MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

(1)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

1

MODUL STATISTIKA I

LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA I SEMESTER GENAP 2013

FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS PADJADJARAN

Disusun Oleh:

Tim Asisten Dosen Statistika FE UNPAD

Mengetahui dan Menyetujui, Ketua Program Studi ESP UNPAD

(2)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

2

KATA PENGANTAR

Bismillahirahmaanirrahiim Assalamu’alaikum Wr. Wb,

Alhamdulillahirabbil’alamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga akhirnya kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika I 2013 ini dengan sebaik-baiknya.

Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi aktif terhadap dunia akademis.

Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, kesempurnaan hanya milik Allah SWT, penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun nantikan demi perbaikan modul ini ke arah sempurna.

(3)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

3

YESSICA HAMDI DITHA

MEISA IRSYAD ARDINA

DEASY TAUFIK KARINA

(4)

4

DAFTAR ISI

DISTRIBUSI FREKUENSI 5

UKURAN GEJALA PUSAT 28

UKURAN DISPERSI 56

ANGKA INDEKS 83

ANALISIS DERET BERKALA 99

PELUANG 127

DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 144

DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI

BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL 161

(5)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

5

DISTRIBUSI FREKUENSI

Ringkasan Teori

Seringkali data yang telah tertumpuk tersedia dalam jumlah yang sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri – cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut kedalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam tiap kelas yang disebut frekuensi kelas.Bentuk tabel yang mengklasifikasikan setiap individu atau item dari data yang diobservasi ke dalam kelas-kelas tertentu, sehingga setiap individu atau item hanya termasuk ke dalam kelas tertentu saja disebut dengan distribusi frekuensi. Tujuan pengelompokan data ke dalam distribusi frekuensi ialah untuk memperoleh gambaran yang sederhana, jelas dan sistematis mengenai peristiwa yang dinyatakan dalam angka-angka.

Bagian Distribusi Frekuensi 1. Kelas (Class)

Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi kedalam batas–batas nilai tertentu

2. Batas kelas (Class limit)

Bilangan – bilangan yang membatasi kelas – kelas ( class limit ) tertentu, yang memiliki 2 macam pengertian:

(6)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

6  Batas bawah kelas / Ujung bawah kelas (Lower State Class limit/LCL)

Adalah bilangan yang paling kecil yang membatasi kelas tertentu

 Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/UCL) Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu

b. Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu bilangan – bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang berurutan, yang terdiri dari :

 Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class Boundaries / LCB)

Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas sebelumnya dengan ujung bawah kelas yang bersangkutan.

 Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas (Upper Class Boundaries / UCB )

Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya.

Rumusnya adalah sebagai berikut :

UCBi = LCB(i+1) UCB = (UCLi+ LCL(i+1))/2

(7)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

7

4. Frekuensi (Frequency)f

Angka yang menunjukkan banyaknya data individual yang terdapat dalam satu kelas

5. Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas (Midpoint / Class Mark)X

Bilangan – bilangan yang dapat mewakili kelas – kelas tertentu yang diperoleh dengan jalan atau cara merata–ratakan batas kelas yang bersangkutan.

Nilai tengah =

Contoh soal :

Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Statistika I

Batas kelas Tepi Kelas Nilai Tengah Frekuensi

23 – 27 22,5 – 27,5 25 2

28 – 32 27,5 – 32,5 30 4

33 – 37 32,5 – 37,5 35 15

38 – 42 37,5 – 42,5 40 21

43 – 47 42,5 – 47,5 45 31

Jumlah 73

(8)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

8

Tahapan untuk menyusun suatu distribusi frekuensi

Secara umum langkah – langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan

2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan menggunakan :

Rumus :

R = Xmaksimum- Xminimum

3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges

k= 1 + 3,322 Log N atau k = 1 + 3,322 log n

N = banyaknya anggota populasi; n = banyaknya anggota sampel

4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap–tiap kelas dengan rumus

Ci= =

/

5. Menentukan batas – batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan

(9)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

9

Macam–macam Grafik Distribusi Frekuensi • Histogram (Hystogram)

Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi

yang merupakan batang – batang yang

disusun secara berderet tanpa jarak yang

menggambarkan tinggi frekuensi tiap

kelas

• Poligon ( Polygon )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi

yang merupakan garis patah – patah yang

menghubungkan titik tengah histogram

tiap kelasnya

• Ozaiv ( Ogive )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi

yang merupakan garis patah – patah yang

menghubungkan tinggi frekuensi

kumulatif dari tiap – tiap kelasnya.

• Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve)

(10)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

10

Macam–macam Distribusi Frekuensi

a) Distribusi Frekuensi Distrik yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuan

b) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang mendekati 0

c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu

d) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atas

• DF terbuka atas

Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “

• DF terbuka bawah

Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ lebih dari “

• DF terbuka atas bawah

Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas terakhirnya masing– masing tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ dan “ atau lebih “

e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya dinyatakan dengan bilangan – bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100 %.

firelatif =_∑ dalam bentuk ratio

(11)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

11

f) Distribusi Frekuensi Kumulatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya ditambahkan atau dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap kelasnya dari DF asalnya. DF kumulatif terdiri dari :

 DF Kumulatif positif / DF kumulatif kurang dari/DF kumulatif less than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0 kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap – tiap kelas dari DF asalnya.

 DF Kumulatif negatif / DF kumulatif atau lebih /DF kumulatif more than

DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya.

Rumus - Rumus Yang Biasa Dipakai Dalam Distribusi Frekuensi UCBi = LCB(i+1) Cii= UCB(i+1)–LCBi

UCB = (UCLi+ LCL(i+1))/2 Cii=X(i+1)–XiUntuk DF Yang memiliki Ci sama Xi= (LCB+UCB)/2 UCLi= LCLi–( Ci-1 )Untuk DF Diskrit

Cii= LCL(i+1)–LCL UCLi= LCLi–( Ci-∆)Untuk DF Kontinu

(12)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

12

Contoh Soal :

Berikut ini adalah data tinggi badan dari Mahasiswa Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Padjadjaran

125 165 157 151 132 134 161 145

148 156 154 179 157 150 169 149

170 155 145 148 154 163 159 162

173 180 176 152 162 143 143 150

158 163 134 165 142 150 121 176

a) Susunlah data tinggi badan mahasiswa tersebut ( Array ) ? b) Buatlah ditribusi frekuensinya ?

c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan kurang dari 151 cm dan yang lebih dari 160 cm ?

d) Berapa batas atas kelas ke-3, batas bawah kelas ke-2, tepi bawah kelas ke-4, tepi atas kelas ke-2, dan titik tengah kelas ke-2 ?

(13)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

13

b) Distribusi Frekuensi R = Xmaks–X min = 180–121 = 59 k=1+3,322 log n

= 1 +3,322 log 40 = 6,3220 , diambil 6 Ci = R/k59/6 = 9,8333, diambil 10

Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan Mahasiswa Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Padjadjaran

c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan kurang dari 151 cm dan yang lebih dari 160 cm = 16 orang + 14 orang = 30 orang

d) Batas atas kelas ke-3 = 150 Batas bawah kelas ke-2 = 131

Tepi bawah kelas ke-4 = 151-0,5= 150,5 Tepi atas kelas ke-2 = 140 + 0,5 =140,5

Titik tengah kelas ke-2 = (130,5+140,5)/2=135,5

Tinggi Badan Jumlah Mahasiswa

121 – 130 2

131 – 140 3

141 – 150 11

151 – 160 10

161 – 170 9

171 – 180 5

(14)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

14

SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Berikut adalah data nilai hasil tes tulis Microeconomics Competition dari 50 orang peserta

19 23 18 43 30 20 37 42 30 26

40 16 27 56 17 27 26 27 37 28

38 26 33 45 50 22 28 38 31 39

31 30 31 41 62 37 51 42 25 42

42 41 27 26 19 42 63 16 18 55

a. Buatlah array atau susunan data dari nilai hasil tes tulis Microeconomics Competition tersebut !

b. Buatlah distribusi frekuensinya !

c. Berapa jumlah peserta yang memiliki nilai kurang dari 30 dan yang lebih dari 50 ?

d. Berapa batas atas kelas ke-1, batas bawah kelas ke-3, tepi bawah kelas ke-2, tepi atas kelas ke-4, dan titik tengah kelas ke-1 ?

Jawaban : a.

16 25 28 37 42

16 26 30 38 42

17 26 30 38 43

18 26 30 39 45

18 26 31 40 50

(15)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

15

19 27 31 41 55

20 27 33 42 56

22 27 37 42 62

23 28 37 42 63

b. Range data tersebut 63 -16 = 47

k = 1 + 3.322 log 50 = 1 + 3.322 (1.6989..) = 1 + 5,6439.. = 6,6439 = 7 Ci= = = 6.714 = 7

Tabel Distribusi Frekuensi

Kelas Frekuensi

16-22 9

23-29 12

30-36 7

37-43 15

44-50 2

51-57 3

58-64 2

Jumlah 50

Jumlah peserta yang nilainya kurang dari 30 dan lebih dari 50 adalah 21+5 = 26 pegawai

c. Batas atas kelas ke-1 = 22 Batas bawah kelas ke-3 = 30

(16)

16

2. Berikut ini adalah tinggi badan dari 35 mahasiswa di FEB Unpad

180 177 160 177 157 164 181

157 159 162 174 158 159 181

162 180 160 175 180 164 150

174 181 159 175 170 170 158

166 159 178 176 165 171 185

a. Susunlah DF asalnya !

b. Berapa banyak mahasiswa yang tinggi badannya minimal 173 ? Jawaban :

a. Array

150 159 160 165 174 177 180

157 159 162 166 174 177 181

157 159 162 170 175 178 181

158 159 164 170 175 180 181

158 160 164 171 176 180 185

Range data tersebut 185–150 = 35

k = 1 + 3.322 log 35= 1 + 3.322 (1.6989..) = 6.129394043 = 6

Ci= = = 5.833 = 6

Distribusi Frekuensi Tinggi Badan Frekuensi

150-155 1

156-161 10

(17)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

17

168-173 3

174-179 14

180-185 1

Jumlah 35

b. Jadi jumlah mahasiswa yang tinggi badannya minimal 173 adalah 20 orang

3. Distribusi frekuensi kumulatif usia dari 60 orang penduduk Perumahan Permata Hijau di Bandung adalah sebagai berikut :

Usia Banyaknya Penduduk

Kurang dari 10 0

Kurang dari 20 4

Kurang dari 30 8

Kurang dari 40 15

Kurang dari 50 30

Kurang dari 60 45

Kurang dari 70 56

Kurang dari 80 60

a. Susunlah distribusi asalnya

(18)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

18

a. Ci = 20–10 = 10

Distribusi Frekuensi

Usia Penduduk Perumahan Permata Hijau Usia Banyaknya Penduduk

10-19 4

20-29 4

30-39 7

40-49 15

50-59 15

60-69 11

70-79 4

Total 60

b. f1= 100%=6,67% f2= 100% = 6,67% f3= 100% = 11,67% f4= 100%= 25% f5= 100%= 25% f6= 100%= 18,33% f7= 100% = 6,67%

Distribusi Frekuensi Usia Penduduk Perumahan Permata Hijau

Usia Frekuensi (%)

10-19 6,67

20-29 6,67

30-39 11,67

(19)

19

50-59 25

60-69 18,33

70-79 6,67

Total 100

4. The following table shows the monthly-amount of time spent playing football by 400 high school students :

Playing Time

(minutes)

Number

of Students

300-399 46

400-499 62

500-599 58

600-699 14

700-799 76

800-899 68

900-999 22

1000-1099 48

1100-1199 6

With this reference of table, determine :

(20)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

20

c. The DF relative!

d. The percentage of students whose monthly playing time does not exceed 800 minutes!

e. The percentage of students whose monthly playing time are at least 600 minutes but less than 900 minutes!

Jawaban :

a. The upper limit of the third class = 599 The upper limit of the fourth class = 699 The upper limit of the sixth class = 899

b. The lower class boundaries of the second class = 400–0,5 = 399,5 The upper class boundaries of the second class = 499 + 0,5 = 499,5 The lower class boundaries of the seventh class = 900–0,5 = 899,5 The upper class boundaries of the seventh class = 999 + 0,5 = 999,5 c. DF Relative

Playing Time (minutes)

Number of Students

Number of Students (%)

300-399 46/400 11,5%

400-499 62/400 15,5%

500-599 58/400 14,5%

600-699 14/400 3,5%

700-799 76/400 19%

800-899 68/400 17%

900-999 22/400 5,5%

1000-1099 48/400 12%

1100-1199 6/400 1,5%

d. The percentage of students whose monthly playing time does not exceed 800 minutes

(21)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

21

e. The percentage of students whose monthly playing time are at least 600 minutes but less than 900 minutes ?

= 100%= 39,5%

5. Berikut ini disediakan distribusi relatif nilai ujian statistika dari 70 orang mahasiswa di Universitas “STA“

Nilai Ujian Frekuensi relatif

60–64 2,857

65–69 2,571

70–74 21,429

75–59 28,571

80–84 22,857

85–89 10,000

90–94 5,714

a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya )? b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan atau lebih?

c) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus

Jawab :

(22)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

22

frel=

∑ x 100 atau fi= ∑

jadi : f1= ,

=2 f2=

,

=6

f3= ,

=15 f4=

,

=20

f5= ,

=16 f6=

,

=7

f7= , =4

Tabel 1. Umur mahasiswa universitas “X”

b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut :

Umur Banyaknya

Mahasiswa

Frekuensi Kumulatif

Nilai Fk Nilai fk

< 60 0 ≥60 70

60–64 2 <65 2 ≥ 65 68

Umur X Banyaknya

Mahasiswa

60–64 62 2

65–69 67 6

70–74 72 15

75–59 77 20

80–84 82 16

85–89 87 7

90–94 92 4

(23)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

23

65–69 6 < 70 8 ≥70 62

70–74 15 < 75 23 ≥75 47

75–59 20 < 80 43 ≥80 27

80–84 16 < 85 59 ≥85 11

85–89 7 < 90 66 ≥90 4

90–94 4 < 95 70 ≥95 0

6. Here is the data of 40 students who take statistics courses based on the their age : Midpoint Frekuensi

23 3

26 5

29 7

32 8

35 9

38 6

41 2

a) Arrange the origin`s frequency distribution?

b) What percentage of the minimum 31-year old college student who majors statistical And how many students over the age of 34 years? Jawab :a.

(24)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

24

= 26–23 =3 X1= 23

Tepi Atas = 2Xn–Tb Tepi Bawah = Tb + Ci 2Xn–Tb = Tb + Ci

2(23)–Tb = Tb + 3 Untuk Tepi bawah kelas 1 46–Tb = Tb + 3

2Tb = 46–3

Tb =21,5 -> 22

Ta = 2(23)–22

=24 X2= 26

2Tb = 52–3

Tb =24,5 -> 25

Ta = 2(26)–25

=27 X3= 29

(25)

25

Tb =27,5 -> 28

Ta = 2(29)–28

=30 X4= 32

2Tb = 64–3

Tb =30,5 -> 31

Ta = 2(32)–31

=33 X5= 35

2Tb = 70–3

Tb =33,5 -> 34

Ta = 2(35)–34

=36 X6= 38

(26)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

26

2Tb = 76–3

Tb =36,5 -> 37

Ta = 2(38)–37

=39 X7= 41

2(41)–Tb = Tb + 3 Untuk Tepi bawah kelas6 82–Tb = Tb + 3

2Tb = 82–3

Tb =39,5 -> 40

Ta = 2(41)–40

=42

Distribusi Frekuensi Usia Mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik

Usia Frecuency

20-24 3

25-27 5

28-30 7

31-33 8

34-36 9

37-39 6

40-42 2

Total 40

(27)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

27

x 100 = 62,5 %

Dan , jumlah mahasiswa yang berusia lebih dari 34 tahun adalah = 9 + 6+2=17 orang

7. Data di bawah ini menunjukan hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978 di 69 negara.

462 640 649 977 322 482 659

699 603 766 357 170 518 850

332 478 678 703 393 300 455

695 254 449 340 508 773 833

467 750 404 143 703 320 269

398 800 459 849 257 508 917

400 535 472 476 300 719 920

549 546 697 698 316 500 761

685 480 816 299 286 602 494

400 664 380 657 605 1054

(Anto Dajan. Pengantar Metode Statistik jilid I Halaman 108) a) Berdasarkan data di atas buatlah distribusi frekuensinya!

b) Buat Distribusi frekuensi relative “kurang dari” dan “atau lebih” dari data di atas!

Jawab :

a) Carilah banyaknya kelasnya terlebih dahulu k = 1 + 3,322 log 69

= 1 + 3,322 (1,8388) = 6,1084 ambil k = 6

(28)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

28

Distribusi frekuensi

Hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978di 69 negara.

Rata-rata Gula tebu Frecuency

143-294,9 6

295-446,9 15

447-598,9 18

599-750,9 18

751-902,9 8

903-1054,9 4

Jumlah 69

b) Distribusi frekuensi kurang dari dan atau lebih

Hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978di 69 negara.

Frekuensi kumulatif

Rata-rata gula tebu fkKurang dari Rata-rata gula tebu fk Lebih dari

Kurang dari 143 0 143 Atau Lebih 69

(29)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

29

UKURAN GEJALA PUSAT

Ukuran Gejala Pusat (UGP) adalah nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data atau menunjukkan pusat dari nilai data (Suharyadi, Purwanto S.K). Dengan kata lain, ukuran gejala pusat adalah ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Maksudnya jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata ke dalamnya, nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan (tendensi) terletak diurutan paling tengah atau pusat.

Ukuran gejala pusat digunakan sebagai alat untuk membandingkan dua atau lebih kelompok data atau bilangan. Jenis-jenis ukuran gejala pusat adalah :

1. Mayor Mean, terdiri dari :

a. Rata-rata Hitung (arithmetic mean) b. Median

c. Modus

2. Minor mean, terdiri dari :

a. Rata-rata Ukur (geometric mean) b. Rata-rata Harmonis (harmonic mean)

1. Mayor Mean

a. Rata-rata Hitung (Arithmatic Mean)

Rata-rata hitung merupakan nilai yang diperoleh dengan cara menjumlahkan semua nilai data dan membaginya dengan banyaknya data tersebut. Rata-rata hitung memiliki sifat :

(30)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

30

2) Sangat baik mempunyai atau dari data 3) Tidak dapat

ataupun dari da Dalam perhitungannya di

- Untuk data tidak

Populasi Sampel

Rata-rata Hitung (μ atau )

Rata-Rata Tertimbang ( _w)

Rata-Rata Gabungan ( )

30

aik digunakan untuk menghitung rata-rata da ai sebaran nilai relative kecil (tidak mempunyai data yang berbentuk deret hitung

pat digunakan untuk menghitung rata-rata dari da upun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka

a digunakan rumus-rumus sebagai berikut :

dak berkelompok

Populasi Sampel

Rata-rata Hitung (μ atau x)

Rata-Rata Tertimbang (x_w)

Rata-Rata Gabungan (x )

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

30

dari data yang ai nilai ekstrim)

i data kualitatif buka

Populasi Sampel

Rata-rata Hitung (μ atau )

Rata-Rata Tertimbang ( _w)

(31)

31

- Untuk data berk

Populasi Sampel

Rata-rata Hitung

(μ atau x)

Cara pendek atau Cara panjang Cara pendek atau Cara panjang Keterangan :

X= nilai data yang di

N = banyaknya data

n = banyaknya data p =

wi= timbangan (wei =

b. Median

Median merupa bilangan atau de letaknya berada terkecil sampai berada di tenga Median memiliki

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

31

erkelompok

Populasi Sampel

Rata-rata Hitung

(μ atau )

Cara pendek atau Cara panjang Cara pendek atau Cara panjang :

g diobservasi Xi= nilai tengah (mid point

data pada populasi Ci = interval kelas

ta pada sampel X0=nilai tengah pada kela

eighted) Ui=skala arbiter pada kela

upakan bilangan atau keterangan yang membagi u deretan keterangan menjadi dua bagian yang sa

da di tengah data ketika data tersebut sudah diurut ai terbesar atau sebaliknya. Atau juga merupak

gah-tengah data/titik tengah, setelah data tersebut liki sifat :

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

31

Populasi Sampel

Rata-rata Hitung

(μ atau )

Cara pendek atau Cara panjang Cara pendek atau Cara panjang int)

= kelas u = 0

= kelas ke-i

(32)

32

1) Sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mengandung nilai/pengertian ekstrim

2) Dapat pula digunakan untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi tertutup maupun terbuka.

Untuk data tidak berkelompok

Median untuk data tidak berkelompok adalah nilai yang letaknya di tengah data yang telah diurutkan, namun datanya belum dikelompokkan ke dalam kelas/kategori tertentu atau belum dalam bentuk distribusi frekuensi.

Populasi Sampel

Letak Median

Me = ( + ) Me = ( + )

Nilai Median

Data ke ( + ) Data ke- ( + )

- Jika jumlah datanya ganjil, maka nilai median merupakan nilai yang letaknya di tengah data

(33)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

33

Untuk data berkelompok

Populasi Sampel

Letak Median _{Me =} _{Me =}

Nilai Median

Me = + . Me = + .

Keterangan : LMe = batas (tepi) bawah sebenarnya kelas median Ci = panjang/interval kelas

F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median fMe = frekuensi kelas median

Dari definisi median diatas dapat dikembangkan menjadi : • Kuartil

Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar, atau setiap bagian dari kuartil sebesar 1 satuan.

• Desil

Desil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data berkelompok menjadi 10 bagian sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10%.

(34)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

34

Persentil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 100 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 1%.

Rumus Kuartil :

Data Tidak Berkelompok (i = 1,2,3)

Data Berkelompok (i = 1,2,3) Populasi

Letak Qi = ( + )

Nilai Qi = data ke- ( + )

= + − .

Letak Qi =

Sampel

Letak Qi = ( + )

Qi = data ke- ( + )

= + − .

(35)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

35

Rumus Desil :

Rumus Persentil :

Data Tidak Berkelompok (i = 1,2,3,….,9)

Data Berkelompok (i =1,2,3,….,9) Populasi

Letak Di =

( + )

Di = data ke-

( + )

=

+

−

.

Letak Di =

Sampel

Letak Di =

( + )

Di = data ke-

( + )

= + − .

Letak Di =

Data Tidak Berkelompok (i = 1,2,3,….,99)

Data Berkelompok (i = 1,2,3,….,99)

Populasi

Letak Pi =

( + )

Pi = data ke-

( + )

= + − .

(36)

36

c. Modus

Modus adalah suatu nilai pengamatan yang paling sering muncul. Kelebihan modus adalah mudah ditemukan, dapat digunakan untuk semua skala pengukuran, serta tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Kelemahan modus adalah kadang kala sekumpulan data tidak mempunyai modus, sehingga semua data dianggap modus dan kadang kala sekumpulan data memiliki modus lebih dari satu. Modus memiliki sifat :

1) Sangat baik digunakan untuk untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan yang sering terjadi atau sedang trendi

2) Digunakan untukmenghitung nilai rata-rata data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi tertutup maupun terbuka

- Untuk data tidak berkelompok, maka modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi paling banyak

- Untuk data berkelompok, maka modus diperoleh dari rumus :

= +

+ .

Dimana : LMo = batas/tepi bawah kelas modus Sampel

Letak Pi =

( + )

Pi = data ke-

( + )

= + − .

(37)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

37

d1= f0- f1= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus

d2= f0–f2= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus

Ci = panjang/interval kelas

Hubungan Mean, Median, Modus

- jika nilai mean, median, modus mempunyai nilai yang sama maka kurva poligon akan simetris

- jika nilai mean lebih besar dari median dan modus maka kurva polygon akan miring ke kanan (arah positif)

- jika nilai mean lebih kecil dari median dan modus maka kurvanya akan miring ke kiri (arah negatif)

- jika distribusinya tidak terlalu menceng, hubungan rata-rata hitung, median, dan modus secara matematis dituliskan sebagai berikut :

Rata–rata hitung–Modus = 3 (Rata-rata hitung–Median) x - Mo = 3 (x - Me)

2. Minor Mean

a. Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

Rata-rata geometris adalah suatu bilangan yang diperoleh dari akar pangkat banyaknya bilangan itu dari hasil kali bilangan-bilangan tersebut. Rata-rata ukur memiliki sifat :

(38)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

38

2) Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari dua kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka

Data tidak berkelompok (ungrouped data)

Data berkelompok (groupped data) Populasi

=

…

Atau

= ∑

= . …

Atau

= ∑ .

Sampel

=

…

Atau

= ∑

= . …

Atau

= ∑ .

Dari pengertian rata-rata ukur dapat dikembangkan menjadi : • Rata-rata Tingkat Bunga (Mt)

Populasi dan sampel : = 1 +

(39)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

39

Populasi dan Sampel : = 1 +

b. Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean)

Rata-rata harmonis adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil bagi antara banyaknya bilangan-bilangan itu terhadap jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut. Rata-rata harmonis memiliki sifat :

1) Baik untuk menghitung rata-rata data per satuan unit tertentu dengan syarat hasil kali antara banyaknya unit dengan nilai data tersebut konstan 2) Lebih sesuai bila digunakan pada data atau observasi yang unit

pembilangnya tetap, sedangkan unit penyebutnya berubah-ubah. Data tidak berkelompok

(ungrouped data)

Data berkelompok (groupped data) Populasi

=

∑

1

=

∑

Sampel

=

∑

1

=

∑

Contoh Soal

(40)

berturut-MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

40

turut adalah 5,7kg, 6,2k tentukanlah rata-rata, m Dik. : n=10 ;

;X8=6,9 ; Dit. : x_{, Me, M} Jawab : a.

= , , , , , , , , , = , = 6,27

Jadi, rat kg. b.urutka 5,1kg 5,7k

Me = ( + 1) (10 + 1) = 5,5 = , , = 6,3

Jadi, me c.Mo=da jadi, modus

40

, 6,2kg, 6,4kg, 7kg, 5,7kg 5,1,kg, 6,7kg 6,9kg, 7,1kg ta, modus, dan median dari kesepuluh berat badan ba 10 ; X1=5,1 ;X2=5,7 ;X3=5,7 ;X4=5,9 ;X5=6,2 ;X6=

6,9 ;X9=7 ;X10=7,1 e, Mo ?

= , , , , , , , , , = , = 6,27

rata-rata dari kesepuluh berat badan bayi tersebut

kan data dari terkecil sampai terbesar

5,7kg 5,7kg 5,9kg 6,2kg 6,4kg 6,7kg 6,9kg 7kg 7,1k ( + 1)= (10 + 1) = 5,5data ke5,5

= , , = 6,3

median dari berat badan kesepuluh bayi tersebut ada data yang sering muncul = 5,7kg

odus dari berat badan kesepuluh bayi tersebut ada

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

40

7,1kg, dan 5,9kg. an bayi tersebut! X6=6,4 ;X7=6,7

= , , , , , , , , , = , = 6,27

but adalah 6,27

7,1kg ( + 1) (10 + 1) = 5,5

= , , = 6,3

adalah 6,3kg.

(41)

41

SOAL UKURAN GEJALA PUSAT

1. Citizen banking company sedang mempelajari jumlah penggunaan ATM yang berlokasi di Bara Supermarket per hari nya. Berikut adalah jumlah penggunaan mesin ATM tersebut per hari selama 25 hari terakhir.

83 63 95 80 36 84 84 70 73 84 68 54 52 84 90 47 52 87 77 60

a. Buatlah distribusi frekuensinya dan tentukan median serta modus dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya?

b. Tentukan persentil 40 dan desil 6!

Jawab :

Dik : n = 20

R maks–R min = 95–36 = 59 k = 1 + 3,322 log 25 = 5,643≈6 Ci = R/k = 59/6 = 9,8 ≈10 interval Jumlah pengguna

(fi)

Xi Xifi F Kumulatif

36–45 1 40,5 40,5 1

46–55 5 50,5 252,5 6

56–65 3 60,5 181.5 9

66–75 4 70,5 282 13

76–85 8 80,5 644 21

86–95 4 90,5 362 25

total 25 1762

a. Median

(42)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

42

Me = + .

Me =65,5 + . 10 = 74,25

Jadi, rata-rata jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 74,25 atau 74 kali.

Modus

modus terletak di kelas ke 5tepi bawah kelasnya adalah 75,5 d1 = 8–4 = 4

d2 = 8–4 = 4 Ci = 10

= + .

= 75,5 + . 10 = 80,5

Jadi, modus dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 80,5 kali atau 81 kali.

b. P40 dan D6

Letak Pi = = (25) = 10

= + 100 − .

= 65,5 + 40

100 (25) − 9

4 . 10 = 68

Jadi, P40 dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 68 kali.

(43)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

43

Letak Di =

Letak D6 = (25) = 15

= + 10 − .

= 75,5 + 6

10 (25) − 13

8 . 10 = 78

Jadi, D6 dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 78 kali.

2. Seorang nasabah Bank Hayam Wuruk mendepositokan uangnya pada tahun 1997 sebanyak Rp 58 juta. karena terjadi krisis finansial global yang diawali pada tahun 2007, maka nasabah tersebut menarik seluruh uangnya sebesar Rp 78 jt. tentukanlah rata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah tersebut setiap tahunnya!

Dik : Mt = Rp 78 jtMo= Rp 58 jt t = 10

Dit : Rata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah tersebut setiap tahunnya

Jawab : = 1 +

78 = 58 1 + 100

Log 78 = log 58 + 10 log 1 +

Log 78 - log 58 = 10 log 1 +

0,128 = 10 log 1 +

(44)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

44

X = 3 Jadi, rata tahunnya a 3. Pak Taro adalah seor Untuk mendapatkan Semarang –Ambara kereta. Berikut adalah k

Perjalanan Jepara–Semara Semarang–Amba Ambarawa–Sol Solo–Pekalong Pekalongan - Ba Dari data diatas Pak taro dalam m Jawab :

= 1272,5

Jadi, rata-rata ke melakukan perjal 4. The following table sho

(in hundr

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

44

ata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah te ya adalah 3 %.

seorang pengusaha di bidang meubel yang berpus kan bahan baku usahanya dia harus melakuka barawa– Solo - Pekalongan dan Bandung dengan m dalah kecepatan dan waktu tempuh perjalanannya:

Kecepatan Waktu Tempuh

arang 60 km/jam 3 jam

Ambarawa 50 km/jam 2 jam

Solo 80 km/jam 4 jam

ongan 65 km/jam 2,5 jam

Bandung 85 km/jam 6 jam

tas, tentukan rata-rata kecepatan kereta yang di melakukan perjalanan tersebut?

= (60 x 3) + (50 x 2) + (80 x 4) + (65 x 2,5)

kecepatan kereta yang digunakan oleh Pak jalanan tersebut adalah 1272,5 km/jam.

e shows list of wage of pulp and paper company in S

Wage

in hundred thousand rupiah)

Number of employee

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

44

h tersebut setiap

pusat di Jepara. kukan perjalanan n menggunakan :

puh

digunakan oleh

2,5) + (85 x 6) =

ak taro dalam

(45)

45

determine : a. mean of b. how muc c. the lowe d. the highe Jawab :

Gaji

(ratusan ribu rupiah 60–69 70–79 80–89 90–99 100–109 110–119

Total

a. rata- rata gaj

Jadi, rata-rata 937.857.

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

45

60–69 3

70–79 5

80–89 20

90–99 18

100–109 14

110–119 10

n of employees wage in that company!

how much the salary received by most of employees? owest salary of 30% highest paid employees! highest salary of 20% lowest paid employees!

upiah)

Jumlah Karyawan (fi)

Xi

3 64,5 193,5

5 74,5 372,5

20 84,5 1690

18 94,5 1701

14 104,5 1463

10 114,5 1145

70 537 65

gaji yang didapatkan oleh karyawan = 6565 / 70 = 93,7857

rata gaji karyawan perusahaan tersebut adalah sebe

(46)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

46

b. berapa besar gaji yang diterima oleh sebagian besar karyawan modus terletak di kelas ke 3tepi bawah kelasnya adalah 79,5 d1 = 20–5 = 15

d2 = 20–18 = 2 Ci = 10

= +

+ .

Mo = 979,5 + ((15 /(15+2)) x10) = 88,3235

Jadi, besar gaji yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut adalah Rp 883.235.

c. gaji terendah dari 30% karyawan bergaji paling tinggi P70 atau D70

Letak Pi =i/100 n

Letak P70= 70/100 (70) = 49

= + 100 − .

= 99,5 + 70

100 (70) − 46

14 . 10 = 101,6428

Jadi, gaji terendah dari 30% karyawan bergaji paling tinggi adalah Rp 1.016.428.

d. gaji tertinggi dari 20% karyawan bergaji paling rendah P20 atau D2

Letak Di = Letak Pi =

Letak D2 = (70) = 14 Letak P20 = (70) =

14

(47)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

47

= 79,5 + 2

10 (70) − 8 20 . 10

= 79,5 + 20

100 (70) − 8 20 . 10

= 82,5 = 82,5

Jadi, gaji tertinggi dari 20% karyawan bergaji paling rendah adalah Rp 825.000.

5. Ibu Tina bermaksud untuk melakukan perjalanan Bandung – Jakarta – Yogyakarta – Malang yang berjarak 650 KM demi mengunjungi anak-anaknya yang saat ini berdomisili di daerah - daerah tersebut. Ketika berangkat dari Bandung menuju Jakarta dengan menggunakan mobil, mobil melaju dengan kecepatan 60 km/jam. Ketika dari Jakarta menuju Yogyakarta kecepatannya adalah 80 km/jam. Kemudian dari Yogyakarta menuju Malang, mobilnya melaju dengan kecepatan 70 km/jam. Dan ketika kembali ke Bandung kecepatannya hanya 65 km/jam. Hitunglah berapa kecepatan rata-rata Ibu Tina pulang pergi dalam melakukan perjalanan tersebut?

Dik : n = 4 ;x1 = 60 ; x2 = 80 ; x3 = 70 ; x4 = 65

Dit :Hm?

jawab : =

∑

= ₁ 4

60 +80 +1 70 +1 651

= 4

0,05883 = 67,9925

Jadi, kecepatan rata-rata Ibu Tina pulang pergi dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 67,9925 km/jam.

6. Berikut ini adalah data nilai statistika I dari 20 mahasiswa yang di survey.

78 90 86 75 60 95 95 77 82 89 70 69

91 67 72 55 74 80 82 58

(48)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

48

b.tentukan pe Jawab : a.

R = R ma

K = 1 + 3,22 l ≈

Ci = R/k = Nilai (interval

kelas) 55–62 63–70 71–78 79–86 87–94 jumlah Mean

=

Median

Letak Me = ½ n = Me = Lme + ((n/2 Modus

Modus terletak di 

d1 = 20–15 = 13 d2 = 32–27 = 5 Ci = 5

= +

+ .

Mo = 29,5 + (13/ Jadi, besarnya m 37,277 dan 30,222.

48

ukan persentil ke 55 dan Desil ke 7!

maks–R min = 95–55 = 45

3,22 log n = 1 + 3,22 log 20 = 5,322≈5 /k = 40/5 = 8

Jumlah mahasiswa (f)

Xi Xi

3 58,5 175,5

3 66,5 199,5

5 74,5 372,5

4 82,5 330

5 90.5 452,5

20 1233

=1233/20 = 61,65

n = ½ (20) = 10

n/2–F)/fme) x Ci = 70,5 + ((10–6)/5) x 8 = 78,5

k di kelas ke 5tepi bawah kelasnya adalah 86,5 13

5

= +

+ .

13/(13+5)) x 5 = 30,222

mean, median, modus secara berturut-turut a n 30,222.

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

48 ≈ Xifi 175,5 199,5 372,5 330 452,5 1233 78,5  86,5 = + + .

(49)

49

7. Heavy equipment fir sales unit, which is t Production unit have 3.150.000/monthly. 2.900.000, determine sales unit!

Dik : _x₁_{= Rp 2.750.000} x₂= Rp 3.150.000 x= Rp 2.900.000 Dit : perbandi

Jawab : 2.900.000 = 2.900.000n1 + 2.900.000n1 150.000n1 n1

jadi, perb penjualan a 8. Berikut ini adalah

investasinya di perus

(da

49

firm, PT.Hokage, consists of two main units, pr is the average employee income are different from

ve an average income Rp 2.750.000/monthly and y. if the average monthly income of all empl ine the ratio of the number of employees in the pr

1 Rp 2.750.000 2 Rp 3.150.000 p 2.900.000

ndingan n1 dan n2?

2.900.000 = (2.750.000n1 + 3.150.000n2) / (n1+n2) 2.900.000n1 + 2.900.000n2 = 2.750.000n1 + 3.150.000n2 2.900.000n1 - 2.750.000n1 = 3.150.000n2 - 2.900.000n2

150.000n1 = 250.000n2

= 1,67 n2

perbandingan banyaknya jumlah karyawan di unit an adalah 1 : 1,67.

h data investasi dari sejumlah investor yang rusahaan sekuritas yang berlokasi di Bandung.

Besar Investasi (dalam jutaan Rupiah)

Jumlah Investor

15–19 13

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

49

production and rom each other. nd sales unit Rp ployees is Rp production and

1 2

0.000n2 .000n2

unit produksi dan

(50)

50

20–24 11

25–29 19

30–34 32

35–39 27

40–44 7

45–49 15

50–54 23

55–59 10

60–64 8

Tentukan : a. Mean, median, modus besarnya investasi? b. Kuartil 1, 2, dan 3!

c. Desil ke 6 dan persentil ke 40! Dik : n = 165 Ci = 5

Besar Investasi (dalam jutaan

Rupiah)

Jumlah Investor (fi)

Xi Xifi F Kumulatif

15–19 13 17 221 13

20–24 11 22 242 24

25–29 19 27 513 43

30–34 32 32 1024 75

35–39 27 37 999 102

40–44 7 42 294 109

45–49 15 47 705 124

50–54 23 52 1196 147

55–59 10 57 570 157

(51)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

51

Total

Dit : a. Mean, media b. Q1, Q2, Q3 c. D8 dan P40! Jawab :

a. Mean

=

Median

Letak Me = ½ n =

Me= + .

Modus

d1 = 32–19 = 13 d2 = 32–27 = 5 Ci = 5

= +

+ .

Mo = 29,5 + (13/ Jadi, besarnya m 37,277 dan 30,222. b. Kuartil 2, 3 dan 4

Kuartil 2 Letak Qi =

Letak Q1 = (165) = 41,25

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

51

165 395 6260

dian, modus? b. Q1, Q2, Q3

40!

=6260/165 = 37,939

n = ½ (165) = 82,5

+ . = 34,5 + ((82,5 - 75)/27) x 10 = 37,277

5

= +

+ .

13/(13+5) x 5) = 30,222

mean, median, modus secara berturut-turut a n 30,222.

n 4

(165) = 41,25

51

+ .

 h 29,5

= +

+ .

ut adalah 37,939

(52)

52

= + 4 − .

= 24,5 + 1

4 (165) − 24

27 . 5 = 27,694

Letak Q2 = (165) = 82,5

= + 4 − .

= 34,5 + 2

4 (165) − 75

27 . 5 = 35,888

Letak Q3 = (165) = 123,75

= + 4 − .

= 44,5 + 3

4 (165) − 109

15 . 5 = 49,416

Jadi kuartil 1, 2, dan 3 secara berturut-turut adalah 27,69 dan 35,888 49,416. c. Desil 8 dan Persentil 40

(53)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

53

Letak D6 = (165) = 132 Letak P40 = (165) = 66

= + . = + .

= 49,5 + ( ) . 5 = 29,5 + ( ) . 5

= 51,239 = 33,093

Jadi, Desil ke 8 dan Persentil ke 40 secara berturut-turut adalah 51,239 dan 33,093.

9. Berikut ini adalah data nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran.

Nilai (kelas interval)

Jumlah mahasiswa (f)

73 - 76 18

77 - 80 9

81–84 8

85–88 25

89–92 21

93–96 19

Buatlah distribusi frekuensi dan hitunglah :

a. Tetukan rata-rata hitungnya dan berapa modusnya!

(54)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

54 Jawab : Nilai (kelas interval)

73–76 77–80 81–84 85–88 89–92 93–96 Jumlah

a. Mean

= 8566/100 = Jadi, rata-rata ni Universitas Padja Modus

d1 = 25–8 = 15 d2 = 25–21 = 4 Ci = 4

= +

+ .

= 84,5 + 15

15 + 4. 4 = 87,6578

Jadi, besarnya m Universitas Padja b. Hubungan rata-ra

54 Jumlah mahasiswa (f) Titik tengah (Xi) f

18 74,5 1341

9 78,5 706,5

8 82,5 660

25 86,5 2162,5

21 90,5 1900,5

19 94,5 1795,5

100 8566

8566/100 = 85,66

nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakul djadjaran adalah 85,66.

4

= +

+ .

= 84,5 + 15

15 + 4. 4 = 87,6578

modus nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakul djadjaran adalah 87,6578.

-rata hitung, median, dan modus

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

54 f.Xi 1341 706,5 660 2162,5 1900,5 1795,5 8566

kultas Ekonomi

 84,5

= +

+ .

= 84,5 + 15

15 + 4. 4 = 87,6578

(55)

55

Rata-rata hitung–modus = 3 (rata-rata hitung–median) 85,66–87,6578 = 3 (85,66–median)

-1,9978 = 256.98–3(median) 3 (median) = 258,9778

Median = 86,3259

(56)

56

UKURAN DISPERSI

Ukuran Dispersi atau ukuran penyimpangan adalah ukuranyang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya (pokok-pokok materi statistika 1 Ir. M Iqbal Hasan MM).Sebuah ukuran lokasi (seperti rata-rata atau median) haya menjelaskan pengukuran pusat data sehingga ukuran lokasi tersebut hanya bernilai perspektif tetapi tidak mengukur sebaran datanya.

Ukuran dispersi dapat digunakan untuk :

• Memberikan informasi tambahan dalam pengambilan keputusan

Contoh : jika kita ingin menyeberangi Danau Toba di Sumatera Utara, maka kita tidak dapat hanya mengandalkan informasi awam lewat buku panduan, dan sebagainya. Kita juga memerlukan informasi tambahan seperti batas-batas kedalamannya secara umum maupun dispersi kedalaman Danau tersebut.

• Mengevaluasi realibitas dua ukuran lokasi atau lebih

Contoh : TV merk Polytron dirakit di Kudus dan Semarang. Rata-rata hitung produksi kedua pabrik adalah 50.Berdasarkan data rata-rata, kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pabrik memiliki distribusi hasil yang identik. Namun, kita memiliki informasi lain bahwa ada penyimpangan ketidakteraturan produksi di Kudus antara 40-60 jam, sehingga dapat dikatakan bahwa pabrik Polytron di Semarang lebih mendekati rata-ratanya yaitu 50 sementara produksi di Kudus lebih tersebar (terdispersi).

Macam-macam ukuran dispersi : 1. Ukuran Dispersi Absolut

(57)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

57

kumpulan data).

Ukuran Dispersi Absolut terdiri dari : a. Jangkauan/Jarak/Rentang (Range)

Ukuran Dispersi yang paling sederhana adalah jangkauan (range) yang merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan nilai terkecil pada sekelompok data.

Rumus :

• Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

• Data Tidak Berkelompok (Grouped Data)

Dimana: Xmax= tengah kelas tertinggi, dan Xmin= nilai tengah kelas terendah

b. Deviasi Rata-Rata (Mean Deviation)

Kelemahan dari jangkauan adalah jangkauan hanya didasarkan pada dua nilai yaitu nilai terbesar dan nilai terendah (tidak memerhatikan seluruh nilai).Deviasi rata-rata (mean deviation) mengukur sebaliknya yaitu jumlah rata-rata berdasarkan bagaimana nilai pada populasi/sampel bervariasi dari nilai rata-ratanya.

Rumus :

• Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data) R = Xmax- Xmin

(58)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

58

Untuk Populasi, MD =

Untuk Sampel, MD =

• Data Berkelompok (Grouped Data)

Untuk Populasi, MD =

Untuk Sampel, MD =

c. Rentang antar Kuartil (Inter Quartile Range)

Sebaran bilangan yang berada antara kuartil 3 dan kuartil 1. Rumus:

d. Simpangan Kuartil/ Deviasi Kuartil (Quartile Deviation)

Pada dasarnya, pengukuran deviasi kuartil sama dengan pengukuran jarak. Pengukurannya berdasarkan pada jarak antara Q1dan Q3.Pengukuran tidak dipengaruhi oleh dispersi seluruh nilai observasi namun hanya mengukur dispersi nilai-nilai observasi Xi yng didistribusikan di tengah-tengah distribusi.

Rumus :

(59)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

59

e. Simpangan Baku (Standard Deviation)

Simpangan baku merupakan suatu ukuran yang menyatakan rata-rata penyimpangan suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya.

Rumus :

• Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data) • Untuk Populasi

• • • • • • • • •

(60)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

60

(61)

61

f. Varians (Variance)

Varians dan Standar Deviasi sebenarnya didasarkan oleh Deviasi Rata-Rata.Bentuknya merupakan kuadrat dari Standar Deviasi.

Rumus : (untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

2. Ukuran Dispersi Relatif

Berbeda dengan dispersi absolut, ukuran dispersi relative merupakan metode yang dikembangkan untuk membandingkan dispersi dari beberapa kumpulan data. Rumus Umum :

Ukuran dispersi relatif terdiri dari :

(62)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

62

Ketika 2 distribusi dinyatakan dalam unit yang sama dan memiliki rata-rata hitung yang sama, perbandingan variasi kedua distribusi diatas secara singkat dapat ditentukan dari hasil perbandingan standar deviasi masing-masing distribusi. Koefisien Variasi sendiri biasanya dinyatakan dalam persen dan semakin kecil nilai Koefisien Variasinya melambangkan bentuk data yang semakin merata (lebih baik).

b. Koefisien Variasi Kuartil (Coefficient of Quartile Variation)

Dalam suatu observasi, bila rata-rata hitung dan standar deviasi tidak diketahui, maka perbandingan antara 2 variasi harus dihitung dengan koefisien variasi yang dirumuskan secara bebas dari rata-rata hitung maupun standar deviasi.

Koefisien Variasi Kuartil merupakan pengukuran yang biasa dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan kuartil terhadap mediannya atau antara selisih kuartil 3 dan kuartil 1 terhadap jumlah kuartil 3 dan kuartil 1.

(63)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

63

c. Angka Baku (Standard Score)

Angka Baku menunjukkan jarak atau selisih antara sebuha nilai X tertentu dari rata-rata hitungnya dalam unit standar deviasi. (Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Edisi 13, Lind, Marchal, Wathen)

 Ukuran Kemencengan (Skewness) (Sk= )

Ukuran Kemencengan adalah suatu ukuran yang menunjukkan menceng atau tidaknya bentuk kurva suatu distribusi frekuensi. Sebuah distribusi yang tidak simestris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya, sehingga suatu distribusi akan terkonsentrasi pada suatu sisi dan bentuk kurvanya akan menceng.

Batas- Batas Ukuran Kemencengan :

a. Kurva Distribusi Normal/ Kurva Simetris

Berarti, bentuk kurva distibusi frekuensinya normal atau 0,1<| Sk |≤0,0.

b. Kurva Distribusi menceng Kanan

(64)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

64

c. Kurva Distribusi menceng Kiri

Berarti, kurva distribusi frekuensi yang memiliki ekor lebih panjang ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Batasnya yaitu | Sk |≥3

(65)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

65

2. Rumus Bowley

3. Rumus Moment/ Matematis

(66)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

66  Ukuran Keruncingan (Kurtosis) (Kt = )

Pengukuran Kurtosis sebuah distribusi teoritis dapat juga dinamakan pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebetulnya, kurtosis dianggap sebagai distorsi dari kurva normal dan umumnya diukur dengan membandingkan bentuk keruncingan kurvanya dengan kurva normal. (Pengantar Metode Statistik Jilid 1, Anto Dajan)

Bentuk kurva berdasarkan keruncingannya dibagi menjadi 3, yaitu :

1. Leptokurtic, yaitu bagian tengah memiliki puncak lebih runcing dari kurva normal

2. Platikurtic, yaitu bagian tengah memiliki kurva yang lebih datar dari kurva normal

3. Mesokurtic, yaitu bagian tengah lebih datar atau tumpul dari kurva normal

Batas-batas ukuran Keruncingan :

 4>3→Leptokurtic (diagram distribusi berbentuk runcing)

 4= 3→Platikurtic (diagram distribusi berbentuk landai)

(67)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

67

Rumus :

• Data Berkelompok (Grouped Data)

Contoh Soal :

Data dibawah merupakan sampel dari nilai UTS Statistik 1 mahasiswa/i semester 2 Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran :

Hitunglah : a. Seluruh pengukuran Dispersi Absolut

b. Aldila merupakan salah satu mahasiswi Statistik. Berapa nilai UTS nya bila ia

(68)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

68

memiliki angka baku 0.72?

c. Ukuran Kemencengan dan Keruncingannya, dan jelaskan artinya Jawaban :

a. Pengukuran Dispersi • R = Rmax–Rmin

= 92–45 = 47

• IQR = Q3–Q1

= 84.5–61.5 = 23

• QD = IQR/2 = 11.5

• AD = = 1.480000001

• S = = 15.17265711

• V = s2= 230.2095238 b. Diketahui : Z = 0.72

Ditanyakan : X ? Jawab :

0.72 = _, ,

(69)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

69

= -0.144997675

Sk berada pada batas < 0 yang berarti kurva menceng kiri atau memiliki kemencengan negative.

Kurtosis :

= 1038.810451

4berada pada batas > 3 yag berarti kurva bernama Leptokurtic atau diagram distribusi berbentuk runcing

Penyelesaian dengan SPSS Langkah :

(70)

70

3. Ketik nilai pada kolom C1 lalu masukkan data

(71)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

71

5. Pilih Statistics, lalu akan muncul :

(72)

72

SOAL UKURAN DISPERSI

1. McKinley, Corp reported their profit (in percent) for the past 6 years : 2,3 ; 4 ; 7,2 ; 7 ; 7,5 ; 7,8

a. Compute the range, standard deviation, and the variance

b. Compute the coefficient of variation and coefficient of quartile variation

Answer :

X

2,3 -3.666666667 13.44444444

4 1.966666667 3.867777778

7,2 1.233333333 1.521111111

7 1.033333333 1.067777778

7,5 1.533333333 2.351111111

7,8 1.833333333 3.361111111

a. =5, 966667

• R = Xmax–Xmin = 7,8–2,3

=5,5

(73)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

73

S = , =2.066128962

• Variance = s2= (2.066128962)2=4.268888889

b. CV =

= . _, x 100 %

= 0.346278597 x 100 %

=34, 6278597 %

CVQ =

. .

. . x 100% =

= ,_, x 100%

= 0,219713 x 100%

=21, 9713%

2. Pada UAS Semester lalu diketahui bahwa Andrea memiliki nilai 83 untuk mata kuliah Pengantar Akuntansi dan 85 untuk mata kuliah Statistika. Dikelas itu terdapat 40 mahasiswa/I dimana rata-rata dan simpangan baku untuk mata kuliah Pengantar Akuntansi adalah 82 dan 15, sedangkan untuk mata kuliah Statistik yaitu 80 dan 10. Pada mata kuliah yang mana Andrea memperoleh nilai yang lebih baik?

Penyelesaian :

• Mata Kuliah Pengantar Akuntansi

(74)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

74

• Mata Kuliah S

=

Jadi, karna nilai Z kuliah Pengantar A 3. Diketahui data nilai R

Hitunglah simpanga

Penyelesaian :

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

74

h Statistik

=0,5

i Z untuk mata kuliah Statistik lebih besar dari nilai r Akuntansi maka nilai Andrea lebih baik pada mata kul ai Review Peaktikum Statistika kelas A adalah seba

gan baku dan varians data tersebut!

74

(75)

75

V = s2= (13.04)2=170,0416

Jadi, nilai simpangan baku dan varians nilai Review Praktikum Statistika kelas A yaitu13,04 dan 170,0416

4. Berikut adalah data pasien Puskesmas di musim hujan berdasarkan usia :

Usia Frekuensi

0–4 35

5–9 25

10 - 14 20

15 - 19 18

20 - 24 12

Hitunglah : a. Varians data

b. Tentukan ukuran kemencengan, gambarkan, dan jelaskan artinya

Penyelesaian :

Usia Xi F u u2 u3 fu fu2 fu3

0_4 2 20 -1 1 -1 -20 20 -20

5_9 7 35 0 0 0 0 0 0

10_14 12 25 1 1 1 25 25 25

15_19 17 18 2 4 8 36 72 144

(76)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

76

Jumlah 100 77 225 473

a. Varians = s2

s

= 5

− (

)

2

= 6,436419812

V = s2

= (6,436419812)2

= 41, 4275

Jadi varians dari data pasien Puskesmas di musim hujan ialah 41, 4275

b.

= _, ( ( )–3 ( )( ) + 2 ( )3

)

= - 0, 879885023

Karena ukuran kemencengannya Sk = < 0maka bentuk kurva yaitu

(77)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

77

5. Income 7 orang Analis Ekonomi di Bank A yaitu 3500, 3700, 4500, 5000, 5200, 5800, 6500 sedangkan income 7 orang Analis Ekonomi di Bank B yaitu 3000, 4000, 3500, 4500, 5000, 6000, 6500. Manakah yang lebih homogen antara Income Analis Ekonomi Perusahaan A dan Perusahaan B?

Penyelesaian :

Perusahaan A :

= = ,

s = = . . , =1002, 038738

CV = s/ =1002, 038738 _{4885, 714286 = ,}

Perusahaan B :

= = ,

s = = . . , =1186, 660552

CV = s/ =1186,660552 _{4642,857143 = ,}

Jadi, karena semakin kecil CV sebuah kelompok data menunjukkan data yang semakin homogen, dapat disimpulkan bahwa Income Analis Ekonomi di Perusahaan A lebih homogen dari Perusahaan B.

6. Berikut adalah sampel jumlah konsumsi pekerja pria dan wanita perusahaan swasta pada tahun 2011 :

(dalam ratus ribuan)

Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt Nov Des

(78)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

78

a. Hitung seluruh pengukuran Dispersi (kecuali angka baku). Manakah kelompok yang lebih heterogen?

b. Hitunglah ukuran keruncingan, gambarkan, dan jelaskan artinya!

Penyelesaian :

Pria X-x |X-x| (X-x)2 Wanita X-x |X-x| (X-x)2

Jan 8 1.729166667 1.729166667 2.990017361 8.5 1.5625 1.5625 2.44140625

Feb 6.5 0.229166667 0.229166667 0.052517361 7 0.0625 0.0625 0.00390625

Mar 5 -1.270833333 1.270833333 1.615017361 6.8 -0.1375 0.1375 0.01890625

Apr 6 -0.270833333 0.270833333 0.073350694 5.5 -1.4375 1.4375 2.06640625

Mei 5.5 -0.770833333 0.770833333 0.594184028 6.2 -0.7375 0.7375 0.54390625

Juni 6.5 0.229166667 0.229166667 0.052517361 6 -0.9375 0.9375 0.87890625

Juli 6.5 0.229166667 0.229166667 0.052517361 7 0.0625 0.0625 0.00390625

Agust 8.5 2.229166667 2.229166667 4.969184028 9.5 2.5625 2.5625 6.56640625

Sept 6 -0.270833333 0.270833333 0.073350694 5 -1.9375 1.9375 3.75390625

Okt 5.25 -1.020833333 1.020833333 1.042100694 6.25 -0.6875 0.6875 0.47265625

Nov 4.5 -1.770833333 1.770833333 3.135850694 7 0.0625 0.0625 0.00390625

Des 7 0.729166667 0.729166667 0.531684028 8.5 1.5625 1.5625 2.44140625

Jumlah 75.25 10.75 15.18229167 83.25 11.75 19.195625

Rata 6.27083 6.9375

Q3 6.625 7.375

Q1 5.4375 6.15

a. Dispersi Absolut

• Range Pria = Rmax–Rmin = 8,50–4,50 =4

Range Wanita = Rmax–Rmin = 9,50–6,00 =3,5

• Mean Deviation

Pria = = . = ,

(79)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

79

• Inter Quartile Range

Pria = Q3–Q1= 6,625–5,4375 =1,1875

Wanita = 7,375–6,15 =1,225 • Quartile Deviation

Pria = = , = ,

Wanita = , = ,

• Simpangan Baku

Pria =

s = . =1.124807082

Wanita = s = . =1.264766942

• Varians

Pria = s2= (1.124807082)2=1.265190972

Wanita = (1.264766942)2=1.599635417

Dispersi Relatif

• Coefficient of Variance

Pria = CV = s/ = 1.124807082 / 6.270833333 =0,179371229 / 17,9371229%

Wanita = CV = 1.264766942 / 6.9375 =0,182308748 / 18,2308748%

• Coefficient of Quartile Variation

Pria = 100%= ._. ._. 100% = , %

Wanita = = ._. ._. 100% = , %

(80)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

80

b. Ukuran Keruncingan (Kurtosis)

Pria = = _{( .}( . ₎)=2,489293271

Wanita = _{( .}( . ₎)=2,432507664

Pria X-x (X-x)4 Wanita X-x (X-x)4

Januari 8 1.729166667 8.94020382 8.5 1.5625 5.960464478

Februari 6.5 0.229166667 0.002758073 7 0.0625 1.52588E-05 Maret 5 -1.270833333 2.608281077 6.8 -0.1375 0.000357446 April 6 -0.270833333 0.005380324 5.5 -1.4375 4.27003479 Mei 5.5 -0.770833333 0.353054659 6.2 -0.7375 0.295834009

Juni 6.5 0.229166667 0.002758073 6 -0.9375 0.772476196

Juli 6.5 0.229166667 0.002758073 7 0.0625 1.52588E-05

Agustus 8.5 2.229166667 24.6927899 9.5 2.5625 43.11769104 September 6 -0.270833333 0.005380324 5 -1.9375 14.09181213 Oktober 5.25 -1.020833333 1.085973857 6.25 -0.6875 0.223403931 November 4.5 -1.770833333 9.833559578 7 0.0625 1.52588E-05 Desember 7 0.729166667 0.282687905 8.5 1.5625 5.960464478

Jumlah 75.25 47.81558567 83.25 74.69258428

Rata-Rata 6.27083 69,375

Karna ukuran keruncingan yang 4< 3 aka bentuk kurva disebutMesokurtic

(diagram distribusi berbentuk simetris)

(81)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

81

Price (Rp) Freq (Customers)

500–1500 50

1500–2500 40

2500–3500 30

3500–4500 35

4500–5500 25

Total 180

a. If Ditha shop Rp 4.000,00 each day, how much her Standard Score? b. If Ditha has 0,54 as a Standard Score, how much she shop each day?

Answer :

a. = . =2694.444444

,

= 241,141049 =

Price f x fx (X-x) (X-x)2

500-1500 50 1000 50000 -1694.444444 2871141.975

1500-2500 40 2000 80000 -694.4444444 482253.0864

2500-3500 30 3000 90000 305.5555556 93364.19753

3500-4500 35 4000 140000 1305.555556 1704475.309

4500-5500 25 5000 125000 2305.555556 5315586.42

Total 180 485000 10466820.99

(82)

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

82

= _. . = ,

So, if Ditha shop Rp 4.000,00 each day, he has Standard Score =5,4140743

b.

0,54 = _, .

446,5574981 = x–2694,444444

x = 3141,001942

(83)

83

ANGKA INDEKS

Angka Indeks adalah bilangan yang dinyatakan dalam persentase (%) yang menunjukkan besarnya perbandingan atau perubahan nilai suatu variabel tertentu pada waktu/periode waktu tertentu dibandingkan dengan nilai variabel tersebut pada waktu/periode dasarnya.

• Waktu tertentu (waktu berjalan) adalah waktu atau periode waktu saat dilakukan penghitungan angka indeks sua