = 4000

Penjumlahan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8

3 + t = 7 ; t = 4

3 ^t

Berarti kenaikan pesawat dari posisi semula adalah 4.000 kaki.

Permasalahan menentukan nilai t dapat dibantu dengan garis bilangan dengan mengambil 1 skala = 1.000 kaki.

Arahkan siswa menentukan hasil penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif atau sebaliknya dengan menggunakan garis bilangan. Gunakan pengetahuan yang dimiliki siswa terkait penjumlahan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif untuk meyakini kebenaran hasil penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif dengan mencermati pola dari hasil pengurangan bilangan bulat.

Perhatikan Masalah-2.2, Masalah-2.3 dan Masalah-2.4 untuk menentukan hasil penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif, serta penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif.

Harga satu 1 kg alpukat satu bulan

yang lalu Rp6.000,00. Karena musim

alpukat, harganya turun dipasaran hingga Rp2.000 ,00 per kg. Coba tentukan harga penurunan alpukat dengan penjumlahan bilangan bulat

Masalah-2.2

Gambar 2.7: Alpukat

Harga alpukat mula-mula Rp.. Harga alpukat setelah turun Rp...

Misalkan p penurunan harga 1 kg alpukat Kita peroleh persamaan: 6000 + p = 2000 p = - 4000

Berarti harga alpukat turun Rp4.000,00 per kg.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 + p = 2 ; p = - 4

6

p

Penjumlahan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif

Pada kedalaman 180 m, kapal selam harus naik ke permukaan 90 m,

karena ditemukan batu karang yang besar. Di mana posisi kapal selam setelah naik? Coba anda selesaikan sendiri. Lihat garis bilangan di bawah untuk membantu siswa!

Penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat positif

-240 -180 -120 -60 0 -180 + 90 = h;h = -90

90

-180 ^h

Perhatikan masalah 2.4 berikut!

Sebuah kapal selam, mula-mula menyelam 120 m di bawah permukaan laut, kemudian kapal

bergerak ke bawah sejauh 60

m. Coba nyatakan posisi kapal selam dari permukaan laut dengan penjumlahan bilangan bulat!

Masalah-2.4

Gambar 2.7 Kapal Selam

Alternatif Penyelesaian

Posisi mula-mula kapal selam 120 m di bawah permukaan laut.

Bergerak ke bawah 60 m dari posisi semula.

Misalkan posisi akhir kapal selam di bawah permukaan laut adalah h.

Kita peroleh persamaan : –120 + (–60) = h, maka h = -180

Berarti kapal selam telah berada pada posisi 180 m di bawah permukaan laut.

Permasalahan menentukan nilai h dapat dibantu dengan garis bilangan. Lihat gambar garis bilangan di bawah ini.

Penjumlahan bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif

-240 -180 -120 -60 0 -120 + (-60) = h ; h = -180

-60

h ^-120

Sekarang mari kita perhatikan pola penjumlahan bilangan di bawah ini. Cermati hal berikut ini dan isilah titik-titik yang tersedia! Apakah ada sifat penjumlahan bilangan bulat yang siswa tarik dari pola tersebut?

Tabel 2.1 Penambahan Bagian I Bagian II

5 + 4 = 9 –5 + 4 = –1

5 + 3 = 8 –5 + 3 = –2

5 + 2 = 7 –5 + 2 = –3

5 + 1 = 6 –5 + 1 = - 4

5 + 0 = 5 – 5 + 0 = –5

5 + (–1) = 4 = 5 – 1 –5 + (–1) = –6 = –5 – 1

5 + (–2) = 3 = 5 – 2 –5 + (–2) = –7 = –5 – 2

5 + (–3) = 2 = 5 – 3 –5 + (–3) = … = –5 + …

5 + (–4) = 1 = 5 – 4 –5 + (–4) = … = –5 + …

Pak Agum memiliki usaha penjualan ayam potong di pasar. Pada bulan pertama ia mendapat untung 4 juta rupiah, bulan kedua

mengalami kerugian sebesar 6 juta rupiah. Pada bulan ketiga dan

keempat, hasil penjualan Pak Agum mengalami kerugian sebesar 2 juta rupiah dan 3 juta rupiah.

a. Apakah Pak Agum mengalami untung atau rugi dari hasil penjualan pada bulan pertama dan kedua?

b. Hitunglah total kerugian Pak Agum untuk bulan ketiga dan keempat?

Masalah-2.5

Alternatif Penyelesaian

a. Pak Agum memperoleh untung dari hasil penjualan ayam pada bulan I sebesar

4 juta rupiah dan mengalami kerugian pada bulan ke-II sebesar 6 juta rupiah.

Dalam perhitungan untung dan rugi dari hasil penjualan, kita menggunakan tanda negatif ketika mengalami kerugian dan tanda positif ketika mengalami keuntungan. Jadi untuk mengetahui apakah Pak Agum memperoleh keuntungan atau kerugian dari hasil penjualan ayamnya, kita jumlahkan hasil keuntungan dan kerugian yang diperoleh sebagai berikut.

Untung = 4 juta Rugi = 6 juta

Untung + Rugi = 4 + (-6) = ….

mari kita selesaikan menggunakan garis bilangan:

Langkah-langkah:

1. Ambil titik nol sebagai titik acuan kemudian bergeraklah (arah kanan dari titik nol) menuju ke titik 4.

2. Karena bilangan 4 dijumlahkan dengan bilangan bulat negatif 6 maka mundurlah ke kiri sebanyak 6 satuan dari titik 4..

3. Pandanglah titik acuan hingga ke titik berhenti setelah mudur sebanyak 6

satuan.

6 satuan.

4. Dari gambar di atas, hasil penjumlahan 4 + (-6) = -2. Den

0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 4

mundur 6 satuan

5

4. Dari gambar di atas, hasil penjumlahan 4 + (-6) = -2. Dengan demikian dari

hasil penjualan ayam pada bulan I dan II, Pak Agum mengalami kerugian sebesar 2 juta rupiah.

Mari kita coba menentukan hasil penjumlahan 4 + (-6) dengan melihat pola

hasil penjumlahan bilangan bulat sebagai berikut.

4 + 2 = 6 4 + (-3) = 1

4 + 1 = 5 4 + (-4) = 0

4 + 0 = 4 4 + (-5) = -1

4 + (-1) = 3 4 + (-6) = -2

4 + (-2) = 2 Jadi 4 + (-6) = -2

b. Penjualan ayam Pak Agum mengalami kerugian pada bulan ke-III sebesar 2 juta rupiah, dan kerugian pada bulan ke-IV adalah 3 juta rupiah, maka total kerugian Pak Agum pada bulan ke III dan IV menjadi:

(-2) + (-3) = …

Dengan langkah-langkah yang sama dapat kita peroleh hasil (-2) + (-3)

1. Ambil titik nol sebagai titik acuan kemudian bergeraklah ketitik -2

2. Karena operasi penjumlahan bertanda negatif maka mundurlah sebanyak 3 satuan.

3. Pandanglah titik acuan hingga ke titik berhenti setelah mundur sebanyak 3 satuan. Hal ini dapat digambarkan dalam garis bilangan:

mundur 3 satuan

-1 0 1 2

-5 -4 -3 -2 3

-5

Dari gambar diperoleh (-2) + (-3) = -5

Arahkan siswa menentukan hasil penjumlahan bilangan bulat negatif dengan melihat pola. Gunakan pengetahuan yang dimiliki siswa terkait penjumlahan bilangan bulat positif untuk meyakini kebenaran hasil penjumlahan bilangan bulat negatif dengan mencermati pola dari hasil pengurangan bilangan bulat.

Coba perhatikan cara menentukan(-2) + (-3) dengan pola hasil penjumlahan bilangan

berikut. 2 + 3 = 5 -2 + 2 = 0 1 + 3 = 4 -2 + 1 = -1 0 + 3 = 3 -2 + (0) = -2 -1 + 3 = 2 -2 + (-1) = -3 -2 + 3 = 1 -2 + (-2) = -4 -3 + 3 = 0 -2 + (-3) = -5

Dari pola di tersebut dapat kita tuliskan:

• Pola yang tampak pada hasil penjumlahan dua bilangan di atas adalah “berkurang 1”

• Jika kedua bilangan bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif), maka jumlahkan lebih dahulu kedua bilangan tersebut kemudian kembalikan tanda pada hasilnya.

– 2 + 3 = 5

• Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memperhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

– -45 + 30 = - (40 - 35) = -5

– 75 - 125= - (125 - 75) = -50

Aplikasi pengurangan bilangan bulat banyak ditemukan dalam aktivitas kehidupan atau dalam masalah kehidupan sehari-hari. Mari kita cermati ilustrasi berikut.

Seekor katak mula-mula di titik 0. Katak itu dapat melompat ke kiri atau ke kanan. Sekali melompat jauhnya 4 satuan. Jika katak melompat dua kali ke kanan, kemudian 3 kali ke kiri, maka katak itu sampai di titik...

Masalah-2.6

Gambar 2.9: Katak Melompat

Alternatif Penyelesaian

Katak berangkat dari titik nol.

Karena satu kali lompat, katak berada pada 4 satuan maka untuk dua kali melompat ke kanan, katak berada pada titik (2 × 4 = 8).

Kemudian katak melompat 3 kali arah kiri dari titik 8, maka katak berada pada titik (8 – (3 × 4) = 8 – 12 = - 4).

Untuk lebih memahami perhatikan garis bilangan berikut.

Pengurangan bilangan positif dan bilangan negatif -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 12 n 8 - 12 = n; n = -4 9 Edward ingin membuat katrol timba

air. Ketinggian katrol di atas permu-kaan tanah 2 m dan permupermu-kaan air 3 m di bawah permukaan tanah. Bera-pa Bera-panjang tali dari permukaan air ke katrol?

Masalah-2.7

Air sumur

Permukaan tanah