Distribusi teoritis memungkinkan para pembuat keputusan untuk memperoleh dasar logika yang kuat di dalam keputusan, dan sangat berguna bagi dasar pembuatan ramalan (forecasting/prediction) berdasarkan informasi yang terbatas atau pertimbangan teoritis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian.
(Sumber: Supranto, Johanes. 2001. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta: Penerbit Erlangga)
I. Variabel Diskrit dan Variabel Kontinyu
Untuk memahami variabel diskrit dan kontinyu, marilah mencermati definisi beberapa istilah berikut ini:
1. Variabel Random adalah variabel yang nilainya diperoleh dari suatu percobaan. Variabel random dapat berupa variabel diskrit atau variabel kontinyu.
2. Variabel Diskrit adalah variabel yang didapat dari proses penghitungan dimana hasilnya merupakan bilangan bulat dan jumlahnya terbatas.
Misalnya:
- Jumlah penjualan mobil per hari: x = 0, 1, 2, 3, ...
- Jumlah orang yang suka produk tertentu dari 500 responden: x = 0, 1, 2, 3, ..., 500
- Jumlah munculnya mata dadu 1 pada peristiwa pelemparan sebuah dadu sebanyak 10 kali: x = 0, 1, 2, ..., 10
3. Variabel Kontinyu adalah variabel yang didapat dari proses pengukuran dimana terdiri dari nilai-nilai yang terletak dalam suatu interval tertentu, sehingga dapat berupa bilangan pecahan maupun bilangan bulat.
164
Misalnya:
- Tinggi badan 100 responden: x = 145 cm, 156,76cm, ... - Waktu terbang dari Yogyakarta ke Jakarta: 45‟ < x < 120‟ - Berat ayam goreng KFC: 50 gram < x < 200 gram
(Sumber: Setia Atmaja, Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: Penerbit ANDI)
II. Macam-macam Distribusi Peluang Teoritis Variabel Diskrit 1. Distribusi Binomial
Distribusi binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan binomial atau Bernoulli (Bernoulli Trial) sebagai berikut:
- Setiap percobaan hanya mempunyai dua kemungkianan hasil, diberi istilah hasil yang dikehendaki (sukses) dan hasil yang tidak dapat dikehendaki (gagal).
- Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian. Probabilitas sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dinyatakan dengan q. Jumlah p dan q harus sama dengan 1.
- Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.
Rumus distribusi binomial:
Keterangan:
P(x) = probabilitas peristiwa sukses sebanyak x
C = kombinasi x dari n
165
p = probabilitas sukses
q = probabilitas gagal
x = jumlah sukses yang dicari probabilitasnya
Parameter dalam distribusi binomial:
Rata-rata (µ) = n.p
Standar deviasi (σ) =
Penyelesaian dengan MINITAB:
Buka software Minitab
Di bawah kolom C1 ketikkan nilai x (0, 1, 2, ..., n)
Pilih dan klik CalcProbability Distributions Binomial
Klik Probabilty atau Cumulative Probability
Masukkan banyaknya jumlah percobaan pada kotak Probability Trials
Masukkan peluang sukses pada kotak Probability of Success
Pada Input Column ketikkan kolom C1
Pada Optional Storage ketikkan kolom C2
166
Contoh soal:
Sebuah dadu dilempar 5 kali. Berapa probabilitas keluarnya mata dadu 1 sebanyak 3 kali?
Dik: p = probabilitas keluarnya mata dadu 1 =
q = probabilitas keluarnya mata dadu selain 1 =
n = 5 x = 3 Dit: P(x = 3) P(x = 3) = = =
Jadi, probabilitas keluarnya mata dadu 1 sebanyak 3 kali dari 5 kali pelemparan adalah 0,032150205 atau 3,2150205%.
167
2. Distribusi Multinomial
Perluasan dari distribusi binomial ialah distribusi multinomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, ..., Ek dengan peluang π1 = P(E1), π2 = P(E2), ..., πk = P(Ek) dengan π1 + π2 + ... + πk = 1. Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak n kali, maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ..., xk peristiwa Ek di antara N, ditentukan oleh distribusi multinomial berikut:
(Sumber: Sudjana. 1997. Metoda Statistika Edisi Keenam. Bandung: Tarsito)
Contoh soal:
Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. Kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali ke dalam kotak. Tentukan peluang di antara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian didapat dari 1 mesin A, 2 dari mesin B, dan 3 dari mesin C!
Dik: πmesin A =
xmesin A = 1
πmesin B = xmesin B = 2
πmesin C = xmesin C = 3
n = 6
168 Jawab: = 60 . . . = = 0,120563271
Jadi, peluang di antara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian didapat dari 1 mesin A, 2 dari mesin B, dan 3 dari mesin C adalah 0,120563271 atay 12,0563271%.
3. Distribusi Hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi binomial. Perbedaannya antara distribusi hipergeometrik dengan binomial adalah bawa pada distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen. Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sampel n, kita harus memperoleh x sukses dari r sukses dalam populasi, dan n-x gagal dalam N-r gagal. Sehingga fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut:
Keterangan:
r = jumlah unit/elemen dalam populasi yang berukuran N x = jumlah elemen berlabel diantara n unit
169
N = jumlah observasi dalam populasi n = jumlah observasi dalam sampel
Sumber: (Supranto, Johanes. 2001. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta: Penerbit Erlangga)
Penyelesaian dengan MINITAB:
Buka software Minitab
Di bawah kolom C1 ketikkan nilai x (0, 1, 2, ..., n)
Pilih dan klik CalcProbability DistributionsHypergeometric
Klik Probability atau Cumulative Probability
Masukkan angka pada Probability Size (N)
Masukkan angka pada Successes in Population
Masukkan angka pada Sample Size (n)
Pada Input Column ketikkan kolom C1
Pada Optional Storage ketikkan kolom C2
170
Contoh soal:
Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang, dimana 3 adalah wanita dan 2 laki- laki. Misalkan 2 orang dari 5 anggota komite tersebut dipilih untuk mewakili delegasi dalam sebuah konvensi/pertemuan. Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan secara acak didapat 2 orang wanita?
Dik: r = 3 n = 2
x = 2 N = 5
Dit: P(x=2)
Jadi, probabilita bahwa dari pemiligan secara acak didapar 2 orang wanita yang terpilih mewakili delegasi dalam sebuah konvensi adalah 0,3 atau 30%.
Output MINITAB:
4. Distribusi Poisson
Pada percobaan binomial, seandainya n relatif besar, katakanlah lebih besar dari 50 dan p relatif kecil, katakanlah lebih kecil dari 0,1 maka perhitungan probabilitas dengan menggunakan rumus distribusi binomial akan menjadi
171
sulit. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan pendekatan Poisson untuk menghitung probabilitas percobaan binomial.
Rumus Distribusi Poisson:
Keterangan:
λ = rata-rata = n.p x = jumlah sukses
e = 2,718281828
(Sumber: Setia Atmaja, Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: Penerbit ANDI)
Penyelesaian dengan MINITAB:
Buka software Minitab
Di bawah kolom C1 ketikkan nilai x (0, 1, 2, ..., n)
Pilih dan klik Calc Probability DistributionsPoisson
Klik Probability atau Cumulative Probability
Masukkan angka pada kotak Mean
Pada Input Column ketikkan kolom C1
Pada Optional Storage ketikkan kolom C2
172
Contoh soal:
Berdasarkan pengalaman, setiap kali mencetak 10.000 lembar kertas terdapat 100 lembar yang rusak. Pada suatu waktu, perusahaan mencetak 1.000 lembar kertas. Berapa probabilitas mendapatkan 5 lembar kertas yang rusak?
Dik: p = λ = n.p = 1000 . 0,01 = 10 Dit: P (x = 5) Jawab: = = 0,037833274
Jadi, probabilitas dari 1000 lembar kertas mendapatkan 5 lembar kertas yang rusak adalah 0,037833274 atau 3,7833274%.
173
174