Pertanyaan Kritis
6. RELASI HIMPUNAN
Organisasikan siswa belajar berbagai aturan terkait relasi himpunan. Ajukan
masalah-masalah sebagai bahan inspirasi penemuan aturan relasi himpunan. beri kesempatan kepada siswa bertanya dan mengajukan ide-ide dalam pemecahan
masalah dan arahkan siswa bekerjasama dalam kelompok untuk memecah masalah.
a. Menemukan Konsep Himpunan Bagian
Guru bertanya kepada siswa apakah kamu bagian dari siswa kelas VII SMP?
Bagaimana dengan seluruh temannya satu kelas, apakah mereka juga bagian dari
siswa kelas VII SMP? Untuk menemukan konsep himpunan bagian, selesaikanlah
masalah berikut.
Masalah -1.7
Seluruh siswa kelas VII SMP Panca
Karya berjumlah 40 orang. Jika A adalah
himpunan siswa laki-laki yang terdiri 25 orang,
B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah
himpunan siswa laki-laki yang gemar olah raga
bola kaki, D adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, E adalah himpunan siswa
yang bercita-cita jadi dokter, S adalah himpunan
seluruh siswa kelas VII.
(1) Apakah anggota-anggota himpunan A
merupakan anggota himpunan S?
(2) Apakah anggota-anggota himpunan B merupakan
anggota S?
(3) Apakah anggota-anggota himpunan C merupakan
anggota A?
(4) Apakah anggota-anggota himpunan C merupakan
anggota himpunan S?
(5) Apakah setiap anggota himpunan D merupakan anggota himpunan B?
Gambar 1.10. Kelas VII SMP Panca Karya
Alternatif Penyelesaian
(1) Setiap siswa laki-laki merupakan anggota himpunan siswa kelas VII atau setiap
anggota himpunan A merupakan himpunan S. Hal ini berarti juga bahwa siswa
laki-laki merupakan bagian dari seluruh siswa kelas VII atau himpunan siswa laki-laki merupakan himpunan bagian dari himpunan siswa kelas VII.
(2) Setiap siswa perempuan merupakan anggota himpunan siswa kelas VII atau
seluruh anggota himpunan B merupakan anggota himpunan S. Hal ini berarti
juga bahwa siswa perempuan bagian dari seluruh siswa kelas VII atau himpunan siswa perempuan merupakan himpunan bagian dari himpunan siswa kelas VII. (3) Seluruh siswa laki-laki yang gemar olahraga bola kaki merupakan anggota
himpunan siswa laki-laki atau seluruh anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B. Hal ini berarti Himpunan C adalah bagian dari himpunan B.
(4) Seluruh siswa laki-laki yang gemar olahraga bola kaki merupakan anggota himpunan siswa kelas VII atau
seluruh anggota himpunan C
ada di himpunan S. Hal ini
berarti himpunan siswa laki-laki
yang gemar olahraga bola kaki merupakan himpunan bagian dari
seluruh siswa kelas VII.
(5) Seluruh siswa perempuan yang
gemar menari ada pada anggota himpunan siswa perempuan atau seluruh anggota himpunan
D merupakan himpunan B. Hal ini berarti juga bahwa siswa
perempuan yang gemar menari bagian dari himpunan siswa perempuan atau himpunan siswa perempuan yang gemar menari merupakan himpunan bagian
dari himpunan siswa perempuan kelas VII.
Gambar 1.12. Diagram Venn Himpunan A dan B
Contoh 1.7
Perhatikan Gambar 1.11 di samping!
1. Sebutkanlah anggota himpunan A, B dan S!
2. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B?
3. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan S?
4. Apakah seluruh anggota himpunan B ada di himpunan A?
Alternatif Penyelesaian
1. Anggota himpunan A, B dan S adalah:
A = {1, 3, 5, 7}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B.
Untuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dapat kita tunjukkan melalui diagram Venn pada Gambar 1.11.
Karena seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B maka disebut bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B.
3. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan S
Untuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan S, dapat kita tunjukkan melalui langkah-langkah berikut.
● Ambil anggota pertama dari himpunan A, yaitu 1 sehingga sisa anggota himpunan A = {3, 5, 7}, ternyata 1 ada di himpunan S.
● Ambil anggota kedua dari himpunan A, yaitu 3 sehingga sisa anggota himpunan A = {5, 7}, ternyata 3 ada di himpunan S.
● Ambil anggota ketiga dari himpunan A, yaitu 5 sehingga sisa anggota
himpunan A = {5, 7}, ternyata 5 ada di himpunan S. S
Gambar 1.11. Diagram Venn Himpunan A dan B
● Ambil anggota keempat dari himpunan A, yaitu 7 sehingga sisa anggota
himpunan A = { }, ternyata 7 ada di himpunan S.
Karena setiap anggota himpunan A merupakan himpunan S maka himpunan A
merupakan himpunan bagian dari himpunan S.
4. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan B ada di himpunan A.
Dengan cara yang sama seperti pertanyaan 2, pemeriksaannya kita lakukan
sebagai berikut.
● Ambil anggota pertama himpunan B, yaitu 1 sehingga sisa anggota himpunan
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ternyata 1 anggota himpunan A.
● Ambil anggota kedua himpunan B yaitu sehingga sisa anggota himpunan
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ternyata 2 bukan anggota himpunan A.
Karena ada anggota himpunan B yang bukan merupakan anggota himpunan A
maka himpunan B bukan himpunan bagian dari himpunan A.
Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 1.7 dan penyelesaian contoh 1.7 di atas, maka kita berikan definisi himpunan bagian sebagai berikut.
Definisi 1.3
Himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B
superset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B. Dilambangkan A⊂B atau B⊃A. Jika ada anggota
A yang bukan anggota B dan sebaliknya maka A bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A⊄B.
Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan. Untuk memeriksa apakah himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dapat kita lakukan prosedur sebagai berikut.
● Langkah pertama yang dilakukan adalah memeriksa banyak anggota himpunan
A dan banyak anggota himpunan B. Jika anggota himpunan A lebih banyak dari anggota himpunan B maka A ⊄ B, jika banyak anggota himpunan A kurang dari atau sama dengan banyak anggota himpunan B maka lanjut ke langkah selanjutnya.
● Periksa apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.
Jika seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B maka A⊂ B. Jika ada anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B
maka A⊄B.
Agar siswa lebih memahami konsep himpunan bagian dan bukan himpunan
bagian, perhatikan contoh berikut!
Contoh 1.8
Diberikan himpunan-himpunan: P = { x | x bilangan asli, 0 < x < 10} Q = { x | x bilangan asli, 0 < x < 6 } R = { x | x bilangan prima, 0 < x < 6} Periksa apakah: 1) P⊂Q; 2) Q⊂P; 3) Q⊂R; 4) R ⊂Q; 5) R⊂P; 6) P ⊂R!Alternatif Penyelesaian
1) Kita periksa apakah P⊂Q?
Untuk menunjukkan apakah P ⊂ Q, kita tunjukkan apakah setiap anggota himpunan P merupakan anggota himpunan Q.
Himpunan P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Himpunan Q = {1,2,3,4,5}
Karena banyaknya anggota P lebih dari banyaknya anggota Q, dapat dipastikan
2) Kita periksa apakah Q⊂P
Dengan cara yang sama dengan langkah pada point (1) kita lakukan sebagai
berikut.
● Ambil anggota pertama himpunan Q yaitu 1 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {2, 3, 4, 5}, ternyata 1 ada di himpunan P.
● Ambil anggota kedua dari himpunan Q yaitu 2 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {3, 4, 5}, ternyata 2 ada di himpunan P.
● Ambil anggota ketiga himpunan Q yaitu 3 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {4, 5}, ternyata 3 ada di himpunan P.
● Ambil anggota keempat dari himpunan Q yaitu 4 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {5}, ternyata 4 ada di himpunan P.
● Ambil anggota kelima dari himpunan Q yaitu 5 sehingga, sisa anggota
himpunan Q = { }, ternyata 5 ada di himpunan P.
● Karena setiap anggota himpunan Q merupakan anggota himpunan P
maka himpunan Q adalah bagian dari himpunan P, ditulis Q⊂P.
Sebagai latihan siswa:
Kerjakanlah point 3),4), 5), dan 6)
Latihan
1. Jika M sebuah himpunan, apakah M⊂M?
Buktikanlah!
2. Untuk A, B, C adalah himpunan. Jika A ⊂B dan B⊂C, apakah A⊂C?
⊂
Dengan cara yang sama dengan langkah pada point (1) kita lakukan sebagai ●
= {2, 3, 4, 5}, ternyata 1 ada di himpunan ●
Q = {3, 4, 5}, ternyata 2 ada di himpunan ●
Q = {4, 5}, ternyata 3 ada di himpunan ●
= {5}, ternyata 4 ada di himpunan
● yaitu 5 sehingga, sisa anggota
= { }, ternyata 5 ada di himpunan ●
⊂
Kerjakanlah point 3),4), 5), dan 6)
⊂
Buktikanlah!
A, B, C A ⊂ ⊂ ⊂
Mari kita tunjukkan bahwa himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap
himpunan. Perhatikan beberapa diagram Venn berikut! 1) Dari diagram Venn di bawah ini diperoleh
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dengan cara yang sama pada contoh 1.7 bagian 2) dan
3), dapat ditunjukkan bahwa setiap anggota himpunan
A adalah anggota himpunan B.
Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa A⊂ B
2) Dari diagram Venn di bawah ini diperoleh
A = {1, 2}
B = {1, 2, 4, 5, 6}
Dengan cara yang sama pada contoh 1.8 bagian 2),
dapat ditunjukkan bahwa setiap anggota himpunan A
adalah anggota himpunan B. Dengan demikian dapat
dinyatakan bahwa A⊂B
3) Dari diagram Venn di bawah ini diperoleh
A = {1}
B = {1, 4, 5, 6}
Dengan cara yang sama pada contoh 1.8 bagian 2),
dapat ditunjukkan bahwa setiap anggota himpunan A
adalah anngota himpunan B. Dengan demikian dapat
dinyatakan bahwa A⊂B.
4) Dari diagram Venn berikut ini diperoleh
A = { }
B = {4, 5, 6}
Berdasarkan ketiga diagram di atas dapat dinyatakan bahwa A ⊂B. Karena himpunan A tidak mempunyai anggota, maka A adalah himpunan kosong dan ditulis
A = ∅.
Karena A = ∅ dan A ⊂B, maka ∅⊂B.
S
S
S
Berdasarkan uraian di atas kita temukan sifat berikut.
Sifat -1.1
Himpunan kosong (∅) merupakan bagian dari semua himpunan
Coba buktikan Sifat 1.1 di atas! minta siswa berdiskusi dengan temannya satu kelompok!