Algoritma Euclidis Contoh - TEORI BILANGAN (Kajian tentang aritmatika, sistem dan representasi

TentukanGCD(4840,1512). Solusi 4840 = 3_×1512+304 1512 = 4×304+296 304 = 1_×296+8 296 = 37_×8+0 JadiGCD(4840,1512) =8.

Algoritma Euclidis

Contoh TentukanGCD(4840,1512). Solusi 4840 = 3_×1512+304 1512 = 4×304+296 304 = 1_×296+8 296 = 37_×8+0 JadiGCD(4840,1512) =8.

Algoritma Euclidis

Contoh TentukanGCD(4840,1512). Solusi 4840 = 3_×1512+304 1512 = 4×304+296 304 = 1_×296+8 296 = 37_×8+0 JadiGCD(4840,1512) =8.

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukanfpb(2093,836) Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari: 1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂

2 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₃₆ 3 ₃₀₂₄_x+₂₀₇₆_y =₁₀

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukanfpb(2093,836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:

1 _3024x₊_2076y ₌₁₂ 2 _3024x₊_2076y ₌₃₆ 3 _3024x+_2076y =₁₀

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukanfpb(2093,836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:

1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂

2 _3024x₊_2076y ₌₃₆ 3 _3024x+_2076y =₁₀

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukanfpb(2093,836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:

1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂ 2 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₃₆

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukanfpb(2093,836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:

1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂ 2 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₃₆ 3 ₃₀₂₄_x+₂₀₇₆_y =₁₀

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untukax +by =c

1 _Jika_c₌_fpb(a_,_b)_{maka solusi didapat langsung dari} algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a_,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis} dengan pengali

3 Jikacbukan kelipatanfpb(a_,b)maka persamaan tidak punya solusi bilangan bulat.

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untukax +by =c

1 _Jika_c₌_fpb(a,_b)_{maka solusi didapat langsung dari}

algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a_,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis} dengan pengali

3 Jikacbukan kelipatanfpb(a_,b)maka persamaan tidak punya solusi bilangan bulat.

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untukax +by =c

1 _Jika_c₌_fpb(a,_b)_{maka solusi didapat langsung dari}

algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis}

dengan pengali

3 Jikacbukan kelipatanfpb(a_,b)maka persamaan tidak punya solusi bilangan bulat.

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untukax +by =c

1 _Jika_c₌_fpb(a,_b)_{maka solusi didapat langsung dari}

algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis}

dengan pengali

3 Jikacbukan kelipatanfpb(a,b)maka persamaan tidak

punya solusi bilangan bulat.

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalu bagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asliadanb

lcm(a,b) = ab

gcd(a,b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = _fpb4840₍₄₈₄₀×1512

,1512)

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalu bagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asliadanb

lcm(a,b) = ab gcd(a,b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = 4840×1512 fpb(4840,1512)

= 7318080₈ =914760

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalu bagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asliadanb

lcm(a,b) = ab gcd(a,b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan

kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = 4840×1512 fpb(4840,1512)

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalu bagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asliadanb

lcm(a,b) = ab gcd(a,b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan

kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = _fpb(4840_4840,1512×1512₎ = 7318080₈ =914760

Kekongruenan

Definisi

Misalkanmbilangan asli. Dua bilangan bulatadanb dikatakan

kongruen modulo mdan dinotasikan

a_≡bmodm

jikam_|a₋b.

Atau secara ekivalen

a≡b modmjikaadanbmemberikan sisa yang sama setelah pembagian olehm.

Kekongruenan

Definisi

Misalkanmbilangan asli. Dua bilangan bulatadanb dikatakan

kongruen modulo mdan dinotasikan

a_≡bmodm

jikam_|a₋b.

Atau secara ekivalen

a≡b modmjikaadanbmemberikan sisa yang sama setelah

pembagian olehm.

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRbjikaa_≡b modm

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata

Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan

relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRbjikaa_≡b modm Relasi tersebut memenuhi sifat:

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata

Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

Jikaa≡bmodmdanb≡c modmmakaa≡c modm

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan

relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRbjikaa_≡b modm

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan

relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRbjikaa_≡b modm

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata

Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

Jikaa≡bmodmdanb≡c modmmakaa≡c modm

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan

relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRbjikaa_≡b modm

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata

Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan

relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRbjikaa_≡b modm

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata

Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

Jikaa≡bmodmdanb≡c modmmakaa≡c modm

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...}

E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...}

E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...}

E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...}

E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

E(k) =_{4n+k;n_∈Z_},k =0,1,2,3

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...}

E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

E(k) =_{4n+k;n_∈Z_},k =0,1,2,3

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...} E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...} E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

E(k) =_{4n+k;n_∈Z_},k =0,1,2,3

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...} E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka a₋c _≡b₋d modm

3 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka_ac _≡_bd _mod_m

Bukti sifat 3

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka a₋c _≡b₋d modm

3 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka_ac _≡_bd _mod_m

Bukti sifat 3

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a₋c _≡b₋d modm

3 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka_ac _≡_bd _mod_m Bukti sifat 3

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a₋c _≡b₋d modm

3 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka_ac _≡_bd _mod_m

Bukti sifat 3

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a₋c _≡b₋d modm

3 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka_ac _≡_bd _mod_m

Bukti sifat 3

Misala≡bmodmdanc ≡d modm. Berartim|a−b dan

m_|c₋d. Menggunakan sifat keterbagian, makam_|ac₋bcdan

m_|bc₋bd. Sehinggam_|ac₋bd

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a₋c _≡b₋d modm

3 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka_ac _≡_bd _mod_m

Bukti sifat 3

Misala≡bmodmdanc ≡d modm. Berartim|a−b dan

m_|c₋d. Menggunakan sifat keterbagian, makam_|ac₋bcdan

m_|bc₋bd. Sehinggam_|ac₋bd

Dalam dokumen TEORI BILANGAN (Kajian tentang aritmatika, sistem dan representasi bilangan) (Halaman 53-90)