Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu menentukan fpb dari 2 bilangan atau lebih.
Pada Bab Pendahuluan telah dijelaskan makna dari faktor. Pada bab ini akan dibahas tentang faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan. Untuk itu perhatikan uraian berikut ini.
Bilangan 24 dihasilkan dari perkalian bilangan-bilangan asli berikut. 24 = 1 × 24
= 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6
Jadi, faktor-faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 dan 24.
Bagaimana dengan faktor-faktor dari 36? Bilangan 36 didapatkan dari perkalian bilangan-bilangan asli berikut.
36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6
60 Dari jabaran di atas dapat dilihat bahwa faktor-faktor persekutuan dari 24 dan 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Secara umum, istilah faktor persekutuan dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi faktor persekutuan.
Untuk bilangan bulat 𝑘, 𝑝 dan 𝑞, apabila 𝑘|𝑝 dan 𝑘|𝑞 maka 𝑘 adalah faktor persekutuan dari 𝑝 dan 𝑞.
Telah didapatkan faktor-faktor persekutuan dari 24 dan 36 di atas, yaitu 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Dari fakor-faktor persekutuan ini, manakah faktor persekutuan terbesarnya? Jawabannya adalah 12. Oleh karena itu 12 disebut sebagai faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 24 dan 36, ditulis fpb(24, 36) = 12.
Secara umum, istilah FPB dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi FPB.
Suatu bilangan bulat 𝑟 adalah faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞, ditulis 𝑟 = fpb(𝑝, 𝑞), apabila 𝑟 lebih besar dari semua faktor-faktor persekutuan 𝑝 dan 𝑞.
Contoh: 1. fpb(3, 12) = .... 2. fpb(15, 24) = .... 3. fpb(45, 60) = .... 4. fpb(9, 23) = .... 5. fpb(17, 25) = ....
61
Catatan. Jika fpb(𝑝, 𝑞) = 1, maka dikatakan 𝑝 dan 𝑞 saling prima
atau 𝑝 prima relatif dengan 𝑞.
Berapakah FPB dari 32 dan 0?
Menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya, mula-mula dijabarkan faktor-faktor dari masing-masing 32 dan 0.
32 = 1 × 32 = 2 × 16 = 4 × 8
Jadi, faktor dari 32 adalah 1, 2, 4, 8, 16 dan 32.
Bagaimana dengan faktor-faktor dari 0? 0 = 0 × 0
= 0 × 1 = 0 × 2 = 0 × 3
dan seterusnya.
Jadi faktor dari 0 adalah semua bilangan bulat.
Dapat dilihat bahwa faktor-faktor persekutuan dari 32 dan 0 adalah 1, 2, 4, 8, 16 dan 32. Dan faktor persekutuan terbesarnya adalah 12, ditulis fpb(32, 0) = 32.
62 Tentukanlah: fpb(12, 0) = …. fpb(15, 0) = …. fpb(0, 127) = …. fpb(5374, 0) = …
Ada beberapa cara menentukan FPB dari dua bilangan. Salah satunya adalah dengan cara mendaftarkan faktor-faktor persekutuan dari kedua bilangan tersebut sebagaimana dicontohkan di atas. Cara lainnya adalah dengan pohon faktor atau faktorisasi prima.
Cara-cara ini dapat digunakan untuk menentukan FPB dari dua bilangan yang relatif kecil nilainya. Namun untuk bilangan yang besar, misalnya menentukan FPB dari 31.145 dan 387.597, dibutuhkan cara lain yang lebih efisien. Oleh karena itu berikut ini akan dibahas tentang algoritma pembagian.
Algoritma Pembagian
Untuk memahami tentang algoritma pembagian, terlebih dahulu mari ingat kembali cara pembagian yang diajarkan di SD dengan cara bersusun ke bawah. Misalnya 117 ÷ 31. Soal ini diselesaikan sebagai berikut.
Pada penyelesaian soal di atas, 117 adalah bilangan yang dibagi (dividen), 31 adalah pembagi (divisor), 3 adalah hasil bagi
63 (quotient), dan 24 adalah sisa pembagian (remainder). Jadi pembagian 117 ÷ 31 dapat ditulis sebagai 117
31 = 3 +24
31. Apabila kedua ruas dikali dengan 31, maka penulisannya menjadi 117 = 31 × 3 + 24.
Secara umum, pembagian 𝑏 oleh 𝑎 dengan hasil bagi 𝑞 dan sisa pembagian 𝑟 dapat ditulis sebagai berikut:
𝑏 𝑎 = 𝑞 +𝑟 𝑎 atau 𝑏 = 𝑎𝑞 + 𝑟 Contoh: a. 9 : 4 = 9 4 = 21 4 atau 9 4= 2 +1
4 dapat juga ditulis menjadi: 9 = 2 × 4 + 1.
b. 16 : 5 = 16 5 = 31
5 atau 16
5 = 3 +1
5 dapat juga ditulis menjadi: 16 = 5 × 3 + 1.
Berkaitan dengan penjabaran di atas, berikut ini diberikan dua teorema yang dapat membantu memudahkan dalam menentukan fpb dari dua bilangan.
Teorema 1.
Untuk bilangan bulat a dan b, dimana a > 0, terdapat satu pasang bilangan bulat q dan r sehingga b = aq + r dengan 0 ≤ r < a , dimana q adalah hasil bagi dan r adalah sisa pembagian b oleh a.
64 Contoh:
1. Misalkan a = 7 dan b = 12, maka 12 : 7 dapat ditulis menjadi 12 = 7q + r. Di sini, q = 1 dan r = 5, yaitu 12 = 7 × 1 + 5.
2. Misalkan a = 4 dan b = 21, maka 21 : 4 dapat ditulis menjadi 21 = 4q + r. Di sini q = 5 dan r = 1, yaitu 21 = 4 × 5 + 1.
3. Misalkan a = 3 dan b = 18, maka 18 : 3 dapat ditulis menjadi 18 = 3q + r. Di sini q = 6 dan r = 0, yaitu 18 = 3 × 6 + 0.
Teorema 2.
Untuk bilangan bulat a, b, q dan r, berlaku aturan berikut ini. Jika b = aq + r, maka fpb(b, a) = fpb(a, r).
Contoh:
1) 12 = 7 × 1 + 5.
Maka menurut teorema di atas, fpb(12, 7) = fpb(7, 5) = 1.
2) 18 = 3 × 6 + 0.
Maka fpb(18, 3) = fpb(3, 0) = 3.
3) 26 = 4 × 6 + 2.
65 Dengan bantuan teorema 1 dan 2, kita dapat menentukan FPB dari dua bilangan a dan b dengan menggunakan algoritma pembagian berkali-kali sehingga kita hanya menentukan FPB dari dua bilangan yang masing-masing lebih kecil dari a dan b. Prosedur penentuan FPB dengan cara ini dinamakan Algoritma Euclid atau Algoritma Pembagian.
Contoh:
1. Gunakan Algoritma Pembagian untuk menentukan FPB dari 24 dan 36.
Jawab
36 = 24 × 1 + 12 24 = 12 × 2 + 0
Menurut Teorema 2, fpb(36,24) = fpb(24, 12) = fpb(12, 0) = 12. Jadi, FPB dari 24 dan 36 adalah 12.
2. Pada sebuah olimpiade, ada 2 kota yang bertanding. Kota A mengirimkan 5767 orang perwakilan dan Kota B, 4453 orang. Jika perwakilan kedua kota dikelompokkan ke dalam beberapa grup yang anggotanya sama banyak,
a. Berapa maksimal grup yang dapat dibentuk?
b. Berapa banyak masing-masing perwakilan Kota A dan Kota B pada tiap grup?
66
Jawab
a. Soal ini adalah soal FPB. Maksimal banyak grup yang dapat dibentuk adalah FPB dari 5767 dan 4453.
5767 = 4453 × 1 + 1314. 4453 = 1314 × 3 + 511 1314 = 511 × 2 + 292 511 = 292 × 1 + 219 292 = 219 × 1 + 73 219 = 73 × 3 + 0 Menurut teorema 2, fpb(5767,4453) = fpb(4453,511) = fpb(511,292) = fpb(292, 219) = fpb(219, 73)= fpb(73, 0) = 73. Jadi FPB dari 5767 dan 4453 adalah 73. Maka maksimal banyak grup yang dapat dibentuk adalah sebanyak 73 grup.
b. Banyak perwakilan dari Kota A pada tiap grup adalah 5767 : 73 = 79 orang; dan Kota B = 4453 : 73 = 61 orang.
3. Coba tentukan FPB dari 260 dan 632. 632 = 260 × …. + ….
260 = 112 × …. + …. 112 = 36 × …. + ….. 36 = 4 × …. + 0
Jadi, fpb(632, 260) = fpb(4, 0) = ....
4. Tentukan FPB dari 314 dan 159. 5. Tentukan fpb(305, 185).
67 Catatan. untuk bilangan bulat a dan b berlaku,
fpb(a, b) = fpb(–a, b) = fpb(a, –b) = fpb(–a, –b).
Algoritma pembagian memudahkan kita menentukan FPB dari dua bilangan. Bagaimana dengan FPB dari tiga bilangan atau lebih? Teorema berikut ini menjelaskan cara menentukan FPB dari tiga bilangan atau lebih.
Teorema 3.
fpb(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3,… , 𝑝𝑘) = fpb(fpb(𝑝1, 𝑝2), 𝑝3, … , 𝑝𝑘)
Menurut Teorema 3 di atas, untuk menentukan FPB dari 𝑘 buah bilangan 𝑝1, 𝑝2, sampai dengan 𝑝𝑘, dilakukan dengan menentukan FPB dari dua bilangan terlebih dahulu. Misalkan telah didapatkan fpb(𝑝1, 𝑝2) = 𝑑. Selanjutnya ditentukan fpb(d, 𝑝3), dan seterusnya sehingga pada akhirnya tinggal ditentukan FPB dari dua bilangan saja.
Contoh:
1. Tentukan FPB dari 36, 24, 54 dan 27.
Jawab
fpb(54, 36, 27, 24) = ....
Mula-mula ditentukan FPB dari 2 bilangan, misalkan 54 dan 36. Kedua bilangan ini cukup mudah ditentukan FPB nya
dengan cara biasa atau cara faktorisasi prima. Didapatkan fpb(54, 36) = 9. Selanjutnya ditentukan fpb 9 dan 27, yaitu
68 fpb(9, 27) = 9. Kemudian tinggal dicari fpb dari 9 dan 24, yaitu fpb(9, 24) = 3.
Proses di atas dapat ditulis sebagai berikut. fpb(54, 36, 27, 24) = fpb((fpb(54, 36)), 27, 24) = fpb(9, 27, 24) = fpb((fpb(9, 27)), 24) = fpb(9, 24) = 3
2. Tentukan fpb dari 25, 81, 46 dan 63. 3. Tetukan fpb dari 100, 144 dan 164.
4. Tentukan fpb dari 90, 138, 150 dan 162.
5. Kakak mempunyai 12 pulpen, 36 buku dan 20 pensil dan akan dibagikan ke dalam beberapa parcel yang isinya sama banyak. Berapa maksimal banyak parcel yang dapat Kakak buat? Berapa isi masing-masing pulpen, buku dan pensil pada tiap parcel?
Soal Latihan
Untuk soal-soal berikut ini, tentukan salah atau benar dan berikan alasannya.
1. B – S Sisa pembagian dari 120 : 9 adalah 5.
2. B – S Jika 𝑚|𝑛 dan 𝑝|𝑛 maka 𝑛 adalah faktor persekutuan dari 𝑚 dan 𝑝.
69 3. B – S Diketahui 𝑎 dan 𝑏 mempunyai hanya dua faktor
persekutuan yaitu 𝑟 dan 𝑠. Jika 𝑟 < 𝑠, maka 𝑠 = fpb(𝑎, 𝑏).
4. B –S fpb(921, 654) = 3.
5. B –S fpb(315, 81, 72, 125) = 3.
70