MODUL STATISTIKA I

(1)

(2)

LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA I

SEMESTER GENAP 2012

FAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS PADJADJARAN

Disusun Oleh:

Tim Asisten Dosen Statistika FE UNPAD

Mengetahui dan Menyetujui, Ketua Program Studi ESP UNPAD

Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T. NIP. 197312302000121001

(3)

KATA PENGANTAR

Bismillahirahmaanirrahiim Assalamu‟alaikum Wr. Wb,

Alhamdulillahirabbil‟alamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga akhirnya kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika I 2012 ini dengan

sebaik-baiknya.

Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi aktif terhadap dunia akademis.

Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, kesempurnaan hanya milik Allah SWT, penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun nantikan demi perbaikan modul ini ke arah sempurna.

(4)

Irsyad Sarah Yusti

Meisa Ditha Tiara Yessica

Hamdi Ardina Yasyir

(5)

DAFTAR ISI

DISTRIBUSI FREKUENSI 1

UKURAN GEJALA PUSAT 29

UKURAN DISPERSI 59

ANGKA INDEKS 94

ANALISIS DERET BERKALA 110

PELUANG 142

DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 163

DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH

DISTRIBUSI NORMAL 190

(6)

1

DISTRIBUSI FREKUENSI

Ringkasan Teori

Seringkali data yang telah tertumpuk tersedia dalam jumlah yang sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri – cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut kedalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam tiap kelas yang disebut frekuensi kelas, Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas – kelas data dan dikaitkan dengan masing – masing frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau Sebaran frekuensi

Bagian Distribusi Frekuensi

1. Kelas ( Class )

Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi kedalam batas – batas nilai tertentu

2. Batas kelas ( Class limit )

Bilangan – bilangan yang membatasi kelas – kelas ( class limit ) tertentu, yang memiliki 2 macam pengertian:

(7)

2

i. Batas bawah kelas / Ujung bawah kelas (Lower State Class

limit/ LCL)

Adalah bilangan yang paling kecil yang membatasi kelas tertentu

ii. Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/

UCL)

Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu

b. Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu bilangan – bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang berurutan, yang terdiri dari :

i. Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class Boundaries / LCB )

Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas sebelumnya dengan ujung bawah kelas yang bersangkutan ii. Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas ( Upper Class

Boundaries / UCB )

Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang

bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya

3. Panjang kelas /Lebar kelas / Ukuran Kelas ( Class interval / Class Size )  Ci

Bilangan – bilangan yang menunjukkan panjang / lebar / ukuran dari tiap – tiap kelas yang diperoleh dengan cara mengurangkan batas bawah kelas berikutnya dengan batas kelas yang bersangkutan

4. Frekuensi ( Frequency ) f

(8)

3

5. Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas ( Midpoint / Class Mark )  X

Bilangan – bilangan yang dapat mewakili kelas – kelas tertentu yang diperoleh dengan jalan atau cara merata – ratakan batas kelas yang bersangkutan.

Nilai tengah =

Contoh soal :

Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Statistika I

Batas kelas Tepi Kelas Nilai Tengah Frekuensi

23 – 27 22,5 – 27,5 25 2

28 – 32 27,5 – 32,5 30 4

33 – 37 32,5 – 37,5 35 15

38 – 42 37,5 – 42,5 40 21

43 – 47 42,5 – 47,5 45 31

48 – 52 47,5 – 52,5 50 35

53 – 57 52,5 – 57,5 55 46

58 – 62 57,5 – 62,5 60 11

63 – 67 62,5 – 67,5 65 12

68 – 72 67,5 – 72,5 70 3

Jumlah 180

(9)

4

Tahapan untuk menyusun suatu distribusi frekuensi

Secara umum langkah – langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan

2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan menggunakan :

Rumus : R = Xmaksimum - Xminimum

3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges

k= 1 + 3,322 Log N atau k = 1 + 3,322 log n

N = banyaknya anggota populasi; n = banyaknya anggota sampel

4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap – tiap kelas dengan rumus

Ci = =

5. Menentukan batas – batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan

6. Menyusun suatu distribusi frekuensi secara jelas dan lengkap berdasarkan tabel pada tahap 5

Macam – macam Grafik Distribusi Frekuensi 1. Histogram ( Hystogram )

(10)

5

Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi yang merupakan batang – batang yang disusun secara berderet tanpa jarak yang menggambarkan tinggi frekuensi tiap kelas

2. Poligon ( Polygon )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan titik tengah histogram tiap kelasnya

3. Ozaiv ( Ogive )

(11)

6

4. Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve)

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis lengkung yang juga merupakan penghalusan dari bentuk poligon sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawahnya sama dengan luas daerah dibawah poligon.

Macam – macam Distribusi Frekuensi

a) Distribusi Frekuensi Distrikyaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuan

b) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang mendekati 0

c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu

d) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atas

a. DF terbuka atas

Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “

b. DF terbuka bawah

Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ lebih dari “

c. DF terbuka atas bawah

Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas terakhirnya masing – masing tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ dan “ atau lebih “

(12)

7

firelatif =  dalam bentuk ratio firelatif = x 100  dalam bentuk persentase

f) Distribusi Frekuensi Kumulatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya ditambahkan atau dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap kelasnya dari DF asalnya. DF kumulatif terdiri dari :

a. DF Kumulatif positif / DF kumulatif kurang dari/DF kumulatif less than

DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0 kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap – tiap kelas dari DF asalnya.

b. DF Kumulatif negatif / DF kumulatif lebih dari/DF kumulatif more than

DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya.

Rumus - Rumus Yang Biasa Dipakai Dalam Distribusi Frekuensi

UCBi = LCB(i+1) Cii = UCB(i+1)– LCBi

UCB = Cii =X (i+1)– Xi Untuk DF Yang memiliki Ci sama

Xi = UCLi = LCLi –( Ci-1 ) Untuk DF Diskrit

Cii = LCL(i+1) – LCL UCLi = LCLi –( Ci- ) Untuk DF Kontinu fi kepadatan =

(13)

8

Contoh Soal :

Berikut ini diberikan data tinggi badan mahasiswi Fakultas Ekonomi dan Bisnis , Universitas Harapan Ayah dan Ibu

a) Susunlah data tersebut ( Array ) ? b) Buatlah ditribusi frekuensinya ?

c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan maksimal 140 cm dan yang lebih dari 170 cm ?

d) Buatlah distribusi frekuansi kumulatifnya ? e) Gambarkan Ogive nya ?

Jawab :

a) Array

(14)

9

k=1+3,322 log n

= 1 +3,322 log 40 = 6,3220 , diambil 6 Ci = R/k  59/6 = 9,8333, diambil 10

Distribusi Frekuensi Data

Tinggi Badan Mahasiswa

Universitas Harapan Ayah Dan Ibu

Tinggi Badan Jumlah Mahasiswa 121 – 130 2

131 – 140 3 141 – 150 11 151 – 160 10 161 – 170 9 171 – 180 5

Jumlah 40

Sumber : Contoh Soal Distibusi Frekuensi Modul Pratikum Statistika 1, 2012

c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi maksimal dari 140 dan yang lebih dari 170 adalah 2+3+5 = 10 orang

d) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut :

Tinggi

badan

Jumlah

Mahasiswa

Frekuensi Kumulatif

Nilai Fk kurang

dari

Nilai Fk lebih

dari

< 121 0 > 121 40

121 – 130 2 < 131 2 > 131 38

(15)

10

141 – 150 11 < 151 16 > 151 24 151 – 160 10 < 161 26 > 161 13

161 – 170 9 < 171 35 > 171 5

171 – 180 5 < 181 40 > 181 0

Jumlah 40

(16)

11

SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Berikut ini disediakan distribusi relatif umur dari 65 orang mahasiswa di universitas “ X “

Umur Frekuensi relatif

16 – 20 12,31 21 – 25 15,38 26 – 30 24,62 31 – 35 21,54 36 – 40 15,38

41 – 45 7,69

46 – 50 3,08

a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya ), dan gambarkan histogram dan poligonya ?

b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari , serta gambarkan ogifnya ?

Jawab :

( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal hasan, hal 61, no 3)

a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus

frel =

x 100 atau f i=

jadi : f1=

= 8 f2 =

(17)

12

f3 =

= 16 f4 =

= 14

f5 =

= 10 f6 =

= 5

f7 =

= 2

Tabel 1. Umur mahasiswa universitas “X”

Umur X Banyaknya

Mahasiswa

16 – 20 18 8

21 – 25 23 10

26 – 30 28 16 31 – 35 33 14 36 – 40 38 10 41 – 45 43 5 46 – 50 48 2

Jumlah 66

Gambar 1a .

b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai

berikut :

Umur Banyaknya

Mahasiswa

Frekuensi Kumulatif

Nilai fk Nilai fk

< 16 0 > 16 65

16 – 20 8 < 21 8 > 21 57

(18)

13

26 – 30 16 < 31 34 > 31 31

31 – 35 14 < 36 48 > 36 17

36 – 40 10 < 41 58 > 41 7

41 – 45 5 < 46 63 > 46 2

46 – 50 2 < 51 65 >51 0

Gambar 1b.Ogif

Positif dan Negatif Untuk Umur Mahasiswa „ X „

2. Here is afrequency distribution of 75 measurements of the diameter pipe construction of abuilding.

Midpoint Amount of Pipes

14,5 11

24,5 10

34,5 7

44,5 24

54,5 14

64,5 9

a) Arrange the origin`s frequency distribution? b) Draw Histogramsandpolygons curve?

(19)

14

Jawab :

( Modul Statistika 1 , 2010 no 4)

Mid point = Xn

Ci = Xn+1 - Xn = 24,5 – 14,5 = 10

X1 = 14,5

Tepi Atas = 2Xn – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2Xn – Tb = Tb + Ci

2(14,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 1 29 – Tb = Tb + 10

2Tb = 29 – 10

Tb = 9,5

Ta = 2(14,5) – 9,5 = 19,5

X2 = 24,5

Tepi Atas = 2Xn – Tb Tepi Bawah = Tb + Ci

2Xn – Tb = Tb + Ci

2Tb = 49 – 10

Tb = 19,5

(20)

15

X3 = 34,5

2Tb = 59 – 10

Tb = 29,5

Ta = 2(24,5) – 29,5 = 39,5

X4 = 44,5

2Tb = 89 – 10

Tb = 39,5

Ta = 2(44,5) – 39,5 = 49,5

X5 = 54,5

(21)

16

Tb = 49,5

Ta = 2(54,5) – 49,5 = 59,5

X6 = 64,5

2(64,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas6 129 – Tb = Tb + 10

2Tb = 129 – 10

Tb = 59,5

Ta = 2(64,5) – 59,5 = 69,5

Distribusi Frekuensi pengukuran Pipa

Pengukuran Banyak Pipa / f 10 – 19 11

20 – 29 10 30 – 39 7 40 – 49 24 50 – 59 14 60 – 69 9

Total 75

(22)

17

b)

d) Jadi. % jumlah pengukuran yang dilakukan minimal/ paling sedikit 40 cm adalah

x 100 = 62,67 %

Dan , jumlah pengukuran lebih dari 50 Cm adalah =14 + 9 = 23 Pengukuran

3. The following are50 students‟ grades instatistics IIat the University ofPadjadjaranSemesterII1997.

a) How manypeoplewho scoredbetween44-52and80-82?

b) What percentageof peoplewho scoredbetween53-61and89-97? c) How many peoplewhoscore lessthan44 andlessthan 71?

(23)

18

( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal Hasan, hal 55)

a) Tabel: Nilai Statistika II 50 mahasiswa Unpad semester II tahun1997

Nilai Frekuensi / f

35 – 43 3 44 – 52 2 53 – 61 3 62 – 70 7 71 – 79 13 80 – 88 13 89 – 97 9 Jumlah 50

b) Tabel: Distribusi frekuensi relatif nilai statistika II mahasiswa Unpad

tahun 1997

Nilai Frekuensi / f Frekuensi

Relatif ( % )

35 – 43 3 6

44 – 52 2 4

53 – 61 3 6

62 – 70 7 14

71 – 79 13 26

80 – 88 13 26

89 – 97 9 18

Jumlah 50 100

c) Tabel : Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 adalah 6 % dan yang mendapat nilai antara 89 – 97 adalah 18 %

Jadi, Banyaknya mahasiswa yang mendapat nilai antara 44 – 52 adalah 2 orang dan antara 80 – 88 adalah 13 orang.

(24)

19

Nilai Frekuensi / f Frekuensi Relatif (fkumulatif)

Nilai Fk kurang dari

<35 0

35 – 43 3 <44 3

44 – 52 2 <53 5

53 – 61 3 <62 8

62 – 70 7 <71 15

71 – 79 13 <80 28

80 – 88 13 <89 41

89 – 97 9 <98 50

Sumber : Soal no 3 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012

Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang, dan yang kurang dari 71 adalah 15 orang.

4. Distribusi frekuensi kumulatif dari Gaji Bulanan 60 Orang Pekerja Pabrik X

adalah sebagai berikut :

Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan

(25)

20

a) Susunlah Distribusi Asalnya ?

b) Buatlah distribusi Frekuensi relatifnya ?

Jawab :

( Modul Statistika 1, 2010 no 8 )

a) Panjang / lebar kelas = Ci = 2 – 1 = 1

Distribusi Frekuensi Gaji Bulanan Pabrik X

Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan

1 – 1,9 4

2 – 2,9 4

3 – 3,9 7

4 – 4,9 15

5 – 5,9 15

6 – 6,9 11

7 – 7,9 4

Jumlah 60

Sumber : Soal no.4 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad

Distribusi Frekuensi relatif Gaji Karyawan Pabrik X

Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan f1=

= 6,67 %

f2 =

= 6,67 %

f3 =

= 11,67 %

f4 =

= 25 %

f5 =

= 25 %

f6 =

= 18,33%

f7 =

(26)

21

Relatif ( f relatif )

1 – 1,9 6,67 %

2 – 2,9 6,67 %

3 – 3,9 11,67 %

4 – 4,9 25 %

5 – 5,9 25 %

6 – 6,9 18,33%

7 – 7,9 6,67 %

Jumlah 100 %

5.

The databelowisthedata onbirthsper1000 populationin various district ofthe island of Javaforthe period1955 to 1959

a) Arrange a goodfrequency distributionforthis data? b) Make alist ofcumulativefrequencydistributionsof lessthanandmorethan?

(27)

22

(Prof.Dr. Sudjana. Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5. Hal 88 no 10)

a) Carilah banyaknya kelasnya terlebih dahulu

k = 1 + 3,322 log n = 1 + 3,322 log 75

= 7,1878, ambil k = 8

Rentang kelas = Rmaks – Rmin = 44,3 – 13 = 31,3 Panjang / lebar kelas = = 3,9125, ambil 4

Distribusi frekuensi

kelahiran per 1000 penduduk di berbagai daerah di jawa 1955 – 1959

Kelahiran

per 1000 penduduk f

(banyaknya kelompok )

13,0 – 16,9 2 17,0 – 20,9 3 21,0 – 24,9 0 25,0 – 28,9 7 29,0 – 32,9 20 33,0 – 36,9 22 37,0 – 40,9 12 41,0 – 44,9 9

Jumlah 75

(28)

23

Kelahiran per 1000 penduduk di jawa sellama 1955 - 1959

Frekuensi kumulatif

Nilai fk Kurang dari Nilai fk Lebih dari Kurang dari 13,0 0 Lebih dari 13,0 75

Kurang dari 17,0 2 Lebih dari 17,0 73 Kurang dari 21,0 5 Lebih dari 21,0 70

Kurang dari 25,0 5 Lebih dari 25,0 70

Kurang dari 41,0 66 Lebih dari 41,0 9 Kurang dari 45,0 75 Lebih dari 45,0 0

6. Here isthe resultof thequizFinancialReportconductedby the FinancialMarketCommunityin 2010against35 people.

a)Arrangearrayresultsfromthelowestquiz?

(29)

24

Jawab :

a) susunan hasil kuis dari terendah sampai yang tertinggi.

b) Range = Xmaks – Xmin = 95 – 32 = 63 k = 1 + 3,322 log n

= 1 + 3,322 log 35 = 6,12939, ambil 6

Ci = = = 10,5, ambil 11

Distribusi frekuensi Kuis Financial Report

Nilai Banyak mahasiswa

32 – 42 2 43 – 52 6

53 – 62 2

63 – 72 8 73 – 82 9 83 – 92 5 93 – 102 3

Jumlah 35

(30)

25

c) Jumlah orang yang tidak lulus jika nilai lulus minimal 72 = 2+6+2+8 = 18

Orang

7. Berikut ini adalah data mengenai akumulasi nilai dari pertandingan Atletik dalam Kejuaraan Atletik Dunia :

Dari data yang diberikan diatas saudara diminta untuk:

a) Buatlah Array ( susunan data) dari data tersebut ? b) Buatlah Distribusi Frekuensinya ?

c) Berapa banyak peserta yang akan lolos kejuaraan jika akumulasi nilai minimal adalah 38 ?

d) Berapa banyak peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai

kurang dari 49 dan lebih dari 54 ?

e) Berapa batas kelas ke 4 ? batas atas kelas ke 5 ? tepi bawah kelas ke 1

? tepi atas kelas ke 6 ?

(31)

26

f)

Buatlah distribusi frekuensi kumulatifnya ? g) Gambarkanlah kurva Ogive nya ?

Penyelesaian :

a) Array ( susunan data) dari data tersebut adalah

b) R = X maks – X min = 55 – 30 = 25

k= 1+3,322 log n = 1+ 3,322 log 45 = 6,491971970 ~ 6

Ci = R/k = 25/6 = 4,166666 ~ 4

Distrubusi Frekuensi Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan Atletik

Akumulasi Nilai ( interval kelas )

Jumlah peserta (f)

30 – 33 5

34 – 37 6

38 – 41 9

42 – 45 7

46 – 49 8

50 – 53 9

(32)

27

c) Jumlah peserta yang akan lolos seleksi jika akumulasi nilai minimalnya 38 adalah sebanyak = 9 + 7 +8+9+1 = 34 orang

d) banyak peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai kurang dari 46 dan lebih dari 54 adalah 27 ( 7 +9+6+5 ) + 1 = 28 orang

e) Berapa batas bawah kelas ke 4 = 42 batas atas kelas ke 5 = 49

tepi bawah kelas ke 1 = 30 – 0,5 = 29,5 tepi atas kelas ke 6 = 53 + 0,5 = 53,5

f) Distribusi Frekuensi Kumulatif Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan

Atletik

Frekuensi kumulatif

Nilai fk Kurang dari Nilai fk Lebih dari

Kurang dari 30 0 Lebih dari 30 45

Kurang dari 38 11 Lebih dari 38 34 Kurang dari 42 20 Lebih dari 42 25

(33)

28

g) Kurva Ogive

8. Berikanlah Komentar dan penjelesan saudara mengenai cara – cara pembentukan kelas – kelas dibawah ini ?

a. b.

Penyelesaian :

a. Salah, seharusnya kelas – kelas intervalnya adalah

b. Salah, sebab ada bagian dari kelas interval tersebut yang berimpit ( 2,5 – 7,5 ) berisikan sebagian data dari ( 5,0 – 10,5 ) kelas ini juga berisikan sebagian dari data ( 7,5 – 12,5 )

2,5 – 5,0 5,0 – 7,5 7,5 – 10,0

2,5 – 7,5 5,0 – 10,5 7,5 – 12,5

(34)

29

UKURAN GEJALA PUSAT ( MEASURE OF CENTRAL

TENDENCY )

Pengertian

Ukuran Gejala Pusat / Ukuran Nilai Sentral / Rata – rata ( Average ) menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok).

Pengukuran pusat data penting untuk dilakukan karena suatu kelompok data bila diurutkan maka kecenderungan bahwa data tersebut akan memusat pada bagian tengah. UGP berfungsi sebagai alat untuk membandingkan dua atau lebih kelompok bilangan atau kelompok keterangan yang berbeda.

Dengan demikian. Ukuran Gejala Pusat adalah bilangan atau keterangan yang dapat mewakili deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu atau suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data yang pada umunya mempunyai kecenderungan terletak di tengah – tengah dan memusat dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data

Macam – Macam Penggolongan UGP Meliputi : 1. Mayor mean, yang terdiri dari ;

a. Rata – Rata hitung ( Arithmatic Mean ) b. Median

c. Modus

2. Minor Mean, Terdiri dari :

(35)

30

b. Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean )

1. Mayor Mean

1.a. Rata – Rata Hitung ( Arithmatic Mean )

Adalah bilangan yang diperoleh dari hasil bagi antara jumlah bilangan – bilangan tersebut dengan banyaknya bilangan yang bersangkutan. Pengertian rata – rata hitung dapat dikembangkan menjadi rata – rata tertimbang ( weighted mean ) dan rata – rata dari rata – rata

Sifat – sifat dari Rata – Rata hitung :

 Mudah dihitung

 Rata – rata hitung sangat baik digunakan untuk menghitung rata – rata dari data yang mempunyai sebaran yang relatif kecil ( tidak mempunyai nilai ekstrim ) atau dari data yang berbentuk deret hitung.

 Rata – rata hitung dapat digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka.

Untuk menghitungnya, digunakan rumus – rumus sebagai berikut :

Data Tidak Berkelompok

( Ungroupped data )

Data berkelompok

( Groupped Data )

Populasi Sampel Populasi Sampel

Rata – Rata Hitung ( atau )

Cara Panjang :

Cara Pendek

Cara Panjang :

(36)

31

Wm =

Rata – Rata dari Rata – Rata ( M )

M =

Keterangan :

X = Nilai data yang diobservasi N : Banyaknya data pada pupulasi

W = Weighted ( timbangan ) n : Banyaknya data pada sampel/ Jml Frekuensi

Xi = Nilai tengah / mid point xo : Nilai tengah pada kelas u = 0

Ui = Skala arbiter pada kelas ke-i Ci : Interval kelas

1.b. Median ( Me )

Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menajdi dua bagian yang sama sehingga letaknya berada di tengah data ketika data tersebut sudah diurutkan dari kecil sampai terbesar atau sebaliknya.

Sifat – Sifat Median diantaranya :

 Median sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang

(37)

32

 Median dapat pula digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi baik yang terbuka maupun yang tertutup.

Rumus – Rumus Median

Data Tidak Berkelompok

Letak Me :

½ ( N + 1)

Nilai Me :

Data ke ½ ( N + 1)

Letak Me :

½ ( n + 1)

Nilai Me :

Data ke ½ ( n + 1)

Letak Me :

½ N

Nilai Me :

Tbme +

Letak Me :

½ n

Nilai Me :

Tbme +

Keterangan :

Tbme : Tebi kelas bawah kelas median

F : Frekuensi kumulatif sebelum Kelas media

fme : Frekuensi sebenanrnya kelas median

Ci : Interval Kelas

Dari pengertian Median diatas dapat dikembangkan menjadi :

i. Kuartil ( Qi )

(38)

33

ii. Desil ( Di )

Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama

iii. Persentil ( Pi )

Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama

Rumus – Rumus Kuartil , Desil dan Persentil

Data Tidak Berkelompok

Kuartil ( Q i ) ; i = 1,2,3

Letak Qi :

( N + 1)

Nilai Qi :

Data ke ( N + 1)

Letak Qi :

( n + 1)

Nilai Qi :

Data ke ( n + 1)

Letak Qi :

N

Nilai Qi :

TbQi +

Letak Qi :

n

Nilai Qi :

TbQi +

Desil ( D i ) ; i = 1,2,3,...,9

Letak Di :

( N + 1)

Letak Di :

( n + 1)

Letak Di :

N

Letak Di :

(39)

34

Nilai Di :

Data ke

( N + 1)

Nilai Di :

Data ke

( n + 1)

Nilai Di :

TbDi +

Nilai Di :

TbDi +

Persentil ( P i ) ; i = 1,2,3,...,99

Letak Pi :

( N + 1)

Nilai Pi :

Data ke

( N + 1)

Letak Pi :

( n + 1)

Nilai Pi :

Data ke

( n + 1)

Letak Pi :

N

Nilai Pi :

Tbpi +

LetakPi :

n

Nilai Pi :

Tbpi +

1.c. Modus ( Mo )

Adalah bilangan atau keterangan yang paling sering muncul atau terjadi dalam suatu deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu.

Sifat – sifat dari Modus :

 Baik digunakan untuk menghitung rata – rata yang menunjukkan keadaan yang sedang Trendi atau kejadian yang sering muncul.

(40)

35

Rumus – Rumus Modus :

Data Tidak Berkelompok

Mo = nilai data yang sering muncul _{Mo = Tb}_mo₊

Cimo

Keterangan :

Tbmo = Tepi bawah kelas modus

d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus

d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas modus

Hubungan Rata – Rata Hitung, Median, dan Modus

Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat, akan memberikan gambaran bentuk kurva data yang bersangkutan. Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat ialah sebagai berikut :

 Jika rata – rata hitung, medain dan modus memiliki nilai yang sama maka kurvanya berbentuk simetris. Pada kurva simetris sempurna, nilai rata – rata hitung, median dan modus terletak pada suatu titik di tengah – tengah absis dan ketiganya berimpitan.

(41)

36

 Jika nilai rata – rata hitung lebih kecil daripada nilai median dan lebih kecil dari pada nilai modus maka kurvanya menceng ke kiri

= Me = Mo Mo Me Me Mo

Jika distribusinya tidak terlalu menceng, hubungan rata – rata hitung, median dan modus secara matematis dituliskan sebagai berikut :

Rata – Rata Hitung – Modus = 3 ( Rata – Rata Hitung – Median )

- Mo = 3 (

2. Minor Mean

2.a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / GM)

Adalah bilangan yang diperoleh dari akar pangkat banyaknya bilangan – bilangan tersebut dari hasil kali bilangan – bilangan yang bersangkutan

Sifat – sifat Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / GM) :

 Rata – rata ukur sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data yang menunjukkan suatu perkembangan atau perubahan yang dinyatakan dalam bentuk persentase atau rasio

(42)

37

Data Tidak Berkelompok

Populasi Sampel

GM =

Atau

Log GM =

GM =

Atau

Log GM =

Populasi Sampel

GM = Atau

Log GM =

GM = Atau

Log GM =

Dari pengertian rata – rata ukur dapat dikembangkan menjadi : i. Rata – rata tingkat bunga ( Mt )

Populasi dan sampel : Mt = Mo .

ii. Rata – rata tingkat pertambahan jumlah penduduk ( Pt )

Populasi dan sampel : Pt = Po .

(43)

38 2.b. Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean )

Adalah bialangan yang diperoleh dari hasil bagi antara banyaknya bilangan – bilangan tersebut dengan jumlah kebalikan bilangan – bilangan yang bersangkutan

Sifat – sifat Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean ) :

 Rata – rata harmonis sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data per unit tertentu dengan syarat hasil kali antara banyaknya unit dengan nilai data tersebut konstan.

 Rata-rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data atau observasi yng

unit pembilanngnya tetap, sedangkan unit penyebutnta berubah-ubah ( bervariasi )

 Rata – rata harmonis tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif ataupun data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka.

Rumus – Rumus Rata – Rata Harmonis :

Data Tidak Berkelompok

HM = HM = HM = HM =

Contoh Soal :

1. Berikut ini Jumlah pengunjung yang datang ke sebuah Mall dalam 6 hari terakhir di kota Bandung

(44)

39

a) Tentukanlah rata – rata pengunjung mall di kota bandung tersebut ? b) Tentukanlah Median dan Modusnya ?

Penyelesaian :

Diketahui : n = 6

X1 = 295, X2 =1002, X3 = 941, X4 = 768, X5 = 768, X6 = 1283

Ditanya :a). b). Me c). Mo

Jawab:

= = 842.833

b). Urutkan data dari yang terkecil hingga data yang terbesar

295, 768, 768, 941,1002, 1283

Median = Data ke ½ ( n + 1) = ½ ( 6 + 1) = 3,5 berarti Me tertelak diantara data ke 3 dan ke 4 Sehingga mediannya = (768 + 941 ) / 2 = 854,5

Modus = Data yang sering muncul = 768

Jadi rata – rata, Median dan Modus dari pengunjung yang datang selama 6 hari terakhir ini adalah sebesar 842, 855, dan 768 pengunjung.

(45)

40

Distribusi Frekuensi

Banyaknya surat yang harus dikirim Fedex ke 50 kota, tahun 2009

Jumlah surat yang harus dikirim Banyaknya kota

20 – 29 5

30 – 39 8

40 – 49 12

50 – 59 6

60 – 69 7

70 – 79 10

80 – 89 2

Jumlah 50

a) Hitunglah rata – rata dengan cara pendek dan cara panjang ? b) Tentukan Median dan Modus ?

c) Tentukan kuartil 2 ?

d) Tentukan Desil 9 dan Persentil 65 ?

Penyelesaian :

Diketahui : n = 50, Ci = Lcl2 – Lcl1 = 30 – 20 = 10

Kelas Frekuensi Xi fi.xi ui fi.ui

20 – 29 5 24,5 122,5 -3 -15

30 – 39 8 34,5 276 -2 -16

40 – 49 12 44,5 534 -1 -12

50 – 59 6 54,5 327 0 0

60 – 69 7 64,5 451,5 1 7

70 – 79 10 74,5 745 2 20

(46)

41

Jumlah 50 2625 -10

Ditanya : a) c) Q3

b) Me..? , Mo..? d) D9 dan P65

Jawab :

a) Cara Panjang :

=

= 52,5

Cara Pendek :

= 54,5 +

.10 = 52,5

Jadi, baik dengan cara panjang maupun cara pendek menunjukkan bahwa rata – rata surat yang harus dikirm Fedex ke 50 kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah 53 buah surat.

b) Letak Me = ½ n = ½ 50 = 25  data ke 25 terletak pada kelas 40 – 49 Tbme = = = 39,5

Me = Tbme +

= 39,5 +

.10 = 49,5

Letak Mo = pada kelas 40 – 49 ( karena memiliki frekuensi terbanyak ) d1 = 12 – 8 = 4

d2 = 12 – 6 = 6

Mo = Tbmo +

(47)

42

Jadi, berdasarakan hitungan diatas, terlihat bahwa surat yang paling banyak diterima kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah berkisar 44 buah surat dengan median atau ½ dari kota – kota tersebut menerima surat kurang dari 50 dan sebagian kota lagi menerima lebih dari 50 buah surat

c) Letak Q3 = ¾ n = ¾ 50 = 37,5  data ke 37,5 terletak di kelas 60 – 69 TbQ3= = = 59,5

Q3 = TbQ3 +

= 59,5 +

= 68,7857

Jadi, ¾ atau 75 % dari kota – kota di provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar sebesar 69 buah surat. Sedangkan sisanya menerima lebih dari 65 surat

d) Letak D9 = i/10 n = 9/10. 50 = 45  data ke 45 terletak dikelas 70 – 79 Tbd9 = = = 69,5

TbD9 +

= 69,5 +

= 76,5

Jadi, 9/10 kota – kota di Provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar kecil dari 77 buah surat ( desil 9 = 77 buah surat ),sedangkan sisanya menerima surat lebih dari 77 buah surat

Letak P65 = i/100.n = 65/100 . 50 = 32,5  data le 32,5 terletak di kelas 60 – 69 Tbp65 = = = 59,5

TbP65+

= 59,5 +

(48)

43

(49)

44

SOAL UKURAN GEJALA PUSAT

1. Setelah dilakukannya penelitian terhadap 2 depertemen yang berbeda pada suatu perusahaan independen terkemuka, didapat bahwa rata – rata gaji yang diterima pada 2 depertemen tersebut adalah $ 2.200 perbulan, pada depertemen Planning And Controling Qualityrata – rata gaji yang didapat oleh karyawannya sebesar $ 2.450 perbulannya, sedangkan departemen Financial Strategymenerima gaji sebesar $ 2.100 per bulan. Dengan data tersebut saudara diminta untuk menentukan perbandingan banyaknya karyawan pada 2 depertemen tersebut, dan beri kesimpulan yang jelas ?

Penyelesaian :

Diket : = $ 2.450 = $ 2.100

= $ 2.200

Ditanya : perbandingan n1 dan n1

Jawab :

=

$2.200 =

2.200 n2 + 2.200 n1 = 2.100 n2 + 2.450 n1 100 n2 = 250 n1

(50)

45

Jadi, perbandingan banyaknya jumlah karyawan departemen Financial S trategy dengan karyawan departemen Planning and Controling Quality adalah 1:1,25

2. Beloware giventhe population ofacountryduring theperiod1951 - 1963, (

inmillions )

Years 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 Population 10,16 12,00 13,90 15,91 17,93 20,07 22,71 25,97 29,00

Calculatewhat percentage ofthe average increase ofthe country's populationevery year?

Solution :

(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed 5, hal. 149 no 45)

Use formulate

Pt = Po ( 1+

)

t

Given : Po = 10,16 Pt = 39,95 dan t = 12 Asked : x ?

Solution : Pt = Po ( 1+ )t

39,95 = 10,16 ( 1 +

)

12

Log 39,95 = log 10,16 + 12 log ( 1 +

)

Log 39,95 – log 10,16 = 12 log ( 1 +

)

Years 1960 1961 1962 1963

(51)

46

0,594623075 = 12 log ( 1 + )

0,049551922 = log ( 1 +

)

X = 12

Jadi, rata – rata kenaikan penduduk negara tersebut selama tahun 1951 – 1963 adalah 12 %

3. Following represent data from salary`s CEO in NY City in billion Dollar USA ( $ )

Salarys Amount of

CEO

11 - 20 14

21 - 30 16

31 - 40 25

41 - 50 35

51 - 60 18

61 - 70 12

71 - 80 30

Calculate : a) Mean, Median and Mode of Salarys of CEO in NY City ?

b) Determine quartil 1, quartil 2, and quartil 3 ?

c) Determine desil 7 and what is means?

Solution:

(52)

47

Class Frequency (fi) Xi Xi fi

11 - 20 14 15,5 217

21 - 30 16 25,5 408

31 - 40 25 35,5 887,5

41 - 50 35 45,5 1592,5

51 - 60 18 55,5 999

61 - 70 12 65,5 786

71 - 80 30 75,5 2265

Jumlah 150 7155

Asked : a) Mean. Mode, Median

b) Q1,Q2 dan Q3

c) D7 and what is means ?

Jawab : a) Mean = = =

= 47,7

Situation of Median = Me= ½n = 75

= ½ ( 150 + 1) = 75,5

Me = Lme +

Ci

= 40,5 +

10 = 46,21428571

So, mean of salary`s CEO in NY City is $ 47.700.000 with median of that is $ 46.214.285

(53)

48

Qi = Lq1 +

Ci  30,5 +

= 33,5

situation of Q2 = 2/4 ( n) = 2/4 ( 150) = 75

Qi = Lq1 +

Ci  40,5 +

= 46,214285

situation of Q3 =3/4 ( n) = ¾ ( 150) = 112,5

Qi = Lq1 +

Ci  60,5 +

= 64,25

So, Calculate result for Q1, Q2 and Q3 Salary of CEO in NY City are $ 33.500.00 , $46.214.285 and $ 64.250.000

c) Situation of D7 = i/10 x n = 7/10 x 150 = 105

D7 = 50,5 +

.5 = 54,66666667

So, highest salarys from 70% lowest salarys of CEO in NY City are $54.666.666,67

4. Berikut ini disajikan berat badan dari mahasiswa fakultas ekonomi dan bisnis

universitas padjadjaran pada tahun 2010

Berat badan ( Kg ) Banyaknya Mahasiswa

60 – 62 10

63 – 65 25

(54)

49

69 – 71 15

72 – 74 18

a) Tentukanlah rata – rata hitungnya ? dan berapa Modus nya ? b) Dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan

modus tentukanlah berapa median nya ?

Penyelesaian : a)

Berat badan

( Kg )

Frekuensi

( f )

Titik tengah ( X ) f.X

60 – 62 10 61 610

63 – 65 25 64 1600

66 – 68 32 67 2144

69 – 71 15 70 1050

72 – 74 18 73 1314

Jumlah 100 6718

=

= 67,18

Jadi rata –rata dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010 adalah 67,18 Kg

Mo = Tb +

Ci

Kelas modus adalah kelas ke – 3 sehingga

Tb = 65,5 d1 = 32 – 25 = 7, d2 = 32 – 15 = 17, dan Ci = 3

Mo = 65,5 +

(55)

50

Jadi, modus dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010 sebesar 66,375 Kg

a) Hubungan rata – rata hitung, median dan modus

Rata – rata hitung – Modus = 3 ( Rata – rata hitung - Median )

67,18 – 66,375 = 3 ( 67,18 – Me ) 0,81 = 201,54 – 3.Me 200,73 = 3.Me

66,91 = Me

Jadi, dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan modus , didapat median dari berat badan mahasiswa FEB Unpad 2010 adalah 66,91Kg

5. Dalam tahun 1949, perusahaan – perusahaan asuransi kecelakaan mobil di amerika serikat telah membayar sebanyak 715,673 permintaan yang besarnya $ 100 atau kurang, rata – ratanya $ 33,91, juga mereka telah membayar sebanyak 157,879 permintaan yang besarnya $ 101 sampai dengan $ 1000 dengan rata – rata $ 216,89 dan sejumlah 1707 permintaan yang besarnya melebihi $ 1000 dengan rata – rata $ 1635,09. Tentukanlah permintaan rata – rata dari keseluruhan ?

Penyelesaian :

(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 145 no 21)

(56)

51

Permintaan Banyaknya (ni) Rata – rata (xi) ni.xi

Kurang dari $ 100 715,673 33,91 24.268.471,43

$ 101 - $ 1000 157,879 21,89 34.242.376,31

Lebih adri $ 1000 1,707 1635,09 2.791.098,63

Jumlah 875.256 61.301.946,36

Permintaan rata – rata =

= $ 70,04

Jadi, rata rata permintaan dari keseluruhan Asuransi adalah $ 70,04

6. Seseorang menanamkan modal dengan bunga 7 % dalam tahun pertama. Untungnya disatukan dengan modal asal yang kemudian ditanamkan lagi dengan bunga 9 % pada tahun kedua. Dengan jalan yang sama, pada tahun yang ketiga uang itu ditanamkan dengan bunga 10 %, pada tahun keempat 12 % dan pada tahun kelima 15 %. Berapa bunga rata – rata yang didapat selama periode 5 tahun itu ?

Penyelesaian :

(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 147 no 36)

= = % = 10,6 %

Jadi bunga rata – rata yang didapat selama periode 5 tahun dalam penanaman modal tersebut adalah 10,6 %

7. The followingdataare givenheight20Padjadjaran Universitystudent

148.121,142,143,148,125,132,143,149,134,

(57)

52

Make afrequency distributionandthen calculate: a) The medianandthe modewithgroupeddataformula?

b) Percentile 45 and Deciles3 withthegroupeddata formula?

Penyelesaian :

R = Rmaks – Rmin = 154 – 121 = 33

k= 1+3,322 log n = 1+3,322 log 20 = 5,322 ~ 6

Ci = = = 6,666 ~ 7

Tinggi badan ( Kelas Interval ) Jumlah Mahasiswa ( f )

121 – 127 2

128 – 133 1

134 – 140 2

141 – 147 5

148 – 154 10

Jumlah 20

a) Median

Letak median = ½ n = ½ 20 = 10  data ke 10 terletak pada kelas 141 – 147 Tbme = = = 140,5

Me = Tbme +

= 140,5 +

.7 = 147,5

Modus

(58)

53

d2 = 10 – 0 = 0

Mo = Tbmo + Cimo = 147,5 + . 7 = 154,5

Jadi, 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad memiliki median sebesar 147,5 dan modusnya sebesar 154,5

b) Letak D3 = i/10 n = 3/10. 20 = 6 data ke 6 terletak dikelas 141 – 147

Tbd9 = = = 140,5

TbD9 +

= 140,5 +

= 141,9

Jadi, 3/10 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad adalah berkisar kurang dar1 141,9 Cm, sedangkan sisanya memiliki tinggi badan lebih dari 141,9 cm

Letak P45 = i/100.n = 45/100 . 20 = 9  data le 32,5 terletak di kelas 141 -147

Tbp65 = = = 140,5

TbP45+

= 140,5 +

_{= 146,1}

Jadi, 45/100 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB unpad berkisar kecil dari 146,1 Cm, sedangkan sisanya lebih dari 146,1Cm

(59)

54

perusahaannya di 6 negara , dengan menggunakan pesawat jet pribadi, berikut

ini adalah waktu tempuh dan kecepatan perjalanan yang dilakukan untuk menginvestigasi perusahaan.

Perjalanan Waktu Tempuh ( Xt ) Kecepatan ( Wt )

Jakarta – Hongkong 5 Jam 8000 Km/ jam

Hongkong – Paris 8 Jam 7500 Km / jam

Paris – Amsterdam 2 Jam 8210 Km / jam

Amsterdam – Mesir 4 Jam 7710 Km / jam

Mesir – Rusia 9 Jam 8810 Km/ jam

Dari data diatas, berapakah rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan oleh Hamdi Ahmad dalam melakukan perjalanan tersebut ?

Penyelesaian :

=

= 8091,07142

Jadi

,

rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan oleh Hamdi Ahmad dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 8091,07142 KM/Jam

(60)

55

hari, Limousinya menempuh rata – rata kecepatan 60 km/jam. Coba saudara hitung berapa kecepatan rata – rata yang digunakan ardina untuk pulang dan pergi ?

Penyelesaian:

Dik : n = 3 X1 = 52 X2 = 40 X3 = 70

Dit : HM ?

Jawab :

HM = =

= 51,2676 km/jam

Jadi rata – rata Limousin yang digunakan ardina untuk menempuh Padang – Padang Panjang – Bukittinggi Pulang Pergi adalah 51,26 km/jam

10. Dibawah ini disajikan data mengenai upah mingguan karyawan di perusahaan “ A “ pada tahun 2007 ( dalam ribuan rupiah )

Pertanyaan :

a) Berapa Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut ? Upah Banyaknya Karyawan

120 – 129 5

130 – 139 7

140 – 149 10

150 – 159 14

160 – 169 10

170 – 179 8

(61)

56

b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang

bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah minimalnya ?

c) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang

bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah maksimalnya ? d) Berapa gaji rata – rata yang diterima oleh karyawan ? e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ?

Penyelesaian :

a) Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut

Modus terletak di kelas ke 4  yang berarti tepi bawah kelasnya adalah 149,5 d1 = 14 – 10 = 4

d2 = 14 – 10 = 4 Ci = 10

Mo = Tbmo + Cimo = 149,5 + .10 = 154,5

Jadi besar upah yang diterima sebagian besar karyawan adalah Rp 154.500

b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah

Bisa digunakan P80 atau D8 disini kita gunakan P80

LetakP80 :

60 = 48

Nilai P80 : Tbpi +

169,6+

= 179,5

(62)

57

c) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah maksimalnya ?

Bisa digunakan P20atau D2disini kita gunakan P20

LetakP80 :

60 = 12

Nilai P80 : Tbpi +

129,5+

= 139,5

Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah maksimalnyanya adalah Rp 139.500

d) Rata – rata gaji yang diterima karyawan adalah

= =

= 154,8333333

Jadi rata – rata gaji karyawan adalah Rp. 154.833

e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ? Upah

(Kelas )

Banyaknya

Karyawan (fi)

Xi Xi.fi

120 – 129 5 124 620

130 – 139 7 134 938

140 – 149 10 144 1440

150 – 159 14 154 2156

160 – 169 10 164 1640

170 – 179 8 174 1392

180 – 189 6 184 1104

(63)

(64)

59

UKURAN DISPERSI

Ukuran Dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya. (pokok2 materi statistika 1 Ir. M Iqbal Hasan MM)

Kegunaan Ukuran Dispersi

 Sebagai pelengkap dari ukuran gejala pusat dalam membandingkan dua atau lebih kelompok bilangan. Pada ukuran gejala pusat, nilai rata-rata seperti mean atau median hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut.

 Untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai.

(Statistika Teori dan Aplikasi, J. Supranto) Macam-macam Ukuran Dispersi

a. Ukuran Dispersi Absolut

Ukuran dispersi absolut adalah ukuran dispersi yang hanya dapat digunakan untuk melihat penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu kumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data.

Ukuran dispersi absolut terdiri dari:

1. Rentang / Sebaran/ Jangkauan/ Range (R):

adalah selisih data terbesar (maksimum) dengan data terkecil (minimum). Pada umumnya, semakin kecil rentang untuk sekumpulan data, makin merata tersebarnya data. Bila rentang makin besar maka data tersebut semakin tidak merata.

Rumus:

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

(65)

60

Data Berkelompok (Grouped Data)

Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu: R= -

Dimana:

 merupakan nilai tengah kelas tertinggi  merupakan nilai tengah kelas terendah

2. Sebaran/ Rentang Antar Quartil/ Inter Quartile Range (IQR)

Adalah suatu bilangan yang diperoleh dari selisih antara kuartil 3 dan kuartil 1.

Rumus:

Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu: IQR = -

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok

3. Simpangan Kuartil/ Kuartil Deviasi/ Quartile Deviation (QD)

Adalah suatu bilangan yang merupakan setengah bagian dari sebaran antar kuartil.

Rumus:

Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:

QD = atau QD =

4. Simpangan Rata-rata/ Average Deviation (AD)

Adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak penyimpangan nilai suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya.

(66)

61

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

Populasi: AD =

Sampel: AD = x

Data Berkelompok (Grouped Data)

Populasi: AD =

Sampel: AD = x

5. Simpangan Baku/ Standar Deviasi/ Standard Deviation(σ atau s)

Adalah suatu bilangan yang merupakan rata-rata penyimpangan nilai suatu

variabel terhadap rata-rata hitungnya. Rumus:

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)  Populasi:

Metode biasa (cara panjang) Metode angka kasar (cara pendek)

σ =

 Sampel besar (n>30):

s = x

s =

 Sampel kecil (n≤30):

s = x

s =

(67)

62

Data Berkelompok (Grouped Data)

 Populasi:

Metode biasa (cara panjang)

σ =

Cara pendek:

Metode angka kasar Metode Coding

σ =

 Sampel besar (n>30) Metode biasa (cara panjang)

s = x

Cara pendek:

s

=

s

=

 Sampel kecil (n≤30): Metode biasa (cara panjang)

s = x

Cara pendek:

s

=

s

=

(68)

63

keterangan:

c : panjang kelas

u = =

d = X - M X = nilai tengah

M = rata-rata hitung sementara 6. Variasi/ Variance (V)

Adalah suatu bilangan yang merupakan bentuk kuadrat dari simpangan bakunya.

Rumus:

Populasi: V=

Sampel: V=

b. Ukuran Dispersi Relatif

Adalah ukuran dispersi yang dapat digunakan untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data. Dispersi Relatif dirumuskan:

Dispersi relatif =

Ukuran dispersi relatif terdiri dari:

1. Koefisien variasi / Coefficient of Variation (CV)

Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan baku terhadap rata-rata hitungnya. Semakin kecil nilai koefisien variasinya maka data semakin homogen.

(69)

64

Sampel: CV =

x x 100%

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data

berkelompok

2. Koefisien Variasi Kuartil/ Coefficient of Quartile Variation (CVQ)

Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan kuartil terhadap mediannya atau antara selisih kuartil 3 dan kuartil 1 terhadap jumlah kuartil 3 dan kuartil 1.

Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:

CVQ =

x 100% atau CVQ =

x 100%

3. Angka Baku/ Standard Score (Z)

Adalah suatu bilangan yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara selisih nilai tertentu suatu variabel dan rata-rata hitung terhadap simpangan bakunya. (Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas, Dr. Boediono, Dr, Ir Wayan Koster)

Populasi: Z =

Sampel: Z = x

UKURAN KEMENCENGAN (Skewness) Sk =

(70)

65

kurvanya akan menceng. Jika kurva distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke

kanan maka distribusi tersebut disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya jika kurva distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri maka distribusi tersebut disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Berikut adalaha gambar kurva distribusi normal, menceng ke

kanan dan menceng ke kiri. a. Kurva distribusi normal

Mo=Me=_x

b. Kurva distribusi menceng ke kanan

Mo Mex

c. _{Kurva distribusi menceng ke kiri}

(71)

66

Metode yang digunakan untuk mengukur ukuran kemencengan (Skewness) 1. PEARSON

(nilai selisih rata-rata dibagi simpangan baku) Rumus:

Populasi: Sk = atau Sk =

Sampel: Sk = x atau Sk = x

2. BOWLEY

(berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi) Rumus:

Sk =

atau Sk =

3. MOMEN

(didasarkan pada perbandingan momen-momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku)

Rumus:

Data tunggal/ tidak berkelompok

Populasi : Sk = =

Sampel : Sk = = x Data Berkelompok

Populasi: Sk = = atau

Sk = = .

(72)

67

Sk = = . Kemencengan kurva menurut Pearson ialah:

1. Sk = 0  kurva memiliki bentuk simetris

2. Sk > 0  kurva menceng ke kanan atau menceng positif 3. Sk < 0  kurva menceng ke kiri atau menceng negatif Batas-batas nilai ukuran kemencengan beserta artinya:

1. 0,0 ≤ (Sk = < 0,1  bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal 2. 0,1 ≤ (Sk = < 0,3  bentuk kurva distribusinya menceng.

Bila bernilai negatif menceng ke kiri, bila bernilai positif menceng ke kanan 3. (Sk = ≥ 0,3  bentuk kurva distribusinya sangat menceng

Bila bernilai negatif sangat menceng ke kiri, bila bernilai positif sangat

menceng ke kanan

UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis) Kt =

Keruncingan distribusi data atau kurtosis adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data.

Berdasarkan keruncingannya kurva distribusi dapat dibedakan atas 3 macam, yaitu: 1. Leptokurtik (puncak relatif tinggi/ runcing)

2. Mesokurtik (puncak tidak tinggi dan tidak mendatar atau bisa disebut normal) 3. Platikurtik ( puncak hampir mendatar/ tumpul)

Leptokurtik

Mesokurtik

(73)

68

Batas-batas ukuran keruncingan:

1. > 3 kurva distribusinya runcing (leptokurtik) 2. = 3 kurva distribusinya normal (mesokurtik)

3. < 3 kurva distribusinya tumpul (platikurtik)

Rumus- Rumus yang digunakan:

Data tunggal/ tidak berkelompok

Populasi : =

Sampel : = x Data Berkelompok

Populasi: = atau

= .

Sampel: = x atau

= . Contoh Soal:

Berikut ini adalah sampel nilai dari mid test statistika I dari sekelompok mahasiswa di sebuah Universitas:

30, 35, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98 Tentukanlah:

a. Semua ukuran dispersi absolutnya

b. Semua ukuran dispersi relatifnya, kecuali angka baku

(74)

69

Jawaban:

X X -_x x x x

30 -32,5 1056,25 900 1115664,063 35 -27,5 756,25 1225 571914,0625 42 -20,5 420,25 1764 176610,0625 50 -12,5 156,25 2500 24414,0625 58 -4,5 20,25 3364 410,0625 66 3,5 12,25 4356 150,0625 74 11,5 132,25 5476 17490,0625 82 19,5 380,25 6724 144590,0625 90 27,5 756,25 8100 571914,0625 98 35,5 1260,25 9604 1588230,063

ΣX= 625

X = 62,5

Σ= 4950,5 Σ= 44013 Σ= 4211386,625

a. Ukuran dispersi absolut:  R = -

R = 98-30 = 68  IQR = -

= 84-40,25 = 43,75

 QD = = = 21,875

 AD = x

=

= 19,5

 s = x

=

23,45326322

(75)

70

b. Ukuran dispersi relatif  CV =

x x 100% =

x 100% = 37,52522115%

 CVQ =

x 100% =

x 100% = 35,28225806%

c. Ukuran kemencengan: Rumus Pearson:

Sk = x

=

= 0,063956984

Ternyata 0,0 <0,063956984< 0,1

0,0 < (Sk = < 0,1  bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal

Gambar:

Ukuran keruncingan:

= x

=

= 1,391912716

Ternyata 1,391912716 < 3

(76)

71

Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab: 1. Buka software Minitab

2. Masukan data pada worksheet 1

3. Ketik “nilai” pada kolom C1 lalu masukan data

4. Klik stat  Basic Statistic  display descriptive statistics  lalu masukan variabel nilai (C1) ke kotak variabel.

(77)

72

6. Pilih descriptive statistics yang dibutuhkan lalu Klik OK 7. Akan muncul output sebagai berikut:

—— 12/2/2011 10:58:31 AM ————————————————————

Welcome to Minitab, press F1 for help.

Descriptive Statistics: nilai

Variabel N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 nilai 10 0 62.50 7.42 23.45 550.06 37.53 30.00 40.25

(78)

73

SOAL UKURAN DISPERSI

1. Plywood Inc. Reported these returns on stockholder equity (in percent) for the

past 5 years: 4,3 4,9 7,2 6,7 and 11,6

a. Compute the range, average deviation, standard deviation and variance b. Compute the coefficient of variation and coefficient of quartile variation Penyelesaian:

X X - _x x

4,3 -2,64 6,9696 4,9 -2,04 4,1616

7,2 0,26 0,0676

6,7 -0,24 0,0576 11,6 4,66 21,7156

ΣX= 625

X= 6,94

Σ x = 9,84 Σ = 32,972

a.

 R = - R = 11,6 – 4,3 = 7,3  IQR = -

= 9,4 – 4,6 = 4,8

 QD = = = 2,4

 AD = x

= = 1,968

 s = x

=

(79)

74

 V= = = 8,243 b.

 CV =

x x 100% =

x100% = 41,36977696%

 CVQ =

x 100% =

x 100% = 31,59722222%

Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab: 1. Buka software Minitab

2. Masukan data pada worksheet 1

3. Ketik “returns” pada kolom C1, lalu masukan data

(80)

75

5. Pilih statistics, lalu akan muncul:

(81)

76

7. Akan muncul output sebagai berikut:

————— 12/2/2011 11:45:48 AM —————————————————

Welcome to Minitab, press F1 for help.

Descriptive Statistics: returns

Variabel N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median returns 5 0 6.94 1.28 2.87 8.24 41.37 4.30 4.60 6.70 Variabel Q3 Maximum Range

returns 9.40 11.60 7.30

2. Sampel berat badan 10 mahasiswa dan 10 mahasiswi disuatu perguruan tinggi adalah sebagai berikut:

Berat badan

mahasiswa 40 50 60 55 70 65 60 55 65 80 Berat badan

mahasiswi 45 55 50 60 45 40 55 50 65 60

a. Tentukan standar deviasi berat badan kelompok mahasiswa dan mahasiswi tersebut

b. Tentukanlah koefisien variasinya, manakah yang lebih merata? Penyelesaian:

Kelompok mahasiswa: Data terurut:

X 40 50 55 55 60 60 65 65 70 80 Σ= 600 1600 2500 3025 3025 3600 3600 4225 4225 4900 6400 Σ=37100

s

=

= 11,05541597

(82)

77 X 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 ∑=525

1600 2025 2025 2500 2500 3025 3025 3600 3600 4225 ∑=28125

s =

=

= 7,90569415

b. Koefisien variasi berat badan mahasiswa:

CV =

x x 100% =

x 100%

= 18,42569328%

Koefisien variasi berat badan mahasiswi:

CV =

x x 100% =