Untuk merayakan HUT RI ke-68, sekolah SMP Tunas Bangsa berencana
mengundang sebuah grup band untuk mengisi acara tersebut. Guru seni musik yang diberi tugas memilih grup band yang akan diundang ingin mengetahui grup band favorit siswanya. Guru seni musik tersebut bertanya kepada 4 orang siswa secara acak yaitu Mendro, Lia, Susi, dan Tono. Jawaban keempat siswa itu adalah: grup band favorit Mendro adalah Ungu, Noah, Slank, dan ST 12. Grup band favorit Lia adalah: Noah, Ungu, dan Setia. Grup band favorit Susi adalah: ST 12, Noah, Slank, dan Ungu. Grup band favorit Tono adalah Slank, Noah, dan Ungu.
(1) Jika grup band favorit keempat siswa itu merupakan himpunan,
sebutkanlah masing-masing anggotanya!
(2) Apakah himpunan grup band favorit Mendro sama dengan Lia? (3) Apakah himpunan grup band favorit Mendro sama dengan Susi? (4) Apakah himpunan grup band favorit Lia sama dengan Tono?
Masalah -1.10
Alternatif Penyelesaian
Misalkan : himpunan grup band favorit Mendro adalah M
himpunan grup band favorit Lia adalah L
himpunan grup band favorit Susi adalah S
himpunan grup band favorit Tono adalah T
1) Himpunan grup band favorit keempat siswa tersebut adalah
M = {Ungu, Noah, Slank, ST 12}
S = {ST 12, Noah, Slank, Ungu}
T = {Slank, Noah dan Ungu}
2) Untuk memeriksa apakah himpunan grup band favorit Mendro sama dengan Lia, kita lakukan dua hal yaitu:
● Memeriksa apakah banyak anggota kedua himpunan itu sama atau tidak.
● Jika banyak anggotanya sama, maka kita periksa apakah semua anggotanya sama atau tidak, jika banyak anggotanya berbeda tentu kedua himpunan itu berbeda
Pemeriksaan kesamaan dua anggota himpunan tersebut kita lakukan sebagai
berikut.
● Perhatikan kembali himpunan M dan L, jelas bahwa banyak anggotanya
berbeda. Himpunan M anggotanya 4 buah dan L anggotanya 3 buah.
● Karena banyak anggotanya berbeda maka tentu kedua himpunan itu tidak sama (berbeda).
3) Untuk memeriksa apakah himpunan grup band favorit Mendro sama dengan Susi kita lakukan seperti pada point (2).
● Perhatikan himpunan M dan S, banyak anggota M adalah 4 dan banyak
anggota S adalah 4. Kedua himpunan ini memiliki banyak anggota yang sama.
● Karena banyak anggotanya sama, maka kita periksa setiap anggota M dan anggota himpunan S apakah sama atau tidak, pemeriksaannya kita lakukan sebagai berikut.
– Ambil anggota pertama dari himpunan M yaitu Ungu, sisa anggotanya adalah:
M = {Noah, Slank, ST 12}, ternyata Ungu juga ada di himpunan S.
– Ambil anggota kedua dari himpunan M yaitu Noah, sisa anggotanya adalah:
– Ambil anggota ketiga dari himpunan M yaitu Slank, sisa anggotanya adalah:
M = {ST 12}, ternyata Slank juga ada di himpunan S.
– Ambil anggota keempat dari himpunan M yaitu ST 12, sisa anggotanya adalah:
M = { }, ternyata ST 12 juga ada di himpunan S.
● Karena banyak anggota M sama dengan banyak anggota S dan
anggota-anggota himpunan M sama dengan anggota-anggota himpunan S maka dikatakan bahwa himpunan M sama dengan himpunan S.
Sebagai latihan siswa, minta untuk menyelesaikan permasalahan berikut!
Periksa apaah himpunan grup band favorit Lia sama dengan Tono?
Latihan
Contoh 1.10
Diketahui himpunan A = {h,a,r,u,m} dan B = {m,u,r,a,h}.
a. Selidiki apakah A⊂B benar? b. Selidiki apakah B⊂A benar?
c. Perhatikan anggota himpunan A dan B, kesimpulan apa yang bisa kamu
temukan?
Alternatif Penyelesaian
a. Untuk menyelediki apakah A ⊂ B, maka kita periksa apakah setiap anggota himpunan A ada pada anggota himpunan B.
r ∈ A → r ∈ B u ∈ A → u ∈ B m ∈ A → m ∈ B
Karena semua anggota himpunan A ada di himpunan B maka A ⊂ B.
b. Untuk menyelidiki apakah B ⊂ A, maka kita periksa apakah setiap anggota himpunan B apakah ada pada anggota himpunan A. Silahkan coba sendiri!
Karena semua anggota himpunan B ada di himpunan A maka B⊂A.
c. Jika kita perhatikan anggota himpunan A dan himpunan B, maka kita sebut bahwa anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B. Apakah kamu
sepakat? Dengan cara yang lain silahkan buktikan sendiri dengan berdiskusi
bersama teman.
Sebagai latihan siswa:
Diketahui himpunan P = {1, 2, 3} dan Q = {1, 3, 2}. Selidiki apakah P ⊂ Q
dan Q ⊂ P. Apa yang bisa kamu simpulkan?
Latihan
Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.10 dan hasil pekerjaan kamu
pada soal di atas, kita peroleh definisi dua himpunan yang sama sebagai berikut.
Definisi 1.5
Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A⊂B dan B ⊂A, dilambangkan dengan A = B.
Sebagai latihan siswa:
Misalkan A = {a, b, c, d}, B = { c, b, a, d}, dan C ={ a, b, b, a, c, d}.
Apakah ketiga himpunan itu sama? Selesaikanlah dengan berdiskusi bersama temanmu.
Latihan
Setelah proses diagnosis terhadap empat orang pasien, seorang dokter memberikan kesimpulan bahwa keempat orang pasien itu sedang menderita komplikasi penyakit. Organ tubuh Budi yang terkena penyakit adalah jantung,
ginjal, dan hati. Organ tubuh Fendoni yang terkena penyakit adalah tulang, paru-paru, dan jantung. Organ tubuh Mukhlis yang terkena penyakit adalah
usus buntu, hati, tulang, dan jantung. Organ tubuh Andi yang terkena penyakit
adalah paru-paru tulang, dan jantung.
(1) Jika organ tubuh yang terkena penyakit keempat orang itu merupakan
himpunan, sebutkanlah anggota himpunannya!
(2) Selidiki apakah banyak anggota keempat himpunan itu sama atau
tidak!
Masalah -1.11
Alternatif Penyelesaian
Misalkan : B adalah himpunan organ tubuh Budi yang terkena penyakit
F adalah himpunan organ tubuh Fendoni yang terkena penyakit
M adalah himpunan organ tubuh Mukhlis yang terkena penyakit A adalah himpunan organ tubuh Andi yang terkena penyakit
1) Anggota keempat himpunan itu adalah:
B = {jantung, ginjal, hati}
F = {tulang, paru-paru, jantung}
M = {usus buntu, hati, tulang, jantung}
A = {paru-paru tulang, jantung}
2) Untuk menyelidiki apakah banyak anggota keempat himpunan itu sama atau tidak, maka akan kita selidiki: (i) n(B) = n(F)?; (ii) n(B) = n(M)?; (iii) n(B) = n(A); (iv) n(F) = n(M)?; (v) n(F) = n(A)?; (vi) n(M) = n(A)?
(i) n(B) = n(F)
Untuk menyelidiki apakah n(B) = n(F), cukup dengan membandingkan apakah banyak anggota himpunan B sama dengan banyak anggota himpunan
F. Jika n(B) = n(F) maka dikatakan bahwa himpunan B dengan himpunan F.
Sebagai latihan siswa, selesaikanlah permasalahan berikut!
Dengan cara yang sama dengan point 2.(i) di atas, selidikilah banyak anggota yang lain!
Latihan
Untuk menentukan apakah dua himpunan A dan B sama atau tidak, kita dapat merancang prosedur sistematis sebagai berikut.
1. Bandingkan banyak anggota himpunan A dengan banyak anggota himpunan B!
Apakah banyak anggota himpunan A sama dengan banyak anggota himpunan
B?
2. Jika Ya, lakukan kegiatan berikut!
● Ambil elemen pertama dari himpunan A, bandingkan dengan semua elemen di himpunan B. Apabila ada yang sama dengan elemen di himpunan B, hapus elemen tersebut dari himpunan A dan himpunan B.
● Ambil elemen kedua, ketiga, dan seterusnya dari himpunan A, ulangi hal yang sama.
● Bila setelah semua elemen himpunan A diproses ternyata A dan B adalah himpunan kosong, maka A = B.
● Bila ada anggota himpunan A yang tidak sama dengan anggota himpunan
B, proses berhenti yang berarti bahwa himpunan A tidak sama dengan himpunan B.
3. Jika banyak anggota himpunan A tidak sama dengan banyak anggota himpunan
B, berarti himpunan A tidak sama dengan himpunan B.
Prosedur baku dan detil semacam ini sering disebut algoritma. Algoritma sangat
penting karena dengan algoritma proses penyelesaian masalah dapat dikomputerisasi sehingga masalah dapat diselesaikan dengan bantuan komputer. Bayangkan bila kamu harus menentukan kesamaan dua himpunan yang anggotanya ribuan. Tentunya
akan memakan waktu berhari-hari untuk menyelesaikannya dengan pensil dan kertas. Dengan komputer, masalah yang sama akan dapat diselesaikan dalam hitungan detik.
Sekarang kita coba prosedur tersebut pada contoh 1.10 di atas.
1. Ambil elemen pertama dari A, yaitu m. Apakah ada yang sama dengan elemen di B? Ada. Hapus m dari A dan B, sehingga A = {u,r,a,h}, B = {h,a,r,u}.
2. Ambil elemen kedua dari A, yaitu u. Apakah ada yang sama dengan elemen di
B? Ada. Hapus u dari A dan B, sehingga A={r,a,h}, B={h,a,r}.
3. Ambil elemen ketiga dari A, yaitu r. Apakah ada yang sama dengan elemen di
B? Ada. Hapus r dari A dan B, sehingga A={a,h}, B={h,a}.
4. Ambil elemen keempat dari A, yaitu a. Apakah ada yang sama dengan elemen di
B? Ada. Hapus a dari A dan B, sehingga A={h}, B={h}.
5. Ambil elemen kelima dari A, yaitu h. Apakah ada yang sama dengan elemen di
B? Ada. Hapus h dari A dan B, sehingga A= { }, B = { }.
6. Ternyata akhirnya A dan B adalah himpunan kosong sehingga A = B.
Perhatikan berapa langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan prosedur ini pada
contoh di atas? Secara umum, banyaknya langkah sama dengan bilangan kardinal
terkecil dari kedua himpunan yang dicek kesamaannya. Buktikan!
Pada tiap langkah diperlukan sejumlah perbandingan. Berapa banyak perbandingan
yang harus dilakukan pada tiap langkah?
Bandingkan prosedur di atas dengan prosedur yang dipakai pada Masalah
1.10. Mana yang lebih baik? Minta siswa menjelaskan disertai alasannya!