Dimana : P(A) = Peluang kejadian A

x =Banyaknya kejadian A

n = Banyaknya semua kejadian yang mungkin terjadi

Contoh : sebuah dadu dilemparkan sebanyak 1 kali. Berapa peluang terjadinya mata dadu bilngan ganjil?

Jawab : n = 6 (banyaknya angka yang mungkin mucul dalam pelemparan dadu kali)

x = 3 (banyaknya bilangan ganjil pada mata dadu ; 1, 3, 5)

Jadi peluang terjadinya mata dadu bilngan ganjil dari sebuah daduyang dilemparkan satu kali adalah ½.

b. Pendekatan Frekuensi Relatif

Dalam pendekatan ini, peluang ditentukan dengan percobaan berulang kali dan dicatat besarnya frekuensi relatif masing-masing kejadian.

Dimana

:

P(A) = Peluang kejadian A

f(A) = Frekuensi munculnya kejadian A N = Frekuensi secara keseluruhan

144

Contoh : Terdapat 1000 pelajar SMA yang mengikuti tes masuk sebuah universitas, yang lulus hanya 250 orang. Maka peluang pelajar SMA yang lulus tes masuk universitas tersebut adalah :

Maka peluang pelajar SMA yang mengikuti tes masuk universitas tersebut adalah ¼ atau 0,25.

2. Subjective Probability (Pendekatan Subjektif)

Dalam pendekatan ini, peluang ditentukanoleh seorang individu berdasarkan informasi yang tersedia.

Contoh : Peluang terjadinya banjir di Jakarta tahun ini adalah sebesar 0,7. Peluang ini ditentukan menurut subjektivitas seseorang, tentu saja akan berbeda dengan peluang yang di tentukan orang lain.

Faktorial

Faktorial merupakan banyaknya cara yang dihasilkan dari n obyek yang berbeda, dilambangkan dengan n! atau n factorial.

Contoh : Bila terdapat 5 orang mengantri membeli tiket bisoskop, maka ada berapa cara antrian tersebut dapat dihasilkan?

Jawab : n = 5

n! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

145

Permutasi

Permutasi adalah kemungkinan susunan dari r obyek yang diambil dari n obyek. Permutasi sangat memperhatikan susunan letak dari obyek, dalam hal ini berarti XYZ akan berbeda dengan XZY, YZX, dsb.

Rumus :

=

Dimana : n = jumlah obyek

r = jumlah obyek yang dipilih

Contoh : Dari 7 orang pelamar PNS, hanya dipilih 3 orang yang berhak menjadi PNS. Berapakah kemungkinan cara yang dtempuh untuk menempati 3 lowongan tersebut?

Banyak cara adalah =

Misalnya terdapat n obyek dimana merupakan obyek jenis kesatu, merupakan

obyek jenis kedua,…., merupakan obyek jenis k, dan , maka :

Rumus :

nP

Contoh : Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “GELANGGANG”?

Jawab : terdapat 10 hurufpada kata GELANGGANG ( n = 10), terdiri dari 4 huruf G

( ), 2 huruf A ( , 2 huruf N ( , 1 huruf E ( , dan 1 huruf L ( )

146

Maka banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah :

=

= 37800 cara

Kombinasi

Kombinasi adalah banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada saat seseorang melakukan pengambilan r obyek dari n obyek yang tersedia tanpa mempehatikan letak susunannya. Dalam hal ini XYZ sama artinya dengan XZY, YZX, dsb.

Rumus :

Dimana :n = jumlah obyek

r = jumlah obyek yang dipilih

Contoh : Terdapat 6 orang mahasiswa yang akan dipilih menjadi delegasi dalam sebuah konferensi, dan yang akan dipilih hanya 2 orang secara acak maka berapa banyak cara yang mungkin dihasilkan?

Jawab : n = 6, r = 2 maka banyaknya cara adalah

Macam - Macam Kejadian (Event)

1. Kejadian Terpisah (Mutually Exclusive)

Dua kejadian A dan B disebut saling terpisah bila kedanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain munculnya kejadian A menghilangkan peluang munculnya kejadian B, sehingga P (A = 0.

147

Rumus : P ( A = P (A) + P (B)

Contoh : setumpuk kartu dikocok, kemudian diambil secara acak, berapa peluang terambilnya kartu Queen hati atau As berwarna hitam?

Jawab : P (Queen hati As hitam) = P (Queen hati) + P (As hitam) =

2. Kejadian Bukan Terpisah (Inclusive)

Terjadinya peristiwa bukan menghilangkan peristiwa yang lain, tapi kejadian yang ada mungkin memiliki sifat gabungan dari kejadian yang lain, sehinga P (A 0

Rumus : P ( A = P (A) + P (B) - P ( A

Contoh : sebuah dadu dilempar, maka berapa peluang muncul angka genap atau mata dadu empat?

Jawab : angka genap pada dadu (A) = 2, 4, 6 angka mata dadu empat (B) = 4

Sifat gabungan(A = 4

P ( angka genap mata dadu empat) = 3. Kejadian Bebas

Dua kejadian disebut bebas bila nilai peluang kejadian A tidak bergantung pada muncul atau tidaknya kejadian B, dan begitu pula sebaliknya.

148

Contoh : Peluang terjadinya banjir di Jakarta 0,7 dan peluang terjadinya banjir Bandung 0,4. Berapa peluang banjir di Jakarta dan di Bandung?

Jawab : P ( banjir di Jakarta banjir di Bandung ) = 0,7 x 0,4 = 0,28

4. Kejadian Tak Bebas

Dua Kejadian A dan B disebut tidak bebas bila kejadian yang satu dipengaruhi oleh kejadian yang lainnya.

Rumus : P ( A = P(A) x P(B / A) atau P ( A B) = P (B) x P ( A / B) Dimana P ( B / A) adalah peluang munculnya kejadian B setelah munculnya kejadian A, begitu pula sebaliknya untuk P (A / B)

Contoh : Sebuah dus berisi 2 buah kemeja, 3 buah celana, dan 6 buah kaos. Jika diambil 2 barang secara berturut-turut dari dus tersebut tanpa pengembalian, maka berapa peluang terambilnya yang pertama kemeja dan yang kedua celana?

Jawab : P ( Kemeja Celana ) = P (Kemeja) x P ( Celana / Kemeja) =

Teknik Pengembalian

1. Dengan Pengembalian

Suatu cara pengambilan yang pengambilan berikutnya dilakukan setelah mengembalikan terlebih dahulu pengambilan sebelumnya.

Contoh : Sebuah kotak berisi 2 bola merah, 4 bola putih, dan 4 bola hijau. Dilakukan pengambilan 3 bola dari kotak tersebut secara acak dengan

149

pengembalian. Berapakah peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih berturut-turut? Jawab : P (M = 2. Tanpa Pengembalian

Suatu cara pengambilan yang pengembalian berikutnya tanpa mengembalikan terlebih dahulu pengambilan sebelumnya.

Contoh : Kotak berisi 3 bola merah, 4 bola putih, 3 bola hijau. Dilakukan pengambilan 3 bola dari kotak tersebut secara random tanpa pengembalian. Brapakah peluang terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih berturut-turut?

Jawab : P (M =

Teorema Bayes

Teorema Bayes merupakan probabilitas bersyarat suatu kejadian yang terjadi setelah kejadian yang lain muncul.

Rumus :

P (

/ B ) =

Contoh : Suatu operator telekomunikasi nirkabel mempunyai 2 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu di dareah A dan B dengan masing-masing memiliki peluang 0.4, 0.6. Bila pemancar dibangun di daerah A maka peluang terjadi gangguan sinyal adalah 0.07, peluang terjadinya gangguan sinyal di daerah B

150

0.08.Bila diketahui peluang terjadi gangguan sinyal, berapa peluang operator tersebut ternyata telah membangun pemancar di daerah B?

 Dik :

= Pemancar sinyal dibangun di daerah A

= Pemancar sinyal dibangun di daerah B

B = Terjadinya ganggan sinyal

 P( = 0,4 Probabilita dinbangunya pemancar sinyal di daerah A P( = 0,6Probabilita dinbangunya pemancar sinyal di daerah B

 P( = 0,07 Probabilita terjadinya gangguan sinyal di daerah A P( = 0,08 Probabilita terjadinya gangguan sinyal di daerah B

Dit : P( operator tersebut ternyata telah membangun pemancar di daerah B Jawab : P( = = = 0,6315789 ≈ 0,6316

Jadi probabilita yang terambil merupakan microchip rusak yang dibeli dari Chip Sales adalah 0,6316 atau 63,16%

151

Harapan Matematis / Mathematical Expectation (ME) Rumus :

ME =

Dimana : ME = Nilai harapan matematis

= Peluang terjadinya kejadian

= Besarnya nilai kejadian

Contoh : Seorang pengusaha ingin melakukan ekspansi. Maka perlu pemilihan tempat yang baru untuk mendirikan cabang perusahaan tersebut. Andaikan daerah A memiliki kentungan Rp5.000.000 dengan probabilita 0,7 dan modal yang digunakan adalah Rp1.000.000. untuk daerah B dibutuhkann modal Rp800.000, dengan probabilita 0,5 keuntungan yang diperoleh sebesar Rp6.000.000. Dimanakah sebaiknya pengusaha tersebut membuka cabang baru?

Asumsi : 1 = Untung , 2 = Rugi

Dik : Daerah A = 0,7 = 1- 0,7 = 0,3 = Rp5.000.000 = - Rp1.000.000 Daerah B = 0,5 = 1- 0,5 = 0,5 = Rp6.000.000 = - Rp800.000 Dit : ;

152 Jawab : = ) + ( = (0,7 Rp5.000.000) + (0,3 = Rp3.200.000 = ) + ( = (0,5 Rp6.000.000) + (0,5 = Rp2.600.000

Maka pengusaha tersebut sebaiknya membuka cabang baru di tempat A, karena

153