BUKAN GRAF POHON
Teorema 1.1 (Sugeng dan Miller [6]) Dual dari pelabelan total -busur berurutan busur ajaib untuk suatu graf G adalah suatu pelabelan total - busur berurutan busur
ajaib.
Teorema 1.2 (Sugeng dan Miller [6]) Jika suatu graf terhubung G mempunyai pelabelan total b-busur berurutan busur ajaib dengan 1, 2, 3, … , 1 maka G adalah suatu graf pohon.
Pada bukti dari Teorema 1.2 ditunjukkan juga bahwa jika suatu graf G memiliki suatu pelabelan total maka banyak maksimum busur pada G adalah 1.
Sehingga kelas graf terhubung yang memenuhi kondisi ini hanyalah graf pohon. Akan tetapi suatu graf terhubung bukan pohon dimungkinkan untuk mempunyai pelabelan total dengan menambahkan sejumlah berhingga simpul terisolasi agar pada graf tersebut dipenuhi 1. Contoh pelabelan total pada graf bukan pohon, yaitu gabungan dari suatu graf terhubung dengan graf hutan, dapat dilihat pada Silaban dan Sugeng [4]. Pada pelabelan lain telah diketahui kelas-kelas graf mana yang telah ditemukan pelabelannya. Untuk lebih jelasnya lihat Galian [2]. Kenyataan ini memberikan masalah yang menarik untuk dikaji, yaitu kelas graf (bukan pohon) mana sajakah yang dapat diberi pelabelan total , dan jika graf tersebut bisa dilabel, berapa banyak minimal simpul terisolasi yang harus ditambahkan. Pada makalah ini akan diberikan konstruksi dari pelabelan total pada graf tangga dan graf terhubung yang dibentuk dari graf tangga dan graf lintasan dengan menambahkan simpul-simpul terisolasi.
2. Hasil Utama
Berikut akan diberikan lemma dari Sugeng dan Silaban [7] yang akan digunakan untuk membuktikan konstruksi dari pelabelan total pada suatu graf. Lemma ini adalah adaptasi dari lemma yang diberikan oleh Figuerora-Centeno dkk. [1] yang merupakan sifat dari pelabelan total super ajaib. Sifat yang sama juga berlaku untuk pelabelan total . Walaupun label simpul-simpul pada pelabelan total
terbagi dalam dua kelompok bilangan berurutan yang berbeda, himpunan
| terdiri dari bilangan bulat positif berurutan seperti yang diberikan pada Lemma 2.1.
Lemma 2.1 Suatu graf dengan simpul dan busur adalah suatu graf jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi bijektif : 1,2, … , sedemikian
sehingga 1,2, … , 1, 2, 3, … , , 0 dan
himpunan | terdiri dari bilangan bulat positif berurutan.
Dalam kasus ini, ditingkatkan menjadi pelabelan total pada G dengan
konstanta ajaib dengan dan |
1 , 2 , . . . , .
Himpunan simpul-simpul dan busur-busur dari gabungan graf lintasan , ,
adalah : 1 , 1 dan : 1 1, 1 .
Banyak simpul dari adalah dan banyak busurnya adalah 1 . Graf tangga adalah graf hasil perkalian kartesius dari dua graf lintasan dan , yaitu . Graf tangga mengandung dua lintasan sehingga gabungan dari 2 dengan satu graf tangga mengandung 2 2 graf lintasan . Banyak simpul dan busur pada
2 adalah dan 1 . Jika maka 1,
sehingga agar 2 memiliki suatu pelabelan total perlu ditambahkan simpul terisolasi. Pada Teorema 2.2 diberikan konstruksi pelabelan total
pada gabungan 2 dengan graf tangga (2 ).
Konstruksi dibangun dengan menambahkan 1 simpul terisolasi Teorema 2.2 Graf gabungan 2 dengan graf tangga (2 memiliki pelabelan total 1 dengan 1 simpul terisolasi.
BUKTI. Pada graf 2 terdapat sebanyak 2 2 graf . Tanpa kehilangan keumuman, tempatkan graf tangga di tengah-tengah dari 2 , sehingga jika seluruh lintasan pada 2 diurutkan, yaitu sampai , maka lintasan pada graf tangga adalah dan . Nyatakan simpul terisolasi dengan
, 1, 2, … , 1.
Ambil
3
2 1 2
Label simpul-simpul dari 2 sebagai berikut.
1
2 1 1 , ganjil, ganjil 1
2 1 , genap, genap
1 1
2 1 , ganjil, genap
1 1
2 1 1 , genap, ganjil
.
dimana 1,2, … , , 1, … , . Kemudian label simpul terisolasi dengan 2 2 , 1, 2, 3, … , 1.
Karena bobot busur-busur , merupakan himpunan bilangan
bulat positif berurutan 1, 2, 3, , 1 maka
menggunakan Lemma 2.1 dapat diperoleh pelabelan total untuk 2 dengan bilangan ajaib 3 2 1
Gambar 2.1. Pelabelan total 10 pada 2 , 65
Pada Gambar 2.1 diberikan pelabelan total pada 2 dengan bilangan ajaib 65, 10, dan 4 simpul terisolasi.
Dengan mengambil 0 pada Teorema 2.2 diperoleh pelabelan untuk graf tangga, seperti diberikan pada Akibat 2.3.
Akibat 2.3 Graf tangga memiliki pelabelan total dengan 1 simpul terisolasi.
Pada Teorema 2.2 diberikan pelabelan total pada graf 2
yang diperoleh dengan menambahkan 1 simpul terisosalsi, sehingga banyak simpul dan busur adalah 1 dan 1 . Artinya masih mungkin untuk menambahkan sejumlah 2 busur pada graf tersebut agar 1. Graf yang terbentuk dengan menambahkan sejumlah 2 busur dengan cara tertentu pada 2
akan membentuk suatu graf terhubung yang bukan pohon yang mengandung 2 dan graf tangga , yang untuk selanjutnya disebut graf dengan 2 menyatakan banyak graf lintasan yang mengapit graf tangga .
Teorema 2.4 Graf memiliki pelabelan total 1 dengan 1 simpul terisolasi.
BUKTI. Mulai dari graf 2 . Tanpa kehilangan keumuman, tempatkan graf tangga di tengah-tengah dari 2 , sehingga jika seluruh lintasan diurutkan sampai maka lintasan pada graf tangga adalah dan . Misalkan
2 : 1 , 1 dengan menyatakan
simpul ke- pada lintasan ke- . Label graf menggunakan Algoritma 2.1.
Algoritma 2.1.
1. Nyatakan simpul terisolasi dengan , 1, 2,3, … , 1. Ambil 3
2 2
Label simpul-simpul 2 dengan yang diberikan pada bukti dari Teorema 2.2.
2. Tambahkan 1 busur ke 2 dengan menghubungkan ke untuk 1, 2, 3, … , 1.
3. Tambahkan 1 busur ke 2 dengan menghubungkan ke untuk 1, 2, 3, … , .
Untuk menjamin bahwa pelabelan yang dihasilkan oleh Algoritma 2.1 adalah pelabelan total , harus ditunjukkan bahwa himpunan bobot busur
, terdiri dari bilangan bulat positif berurutan (Lemma 2.1). Himpunan
bobot busur , dari langkah 1 adalah 1 bilangan
bulat positif berurutan 1, 2, 3, , 1 seperti
yang diberikan pada bukti dari Teorema 2.2. Bobot busur-busur yang ditambahkan pada langkah 2 adalah 1 bulat positif berurutan 2, 3, 4, , dan bobot busur-busur yang ditambahkan pada langkah 3 adalah 1 bulat positif berurutan
1 1, 1 2, 1
3, , 1 1 . Secara keseluruhan diperoleh 2 bobot
busur 2, 3, 4, , 1 . Terbukti bahwa graf memiliki
pelabelan total dengan konstanta ajaib 3 2 2.
Gambar 2.2 memberikan contoh pelabelan total 20 pada graf dengan konstanta ajaib 126.
Gambar 2.2 Pelabelan total 20 pada graf dengan 12
3
71
13
83 65
8
77
18 4
72
14
84 52
42
30 53
41
31 50
40
28 59
60 61
64
7
76
17 55
43
33
25 36 47 58 62
24 2
70
12
82 54
44
32 63
6
75
16 57
45
35 1
69
11
81 56
46
34
67
10
79
20 49
27 5
73
15
85 48
38
26 66
9
78
19 51
39
29
68
74
80
23 22 21
37
Menerapkan pelabelan dual yang diberikan pada Teorema 1.1 ke Teorema 2.2, Akibat 2.3, dan Teorema 2.4 diperoleh Akibat 2.5, 2.6, dan 2.7.
Akibat 2.5 Graf gabungan 2 dengan graf tangga (2
memiliki pelabelan total 2 1 dengan 1 simpul terisolasi.
Akibat 2.6 Graf tangga memiliki pelabelan total 2 1 dengan 1 simpul terisolasi.
Akibat 2.7 Graf memiliki pelabelan total 2 1 dengan 1 simpul terisolasi.
3. Kesimpulan
Pada makalah ini diberikan kostruksi pelabelan total pada graf tangga, graf 2 , dan graf dengan menambahkan simpul terisolasi pada graf-graf tersebut. Pelabelan pada graf tangga dan graf juga merupakan contoh pelabelan total pada graf terhubung yang bukan graf pohon. Penelitian lebih lanjut pada pelabelan total masih sangat terbuka, baik untuk graf terhubung maupun graf tidak terhubung.
Ucapan terima kasih. Sebagian dari penelitian ini didanai oleh Hibah Kompetensi Dikti 2010 No. 239/SP2H/PP/DP2M/III/2010.
Daftar Pustaka
[1]. R. M. Figuerora-Centeno, R. Ichisima dan F.A. Muntaner-Batle, The place of super edge magic labeling among other classes of labelings, Discrete Math. 231 (2001) 153-168.
[2]. J. Gallian, A dynamic survey of graph labeling, The Electronic Journal of Combinatorics 6 (2009), DS6.
[3]. J. Sedlácek, Problem 27, in: Theory of Graphs and its Applications, Proc. Symposium Smolenice (1963) 163-167.
[4]. D. R. Silaban dan K. A. Sugeng, Construction of edge consecutive edge magic labeling on a disconnective graph which are not a subclass of forest, Proccedings of IndoMS International Conference on Mathematics and Its Applications (IICMA), October (2009) 907-911.
[5]. K. A. Sugeng, Pelabelan Berurutan Sisi Ajaib Total dari Suatu Graf, Prosiding Konperensi Nasional Matematika XIV Palembang, Juli (2008) 233-238.
[6]. K. A. Sugeng dan M Miller, On concecutive edge magic total labeling of graphs, Journal of Discrete Algorithms (2006).
[7]. K. A. Sugeng dan D. R. Silaban, An edge consecutive edge magic total labeling on some classes of tree, Proccedings of the 5th International Conference on Mathematics, Statistics and Their Applications (ICMSA), June (2009) 966-969.
61