R ITA D ESFITRI
2.2. Aplikasi Sutra-sutra dalam Sistem Vedik untuk Metode Kalkulasi
Setiap sutra mempunyai beberapa aplikasi dalam metode kalkulasi yang berbeda-beda. Kombinasi dari dua atau bahkan tiga buah sutra juga dapat memberi alternatif yang dapat digunakan dalam membantu komputasi mental. Matematika vedik dapat digunakan untuk membantu perhitungan dan menyelesaikan problem-problem perhitungan sehingga menjadi lebih mudah. Hal ini karena sutra-sutra dalam matematika vedik mempunyai aturan-aturan dasar untuk perkalian mental, perkalian dengan bilangan khusus, metode perpangkatan, penggandaan dan sebagainya.
Dalam operasi singkat, sistem vedik juga menyediakan alternatif untuk operasi perkalian bilangan kompleks, pembagian/faktor dan lain-lain. Walaupun demikian, makalah ini hanya membahas beberapa metode saja.
2.2.1. Operasi Penjumlahan
Operasi penjumlahan bisa dilakukan dengan menggunakan vinkulum, sehingga digit yang kita operasikan adalah digit-digit yang kecil. Misalnya penjumlahan sederhana
,
91+47 dengan menggunakan vinkulum, 91 ditulis 111 (101 – 11) dan 47 ditulis 53 (50 – 3). Kemudian dioperasikan, dengan ketentuan jika tanda berlawanan maka digit akan saling mengurangkan. Misalnya 111+53=142.
2.2.2. Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan dapat dilakukan dengan aplikasi sutra Nikhilam Navataścaramaṃ Daśatah (semua dari 9 dan yang terakhir dari 10). Pengurangan seperti ini sering terjadi ketika seseorang melakukan transaksi suatu pembelian. Jika kita memberikan uang kertas Rp. 10.000 untuk membeli sesuatu barang yang harganya Rp.
8700,- maka kita akan mendapat kembalian sebesar Rp. 1300. Karena dua angka terakhir adalah bilangan nol, operasi dimulai dari dua angka pertama saja. Ini didapat dengan mengurangi 7 dari 10 didapat 3, dan mengurangi 8 dari bilangan 9 didapat 1. Sehingga didapat hasilnya sebanyak Rp. 1300. Ini juga bisa didapat dengan melihat komplemen.
Biasanya ketika mengurangkan suatu bilangan dengan bilangan lainnya, kedua bilangan disusun secara vertikal, dan bilangan yang akan dikurangkan disusun di barisan atas. Cara yang sangat umum ini bisa diganti dengan menggunakan sutra Nikhilam Navataścaramam Daśatah. Bagaimana sutra ini diaplikasikan? Seperti sudah didiskusikan sebelumnya, sutra ini sangat mudah untuk diaplikasikan. Kita hanya mengurangi angka terakhir dari 10, sedangkan angka lainnya dikurangkan dari 9. Selama pengurangan, jika digit di baris atas lebih kecil dari digit di baris bawahnya, diambil komplemen dari selisih dari dua digit di kolom yang bersangkutan.
Jika kita ingin mengurangkan 348 dari 527, atau biasanya ditulis 527 – 348.
Bilangan 527 disusun di baris atas, dan bilangan 348 disusun di bagian baris bawah.
Kemudian dilihat kolom satuan, 7 di baris atas lebih besar daripada 8 di baris bawah, sehingga yang dilihat adalah selisihnya, yaitu 1. Komplemen dari 1 adalah 9, sehingga berdasarkan sutra ‘Semua dari 9 dan yang terakhir dari 10’, maka 1 dikurangkan dari 10, didapat 9. Digit berikutnya adalah puluhan, selisihnya adalah 2, diambil dari 9 didapat 7.
Untuk digit ratusan, angka di baris atas lebih besar dari angka di baris bawah, sehingga kita tidak memerlukan komplemen dari selisih, dan bisa langsung dikurangkan 5 – 3 = 2. Tetapi di kolom sebelah kanannya kita memerlukan komplemen, sehingga kita kurangkan 1 lagi di kolom ini, diperoleh 2 – 1 = 1. Dengan demikian, jawabannya adalah 527 – 348 = 179.
Operasi pengurangan dengan menggunakan vinkulum juga bisa dilakukan.
Misalnya mengurangkan 96 dari 179. Dengan menggunakan vinkulum, digit yang kita gunakan hanya digit 1 sampai digit 5 beserta 0. Dengan demikian, 179 ditulis 221 dan 96 ditulis 104. Sehingga 221−104=123. Dengan kata lain (200 – 21) – (100 – 4) = 103 – 20.
2.2.3. Operasi Perkalian
Ada beberapa sutra yang dapat diaplikasikan ke dalam operasi perkalian, baik itu sutra yang berdiri sendiri atau kombinasi dari dua sutra atau lebih.
i). Perkalian dua bilangan yang jumlah digitnya sama.
Formula umum untuk perkalian dua bilangan yang jumlah digitnya sama adalah sutra ‘Operasi vertikal dan operasi silang’. Sebagai contoh, perkalian dua buah bilangan dengan dua digit. Dalam sutra ini, ada 3 langkah/step yang dilakukan sebagai berikut:
Step 3 Step 2 Step 1
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
Step 1. Perkalian dimulai dari kanan dengan mengalikan secara vertikal dua digit di kolom paling kanan.
Step 2. Perkalian silang antara digit pertama dari kolom pertama dengan digit kedua dari kolom kedua, kemudan perkalian silang antara digit pertama dari kolom kedua dengan digit kedua dari kolom pertama, dan jumlahkan dua hasil yang didapat dari dua buah perkalian silang ini.
Step 3. Perkalian vertikal kedua digit pada kolom ke dua.
Jika perkalian yang dilakukan adalah dua buah bilangan yang terdiri dari 3 digit, maka akan ada 5 langkah/step yang akan dilakukan sebagai berikut:
ii) Perkalian dua bilangan yang dekat ke basis.
Ketika mengalikan bilangan-bilangan yang dekat ke basis, dapat diaplikasikan dua buah sutra sederhana, yaitu sutra Nikhilam Navataścaramam Daśatah and sutra Ūrdhva Tiryagabhyām. Misalkan kita ingin mengalikan bilangan 86×97. kadang-kadang perkalian seperti ini terasa sulit karena 86×97melibatkan penggunakan digit besar, yaitu 6, 7, 8, dan 9. Tetapi dengan menggunakan sutra Nikhilam Navataścaramam Daśatah, didapat defisiensi dari 86 yaitu 14, dan defisiensi dari 97 adalah 13. Ini menunjukkan bahwa 86 adalah 14 di bawah basis 100, sehingga kita tulis −13 sesudah bilangan tersebut. Begitu juga posisi 97 adalah 3 di bawah 100, sehingga kita tulis −2 sesudah bilangan itu.
Dengan diperoleh defisiensi, jawaban akan dibagi kedalam dua bagian. Bagian pertama didapat dengan mengambil satu defisiensi dari bilangan yang lainnya, yaitu salah satu, apakah 86−3atau 97−14 (yang pada dasarnya akan menghasilkan bilangan yang sama). Bagian kedua diperoleh denga mengalikan kedua defisiensi (karena kedua bilangan dekat ke basis, defisiensinya hanya bilangan yang kecil), yaitu14×3=42. Sehingga didapat 86×97=8342. Secara sederhana bisa ditulis:
42 3 14 dan , 83 14 97 3 86 42
/ 83
_
100 bawah di 3 itu 97
3 97
100 bawah di 14 itu 86
14 86
_ __________
__________
_
=
×
=
= −
−
−
−
Sebenarnya, setelah mendapatkan defisiensi itu, kita mengaplikasikan sutra
‘operasi vertikal dan operasi silang’. Pengurangan silang untuk mendapatkan setengah jawaban bagian kiri, dan perkalian vertikal untuk mendapatkan setengah bagian jawaban di kanan.
iii). Mengalikan suatu bilangan dengan dirinya sendiri
Ketika bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri, sutra ‘operasi vertikal dan operasi silang’ dengan cantik menyederhanakan operasinya dan memberikan metode yang mudah dalam perkuadratan bilangan [3]. Dalam hal ini kita mengenal istilah Dupleks (Duplex) D sebagai berikut:
- untuk pengkuadratan bilangan yang terdiri dari satu digit, D adalah kuadrat dari bilangan itu sendiri. Misalnya D(7) = 72 = 49;
- pengkuadratan bilangan yang terdiri dari dua digit, D adalah dua kali dari perkalian digit-digitnya. Misalkan D(68) = 2 × 6 × 8 = 2 · 6 · 8 = 96
Kuadrat dari sebarang bilangan adalah jumlah dari semua Dupleksnya, dan dikombinasikan dengan cara yang sudah dikenal dalam kalkulasi mental.
Sebagai contoh: untuk mendapatkan hasil dari (57)2. Dengan operasi dari kiri ke kanan, ada tiga buah Dupleks D dalam 57, yaitu: D(5), D(57), and D(7).
Karena D(5) = 25, D(57) = 70, and D(7) = 49, dengan mengkombinasikan ketiga hasil Dupleks ini dalam cara yang umum didapat
3249 9
4 , 0 32
320 0
7 , 5 2
25
=
=
Dapat dicatat bahwa angka 5 dan 7 harus dijumlahkan karena keduanya mewakili digit yang sama (posisinya berada pada kolom yang sama untuk perkalian secara umum), demikian juga halnya angka 0 dan 4.
Adakalanya ketika mengkuadratkan bilangan yang terdiri dari tiga digit, kita dapat mengelompokkan dua digit sebagai satu kesatuan, dan mengaplikasikan prosedur yang sama.
Sebagai contoh:
Ingin mencari nilai dari (132)2. Dengan mengerjakan dari kiri ke kanan, kita dapat mengasumsikan bahwa ada tiga Dupleks dalam 134, yaitu D(13), D(13/4), dan D(4).
Karena D(13) = 169, D(13/2) = 52, and D(2) = 4. Dengan mengkombinasikan ketiga hasil Dupleks, didapat:
17424 4
, 1742
1742 2
5 , 9 16
169
=
=
Ingat bahwa kita tidak mengkombinasikan digit 2 dan 4, karena posisi mereka berada pada kolom yang berbeda, dan 4 itu adalah digit untuk unit satuan oleh dirinya sendiri.
Bagaimana kalau angkanya cukup besar? Misalkan ingin mencari nilai dari )2
146
( . Seperti sebelumnya, ada tiga Dupleks dalam 146, yaitu D(14), D(14/6), dan D(6). Karena D(14) = 196, D(14/6) = 168, and D(6) = 36. Dengan mengkombinasikan ketiga hasil Dupleks, didapat:
ampaikan hasil utama penelitian Saudara di sini. Definisi, lemma, teorema, proposisi, akibat, dan contoh disajikan dengan tipe berikut.
21316 6
3 , 8 212
2128 8
6 1 , 6 9 1
196
=
=
iv). Mengkuadratkan bilangan-bilangan khusus/spesifik
Ketika mengkuadratkan bilangan yang berakhiran dengan digit 5, sutra Ekādhikena Pūrvena atau ‘satu lebihnya dari yang sebelumnya’ menyediakan cara yang sederhana [4]. Sebagai contoh, jika ingin mengalikan 75 dengan dirinya sendiri, atau (75)2. Dalam hal ini perhatikan angka sebelum angka 5, yaitu angka 7. Kemudian dikalikan angka 7 ini dengan satu lebihnya dari 7, yaitu angka 8, dan didapat 7×8=56 sebagai bagian pertama dari jawaban. Sedangkan bagian akhir dari jawaban hanyalah 25 yang didapat dari 52. Sehingga 752=5625 yang diperoleh dari 56/25 dimana 56=7×8, dan 25=52. Dengan cara yang sama didapat 852=7225 yang diperoleh dari
25 /
72 dimana 72=8×9, dan 25=52. 2.2.4. Operasi dari kiri ke kanan
Dalam perkalian mental (di dalam kepala), kadang-kadang dipandang perlu untuk mendapatkan jawaban dari arah kiri ke kanan, yaitu untuk mendapatkan digit yang paling memegang peranan terlebih dahulu, dilanjutkan dengan digit yang lainnya. Secara umum operasi yang dilakukan dari kiri ke kanan hanyalah operasi pembagian [5].
Contoh-contoh berikut menunjukkan operasi yang bergerak dari kiri ke kanan untuk beberapa operasi lain dan penjabarannya.
i). Penjumlahan
Misalkan kita ingin menjumlahkan bilangan 567 kepada bilangan 985, akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
5 6 7 9 8 5_ + 14
Di kolom paling kiri, dijumlahkan 5 + 9 = 14. Karena 1 merepresentasikan angka paling kiri, dan angka 4 adalah angka di sebelah kanannya, maka cukup ditulis angka 1, sedangkan angka 4 di simpan untuk bilangan di sebelah kanannya.
5 6 7 9 8 5_ + 14 5 4
Di kolom tengah, pandang lagi 6 dan 8 sebagai satuan, sehingga 6 + 8 = 14. Teapi ada angka 4 tadi yang disimpan, karena terletak satu digit di sebelah kiri, merepresentasikan puluhan untuk, sehingga dipandang sebagai 40, dan didapat 14 + 40 = 54.
Kembali tulis 5 dan simpan 4 untuk dijumlahkan kepada operasi kolom di sebelah kanannya.
5 6 7 9 8 5_ + 14 5 4 5 2
Sekarang dengan menambahkan angka yang terletak pada kolom paling kanan, lalu didapat 7 + 5 = 12. Dengan menambahkan digit 4 yang tadi di simpan dari sebelah kiri, yang direpresentasikan sebagai 40, maka didapat 12 + 40 = 52. Angka 5 diletakkan sebagai puluhan, dan angka 2 sebagai satuan, sehingga dapat ditulis seperti biasa. Sehingga 567 + 984 = 1552.
ii). Pengurangan
Bagaimana operasi pengurangan dilakukan, tentu semua orang tahu, tetapi yang akan dibahas di sini adalah cara/metode pengurangan yang sederhana yang dilakukan dari kiri ke kanan dengan menggunakan sub-sutra Dhvajāṅkaḥ atau ‘dengan bendera’ [2].
Misalkan kita ingin mengurangkan 473 dari bilangan 852. Langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:
8 15 2 4 7 3 _ 3
Dalam pengurangan ini, kita mulai operasi dari kolom sebelah kiri, 8 – 4 = 4. Tetapi karena satu unit akan diperlukan untuk operasi di kolom sebelah kanannya (karena 7 besar dari 5) maka ditulis bukan angka 4 untuk 8 – 4, tetapi angka 3, sedangkan satunya di bawa ke kolom sebelah kanan.
8 15 12 4 7 3 _ 3 7 9
Angka 5 ditambahkan kepada angka 1 yang dibawa dari kolom kirinya. Tetapi karena angka 1 milik kolom sebelah kiri angka 5, maka ia akan dipandang sebagai puluhan terhadap angka 5, sehingga menjadi 15. Kemudian 15 – 7 = 8, tetapi kembali satu unit akan diperlukan untuk operasi di kolom sebelah kanannya, karena 9 lebih besar dari 3. Sehingga yang ditulis bukan 8, tetapi 7, dan satunya dibawa ke kolom sebelah kanan. Kembali 2 di tambah 1 yang berarti puluhan menjadi 12, dikurangi dengan 3 diperoleh 9. Sehingga 852 – 473 = 379.
ii). Perkalian
Misalkan kita ingin mengalikan 423 dengan 8 dengan operasi dari kiri ke kanan.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
4 2 3 8 × 3 2
Dalam perkalian ini, dimulai dari kolom kiri, dimana 4 × 8 = 32.
Tetapi karena sebuah unit akan dibutuhkan untuk kolom di kanan berikutnya (karena 32 terdiri dari 3 sebagai unit puluhan dan 2 sebagai unit satuan), maka hanya ditulis 3 dan simpan angka 2 di kanannya.
4 2 3 8 × 3 2 3 6
Kemudian 2 × 8 = 16, lalu dimasukkan digit 2 yang disimpan, yang merepresentasikan puluhan terhadap kolom ini, sehingga didapat 20, dan 16 + 20 = 36. Kembali letakkan angka 3 sebagai hasil kali, dan bawa 6 untuk operasi berikutnya.
4 2 3 8 × 3 2 3 6 8 4
Terakhir dua bilangan 3 dan 8 dikalikan, 3 × 8 = 24. Tambahkan angka 6 sebagai representasi 60, sehingga 60 + 24 = 84. Sehingga 423 × 8 = 3384.