TEORI BILANGAN (Kajian tentang aritmatika, sistem dan representasi bilangan)

(1)

TEORI BILANGAN

(Kajian tentang aritmatika, sistem dan

representasi bilangan)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi

University of Jember Indonesia

(2)

Outline

1 _{Keterbagian dan Bilangan Prima}

Keterbagian Bilangan Prima

2 _{GCD dan Algoritma Euclidis}

Greatest Common Divisor Algoritma Euclidis

3 _{Kekongruenan dan Aplikasinya}

Kekongruenan Aplikasi Kongruensi

4 _{Sistem dan Representasi Bilangan} Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

(3)

Outline

4 _{Sistem dan Representasi Bilangan}

Sistem Bilangan

(4)

Outline

Sistem Bilangan

Konversi Antar Sistem Bilangan

(5)

Outline

Sistem Bilangan

(6)

Keterbagian

Jika 13 dibagi 5 maka hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis:

13 5 =2+

3

5 atau 13=2×5+3

Algoritma Pembagian Bilangan Bulat

Jikaabilangan bulat positif danbbilangan bulat, maka ada tepat satu bilangan bulatqdanr sedemikian hingga

b=qa+r

dengan 0_≤r <a. Dalam hal iniq disebuthasil bagidanr adalah sisa pembagian bilabdibagia.

Jikar =0 maka dikatakanb habis dibagi a, ataubadalah kelipatan a, dan dinotasikana_|b

(7)

Keterbagian

13 5 =2+

3

5 atau 13=2×5+3

b=qa+r

dengan 0_≤r <a. Dalam hal iniq disebuthasil bagidanr

adalah sisa pembagian bilabdibagia.

(8)

Keterbagian

13 5 =2+

3

5 atau 13=2×5+3

b=qa+r

dengan 0_≤r <a. Dalam hal iniq disebuthasil bagidanr

adalah sisa pembagian bilabdibagia.

Jikar =0 maka dikatakanb habis dibagi a, ataubadalah

kelipatan a, dan dinotasikana_|b

(9)

Keterbagian

Sifat Dasar

Untuk setiapa,bdanc bilangan bulat, maka

1 a|0, 1|adana|a

2 _Jika_a_|_b_maka_a_|_bc

3 _Jika_a_|_b_dan_b_|_c_maka_a_|_c

4 _Jika_a_|_b_maka₋_a_|_b

5 _Jika_a|_b_dan_b|_a_maka_a=_b_atau_a=−_b

6 Jikaab|c makaa|bdanb|c

(10)

Keterbagian

Sifat Dasar

1 a|0, 1|adana|a

2 _Jika_a_|_b_maka_a_|_bc

7 _Jika_a_|_b_dan_a_|_c _maka_a_|_bx ₊_cy_{, untuk suatu bilangan} bulatx dany

(11)

Keterbagian

Sifat Dasar

1 a|0, 1|adana|a 2 _Jika_a_|_b_maka_a_|_bc

(12)

Keterbagian

Sifat Dasar

(13)

Keterbagian

Sifat Dasar

(14)

Keterbagian

Sifat Dasar

(15)

Keterbagian

Sifat Dasar

(16)

Keterbagian

Sifat Dasar

7 _Jika_a_|_b_dan_a_|_c _maka_a_|_bx ₊_cy_{, untuk suatu bilangan}

bulatx dany

(17)

Bilangan Prima

Definisi

Sebuah bilangan aslipkecuali 1 disebutprimajika pembagi positifnya adalah 1 danp. Sebuah bilangan prima kecuali 1 adalahkompositjikatidak prima

Berdasarkan definisi tersebut maka 1 bukan prima dan bukan komposit

Erastothenes

(18)

Bilangan Prima

Definisi

Erastothenes

Untuk setiap bilangan kompositn, ada bilangan prima p sehinggap_|ndanp_≤√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada bilangan primap yang dapat membagindenganp_≤√n, maka nadalah bilangan prima”

(19)

Bilangan Prima

Definisi

Erastothenes

Untuk setiap bilangan kompositn, ada bilangan prima p

sehinggap_|ndanp_≤√n. Dengan kata lain ”jika tidak ada

bilangan primap yang dapat membagindenganp_≤√n, maka

(20)

Bilangan Prima

Apakah bilangan 157 dan 221 bilangan prima atau komposit?

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√157 adalah 2,3,5,7,11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√221 adalah 2,3,5,7,11,13. Karena 13_|221, maka 221 merupakan bilangan komposit

(21)

Bilangan Prima

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√157 adalah 2,3,5,7,11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangan

tersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima

(22)

Bilangan Prima

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√157 adalah 2,3,5,7,11. Karena tidak ada satupun dari bilangan-bilangan

tersebut yang dapat membagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima

Bilangan-bilangan prima yang lebih kecil dari√221 adalah 2,3,5,7,11,13. Karena 13|221, maka 221 merupakan

bilangan komposit

(23)

Bilangan Prima

Setiap bilangan komposit dapat diekspresikan sebagai hasil produk bilangan asli yang lebih kecil. Jika bilangan yang lebih kecil ini juga komposit maka dapat difaktorisasikan

menggunakan bilangan asli yang lebih kecil juga. Proses ini berakhir dengan sebuah ekspresi produk bilangan-bilangan prima. Ekspresi ini disebutfaktorisasi prima

Teorema Dasar Aritmatika

(24)

Bilangan Prima

Setiap bilangan komposit dapat diekspresikan sebagai hasil produk bilangan asli yang lebih kecil. Jika bilangan yang lebih kecil ini juga komposit maka dapat difaktorisasikan

menggunakan bilangan asli yang lebih kecil juga. Proses ini berakhir dengan sebuah ekspresi produk bilangan-bilangan prima. Ekspresi ini disebutfaktorisasi prima

Teorema Dasar Aritmatika

Faktorisasi prima dari sebuah bilangan asli yang lebih besar dari 1 adalah tunggal, terlepas dari urutan faktor-faktor.

(25)

Greatest Common Divisor

Definisi

Misaladanbsembarang bilangan bulat tak negatif dan keduanya tidak nol.

Faktor persekutuan terbesar dariadanbadalah bilangan asli terbesarmsedemikian hinggam_|adanm_|b. Ditulis m=fpb(a,b)ataum=gcd(a,b).

Kelipatan persekutuan terkecil dariadanbadalah bilangan asli terkecilnsedemikian hinggaa_|ndanb_|n. Ditulisn=kpk(a,b)ataun=lcm(a,b).

(26)

Greatest Common Divisor

Definisi

Faktor persekutuan terbesar dariadanbadalah bilangan asli terbesarmsedemikian hinggam_|adanm_|b. Ditulis

m=fpb(a,b)ataum=gcd(a,b).

Kelipatan persekutuan terkecil dariadanbadalah bilangan asli terkecilnsedemikian hinggaa_|ndanb_|n. Ditulisn=kpk(a,b)ataun=lcm(a,b).

Dua bilangan asliadanbdikatakancoprime(ataurelative prima) jikafpb(a,b) =1.

(27)

Greatest Common Divisor

Definisi

Kelipatan persekutuan terkecil dariadanbadalah bilangan asli terkecilnsedemikian hinggaa_|ndanb_|n. Ditulisn=kpk(a,b)ataun=lcm(a,b).

(28)

Greatest Common Divisor

Definisi

Kelipatan persekutuan terkecil dariadanbadalah bilangan asli terkecilnsedemikian hinggaa_|ndanb_|n. Ditulisn=kpk(a,b)ataun=lcm(a,b).

Dua bilangan asliadanbdikatakancoprime(ataurelative prima) jikafpb(a,b) =1.

(29)

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27,45) =9

gcd(15,32) =1

gcd(12,18) =6

lcm(12,18) =36

lcm(11,18) =198

(30)

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27,45) =9 gcd(15,32) =1

gcd(12,18) =6

lcm(12,18) =36

lcm(11,18) =198

Bilangan 15 dan 32 relative prima.

(31)

Contoh

gcd(27,45) =9 gcd(15,32) =1 gcd(12,18) =6

lcm(12,18) =36

lcm(11,18) =198

(32)

Contoh

gcd(27,45) =9 gcd(15,32) =1 gcd(12,18) =6 lcm(12,18) =36

lcm(11,18) =198

(33)

Greatest Common Divisor

Contoh

gcd(27,45) =9 gcd(15,32) =1 gcd(12,18) =6 lcm(12,18) =36 lcm(11,18) =198

(34)

Contoh

gcd(27,45) =9 gcd(15,32) =1 gcd(12,18) =6 lcm(12,18) =36 lcm(11,18) =198

(35)

Contoh

gcd(27,45) =9 gcd(15,32) =1 gcd(12,18) =6 lcm(12,18) =36 lcm(11,18) =198

(36)

FPB dan KPK dapat dihitung dengan menggunakan faktorisasi

prima. Misalnya untuk mendapatkanfpbdankpkdariadanb

1 _{Tentukan faktorisasi prima dari masing-masing}_a_dan_b

2 Untukfpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikan

perpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

3 _Untuk_kpk_{, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan} ambillah yang pangkatnya terbesar. Lalu kalikan

(37)

Greatest Common Divisor

2 Untukfpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikan

(38)

Greatest Common Divisor

2 Untukfpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan

ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikan perpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

(39)

Greatest Common Divisor

2 Untukfpb, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan

ambillah yang pangkatnya terkecil. Lalu kalikan perpangkatan faktor-faktor prima yang terpilih.

3 _Untuk_kpk_{, carilah faktor-faktor prima yang bersekutu dan}

(40)

Greatest Common Divisor

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18

12=22.3

18=2.32

fpb(12,18) =2.3=6

kpk(12,18) =22.32=36

Mengapa untuk faktor persekutuan terbesar (FPB), dipilih faktor prima dengan pangkat terkecil, sedangkan untuk kelipatan persekutuan terkecil (KPK) justru dipilih faktor prima dengan pangkat terbesar?

(41)

Contoh

Untuk menghitung FPB dan KPK dari 12 dan 18 12=22.3

18=2.32

fpb(12,18) =2.3=6

kpk(12,18) =22.32=36

(42)

Greatest Common Divisor

Contoh

18=2.32

fpb(12,18) =2.3=6

kpk(12,18) =22.32=36

(43)

Contoh

18=2.32

fpb(12,18) =2.3=6 kpk(12,18) =22.32=36

(44)

Greatest Common Divisor

Contoh

18=2.32

fpb(12,18) =2.3=6 kpk(12,18) =22.32=36

(45)

Contoh

18=2.32

fpb(12,18) =2.3=6 kpk(12,18) =22.32=36

(46)

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untukx =am.bn.c dany =ap.bq.

Dan misalkanm>pdanq>n,

makafpb(x,y) =ap.bn

Dand yang terbesar yang bersifat demikian adalahap

.bn

kpk(x,y) =am.bq.c

Bukti: misalk kelipatan persekutuan darix dany. Jikaam_|_k _maka_ap_|_k_{. Jika}_bq_|_k _maka_bn_|_k _{. Jika}_c1_|_k makac0_|k

Dank terkecil yang bersifat demikian adalaham.bq.c

(47)

Greatest Common Divisor

Misal faktorisasi prima untukx =am.bn.c dany =ap.bq. Dan misalkanm>pdanq>n,

makafpb(x,y) =ap.bn

.bn

kpk(x,y) =am.bq.c

(48)

Greatest Common Divisor

makafpb(x,y) =ap.bn

.bn

kpk(x,y) =am.bq.c

(49)

Greatest Common Divisor

makafpb(x,y) =ap.bn

makad_|c1

Dand yang terbesar yang bersifat demikian adalahap_.bn

kpk(x,y) =am.bq.c

(50)

Greatest Common Divisor

makafpb(x,y) =ap.bn

makad_|c1

kpk(x,y) =am_.bq_.c

(51)

Greatest Common Divisor

makafpb(x,y) =ap.bn

makad_|c1

kpk(x,y) =am_.bq_.c

Bukti: misalk kelipatan persekutuan darix dany. Jikaam_|_k _maka_ap_|_k_{. Jika}_bq_|_k _maka_bn_|_k _{. Jika}_c1_|_k

makac0_|k

(52)

Algoritma Euclidis

Diberikan dua bilangan bulatadanbdengana>b>0, maka GCD(a,b)bisa dicari dengan mengulang algoritma pembagian berikut:

a = q1b+r1; 0<r1<b b = q2r1+r2; 0<r2<r1 r1 = q3r2+r3; 0<r3<r2

.. .

rn−2 = qnrn−1+rn; 0<rn<rn−1 rn−₁ = qn+₁rn+0

Makarn, pembagi terakhir dari pembagian di atas yang

memberikan sisa 0 merupakanGCD(a,b).

(53)

Algoritma Euclidis

Contoh

TentukanGCD(4840,1512).

Solusi

4840 = 3_×1512+304 1512 = 4×304+296

304 = 1_×296+8 296 = 37_×8+0

(54)

Algoritma Euclidis

Contoh

Solusi

4840 = 3_×1512+304

1512 = 4×304+296

304 = 1_×296+8

296 = 37_×8+0

JadiGCD(4840,1512) =8.

(55)

Algoritma Euclidis

Contoh

Solusi

4840 = 3_×1512+304

1512 = 4×304+296

304 = 1_×296+8

296 = 37_×8+0

(56)

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Tentukanfpb(2093,836)

Contoh 3

Tentukan solusi bilangan bulat dari:

1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂

2 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₃₆

3 ₃₀₂₄_x+₂₀₇₆_y =₁₀

(57)

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Contoh 3

1 _3024x₊_2076y ₌₁₂

2 _3024x₊_2076y ₌₃₆

(58)

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Contoh 3

1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂

2 _3024x₊_2076y ₌₃₆

3 _3024x+_2076y =₁₀

(59)

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Contoh 3

1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂ 2 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₃₆

(60)

Algoritma Euclidis

Contoh 2

Contoh 3

1 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₁₂ 2 ₃₀₂₄_x₊₂₀₇₆_y ₌₃₆ 3 ₃₀₂₄_x+₂₀₇₆_y =₁₀

(61)

Algoritma Euclidis

Solusi bilangan bulat untukax +by =c

1 _Jika_c₌_fpb(a_,_b)_{maka solusi didapat langsung dari} algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a_,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis} dengan pengali

(62)

Algoritma Euclidis

1 _Jika_c₌_fpb(a,_b)_{maka solusi didapat langsung dari}

algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a_,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis} dengan pengali

3 Jikacbukan kelipatanfpb(a_,b)maka persamaan tidak punya solusi bilangan bulat.

(63)

Algoritma Euclidis

algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis}

dengan pengali

(64)

Algoritma Euclidis

algoritma Euclidis

2 _Jika_fpb(a,_b)_|_c _{maka solusi didapat dari algoritma Euclidis}

dengan pengali

3 Jikacbukan kelipatanfpb(a,b)maka persamaan tidak

punya solusi bilangan bulat.

(65)

Algoritma Euclidis

Algoritma Euclidis diorientasikan untuk menghitung FPB, lalu bagaimana dengan KPK?

Untuk sebarang dua bilangan asliadanb

lcm(a,b) = ab

gcd(a,b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = _fpb4840₍₄₈₄₀×1512

,1512)

(66)

Algoritma Euclidis

lcm(a,b) = ab gcd(a,b)

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = 4840×1512 fpb(4840,1512)

= 7318080₈ =914760

(67)

Algoritma Euclidis

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan

kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = 4840×1512 fpb(4840,1512)

(68)

Algoritma Euclidis

Pembuktiannya mengacu pada algoritma perhitunganfpbdan

kpkmenggunakanfaktorisasi prima

Contoh

kpk(4840,1512) = _fpb(4840_4840,1512×1512₎ = 7318080₈ =914760

(69)

Kekongruenan

Definisi

Misalkanmbilangan asli. Dua bilangan bulatadanb dikatakan

kongruen modulo mdan dinotasikan

a_≡bmodm

jikam_|a₋b.

Atau secara ekivalen

(70)

Kekongruenan

Definisi

Misalkanmbilangan asli. Dua bilangan bulatadanb dikatakan

kongruen modulo mdan dinotasikan

a_≡bmodm

jikam_|a₋b.

Atau secara ekivalen

a≡b modmjikaadanbmemberikan sisa yang sama setelah

pembagian olehm.

(71)

Kekongruenan

Kekongruenan juga menghasilkan relasi ekivalensi

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

aRbjikaa_≡b modm

Relasi tersebut memenuhi sifat:

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata

Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

(72)

Kekongruenan

Jikamadalah bilangan bulat tertentu, maka dapat didefinisikan

relasiRdalam himpunan bilangan bulat dengan aturan:

Jikaa≡bmodmdanb≡c modmmakaa≡c modm

(73)

Kekongruenan

a_≡amodm, untuk semua bilangan bulata Jikaa_≡bmodmmakab_≡amodm

(74)

Kekongruenan

(75)

Kekongruenan

(76)

Kekongruenan

(77)

Kekongruenan

Akibatnya

Himpunan bilangan bulat dapat terpartisi ke dalam kelas-kelas

ekivalensi modulom

Misalnya untuk relasia_≡bmod 4 maka kelas-kelas ekivalensi yang terjadi adalah:

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...}

E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...}

E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

(78)

Kekongruenan

Akibatnya

ekivalensi modulom

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...}

E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...}

E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

E(k) =_{4n+k;n_∈Z_},k =0,1,2,3

(79)

Kekongruenan

Akibatnya

ekivalensi modulom

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...}

E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

(80)

Kekongruenan

Akibatnya

ekivalensi modulom

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...}

E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

E(k) =_{4n+k;n_∈Z_},k =0,1,2,3

(81)

Kekongruenan

Akibatnya

ekivalensi modulom

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...} E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

(82)

Kekongruenan

Akibatnya

ekivalensi modulom

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...} E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

E(k) =_{4n+k;n_∈Z_},k =0,1,2,3

(83)

Kekongruenan

Akibatnya

ekivalensi modulom

E(0) =_{...,−12,−8,−4,0,4,8,12, ...} E(1) =_{...,−11,−7,−3,0,5,9,13, ...} E(2) =_{...,−10,−6,−2,0,6,10,14, ...} E(3) =_{...,−9,−5,−1,0,7,11,15, ...}

(84)

Kekongruenan

Aritmatika kongruensi berdasarkan sifat-sifat berikut:

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka a₋c _≡b₋d modm

3 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka_ac _≡_bd _mod_m

Bukti sifat 3

Bukti sifat 1 dan 2 ditinggalkan sebagai latihan

(85)

Kekongruenan

1 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka

a+c _≡b+d modm

2 _Jika_a_≡_b_mod_m_dan_c_≡_d _mod_m_maka a₋c _≡b₋d modm

Bukti sifat 3

(86)

Kekongruenan

a+c _≡b+d modm

a₋c _≡b₋d modm

Bukti sifat 3

(87)

Kekongruenan

a+c _≡b+d modm

Bukti sifat 3

(88)

Kekongruenan

a+c _≡b+d modm

Bukti sifat 3

Misala≡bmodmdanc ≡d modm. Berartim|a−b dan

m_|c₋d. Menggunakan sifat keterbagian, makam_|ac₋bcdan

m_|bc₋bd. Sehinggam_|ac₋bd

(89)

Kekongruenan

a+c _≡b+d modm

Bukti sifat 3

Misala≡bmodmdanc ≡d modm. Berartim|a−b dan

m_|c₋d. Menggunakan sifat keterbagian, makam_|ac₋bcdan

m_|bc₋bd. Sehinggam_|ac₋bd

(90)

Masalah Kongruensi

Jikaadanmadalah bilangan bulat yang saling relatif prima,

maka untuk setiap bilangan bulatb, kongruensiax ≡bmodm

memiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residu modulom.

Tentukan solusi untuk

1 9x +5≡10 mod 11

2 18x +13≡6 mod 23

(91)

Masalah Kongruensi

1 9x +5≡10 mod 11

(92)

Masalah Kongruensi

1 9x +5≡10 mod 11

2 18x +13≡6 mod 23

(93)

Masalah Kongruensi

1 9x +5≡10 mod 11

(94)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada beberapa aplikasi, perlu dibangun bilangan-bilangan secara random dari sebuah himpunan bilangan, sedemikian hingga setiap bilangan memiliki peluang yang sama untuk dibangun. Beberapa contoh situasi dimana bilangan random digunakan, semua melibatkan software untuk mensimulasikan sebuah proses acak, misalnya:

kedatangan pelanggan di suatu konter

seleksi sampel secara acak dari sebuah populasi manusia untuk menyelenggarakan poling opini

pembuatan input tes untuk sebuah program komputer

(95)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

(96)

pembuatan input tes untuk sebuah program komputer

(97)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

(98)

Bagaimana membangun bilangan acak jika kita hanya membutuhkan sedikit bilangan saja?

Dengan melempar dadu kubus berulang-ulang, dapat dibangun sebuah barisan acak dari bilangan-bilangan dari himpunan {1,2,3,4,5,6_}. Barisan yang dihasilkan dengan cara ini tidak akan punya pola, tetapi dengan percobaan berulang-ulang dalam waktu relatif lama diharapkan keenam bilangan tersebut dapat tampil dengan frekuensi yang sama

(99)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Bagaimana membangun bilangan acak jika kita hanya membutuhkan sedikit bilangan saja?

Dengan melempar dadu kubus berulang-ulang, dapat dibangun sebuah barisan acak dari bilangan-bilangan dari himpunan

{1,2,3,4,5,6}. Barisan yang dihasilkan dengan cara ini tidak

(100)

Jika beberapa bilangan random diperlukan, maka wajar untuk menanyakan apakah sebuah komputer dapat diprogram untuk menjalankan tugas tersebut.

Sebuah komputer merupakan sebuahdeterministic device. Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yang secara prinsip selalu dapat diprediksikan.

Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkan komputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksi secara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini pada sebuah komputer disebut bilanganpseudo-random

(101)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Sebuah komputer merupakan sebuahdeterministic device.

Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yang secara prinsip selalu dapat diprediksikan.

(102)

Sebuah komputer merupakan sebuahdeterministic device.

Dari input yang dimasukkan akan diproduksi output yang secara prinsip selalu dapat diprediksikan.

Namun demikian tetap dimungkinkan untuk memprogramkan komputer untuk membangun barisan bilangan yang diproduksi secara random. Bilangan yang dibangun dengan cara ini pada

sebuah komputer disebut bilanganpseudo-random

(103)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Ide Dasar Konstruksi

Barisan bilangan yang dibangun: x0,x1,x2,x3, ...

x0disebutseedataubenih

Berbedaseedakan menghasilkan barisan yang berbeda, demikian pula sebaliknya.

(104)

Barisan bilangan yang dibangun: x0,x1,x2,x3, ... x0disebutseedataubenih

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasi seedsebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan oleh sistem jam guna menghindari bias antar pengguna. Berawal denganseedini, barisan dibangun menggunakan sebuah formula rekursif: xi =f(xi−1),i =1,2,3, ...

(105)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

(106)

Berbedaseedakan menghasilkan barisan yang berbeda,

demikian pula sebaliknya.

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasi seedsebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan oleh sistem jam guna menghindari bias antar pengguna. Berawal denganseedini, barisan dibangun menggunakan sebuah formula rekursif: xi =f(xi−1),i =1,2,3, ...

(107)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasi

seedsebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan oleh

sistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

(108)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Pada beberapa aplikasi, lebih disukai untuk menspesifikasi

seedsebagai sebuah fungsi waktu yang ditunjukkan oleh

sistem jam guna menghindari bias antar pengguna.

Berawal denganseedini, barisan dibangun menggunakan

sebuah formula rekursif: xi =f(xi−1),i =1,2,3, ...

(109)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Linear Congruential Method

membangun sebuah barisan bilanganpseudo-randomdari

himpunan_{0,1,2,3, ...,m−1}. Aturan konstruksi

menggunakan formula:

xi =axi−1+cmodm

adanc konstan. Jikac =0 maka metode tersebut dinamakan

(110)

Analisa Metoda

xi =axi−₁+cmodm

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, maka barisan akan menampilkan siklus yang berulang. Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalam himpunan hingga denganmelemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilih myang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisan sepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus. Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, maka mjuga harus semakin besar.

(111)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, maka barisan akan menampilkan siklus yang berulang.

Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalam himpunan hingga denganmelemen.

(112)

Analisa Metoda

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, maka barisan akan menampilkan siklus yang berulang. Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalam

himpunan hingga denganmelemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilih myang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisan sepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus. Semakin banyak bilangan random yang diperlukan, maka mjuga harus semakin besar.

(113)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, maka barisan akan menampilkan siklus yang berulang. Hal ini dapat terjadi karena suku-suku berada dalam

himpunan hingga denganmelemen.

Hal terbaik yang dapat dilakukan adalah dengan memilih

myang besar dan mencoba untuk mendapatkan barisan

sepanjang mungkin sebelum ada pengulangan siklus.

(114)

Konstruksi Bilangan Pseudo-random

Analisa Metoda

Jika sebuah suku tampil untuk kedua kalinya, maka barisan akan menampilkan siklus yang berulang. Hal ini dapat terjadi karena suk