BAB II KAJIAN PUSTAKA
C. Bangun Ruang Sisi Datar
Bangun ruang sisi datar adalah bangun tiga dimensi yang semua sisinya datar, yaitu bangun yang dapat dilihat dari semua sisinya datar (Harahap, S., 2018). Bangun ruang sisi datar yang akan dibahas terbagi menjadi prisma, balok, kubus, dan limas. Berikut dijelaskan jenis-jenis bangun ruang sisi datar.
1. Prisma a. Definisi
Misalkan dua segi (poligon) kongruen terletak pada bidang yang sejajar (bidang dan ) sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sejajar. Jika titik sudut yang bersesuaian dari segi ini (seperti A dan A' pada Gambar 2.3(a)) digabungkan dengan ruas garis maka padatan atau bangun ruang yang dihasilkan dikenal sebagai prisma. Bangun-bangun kongruen yang terletak pada bidang sejajar disebut alas atau dasar prisma (Alexander & Koeberlein, 2015).
Gambar 2. 3 Visualisasi Definisi Prisma
Berdasarkan prisma pada Gambar 2.3, berikut definisi prisma tegak dan prisma miring sebagai berikut.
b. Unsur-Unsur Prisma
Alexander & Koeberlein (2015) menjelaskan bidang sejajar (bidang dan ) tidak perlu diperlihatkan dalam menggambar prisma sehingga gambar prisma seperti Gambar 2.4.
Gambar 2. 4 Prisma Segitiga Siku-Siku
Alexander & Koeberlein (2015) menjelaskan bahwa rusuk prisma terdiri dari rusuk alas dan rusuk samping. , , , , , dan merupakan rusuk alas prisma sedangkan Definisi 2. 1
Prisma tegak merupakan prisma dengan rusuk samping prisma tegak lurus terhadap rusuk alas di titik perpotongannya.
Prisma miring merupakan prisma dengan rusuk samping yang sejajar miring terhadap rusuk alas di titik perpotongannya.
, , dan merupakan rusuk samping prisma. Pada Gambar 2.3 (b), rusuk samping prisma tidak tegak lurus dengan rusuk alas prisma sehingga rusuk samping prisma digambarkan miring.
Pada prisma miring, sisi sampingnya berbentuk jajar genjang. Sisi samping prisma berbentuk persegi panjang karena rusuk samping prisma tegak lurus dengan rusuk alas. Pada Gambar 2.4, sisi samping prisma terdiri dari segiempat , , dan dan sisi alas prisma terdiri dari segitiga dan . Titik sudut prisma merupakan titik pertemuan tiga sisi. Titik sudut pada prisma (Gambar 2.4) yaitu dan
Kedua prisma pada Gambar 2.3 memiliki sebuah tinggi. Alexander & Koeberlein (2015) menjelaskan panjang h merupakan tinggi prisma (ruas garis yang tegak lurus dan menghubungkan bidang sejajar. Pada Gambar 2.4 yang merupakan tinggi prisma yaitu , , dan .
Penjelasan yang digunakan untuk mengklasifikasikan sebuah prisma bergantung pada bentuk alas prisma (Alexander & Koeberlein, 2015). Gambar 2.4 merupakan gambar prisma segitiga siku karena alas prisma berbentuk segitiga siku-siku.
c. Luas Permukaan Prisma
Alexander & Koeberlein (2015) menjelaskan konsep luas permukaan prisma dengan menentukan luas sisi samping prisma terlebih dahulu. Prisma segitiga siku-siku pada Gambar 2.4 memiliki panjang sisi-sisi dari sebuah alas yaitu a, b, dan c.
Berdasarkan Gambar 2.4 dan definisi di atas, luas lateral dihitung dengan menjumlahkan luas persegi panjang , , dan sehingga dapat ditentukan sebagai berikut.
( )
dengan P merupakan keliling alas prisma.
Alexander & Koeberlein (2015) menjelaskan bahwa rumus berlaku untuk menentukan luas lateral prisma tegak maupun prisma miring.
Teorema 2. 1 Definisi 2. 2
Luas lateral (L) sebuah prisma adalah jumlah luas seluruh sisi samping.
Luas lateral L setiap prisma dengan ketinggian yang memiliki ukuran h dan alasnya memiliki keliling P adalah L=hP.
Penjelasan selanjutnya yaitu mengenai luas keseluruhan sisi untuk setiap prisma yang juga dikenal sebagai luas permukaan.
Sisi-sisi alas dan sisi-sisi samping dikenal sebagai sisi-sisi sebuah prisma. Jadi, total luas T sebuah prisma merupakan jumlah seluruh luas sisi pada prisma (Alexander & Koeberlein, 2015).
Gambar 2. 5 Jaring-Jaring Prisma Segitiga Siku-Siku Teorema 2.2 dibuktikan dengan menggunakan ilustrasi gambar jaring-jaring prisma segitiga siku-siku pada Gambar 2.5. Jaring-jaring prisma merupakan suatu pola dimensi dua yang dapat Definisi 2. 3
Teorema 2. 2
Untuk setiap prisma, jumlah keseluruhan luas T merupakan jumlah luas lateral dan luas sisi-sisi alas.
Jumlah keseluruhan luas T untuk setiap prisma dengan luas sisi samping L dan luas sisi alas B adalah 𝑇 𝐿 2𝐵
digunakan untuk membentuk suatu prisma (Marsigit, 2009). Jika suatu prisma segitiga siku-siku diiris beberapa rusuknya kemudian dibentangkan maka terbentuk jaring-jaring prisma segitiga siku-siku. Gambar 2.5 menunjukkan bahwa luas total bergantung pada luas sisi samping prisma dan luas sisi kedua alas. Berdasarkan Definisi 2.2, Teorema 2.1, Definisi 2.3, dan Teorema 2.2 maka
( ) (2 ) d. Volume Prisma
Berdasarkan postulat di atas, semua padatan dapat dikaitkan dengan suatu bilangan positif dan keterkaitan tersebut berupa pengukuran volume. Alexander & Koeberlein (2015) menjelaskan konsep volume dengan ilustrasi sebuah kotak yang digunakan sebagai wadah penyimpanan. Ilustrasi sebuah kotak menunjukkan bahwa penting untuk menghitung volume sebagai ukuran kapasitas. Dimensi yang digunakan untuk menentukan volume padatan adalah panjang, lebar, dan tinggi.
Postulat 2. 1 (Alexander & Koeberlein, 2015)
Setiap padatan dikaitkan dengan sebuah bilangan positif V yang disebut volume padatan.
Volume prisma tegak adalah 𝑉 𝐵 , dimana B merupakan luas sisi alas dan h merupakan tinggi prisma. Postulat 2. 2
Berdasarkan Postulat 2.2 maka volume sebuah prisma dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
dengan t merupakan tinggi prisma dan V sebagai volume prisma. Setelah pembahasan mengenai definisi prisma, unsur-unsur prisma, luas permukaan, dan volume, berikut ini akan dibahas mengenai jenis prisma yaitu balok.
2. Balok a. Definisi
Gambar 2. 6 Balok ABCD.EFGH
Balok diklasifikasikan sebagai prisma. Hal tersebut diperkuat oleh pendapat Alexander & Koeberlein (2015) yaitu klasifikasi sebuah prisma bergantung pada bentuk alas prisma. Berikut ini penjelasan mengenai definisi balok (Hart & Feldman, 2013)
Berdasarkan Definisi 2.4 dan Definisi 2.5, balok merupakan paralelpipedum yang alasnya berbentuk persegi panjang dan sekaligus merupakan prisma tegak.
b. Unsur-Unsur Balok
Balok mempunyai unsur-unsur yang dijelaskan sebagai berikut. Pada Gambar 2.6, balok mempunyai dua belas buah rusuk. Berdasarkan penjelasan Alexander & Koeberlein (2015) mengenai prisma maka balok yang merupakan prisma persegi panjang memiliki rusuk alas dan rusuk samping. Jumlah rusuk pada balok ABCD.EFGH adalah dua belas buah. Pada balok ABCD.EFGH, , , , , , dan yang merupakan rusuk alas. Sedangkan , , , dan merupakan rusuk samping.
Balok memiliki sisi yang berjumlah enam buah. Sisi pada balok terbagi menjadi sisi alas dan sisi tegak. Pada balok ABCD.EFGH sisi alasnya terdiri dari persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH. Sedangkan sisi tegak pada balok
Definisi 2. 4 (Hart & Feldman, 1911)
Paralelpipedum merupakan prisma dengan alas berbentuk jajar genjang.
Balok merupakan paralelpipedum tegak yang alasnya berbentuk persegi panjang.
ABCD.EFGH yaitu persegi panjang ABFE, DCGH, BCGF, dan ADHE. Titik sudut pada balok ABCD.EFGH berjumlah delapan buah yang terdiri dari titik sudut dan
Diagonal sisi pada balok ABCD.EFGH berjumlah dua belas buah. Diagonal sisi pada balok ABCD.EFGH adalah , , , , , , , , , , , dan . Bidang diagonal balok ABCD.EFGH berjumlah enam buah, yaitu bidang ABGH, DCFE, BCHE, AFGD, ACGE, dan DBFH. Diagonal ruang ruang balok ABCD.EFGH berjumlah empat buah, yaitu , , , dan .
Balok merupakan prisma tegak persegi panjang yang memiliki dimensi panjang p, lebar l, dan tinggi t (Alexander & Koeberlein, 2015) serta dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
c. Luas Permukaan Balok
Jika balok ABCD.EFGH terbuat dari karton yang diiris sepanjang , , , , , dan kemudian dibentangkan sisi-sisinya, maka akan diperoleh jaring-jaring balok seperti gambar berikut.
Gambar 2. 8 Contoh Jaring-Jaring Balok
Gambar 2.8 menunjukkan bahwa luas permukaan balok bergantung pada luas sisi tegak balok dan luas sisi kedua alas. Sisi tegak balok ABCD.EFGH terdiri dari dua pasang persegi panjang. Berikut ilustrasi sisi tegak pada balok ABCD.EFGH.
Berdasarkan Gambar 2.9, sebuah balok ABCD.EFGH memiliki dua buah sisi tegak berbentuk persegi panjang dengan dimensi panjang p dan tinggi t. Sehingga jumlah luas sisi tegak yang berdimensi panjang p dan tinggi t sebagai berikut.
2 ( )
Berikut ini merupakan ilustrasi sisi tegak pada balok ABCD.EFGH dengan dimensi lebar l dan tinggi t.
Gambar 2. 10 Ilustrasi Sisi Tegak Dimensi l dan t
Berdasarkan Gambar 2.10, sebuah balok ABCD.EFGH memiliki dua buah sisi tegak berbentuk persegi panjang dengan dimensi lebar l dan tinggi t. Sehingga jumlah luas sisi tegak yang berdimensi lebar l dan tinggi t sebagai berikut.
2 ( )
Selain sisi tegak, balok yang merupakan prisma persegi panjang memiliki sisi alas yang berjumlah dua buah. Ilutrasi sisi alas yang dimiliki balok ABCD.EFGH dapat dilihat pada Gambar 2.11.
Gambar 2. 11 Ilustrasi Sisi Alas Dimensi p dan l
Gambar 2.10 menunjukkan bahwa balok ABCD.EFGH memiliki dua buah sisi alas berbentuk persegi panjang dengan dimensi panjang p dan lebar l. Sehingga jumlah luas sisi alas yang berdimensi panjang p dan lebar l sebagai berikut.
2 ( )
Berdasarkan Teorema 2.2, luas permukaan balok dapat ditentukan dengan
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) Sehingga diperoleh rumus
2 (( ) ( ) ( ))
dengan p, l, dan t berturut-turut merupakan panjang, lebar, dan tinggi balok.
d. Volume Balok
Postulat 2. 3 (Alexander & Keoberlein, 2015)
Volume prisma tegak persegi panjang adalah 𝑉 𝑙𝑤 , dengan l ukuran panjang, w ukuran lebar, dan h ukuran tinggi dari prisma.
Berdasarkan Postulat 2.3 dan Gambar 2.6, volume balok V dengan ukuran panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut adalah p, l, dan t sebagai berikut.
Alexander & Keoberlein (2015) menjelaskan bahwa meskipun tidak ada bedanya dimensi mana yang dipilih untuk p atau l atau t, penting untuk diingat dalam menerapkan Postulat 2.3. Satuan yang digunakan untuk dimensi p, l, dan t harus sama ketika menerapkan rumus volume balok.
3. Kubus a. Definisi
Berikut ini merupakan gambar kubus.
Gambar 2. 12 Kubus ABCD.EFGH
Kubus merupakan prisma tegak persegi dengan sisi-sisi yang kongruen.
Kubus merupakan prisma tegak persegi yang memiliki dimensi panjang a, lebar a, dan tinggi a.
b. Unsur-Unsur Kubus
Kubus memiliki unsur-unsur sebagai berikut (Sukino & Simangunsong, W., 2006). Berdasarkan Gambar 2.12, rusuk kubus berjumlah dua belas buah rusuk. Kubus sebagai prisma tegak persegi memiliki rusuk alas dan rusuk tegak. Rusuk alas kubus ABCD.EFGH adalah , , , , , , , dan . Sedangkan rusuk tegak kubus ABCD.EFGH adalah , , , dan .
Kubus ABCD.EFGH memiliki sisi yang berjumlah dua belas buah. Sisi kubus dapat dikelompokkan menjadi dua bagian besar, yaitu sisi alas dan sisi tegak. Berdasarkan Gambar 2.12, sisi alas kubus ABCD.EFGH adalah persegi dan persegi Kedua sisi kubus tersebut saling sejajar, yang ditulis . Sedangkan sisi tegak kubus ABCD.EFGH terdiri atas persegi dan Titik sudut kubus ABCD.EFGH berjumlah delapan buah dengan titik dan
Diagonal sisi kubus ABC.EFGH berjumlah dua belas, yaitu , , , , , , , , , , , dan . Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH berjumlah empat buah, yaitu , , , dan . Kubus ABCD.EFGH mempunyai
enam buah bidang diagonal, antara lain bidang dan
c. Luas Permukaan Kubus
Jaring-jaring kubus merupakan rangkaian enam buah persegi yang jika dilipat-lipat menurut garis persekutuan dua persegi dapat membentuk kubus tetapi tidak boleh terdapat bidang yang rangkap atau bertumpuk (Adinawan, C. & Sugijono, 2014). Berikut dua contoh jaring-jaring kubus.
Gambar 2. 13 Dua Contoh Jaring-Jaring Kubus
Berdasarkan penjelasan Alexander & Koeberlein (2015) dan Definisi 2.3, sisi-sisi alas dan sisi-sisi samping dikenal sebagai sisi-sisi sebuah prisma sehingga total luas T sebuah prisma merupakan jumlah seluruh luas sisi pada prisma. Kubus memiliki enam buah sisi berbentuk persegi dan panjang rusuk a
(Gambar 2.13). Oleh karena yaitu, luas permukaan kubus dengan panjang rusuk a sebagai berikut.
d. Volume Kubus
Berdasarkan Postulat 2.2 yang dituliskan pada bagian prisma dan penjelasan mengenai dimensi panjang a, lebar a, dan tinggi a yang terdapat pada kubus maka volume kubus sebagai berikut.
4. Limas
a. Definisi
Gambar 2. 14 Limas Segilima Definisi 2. 7 (Alexander & Koeberlein, 2015)
Limas beraturan merupakan limas yang memiliki alas berbentuk segi banyak beraturan dan sisi-sisi samping yang kongruen.
b. Unsur-Unsur Limas
Limas pada Gambar 2.14 memiliki unsur-unsur sebagai berikut (Alexander & Koeberlein, 2015). Limas segilima memiliki puncak K. segilima LMNPQ sebagai alas, dan rusuk-rusuk tegak antara lain , , , dan Limas segilima memiliki enam titik sudu yaitu K, L, M, N, P, dan Q. Tinggi limas segilima, yaitu panjang h, merupakan ruas garis dari pucak K yang tegak lurus terhadap bidang alasnya.
Limas segilima memiliki sisi alas dan sisi tegak. Sisi alas limas segilima pada Gambar 2.14 yaitu segilima LMNPQ. Sedangkan semua sisi tegak limas berbentuk segitiga. Pada limas segilima (Gambar 2.14), sisi tegaknya yaitu , , , , dan Sehingga jumlah sisi limas segilima adalah enam buah sisi.
Misalkan limas segilima merupakan limas segilima beraturan, sisi-sisi tegaknya kongruen satu sama lain ( ). Semua sisi tegak merupakan segitiga sama kaki. Tinggi pada limas beraturan merupakan ruas garis yang menghubungkan puncak limas dengan pusat segi banyak yang disebut alas limas (Alexander & Koeberlein, 2015)
Gambar 2. 15 Ilustrasi Tinggi Sisi Tegak Limas
Alexander & Koeberlein menjelaskan bahwa diantara jenis limas, hanya limas beraturan yang memiliki tinggi sisi miring. Panjang l meripakan panjang tinggi miring limas beraturan.
c. Luas Permukaan Limas
Alexander & Koeberlein (2015) menjelaskan bahwa ketika sisi-sisi tegak limas beraturan dibentangkan pada bidang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.16, luas sisi yang diarsir merupakan jumlah luas sisi tegak yang berbentuk segitiga. Sisi-sisi tegak limas yang dibentangkan membentuk jaring-jaring limas. Dengan menggunakan rumus luas segitiga, luas setiap segitiga adalah , dengan sisi sebuah segitiga panjangnya s dan tinggi l.
Definisi 2. 8
Tinggi miring sebuah limas beraturan merupakan tinggi dari puncak limas ke dasar setiap sisi tegak limas beraturan yang kongruen.
Gambar 2. 16 Jaring-Jaring Limas Segilima
Banyaknya sisi tegak limas bergantung pada segi n. Karena terdapat n segitiga pada segi n, maka luas sisi tegak L sebagai berikut. 2 2 ( ) 2 dimana P merupakan keliling alas.
Penjelasan di atas merupakan konsep dasar bagi teorema di bawah ini.
Luas sisi tegak L sebuah limas beraturan dengan tinggi sisi tegak l dan keliling alas P adalah 𝐿 𝑙𝑃
Pembahasan selanjutnya mengenai luas permukaan limas. Luas permukaan limas merupakan jumlah dari luas sisi tegak dan luas sisi alas. Hal tersebut diperkuat dengan Teorema 2.4 di bawah ini.
Berdasarkan Teorema 2.3 dan Teorema 2.4, rumus luas permukaan limas dapat ditulis sebagai berikut.
2 Sehingga
( ) dengan T merupakan luas permukaan limas.
d. Volume Limas
Berdasarkan Teorema 2.5, rumus volume limas V sebagai berikut.
Luas permukaan T sebuah limas dengan luas sisi tegak L dan luas sisi alas B adalah 𝑇 𝐿 𝐵
Teorema 2. 4
Volume limas yang memiliki luas sisi alas B dan tinggi h adalah 𝑉 𝐵