Untuk sembarang poset locally finite X, berlaku

PEMBENTUKNYA

Lemma 2.4. Untuk sembarang poset locally finite X, berlaku

1( ( ( , ))ⁿ {0}

n_≥ Z FININC X R =

BUKTI : Misalkan f∈I_n_≥₁( (Z FININC X R( , ))ⁿdan a < b. Interval [a,b] adalah himpunan hingga (asumsikan terdapat m elemen). Jika

{ }

( )

1( ( ( , ))^m 1. ...2 2: ( ( , )

n m i

f∈I _≥ Z FININC X R ⁺ = f f f ₊ f ∈Z FININC X R ,

1. ...2 _m 2; setiap _i ( ( , )) f = f f f ₊ f ∈Z FININC X R

1 2 1

1 1 2 1 2 1 1 2 1

...

( , ) ( , ). ( , )... ( , ). ( , )

m m m m m

a x x x b

f a b f a x f x x f x x f x b

+ + + +

≤ ≤ ≤ ≤ ≤

∑

maka∃i x₀, _i₀= x_i_{0 1}₊ mengakibatkan ( ,f x x_i₀ _i₀ _i_{0 1}₊ ) 0= . Akibatnya f a b( , ) 0= . Sehingga I_n_≥₁( (Z FININC X R( , ))ⁿ ={0}

Teorema 2.5. Misalkan X adalah poset sembarang, Y poset yang memenuhi syarat pada lemma 2.4 dan R ring komutatif dengan satuan. Jika aljabar insidensi finitary FININC (X,R) dan FININC(Y,R) isomorfik sebagai R-aljabar, maka X dan Y potentially isomorfik.

BUKTI : Misalkan A={ , ,..., }x x₁ ₂ x_n ⊆ X dan B={ , ,...,y y₁ ₂ y_m}⊆Y :FININC X R( , ) FININC Y R( , )

ψ → suatu isomorfisma aljabar.

Misalkan e_x₁ adalah idempoten tak nol di FININC (X,R), maka

( )

1 ,

x uv uv

u v Y

e a

ψ δ

∈

∑

adalah idempoten tak nol di FININC(Y,R), hal ini mengakibatkan terdapat '

y ∈Y sedemikian sehingga a_{y y}_{' '}∉J R( ). Hal ini terjadi karena jika , _yy ( ) maka _yy 0

y a J R a

∀ ∈ = , akibatnya

( )

e_x1 Z FININC X R( ( , )) J FININC X R( ( , ))

ψ ∈ ⊆ sehingga ψ

( )

e_x1 =0, hal ini

kontradiksi. Sehingga , terdapaty'∈Y sedemikian sehingga a_{y y}_{' '}∉J R( ). Selanjutnya tuliskan w₁=x₁, z₁= y' dan α₁=a_{y y}_{' '}.

Perhatikan

( )

1 ,

x uv uv

u v Y

e a

ψ δ

∈

∑

dan setting yang baru. Dari lemma bagian 2,

(

1 1

)

( )

1 1

( )

1 1 ,

' ' 1 1 1 1 1 1 ' '

, , 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

, 1

w w x zizj zizj

zi zj Y

y y zizj zizj z z z z z z y y zizj zizj

zi zj Y i j

z z z z z z z z zizj zizj z z z z z z

i j

e e e a

a a a a a a

a a a a a j j

ψ α α ψ α ψ α δ

δ δ δ

δ δ δ α δ

∈

∈ ≠

≠

⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟=

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞

= + ⎜ ⎟= + = +

⎝ ⎠

∑

∑ ∑

∑

dengan _{1 1}

, 1

z z zizj zizj i j

j a a δ

≠

∑

. Dalam situasi ini dimiliki

(

1e_w1

)

1 _{z z}1 1 j, dengan ( , ) 0j y y y Y

ψ α =α δ + = ∀ ∈ sehingga

(

1e_w1

)

1 _{z z}1 1(mod (Z FININC X R( , ))) ψ α ≡α δ

Selanjutnya dikonstruksi poset - poset hingga W dan Z yang isomorfik dan memenuhi

1 2 1 2

{ , ,..., }_n { , ,..., }_r

A= x x x ⊆ W = w w w ⊆ X serta

1 2 1 2

{ , ,..., _m} { , ,..., }_r

B= y y y ⊆ Z = z z z ⊆ Y dalam hal ini dipunyai

1 1 dan ' 1

x =w ∈W y = ∈z Z . Dengan melanjutkan secara induktif,

misalkan k adalah integer terkecil sedemikian hinggay_k belum dipilih sebagai zi (posisi saat ini k=1 jika z1=y1 dan dalam hal lain k=2). Katakan,

( )

yk xy xy

x y X

e c

ψ⁻ δ

∈

∑

^maka ¹

(

)

yk xy xy

x y X

e c

ψ⁻ α α δ

∈

∑

dan karena α_{1 yk}e idempoten tak nol, dapat dipilih x sedemikian hingga α₁c_xx∉J R( ). Dengan mengingat lemma bagian 3, yang menyebutkan bahwa c_xx adalah koefisien δ_{yk yk} dalam ekspresi untuk

( )

ψ dan akibatnya (oleh lemma bagian 2) x x≠ ₁(alasannya diberikan sebagai berikut)

1 az z1 1

α = adalah koefisien e_z₁=δ_{z z}_{1 1}dalam ψ δ

(

x x1 1

)

=ψ

( )

ex1 .

cxx adalah koefisien e_y₁=δ_{y y}_{1 1}dalam ψ δ

( )

x x =ψ

( )

ex . Jika x=x1, maka

1 ay y' '

α = adalah koefisien δ_{y y}_{' '}di ψ δ

(

x x1 1

)

=ψ

( )

ex1 .

cxx adalah koefisien e_y₁=δ_{y y}_{1 1}di ψ δ

(

x x1 1

)

=ψ

( )

ex1 . Karena

1 ' ' 1 1 1

' , sehingga _{y y}. _{y y} 0, berakibat _xx 0.

y ≠ y a a = αc = Hal ini kontradiksi, sehingga

x x≠ 1.

Nyatakan w₂=x z, ₂ = y_k dan α₂ =α₁c_xx. Sekarang,

( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 1 1 1

1 1 1 1 2 2 1

. _z _xx. _yk _xx _yk _xx _{xy xy}

xx xx xx xx xy xy xx xx w

x y

e c e c e c c

c c c c c e

ψ α ψ α α ψ α δ

α δ α δ α δ ν α ν

− − −

≠

= = =

= + = + = +

∑

Sehingga, ψ⁻¹

(

α2.e_z2

)

=α2.e_w2+ν1, ∃ ∈ν1 Z FININC X R( ( , )), dan akibatnya

( )

2.e_z2 2.e_w2 ( ),1 ( )1 J FININC Y R( ( , ))

α =ψ α +ψ ν ψ ν ∈ karena

1 Z FININC X R( ( , ))

ν ∈ sehingga ν₁∈J FININC X R( ( , )) hal ini berakibat ( )1 J FININC Y R( ( , ))

ψ ν ∈ . Lebih jauh ψ ν( )₁ ∈Z FININC Y R( ( , )) Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut :

Karena α₂.e_w₂idempoten, maka ψ α

(

2.e_w2

)

=α2.e_z2+ψ ν

( )

1 juga idempoten, Hal ini berakibat ψ ν

( )

1 idempoten.

Karena ψ ν

( )

1 ∈J FININC Y R

(

( , ) dan

)

ψ ν

( )

1 idempoten, diperoleh ψ ν

( )

1 =0, sehingga ψ ν

( )

1 ( , ) 0y y = ∀ ∈y Y. Akibatnya ψ ν

( )

1 ∈Z FININC Y R

(

( , )

)

Alasan lain :

Katakan ψ ν

( )

1 =

∑

dyi yj yi yjδ ^{, karena}ψ ν

^{( )}

¹ ∈J FININC Y R

⁽

^{( , )}

⁾

akibatnya setiap

yi yj ( )

d ∈J R . Jika ∃i,sedemikian hingga d_{yi yi} ≠0,perhatikan bahwa kemungkinannnya y_i =z₂ dan y_i ≠z₂.

(i).y_i =z₂,

Karenaψ ν

( )

1 =α2.e_z2−ψ α

(

2.e_w2

)

=α2(e_z2−ψ

( )

e_w2 =α2(e_z2−

∑

hyi yj yi yjδ ).

sehingga dyi yi yi yiδ =ψ ν

( )

1 =α2(ez2−h eyi yi yi) akibatnya d e_{yi yi yi} =

α

₂(e_z₂−h e_{yi yi yi}), dibagi oleh e_yi, diperoleh d_{yi yi} =d_z₂ =α₂(1−h_z_{2 2}_z ). Karena α₂ dan h_z_{2 2}_z idempoten maka d_{yi yi}idempoten dan tak nol. Hal ini tidak mungkin karena d_{yi yi}∈J R( ).

(ii).y_i ≠z₂, maka d_{yi yi} = −α₂h_{yi yi}. Sekarang α₂h_{yi yi} = −d_{yi yi}∈J R( ). Jadi α₂h_{yi yi} idempoten tak nol. Ini adalah kontradiksi yang lain, akibatnya

0 , sehingga ( )1 ( ( , ))

yi yi i

d = ∀y ψ ν ∈Z FININC Y R .

Sehingga , α2.e_z2 =ψ α

(

2.e_w2

)

+ψ ν

( )

1 dengan ψ ν

( )

1 ∈Z FININC Y R

(

( , )

)

Set ν2 =ψ ν

( )

1 sedemikian hingga ψ α

(

2.e_w2

)

=α2.e_z2+ν2.

Berikutnya , pilih index t terkecil sedemikian sehingga x_t∉W kemudian yj index terkecil sehingga y_j∉Zdan seterusnya. Lanjutkan cara seperti ini, dapat dilabeli wi dan zi masing-masing pada setiap elemen A dan B, sehingga ψ α

(

i^.ewi

)

=αi^.ezi+νi dengan setiapα_i idempoten di R sedemikian sehinga α_i membagi α_i₊₁ untuk semua i ≥1 dan

(

^{( , )}

)

i Z FININC Y R

ν ∈ . Lemma bagian 2 dan bagian 3 menjamin bahwa prosedur ini akan selalu memilih wi dan zi yang berbeda dari elemen yang terpilih sebelumnya.

Terakhir harus diperiksa bahwa korespondensi ini mengawetkan urutan. Diperoleh,

( ) ( )

. ( , ). {0}

. ( , ). {0} (karena | atau | )

. ( , ). {0}

. ( , ) . {0}

( , ) {0}

i j wi wj

i wi j wj i j j i

i wi j wj

i zi i j zj j

i zi j zj

zi zj

w w e FININC X R e e FININC X R e

e FININC Y R e e FININC Y R e e FININC Y R e e FININC Y R e

α α α α α α

ψ α ψ α

α ν α ν

α α

≤ ⇔ ≠

⇔ ≠

⇔ + + ≠

⇔ ≠

⇔ ≠ (karena ,_i _j 0)

i j

z z

α α ≠

⇔ ≤

Misalkan diberikan ρ:W →Z dengan ρ( )w_i =z_i, mengakibatkan bahwa ρ:W →Z isomorfisma partial. Jika S adalah koleksi dari semua isomorfisma partial yang diperoleh dengan cara ini, maka S adalah isomorfisma potential . Sehingga X dan Y potentially isomorphic.

3. Kesimpulan

Agak berbeda dengan masalah isomorfisma pada aljabar insidensi sebelumnya, ternyata untuk kasus aljabar insidensi finitary yang bekerja pada ring komutatif, dua aljabar insidensi finitary yang isomorfik sebagai aljabar akan mengakibatkan poset pembentuknya tidak isomorfik sepenuhnya, namun hanya isomorfik potensial.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada yang terhormat Dr. Zhao Dongsheng selaku host supervisor pada program sandwich 2009 di NTU, Singapore, yang telah memberikan kontribusi pada isi paper ini.

Daftar Pustaka

[1]. Froelich J., The isomorphism problem for incidence ring, Illionis J.Math. 29, 146-152, 1985 [2]. Khripchenko, N. S, Novikov, B. V, Finitary incidence algebras, arXiv:0803.0069v1

[math.RA] , 2008.

[3]. Parmenter, M.M, J.Schmerl and E.Spiegel, Isomorphic incidence algebras, Advances in Mathematics 84, 226-236,1990

[4]. Ribenboim P., the algebra of functions of a graph, studia Sci. Math.Hungar 17, 1-20, 1982 [5]. Spiegel,E and O’Donnell,C. Incidences Algebra, Marcel Dekker, Inc, New York, 1997.

[6]. Stanley, R.P., Structure of incidence algebras and their automorphism groups, Bull. AMS 76,1236–1239, 1970.

[7]. Voss, E.R, on the isomorphism problem for incidence ring, Illionis J.Math. 24, 624-638, 1980

SEPUTAR MODUL BERSIH-N KUAT

Indah Emilia Wijayanti

Jurusan Matematika FMIPA UGM, Sekip Utara, Yogyakarta, ind wijayanti@ugm.ac.id, ind wijayanti@yahoo.com

Abstract. We discuss about strongly clean modules as a generalization of n-strongly clean rings and n-strongly clean modules. Both structures give important contributions to observe the properties of n-strongly clean modules. We focus our investigation to submodules and factor modules of n-strongly clean modules. More-over, we show some necessary conditions for coproduct of n-strongly clean modules to be n-strongly clean.

Key words and Phrases: n-strongly rings, strongly modules, n-strongly modules, coproduct of modules.

Abstrak.Dalam penelitian ini akan dibahas modul bersih-n kuat, yang merupakan perumuman modul bersih kuat maupun ring bersih-n kuat. Dua struktur terakhir sangat memberi inspirasi dalam penelitian ini, terutama dalam meneliti sifat sub-modul dan sub-modul faktor suatu sub-modul bersih-n kuat. Selain itu akan diselidiki juga syarat agar koproduk keluarga modul bersih-n kuat masih berupa modul bersih-n kuat, di mana untuk kasus ring tidak secara umum berlaku.

Kata kunci: ring bersih-n kuat, modul bersih kuat, modul bersih-n kuat, koproduk modul-modul.

1. Pendahuluan

Penelitian tentang ring sebagai salah satu struktur aljabar sudah berkembang dengan sedemikian pesat. Salah satu sifat ring yang diselidiki adalah ring bersih kuat (strongly clean rings ) dan ring bersih-n kuat (strongly n-clean rings ).

Suatu elemen dalam ring R disebut elemen bersih-n kuat jika elemen tersebut da-pat dinyatakan sebagai jumlahan sebuah elemen idempoten tak nol dan n buah elemen yang masing-masing mempunyai invers. Adapun suatu elemen disebut elemen bersih kuat jika n = 1. Suatu ring R yang mempunyai elemen satuan disebut ring bersih-n kuat jika setiap elemennya merupakan elemen bersih-n kuat.

Penyelidikan ring bersih-n kuat dilakukan antara lain dengan mengaitkan sifat bersih-n kuat pada ring terhadap modul atas ring tersebut. Selain itu juga sudah ditemukan syarat cukup suatu ring agar menjadi ring bersih-n kuat. Hal ini menjadi

hal yang penting karena pada modul bersih-n kuat justru yang diselidiki adalah sifat bersih-n kuat pada ring endomorfismanya.

Pada dasarnya ring dapat dipandang sebagai kejadian khusus suatu modul, yaitu jika dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Oleh karena itu beberapa sifat yang ditemui dalam ring berusaha dibawa ke situasi yang lebih umum dalam modul.

Beberapa hasil yang ditemukan masih merupakan penelitian seputar ring bersih-n kuat, misalnya oleh Khaksani-Moghimi [5] dan Chen [3]. Sedikit perumuman definisi ring bersih kuat adalah pendefinisian ideal bersih oleh Chen dan Chen [2].

Modul bersih kuat (dengan n = 1) dipelajari oleh Zhang [7]. Suatu modul disebut modul bersih kuat jika ring endomorfismanya merupakan ring bersih kuat. Khaksari-Moghimi [5] menyebut modul bersih-n kuat dalam pembahasan mereka tentang ring bersih-n kuat, tetapi tidak mencantumkan definisinya. Namun demikian bisa diketahui dari paper mereka bahwa yang dimaksud dengan modul bersih-n kuat adalah modul dengan ring endomorfisma bersih-n kuat. Selain itu juga tidak disebutkan rujukan yang diacu berkaitan dengan modul bersih-n kuat.

Penelitian tentang beberapa sifat modul yang ring endomorfismanya bersifat bersih-n kuat yabersih-ng sudah dimulai oleh Khaksari-Moghimi [5] akabersih-n dilabersih-njutkabersih-n dalam paper ibersih-ni.

Ada dua sifat penting yang akan diselidiki, yaitu kaitan antara sifat bersih-n kuat suatu modul dengan submodul-submodulnya, serta sifat bersih-n kuat pada modul proyektif atau modul bebas.

2. Ring bersih-n kuat

Beberapa hasil penelitian seputar ring bersih-n kuat sudah dipaparkan dalam paper Khaksari-Moghimi [5]. Ring yang dibahas di sini adalah ring dengan elemen satuan dan modul uniter. Suatu elemen dalam ring R dikatakan bersih-n jika elemen tersebut merupakan jumlahan sebuah elemen idempoten dan n buah elemen-elemen unit. Adapun definisi untuk elemen bersih-n kuat adalah sebagai berikut.

Definisi 2.1. Suatu elemen dalam ring R dikatakan bersih-n kuat jika elemen tersebut merupakan jumlahan sebuah elemen idempoten tak nol dan n buah elemen-elemen unit.

Ring yang semua elemennya bersih-n kuat disebut ring bersih-n kuat.

Jika ada keluarga ring bersih-n yang memuat suatu ring bersih-n kuat, maka diselidiki apakah produk ring-ring tersebut bersih-n kuat. Hasilnya sebagai berikut : Proposisi 2.2. ([5] Proposition 2.2) Diberikan {Rλ}λ∈Λ adalah keluarga ring sehingga di antara mereka paling sedikit ada satu ring bersih-n kuat sementara yang lainnya ring bersih-n. Akibatnya Q

ΛRλ merupakan ring bersih-n kuat.

Akibat langsung Proposisi 2.2 adalah kaitan antara ring bersih-n kuat dengan deret pangkat teritlaknya.

Akibat 2.3. ([5] Corollary 2.3) Jika R adalah ring bersih-n kuat, maka R[[x]] juga merupakan ring bersih-n kuat.

Jika suatu ring bersifat bersih-n kuat, maka sifat itu tidak otomatis terbawa pada ring faktornya. Berikut adalah syarat cukup yang harus dipenuhi suatu ring agar ring faktornya juga bersih-n kuat. Untuk keperluan itu diperhatikan bahwa himpunan semua idempoten dalam ring R dinotasikan dengan Id(R).

Proposisi 2.4. ([5] Corollary 2.5) Jika R adalah ring bersih-n kuat dan I ideal di R sehingga I ∩ Id(R) = 0, maka R/I merupakan ring bersih-n kuat.

Selanjutnya syarat perlu suatu ring agar menjadi ring bersih-n kuat ada pada proposisi berikut ini.

Proposisi 2.5. ([5] Theorem 2.8) Jika e1+ e2+ · · · + en = 1 dalam ring R, dengan ei adalah elemen idempoten ortogonal dan eiRei ring bersih-n kuat, maka R bersih-n kuat.

Khusus untuk n = 1, syarat perlu dan cukup ring bersih-n kuat adalah sebagai berikut.

Proposisi 2.6. ([5] Corollary 2.12) Ring R semiperfect jika dan hanya jika R bersih-1 kuat dan berhingga-I.

Selanjutnya kaitan antara ring R yang bersih-n kuat dengan beberapa himpunan terkait terlihat dalam hasil-hasil berikut.

Proposisi 2.7. ([5] Corollary 2.9) Jika R adalah ring bersih-n kuat, maka demikian juga ring matriks berukuran n × n atas R.

Proposisi 2.8. ([5] Proposition 2.4) Jika f : R → S adalah homomorfisma ring, Id(R) ∩ Ker(f ) = 0 dan R adalah ring bersih-n kuat, maka Im(f ) bersih-n kuat.

3. Modul bersih-n kuat

Usaha untuk memperumum hasil penelitian ring bersih-n kuat sudah dilakukan oleh beberapa peneliti. Di antaranya adalah Chen dan Chen [2] yang mendefinisikan ideal bersih (clean ideal ). Suatu ideal I di dalam ring R dikatakan bersih jika setiap elemennya merupakan jumlahan dari sebuah elemen idempoten dan sebuah unit. Hasil-hasil penelitian Chen dan Chen ini berupa syarat-syarat agar suatu ideal menjadi ideal bersih.

Adapun Chen [3] membahas beberapa terminologi yang terkait dengan bersih , misalnya ring bersih, ring semi bersih (semiclean ring ), ring bersih-n dan lain-lain.

Selain membahas sifat-sifatnya, Chen juga menyelidiki kaitan antara ring bersih, ring semi bersih dan ring bersih-n.

Untuk kasus yang lebih umum, Zang [7] mendefinisikan modul bersih kuat melalui ring endomorfismanya.

Definisi 3.1. Diberikan ring R. Suatu R-modul M disebut modul bersih-n kuatjika EndR(M ) adalah ring bersih-n kuat.

Jika n = 1 maka diperoleh definisi modul bersih kuat. Salah satu contoh modul bersih adalah modul kontinu (lihat paper Camillo dkk. [1] dan Haily-Rahnaoui [4]).

Adapun modul M disebut kontinu jika setiap submodulnya esensial pada penjumlah langsung di M dan setiap submodul yang isomorfis dengan suatu penjumlah langsung maka submodul itu sendiri merupakan penjumlah langsung.

Untuk melihat lebih lanjut sifat-sifat modul bersih-n kuat, bisa dilakukan dengan mengaitkan sifat-sifat ring bersih-n kuat. Misalnya Corollary 2.10 paper Khaksari-Moghimi [5] dapat diinterpretasikan sebagai berikut :

Proposisi 3.2. ([5] Corollary 2.10) Jika {Mi}, i = 1, . . . , n, adalah keluarga modul-modul bersih-n kuat dan M = M1⊕ M2⊕ · · · ⊕ Mn, maka M bersih-n kuat. Proposisi 3.3. Jika M adalah R-modul bersih-n kuat dan S = EndR(M ), maka ring matriks-matriks berukuran n × n atas S merupakan ring bersih-n kuat.

Bukti. Karena M adalah modul bersih-n kuat, maka S merupakan ring bersih-n kuat.

Dengan menggunakan Proposisi 2.8 diperoleh kesimpulan bahwa ring matriks berukuran n × n atas ring endomorfisma S juga bersih-n kuat.

Proposisi 3.4. Jika M , N masing-masing adalah R-modul bebas yang bersih-n kuat dengan rank berhingga dan R adalah ring komutatif bersih-n kuat , maka HomR(M, N ) adalah juga modul bersih kuat.

Bukti. Seperti sudah diketahui, jika M , N masing-masing adalah R-modul bebas dan R adalah ring komutatif, maka HomR(M, N ) juga merupakan modul bebas atas R dengan rank berhingga. Karena R adalah ring komutatif bersih-n kuat, maka menurut [5], hal ini akan berakibat HomR(M, N ) merupakan modul bersih-n kuat.

Proposisi 3.5. Jika M , N masing-masing adalah R-modul bebas bersih kuat dengan rank berhingga dan R adalah ring komutatif bersih-n kuat , maka HomR(M, N ) adalah modul bersih-n kuat atas EndR(M ).

Bukti. Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa HomR(M, N ) juga merupakan EndR(M )-modul kiri, yaitu dengan mendefinisikan pergandaan skalar sebagai berikut :

EndR(M ) × HomR(M, N ) → HomR(M, N ) (f, g) 7→ g ◦ f.

Dari yang diketahui, karena M adalah modul bersih-n kuat, maka EndR(M ) merupakan ring bersih-n kuat. Menurut [5] HomR(M, N ) juga merupakan modul besih-n kuat.

Beberapa hasil Khaksari-Moghimi yang lain yang terkait dengan modul bersih-n kuat diberikan dalam beberapa proposisi berikut ini.

Proposisi 3.6. ([5] Lemma 3.4) Diberikan m bilangan bulat positif tak nol dan mis-alkan setiap R-modul bebas dengan rank berhingga m mempunyai sifat bersih-n kuat.

Akibatnya untuk sebarang modul bebas dengan rank berhingga dan habis dibagi oleh m juga merupakan modul bersih-n kuat.

Proposisi 3.6 membatasi pada modul bebas yang berhingga. Tetapi sebenarnya kondisi tersebut dapat diperumum untuk modul bebas dengan rank tak hingga yang terbilang (countable).

Proposisi 3.7. ([5] Theorem 3.4) Diberikan m bilangan bulat positif tak nol dan mis-alkan setiap R-modul bebas dengan rank berhingga m mempunyai sifat bersih-n kuat.

Jika M =L

i<ωRei adalah modul bebas dengan rank tak hingga yang terbilang, maka setiap endomorfisma pada M bersifat bersih-n kuat.

Berdasarkan Definisi (2.1) diperoleh kesimpulan berikut.

Akibat 3.8. Diberikan m bilangan bulat positif tak nol dan misalkan setiap R-modul bebas dengan rank berhingga m mempunyai sifat bersih-n kuat. Jika M = L

i<ωRei

adalah modul bebas dengan rank tak hingga yang terbilang, maka M merupakan modul bersih-n kuat.

Lebih jauh lagi, sifat pada Akibat (3.8) dapat diperumum sebagai berikut.

Proposisi 3.9. ([5] Theorem 3.5)Jika ring R bersih-2 kuat (n = 2), maka sebarang R-modul bebas dengan rank tak hingga dan tak terbilang bersifat bersih-n kuat.

Seperti sudah diketahui,Q

EndR(M ) ' EndR(Q

M ), sehingga dengan menggu-nakan Proposisi 2.2 diperoleh:

Proposisi 3.10. Jika M adalah modul bersih-n kuat, maka hasil kali M sebanyak berhingga, yang dinotasikan dengan Q

IM dengan I himpunan indeks berhingga, juga merupakan modul bersih-n kuat.

Bukti. Karena M adalah modul bersih-n kuat, maka EndR(M ) adalah ring bersih-n kuat. Selanjutnya menggunakan fakta bahwa Q

EndR(M ) ' EndR(Q

M ) dan meng-gunakan Proposisi 2.2 diperoleh kesimpulan bahwa EndR(Q

M ) adalah ring bersih-n kuat. Akibatnya Q

IM adalah modul bersih-n kuat. Kondisi yang lebih umum juga dapat dibuktikan seperti pada proposisi berikut ini.

Proposisi 3.11. Jika {Mλ} adalah keluarga modul-modul atas ring R dan terdapat modul bersih-n kuat Mλ0 di antara mereka, maka Q

ΛMλ dengan Λ himpunan indeks berhingga, merupakan modul bersih-n kuat.

Bukti. Karena terdapat Mλ0 yang merupakan modul bersih-n kuat, maka EndR(M0) adalah ring bersih-n kuat. Selanjutnya menggunakan fakta bahwa Q

EndR(Mλ) ' EndR(Q

Mλ) dan menggunakan Proposisi 2.2 diperoleh kesimpulan bahwa EndR(Q Mλ) adalah ring bersih-n kuat. Akibatnya Q

ΛMλadalah modul bersih-n kuat.

Akibatnya jika dikaitkan dengan suatu barisan eksak pendek akan menghasilkan sifat berikut.

Proposisi 3.12. Sebarang modul proyektif P yang bersih-n kuat merupakan penjumlah langsung dari suatu modul bersih-n kuat.

Bukti. Sebarang modul pasti mempunyai presentasi bebas. Presentasi bebas modul P adalah sebagai berikut: Karena P modul proyektif, maka barisan tersebut terpisah (split), sehingga diperoleh F ' Ker(ψ) ⊕ P .

Daftar Pustaka

[1] Camillo, V.P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W.K., 2006, Continuous Modules are Clean, Journal of Algebra Vol. 304 No.1, 94 - 111.

[2] Chen, H., Chen, M., 2002, On Clean Ideals, International Journal of Mathematics and Mathe-matical Sciences (IJMMS) 62, 2003, 3949 - 3956.

[3] Chen, W., 2006, P -Clean Rings, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (IJMMS) 2006, 1-7.

[4] Haily, A., Rahnaoui, H., 2010, Endomorphisms of Continuous Modules with Some Chain Condi-tions, International Journal of Algebra Vol. 4 No. 8, 397-402.

[5] Khaksari, A., Moghimi, G., 2009, Some Results on Clean Rings and Modules, World Applied Sciences Journal, vol. 6 (10), 1384 - 1387.

[6] Wisbauer, R., 1991, Foundations of Modules and Rings Theory, Gordon and Breach Reading.

[7] Zhang,H., 2009, On Strongly Clean Modules, Communications in Algebra 37(4), 1420-1427.

ALGORITMA PERUBAHAN PEMROGRAMAN LINIER

Dalam dokumen DINAMIKA GRADIEN SUHU UDARA DAN KELEMBABAN DI SEKITAR BATAS HUTAN MANGROVE (Halaman 80-91)