Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu menentukan urutan bilangan bulat.
Urutan bilangan bulat merupakan relasi yang menggambarkan nilai suatu bilangan bulat terhadap bilangan bulat lainnya. Urutan bilangan bulat dapat digambarkan pada garis bilangan sebagai berikut.
Pada garis bilangan, apabila suatu bilangan 𝑝 terletak di sebelah kanan bilangan 𝑞, maka 𝑝 lebih besar nilainya daripada 𝑞. Namun apabila 𝑝 berada di sebelah kiri 𝑞, maka 𝑝 lebih kecil nilainya daripada 𝑞. Contohnya, –2 lebih besar dari –3, tetapi –2 lebih kecil dari 0. Simbol untuk menyatakan 𝑝 lebih besar dari 𝑞 adalah 𝑝 > 𝑞, dan simbol untuk menyatakan 𝑝 lebih kecil dari 𝑞 adalah 𝑝 < 𝑞.
Pada relasi urutan bilangan bulat berlaku sifat transitif, yaitu jika 𝑝 < 𝑞 dan 𝑞 < 𝑟, maka 𝑝 < 𝑟. Sebagai contoh, −1 < 4 dan 4 < 5, maka −1 < 5.
Perlu diingat, 5 > 4 sama artinya dengan 4 < 5. Begitu juga –2 < 0 sama artinya dengan 0 > –2.
Secara umum ditulis, (𝑝 > 𝑞) ⟺ (𝑞 < 𝑝) dan (𝑝 < 𝑞) ⟺ (𝑞 > 𝑝).
-2 -1 0 1 2 3 4 5
47 Definisi urutan bilangan bulat.
Untuk bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika terdapat sebuah bilangan bulat positif 𝑟 sehingga 𝑝 + 𝑟 = 𝑞.
Contoh:
a. 2 < 5 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif yaitu … sehingga 2 + … = 5.
b. –3 < –1 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif yaitu … sehingga –3 + … = –1.
c. –4 < 2 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif yaitu … sehingga –4 + … = 2.
Ingat kembali aturan pada perkalian bilangan positif dan negatif a. Jika 𝑝 > 0 dan 𝑞 > 0 maka 𝑝𝑞 > 0
b. Jika 𝑝 > 0 dan 𝑞 < 0 maka 𝑝𝑞 < 0 c. Jika 𝑝 < 0 dan 𝑞 < 0 maka 𝑝𝑞 > 0
Poin a, b dan c di atas menyatakan bahwa perkalian bilangan positif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan positif; perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif; dan perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.
Ketiga poin di atas dapat juga dilihat sebagai berikut. a. Untuk 𝑝𝑞 > 0, jika 𝑝 > 0 maka 𝑞 > 0.
Begitu juga, jika 𝑞 > 0 maka 𝑝 > 0. b. Untuk 𝑝𝑞 > 0, jika 𝑝 < 0 maka 𝑞 < 0.
48 c. Untuk 𝑝𝑞 < 0, jika 𝑝 > 0 maka 𝑞 < 0.
Begitu juga, jika 𝑞 > 0 maka 𝑝 < 0.
Berikut ini akan dibahas beberapa sifat dan aturan yang berlaku pada relasi urutan bilangan bulat.
1. Sifat ketertambahan pada ketaksamaan. Yaitu jika 𝑝 < 𝑞, maka 𝑝 + 𝑐 < 𝑞 + 𝑐.
Bukti
𝑝 < 𝑞 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif 𝑟 sehingga 𝑝 + 𝑟 = 𝑞.
Menambahkan kedua ruas dengan suatu bilangan bulat 𝑐 diperoleh (𝑝 + 𝑟) + 𝑐 = 𝑞 + 𝑐. atau (𝑝 + 𝑐) + 𝑟 = 𝑞 + 𝑐. Jadi, (𝑝 + 𝑐) < (𝑞 + 𝑐). Contoh: a. 1 < 4, maka (1 + 2) < (4 + 2) yaitu 3 < 6. b. –2 < 5, maka (–2 + 3) < (5 + 3) yaitu 1 < 8. c. –3 < 6, maka (–3 + (–2)) < (6 + (–2)) yaitu –5 < 4.
2. Sifat kanselasi pada ketaksamaan. Yaitu jika (𝑝 + 𝑐) < (𝑞 + 𝑐) maka 𝑝 < 𝑞.
Bukti
(𝑝 + 𝑐) < (𝑞 + 𝑐) berarti terdapat suatu bilangan bulat positif 𝑟 sehingga (𝑝 + 𝑐) + 𝑟 = 𝑞 + 𝑐.
49 Apabila kedua ruas ditambahkan dengan – 𝑐 maka diperoleh (𝑝 + 𝑐) + 𝑟 + (−𝑐) = 𝑞 + 𝑐 + (−𝑐). Sehingga didapatkan 𝑝 + 𝑟 = 𝑞. Ini artinya 𝑝 < 𝑞.
3. Misalkan 𝑝, 𝑞 dan 𝑟 adalah bilangan bulat.
a. Untuk 𝑟 > 0, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟. b. Untuk 𝑟 < 0, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.
Aturan 3a mengatakan bahwa pada ketaksamaan 𝑝 < 𝑞, apabila kedua ruas dikalikan dengan suatu bilangan bulat positif 𝑟, maka 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟. Begitu juga sebaliknya, pada ketaksamaan 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟, apabila 𝑟 > 0, maka 𝑝 < 𝑞.
Sebagai contoh, 3 < 5. Bila kedua ruas dikalikan dengan 2, maka diperoleh (3 × 2) < (5 × 2) yaitu 6 < 10.
Aturan 3b mengatakan bahwa pada ketaksamaan 𝑝 < 𝑞, apabila kedua ruas dikalikan dengan suatu bilangan bulat negatif 𝑟, maka 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟. Begitu pula sebaliknya, pada ketaksamaan 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟, apabila 𝑟 < 0, maka 𝑝 < 𝑞.
Sebagai contoh, 3 < 5. Bila kedua ruas dikalikan dengan –2, maka diperoleh (3 × (−2)) > (5 × (−2)) yaitu −6 > −10.
Dengan kata lain, apabila kedua ruas ketaksamaan dikali dengan suatu bilangan positif, maka tanda ketaksamaannya tetap. Namun apabila kedua ruas ketaksamaan dikali dengan bilangan negatif, maka tanda ketaksamaannya berubah.
50 Berikut akan diberikan pembuktian untuk aturan 3a dan 3b.
3a. Untuk bilangan bulat 𝑝, 𝑞 dan 𝑟. Apabila 𝑟 > 0, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟.
Pernyataan di atas memuat relasi ‘jika dan hanya jika’, artinya berlaku dua arah yaitu:
1) jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟, dan sebaliknya 2) jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟 maka 𝑝 < 𝑞.
Oleh karena itu, pembuktiannya ada dua arah.
Bukti
1) Akan ditunjukkan bahwa jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟.
𝑝 < 𝑞 berarti terdapat bilangan bulat positif 𝑘 sehingga 𝑝 + 𝑘 = 𝑞. Apabila kedua ruas dikalikan dengan 𝑟, maka
diperoleh:
(𝑝 + 𝑘) × 𝑟 = 𝑞 × 𝑟 (𝑝𝑟) + (𝑘𝑟) = 𝑞𝑟
(𝑘𝑟) bernilai positif, maka berdasarkan definisi urutan bilangan bulat disimpulkan bahwa 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟.
2) Akan ditunjukkan bahwa jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟 maka < 𝑞.
Pada ketaksamaan 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟, bila kedua ruas ditambah dengan (–𝑞𝑟), maka diperoleh:
𝑝𝑟 + (−𝑞𝑟) < 𝑞𝑟 + (−𝑞𝑟) (𝑝 + (−𝑞)) × 𝑟 < 0
Karena 𝑟 > 0, maka (𝑝 + (−𝑞)) < 0
51 𝑝 + (−𝑞) + 𝑞 < 0 + 𝑞
Jadi, 𝑝 < 𝑞.
3b. Untuk bilangan bulat 𝑝, 𝑞 dan 𝑟. Apabila 𝑟 < 0, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.
Pernyataan ini berarti:
1) jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟, dan sebaliknya 2) jika 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟 maka 𝑝 < 𝑞.
Bukti
1) Akan ditunjukkan bahwa jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.
𝑝 < 𝑞 berarti berarti terdapat bilangan bulat positif 𝑘 sehingga 𝑝 + 𝑘 = 𝑞.
Tambahkan kedua ruas dengan – 𝑘, diperoleh: 𝑝 = 𝑞 + (−𝑘)
Mengalikan kedua ruas dengan 𝑟, diperoleh: 𝑝𝑟 = (𝑞 + (−𝑘))𝑟
𝑝𝑟 = 𝑞𝑟 + (−𝑘𝑟) atau 𝑞𝑟 + (−𝑘𝑟) = 𝑝𝑟
Karena (−𝑘𝑟) > 0, maka menurut definisi urutan bilangan bulat disimpulkan bahwa 𝑞𝑟 < 𝑝𝑟, atau 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.
2) Akan ditunjukkan bahwa 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟 maka 𝑝 < 𝑞. 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟 𝑝𝑟 + (−𝑞𝑟) > 𝑞𝑟 + (−𝑞𝑟) (𝑝 + (−𝑞)) × 𝑟 > 0 Karena 𝑟 < 0 maka (𝑝 + (−𝑞)) < 0 𝑝 + (−𝑞) + 𝑞 < 0 + 𝑞 Jadi, 𝑝 < 𝑞.
52 Soal Latihan
Untuk soal nomor 1 sampai 6, pilihlah pilihan jawaban yang paling benar. Soal nomor 1 sampai 4 dikutip dari buku Herry Sukarman yang berjudul Teori Bilangan.
1. Jika p, q, dan r bilangan bulat dan p > q, maka …. a. p × r > q × r
b. p × r < q × r c. p – r > q – r
2. Jika a × (–c) < b × (–c) maka a < b. Dari pernyataan ini dapat disimpulkan bahwa
a. c adalah bilangan bulat tidak nol b. c adalah bilangan bulat positif c. c adalah bilangan bulat negatif
3. Jika (p + q) × r < 0 dan (p + q) > 0, maka ….. a. p > q
b. r > 0 c. r < 0
4. Jika p, q, r, dan s bilangan bulat dengan p > q dan r > s, maka pernyataan yang benar adalah …..
a. p × r > q × r b. p + r > q + r c. p – q > r – s
53 Soal nomor 5 dan 6 berikut ini dikutip dari laporan penelitian Zachary Scott McIntyre (2005).
Untuk soal 7 dan 8, uraikan jawaban Anda. 7. Jika 𝑎 > 0, kapankah 𝑎𝑏 bernilai negatif?
8. Jika diketahui (𝑝 + 𝑞) (𝑝𝑞) > 0 dan 𝑝𝑞 < 0, maka apa yang dapat disimpulkan tentang 𝑝 dan 𝑞?
5. Diketahui x adalah suatu bilangan Riil. Apabila x < 5, maka manakah yang benar dari tiga pilihan jawaban berikut ini?
a. x + 1 = 5 b. x + 1 < 5 c. x + 1 < 6
6. Apabila diketahui x adalah bilangan Riil yang nilainya lebih besar dari 7, maka nilai 2x + 1 ….
a. sama dengan 17 b. lebih besar dari 15 c. lebih besar dari 16
54