4. ALJABAR BOOLE
Untuk menyelesaikan disain rangkaian digital tentunya dibutuhkan Untuk menyelesaikan disain rangkaian digital tentunya dibutuhkan rangkaian yang benar, efektif, sederhana, hemat komponen serta ekivalen rangkaian yang benar, efektif, sederhana, hemat komponen serta ekivalen gerbang dasar bila terjadi keterbatasan komponen yang tersedia. Untuk gerbang dasar bila terjadi keterbatasan komponen yang tersedia. Untuk itu diperlukan penyelesaian secara matematis guna mencapai itu diperlukan penyelesaian secara matematis guna mencapai tujuan-tujuan tersebut di atas. Aljabar boole adalah cara meyelesaikan tujuan tersebut di atas. Aljabar boole adalah cara meyelesaikan permasalahan dengan penyederhanaan melalui beberapa persamaan permasalahan dengan penyederhanaan melalui beberapa persamaan sebagai berikut : sebagai berikut : Post Postulate ulate 2 2 x x + + 0 0 = = x x (3.14)(3.14) x x . . 1 1 = = x x (3,15)(3,15) Postulate 5 Postulate 5 x + x‟ = 1x + x‟ = 1 (3.16)(3.16) x . x‟ = 0 x . x‟ = 0 (3.17)(3.17) Theorems Theorems 1 1 x x + + x x = = x x (3.18)(3.18) x x . . x x = = x x (3.19)(3.19) Theorems Theorems 2 2 x x + + 1 1 = = 1 1 (3.20)(3.20) x x . . 0 0 = = 0 0 (3.21)(3.21) Theorems 3, involution Theorems 3, involution (x‟)‟ = x(x‟)‟ = x (3.22)(3.22) Postulat
Postulate e 3 3 CoCommutative mmutative x+y x+y = = y+x y+x (3.23(3.23)) x.y
x.y = = x.y x.y (3.24(3.24)) Th
Theoeorreems ms 4 4 AssociAssociative ative x+(x+(y+z)=(x+y)+z y+z)=(x+y)+z (3.25(3.25)) x(yz)
x(yz) = = (xy)z (xy)z (3.26(3.26)) Postulat
Postulate e 4 4 DisDistrtribibututivive e x(y+z) x(y+z) = = xy xy + + xz xz (3.27(3.27)) x+yz
x+yz = = (x+y)(x+z) (x+y)(x+z) (3.28(3.28)) Th
Theoeorreems 5 De Morganms 5 De Morgan (x+y)‟ = x‟y‟(x+y)‟ = x‟y‟ (3.29)(3.29) (x.y)‟
(x.y)‟ = = x‟+y‟x‟+y‟ (3.30)(3.30) Theorems
Theorems 6 6 AbsoAbsorrpptiotion n x+xy x+xy = = x x (3.31)(3.31) x
4.1 K
4.1 Karnarnaughaugh Map Map Karnaugh
Karnaugh map map adalah metode untuk mendapatkan persamaan rangkaianadalah metode untuk mendapatkan persamaan rangkaian di
diggital ital dari dari tabel tabel kebenarannya. kebenarannya. Aplikasi dari Aplikasi dari KaKarnrnauauggh h map map adaladalahah dengan car
dengan cara a memasumemasukkan dkkan d atata keluara keluaraan dan darri i tabel kebentabel kebenaran ke daran ke dalamalam tabel karnaugh map. Dengan menggunakan metode
tabel karnaugh map. Dengan menggunakan metode Sume of Product Sume of Product ,, m
maka kelaka keluuaarraan yann yang beg berrlogik logik “1” d“1” dan beran berddekatan aekatan attaau beru berdede rreet ditant ditandaidai dengant
dengantanandda hubung. Kea hubung. Kemmudian tuliskaudian tuliskan pern persamaannya dsamaannya d enengan metodegan metode SOP.
SOP.
4.1.1 Karnaugh map dua masukan satu keluaran 4.1.1 Karnaugh map dua masukan satu keluaran
Tabel sebuah rangkaian yang memiliki dua masukan A,B dan satu keluaran Tabel sebuah rangkaian yang memiliki dua masukan A,B dan satu keluaran Q :
Q :
T
Tabel 3.24 Tabel 3.24 Tabel abel kebekebenarnaraan n 2 m2 masasukan ukan 1 1 kelkel uaruaraann
Contoh soal 1: Contoh soal 1:
Dengan menggunakan Karnaugh map, tentukan persamaan dari data Dengan menggunakan Karnaugh map, tentukan persamaan dari data kelu
keluaarraan yang ada n yang ada pada pada tabel kebentabel kebenaran berikut :aran berikut :
Tabel 3.25 Tabel kebenaran contoh 1 Tabel 3.25 Tabel kebenaran contoh 1
Maka
Maka pepersamaan rrsamaan raangkaiangkaian n tersebtersebut ut adadalah alah : : Q Q = = AA.B.B
Contoh soal 2 :Dengan menggunakan Karnaugh map, tentukan persamaan Contoh soal 2 :Dengan menggunakan Karnaugh map, tentukan persamaan
Tabel 3.26 Tabel kebenaran contoh 2 Tabel 3.26 Tabel kebenaran contoh 2
Maka persamaan rangkaian tersebut adalah :
Maka persamaan rangkaian tersebut adalah : QQ AABB AABB AA BB
Bentu
Bentuk-bentuk lk-bentuk lain penyelesaiain penyelesaian Karnan Karnaugh augh mmaap adp adalah sebagai berikut:alah sebagai berikut:
Tabel 3.27 Tabel kebenaran contoh 3 Tabel 3.27 Tabel kebenaran contoh 3
Persamaan Q = B Persamaan Q = B Contoh lain :
Contoh lain : bila dbila d iketiketahuahui di data-data seperti pada tabel 3.2ata-data seperti pada tabel 3.28, 8, tutuliskaliskann persamaan rangkaian tersebut.
persamaan rangkaian tersebut.
Tabel 3.28 Tabel kebenaran contoh 4 Tabel 3.28 Tabel kebenaran contoh 4
Per
4.1.2 Karnaugh
4.1.2 Karnaugh map map tiga masukan satu keluarantiga masukan satu keluaran Karnaugh
Karnaugh map map ada yang memiliki tiga buah masukan A,B,C dan sebuahada yang memiliki tiga buah masukan A,B,C dan sebuah kelu
keluaarraan Q sepen Q sepertrti padi pad a tabel 3.25.a tabel 3.25. T
Tabel 3.29 Tabel 3.29 Tabel abel KaKa rnrnaugh Maugh Map 3 ap 3 masukan 1 masukan 1 keluakeluaranran
Contoh 5: Dengan menggunakan Karnaugh map, tentukan persamaan dari Contoh 5: Dengan menggunakan Karnaugh map, tentukan persamaan dari data keluar
data keluaraan yann yang adg ada pada pada tabel kebena tabel kebenaarraan bern berikikut :ut :
Tabel 3.30 Tabel kebenaran contoh 5 Tabel 3.30 Tabel kebenaran contoh 5
Persamaa
Persamaan n rraangkaiangkaian n adadalah alah Q=Q= AA..CC AABBCC
Bentuk-bentuk karnaugh map yang lain untuk 3 masukan 1 keluaran: Bentuk-bentuk karnaugh map yang lain untuk 3 masukan 1 keluaran:
Tabel 3.31 Tabel kebenaran contoh 5 Tabel 3.31 Tabel kebenaran contoh 5
Persamaan rangkaian adalah Q = Persamaan rangkaian adalah Q = AA
Contoh 6. Contoh 6. Diketahui t
Diketahui tabel kebeabel kebenarnaran dan di bawi bawah, ah, caca rri pei pe rrsamaasamaan rn raanngkaiagkaian.n. Tabel 3.32 Tabel kebenaran contoh 6
Tabel 3.32 Tabel kebenaran contoh 6
Persamaan rangkaian adalah Q = B Persamaan rangkaian adalah Q = B Contoh 7.
Contoh 7. Diketahui t
Tabel 3.33 Tabel kebenaran contoh 7 Tabel 3.33 Tabel kebenaran contoh 7
Persamaan rangkaian adalah Q = Persamaan rangkaian adalah Q = BB
Cont
Contooh 8.h 8. Diketahu
Diketahui tabel kebei tabel kebennaran di aran di bawah, bawah, caca rri pei pe rrsasammaaaan rn rangkaian.angkaian. Tabel 3.34 Tabel kebenaran contoh 8
Tabel 3.34 Tabel kebenaran contoh 8
Persamaan rangkaian adalah Q =
4.1.3 Ka
4.1.3 Karrnaughnaugh Map Map EEmpmpat at Masukan AMasukan A,B,C,D dan ,B,C,D dan SaSatu tu KeKelluaruaran Q an Q
T
Tabel 3.35 Tabel 3.35 Tabel kebeabel kebenarnaraan n 4 m4 masasukan ukan 1 1 kelkel uaruaraann
Karnaugh
Karnaugh map map yang memiliyang memiliki eki emmpat bpat buah muah maasukan dan satu bsukan dan satu buuahah keluar
keluaraan adalah seperti padn adalah seperti pada tabel 3.a tabel 3.35 di 35 di atatas.as. Karnaugh Map
Karnaugh Map
Aplikasi dari
Aplikasi dari mmododel Kel Karnarnaauugh gh mmap ap 4 4 mmasas uukan 1 kelkan 1 keluuaran adalaran adalah sebagah sebagaiai be
berrikut :ikut : Contoh 9. Contoh 9. Diketahui t
T
Tabel 3.36 Tabel 3.36 Tabel kebeabel kebenaran naran 4 masukan 1 4 masukan 1 kelkeluauarraan n ccontoh ontoh 99
Persamaa
Persamaan n adadalah alah : : Q Q == BB..DD BDBD
4.1.4 Karnaugh
4.1.4 Karnaugh Map Map LL imima a MMasukan asukan A,B,C,D,A,B,C,D,E dan Satu E dan Satu KelKeluauarran Q an Q Karnaugh
Karnaugh mamap p yang memiliki lima buah masukan dan satu buah keluaranyang memiliki lima buah masukan dan satu buah keluaran adalah seperti pada Tabel 3.37, table ini merupakan Tabel Kebenaran 5 adalah seperti pada Tabel 3.37, table ini merupakan Tabel Kebenaran 5 m
masukan 1asukan 1..
Karnaugh map harus dipecah menjadi dua bagian, yaitu untuk kondisi Karnaugh map harus dipecah menjadi dua bagian, yaitu untuk kondisi m
masukan A=0 dan Aasukan A=0 dan A=1. Sehingga Ka=1. Sehingga Ka rrnnaugh augh map-nya sebagaai map-nya sebagaai berberikikutut:: Aplikasi dari m
Aplikasi dari mododel Kel Karnarnaauuggh mh map ap 5 5 mmaasukan 1 keluaran adalah sebagaisukan 1 keluaran adalah sebagai berikut :
berikut : Contoh10. Contoh10. Diketahu
T
Tabel 3.38 Tabel kebenaran contoh 10 Tabel 3.38 Tabel kebenaran contoh 10
Maka
Le
Lemmbar evbar evalualuasiasi 1.
1. Apakah Apakah yang diyang di mmaksud daksud d enengan diagram karnaugh ?gan diagram karnaugh ?
2.
2. BerapakBerapakaah jumh jumlalah kotak padh kotak pada diagram karna diagram karnaauuggh apabila dh apabila dipetakan, ipetakan, jikajika jumlah kombinasi yang dibentuk oleh variabel masukan =
jumlah kombinasi yang dibentuk oleh variabel masukan = a.
a. 3 3 vava rriabel iabel c. c. 2 2 variabelvariabel b.
b. 4 4 vava rriabel iabel d. d. 5 5 variabelvariabel
3.
3. Diketahui Diketahui : : SSuuaatu tu pepermrmasalaasalahhan yang an yang dapat di tabel kdapat di tabel kebeebennaarraan sebagain sebagai berikut : Buatlah penyelesaian aljabar Boole dengan menggunakan berikut : Buatlah penyelesaian aljabar Boole dengan menggunakan di
diagragraam km kaarnrnaauugh.gh.
a. a. B B A A X X b. b. C C B B A A X X c. c. D D C C B B A A XX 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 00 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 11 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 00 1 1 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 1 1 00 1 1 0 0 1 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 1 1 00 1 1 1 1 1 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11
4.
4. DarDari ti tabel abel kebenkebenaarraan n ddibawibawah ah ini ini : : BuatBuatlah lah fungsfungsi i logika logika (aljabar(aljabar boole) dengan menggunakan diagram karnaugh. serta gambarkan boole) dengan menggunakan diagram karnaugh. serta gambarkan rangkaian logikanya rangkaian logikanya a. a. D D C C B B A A X X b. b. D D C C B B A A Q Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 11 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 00 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 11 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 00 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 11 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 00 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 00
