b) Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
1) Perkalian Bilangan Bulat
11. Diberikan 3 utas tali, tali I memiliki
ukuran 86 m, tali II memilki ukuran
32 m, tali III berukuran 44 m. Jika kita sambung tali I, tali II, dan tali III, berapakah panjang tali keseluruhan! 0 0 32 86 0 44 Gambar-2.12: Utas TaliGambar-2.12: Utas Tali
i) Coba sambung tali II dengan tali III. Kemudian sambung tali I dengan hasil sambungan tali II dan tali III. Catat berapa panjang tali keseluruhannya! ii) Coba sambung tali I dan tali II.
Kemudian hasil sambungan tali I dan tali II, sambung dengan tali III. Catat berapa panjang tali keseluruhannya! iii) Misalkan panjang tali I adalah
a, panjang tali II adalah b
dan panjang tali III adalah c. Apakah a + (b + c) = (a + b)
+ c?
12. Jelaskan arti pengurangan dengan bilangan negatif berikut dan hitunglah:
a. 2-(-3) =
b. 4-(-6) =
b) Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
1) Perkalian Bilangan Bulat
Apakah ada hubungan operasi perkalian dengan operasi penjumlahan dan apakah ada hubungan operasi pembagian dengan operasi pengurangan? Mari kita temukan konsep perkalian dari konsep penjumlahan dengan memecahkan masalah nyata.
Satu batang tebu memiliki 15 ruas dengan panjang yang sama. Se-tiap satu ruas panjangnya 20 cm. Berapa meter panjang batang tebu tersebut?
Alternatif Penyelesaian
Diketahui banyak ruas tebu adalah 15 ruas Panjang satu ruas tebu adalah 20 cm Misalkan panjang tebu adalah x x = 15 × 20 = 300 cm.
1 m = 100 cm, maka 300 cm = 3 m. Jadi panjang tebu adalah 3 m.
Ingatkan kembali pada siswa tentang materi pengukuran yang dipelajari di Sekolah Dasar, bagaimana mengubah satuan pengukuran dari centi meter ke meter.
Hana sedang sakit flu berat dan diberi obat oleh dokter. Untuk antibiotik
3×1 sehari dan paracetamol 3×2 sehari. Berapa banyak obat yang dimakan Hana dalam 3 hari?
Masalah-2.12
Alternatif Penyelesaian
Untuk obat antibiotik banyak obat yang diminum dalam sehari yakni pagi, siang, dan
malam satu tablet, maka obat yang diminum adalah:
3 × 1 berarti: 1 tablet diminum pagi hari, 1 tablet tablet diminum siang hari, dan 1 tablet diminum malam hari.
Maka banyak obat antibiotik yang dimakan Hana adalah 3 tablet.
Dapat ditulis menjadi: 3 × 1 = 1 + 1 + 1 = 3. Untuk obat paracetamol:
Dapat ditulis menjadi : 3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6.
Banyak obat paracetamol yang diminum Hana dalam sehari adalah 9 tablet, sehingga untuk 3 hari ke depan, Hana meminum obat paracetamol sebanyak:
9 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27 tablet.
Definisi 2.1
Misalkan a, b bilangan bulat positif.
a. Perkalian bilangan a dan b adalah penjumlahan berulang bilangan b
sebanyak a suku, dapat ditulis .
b. Perkalian bilangan b dan a adalah penjumlahan berulang bilangan a
sebanyak b suku, dapat ditulis
Perhatikan beberapa contoh berikut!
Contoh 2.7
1) 4 × (-9) = (-9) + (-9) + (-9) + (-9) = -36 2) 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24
Selain Contoh 2.7, perhatikan pola hasil perkalian dua bilangan bulat di bawah ini.
Bagian I Bagian II
2 × 6 = 12 6 × 2 = 12
2 × 5 = 10 5 × 2 = 10
2 × 4 = 8 4 × 2 = 8
2 × 3 = 6 3 × 2 = 6
2 × 2 = 4 2 × 2 = 4
2 × 1 = 2 1 × 2 = 2
× = + + + + × = + + + + a b b b b b b a a a a a ... ... a sebanyak suku × = + + + + b a a a a ... a b sebanyak suku2 × 0 = 0 0 × 2 = 0
2 × (-1) = -2 (–1) × 2 = –2
2 × (-2) = -4 (–2) × 2 = –4
2 × (-3) = … (–3) × 2 = …
2 × (-4) = … (–4) × 2 = …
2 × (-5) = ... (–5) × 2 = …
Pada bagian I, dengan menggunakan pola hasil kali dua bilangan bulat positif, membantu kita menemukan pola hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Sedangkan pada bagian II, penerapan pola hasil kali dua bilangan bulat positif, mengarahkan kita menemukan pola hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif.
Berdasarkan data pada tabel di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini agar siswa dapat melihat beberapa pola yang terjadi sehingga melahirkan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat.
• Pada tabel bagian I dan II, perhatikan hasil kali yang diberikan, naik atau turun? Ada berapa selisihnya?
• Pada tabel bagian I, hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah ....
• Pada tabel bagian II, hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah ....
• Bagaimana hasil kali pada bagian I dan II, apakah sama? coba pikirkan sifat apa yang terjadi?
Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan negatif dan hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif juga menghasilkan bilangan negatif. Perhatikan sifat berikut.
Sifat -2.6
a). Jika a bilangan bulat positif dan b bilangan bulat negatif, maka a × (-b) = - (ab).
b). Jika a bilangan bulat negatif dan b bilangan bulat positif, maka
Selanjutnya, cermati perkalian dua bilangan bulat berikut.
Bagian III Bagian IV
2 × (–4) = –8 (–4) × 2 = –8 1 × (–4) = –4 (–4) × 1 = –4 0 × (–4) = 0 (–4) × 0 = 0 (–1) × (–4) = 4 (–4) × (–1) = 4 (–2) × (–4) = 8 (–4) × (–2) = 8 (–3) × (–4) = 12 (–4) × (–3) = 12 (–4) × (–4) = 16 (–4) × (–4) = 16 (–5) × (–4) = 20 (–4) × (–5) = 20 (–6) × (–4) = 24 (–4) × (–6) = 24
Bagian III, menunjukkan hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan negatif dan hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, dapat digunakan untuk menunjukkan pola hasil kali bilangan bulat negatif dengan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.
Berdasarkan data pada tabel di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini agar siswa dapat melihat beberapa pola yang terjadi sehingga melahirkan sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan bulat.
• Pada tabel bagian III dan IV, perhatikan hasil kali yang diberikan, naik atau turun? Ada berapa selisihnya?
• Pada tabel bagian III dan IV, hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah .…
• Bagaimana hasil kali pada bagian III dan IV, apakah sama? coba pikirkan sifat apa yang terjadi?
• Perhatikan tabel bagian I, II, III, dan IV, hasil kali bilangan 0 dan bilangan bulat lainnya adalah ....Hasil kali bilangan 1 dengan bilangan bulat lainnya adalah ....
Sifat -2.7
Jika a bilangan bulat negatif dan b bilangan bulat negatif, maka (-a) × (-b) = a.b.
Berdasarkan Definisi-2.1, sifat 2.6 dan sifat 2.7, ditemukan bahwa hasil kali dua
bilangan bulat selalu merupakan bilangan bulat, seperti disajikan pada sifat berikut ini.
Sifat -2.8
Himpunan Bilangan Bulat bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, artinya hasil perkalian dua atau lebih bilangan bulat pasti hasilnya bilangan bulat. Ditulis a × b = c, dengan a, b, dan
c bilangan-bilangan bulat.
Untuk melengkapi Sifat 2.5, 2.6. dan 2.7, berikut ini diberikan sifat-sifat lain yang
muncul dalam perkalian dua bilangan bulat.
Sifat -2.9
Beberapa sifat hasil operasi perkalian pada bilangan bulat 1. Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 0 (nol) hasilnya nol. 2. Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 1 hasilnya bilangan bulat
itu sendiri.
3. Bilangan bulat positif dikalikan dengan bilangan bulat positif
hasilnya bilangan bulat positif dapat ditulis ( + × + = + ). 4. Bilangan bulat positif dikalikan dengan bilangan bulat negatif
hasilnya bilangan bulat negatif, dapat ditulis ( + × – = – ). 5. Bilangan bulat negatif dikalikan dengan bilangan bulat positif
hasilnya bilangan bulat negatif dapat ditulis ( – × + = – ).
6. Bilangan bulat negatif dikalikan dengan bilangan bulat negatif
Matematika 131
Arahkan siswa menemukan sifat-sifat yang dimiliki bilangan bulat terhadap operasi perkalian melalui pemecahan masalah dan contoh-contoh soal. Minta siswa memecahkan masalah berikut dan menyajikan hasilnya di depan kelas serta menguji pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan beserta alasan-alasan logis dari suatu pernyataan.
Pekerjaan Amin dan Surya adalah buruh tukang bangunan. Mereka berdua sedang memasang ubin di suatu rumah. Hasil pemasangannya dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Berapakah ubin yang terpasang oleh Amin dan Surya?
Masalah-2.13
Gambar 2.12: Pemasangan Ubin Gambar-2.12a
Hasil Pemasangan Surya Hasil Pemasangan Amin
× r Gambar-2.12b × r Gambar-2.12b
Buku Guru Kelas VII SMP/MTs
132
Alternatif Penyelesaian
Banyak ubin hasil pemasangan Amin dapat dinyatakan hasil perkalian bilangan cacah, cermati hal berikut.
Gambar 2.12: Pemasangan Ubin Amin
×
×
Hasil Pemasangan Amin Hasil Pemasangan Amin × × Diuraikan Menurut Kolom
Perhatikan di atas, banyaknya ubin hasil pemasangan Amin adalah
8 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48
Gambar 2.13: Pemasangan Ubin Amin
×
Hasil Pemasangan Amin
Diuraikan Menurut
Baris
Hasil Pemasangan Amin