Tujuan Pembelajaran
1. Mahasiswa mampu menentukan kekongruenan suatu bilangan.
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kekongruenan bilangan.
Materi kekongruenan bilangan atau aritmetika modular merupakan kajian tentang salah satu bentuk sistem bilangan yang meliputi bilangan cacah. Pembahasan tentang kekongruenan bilangan serupa dengan pembahasan tentang jam duaan, jam tigaan, jam empatan, jam limaan, dan lain-lain yang pernah dipelajari di SD. Contohnya pada jam limaan, bilangan yang digunakan adalah lima bilangan cacah pertama yaitu 0, 1, 2, 3, dan 4. Penulisannya biasanya digambarkan seperti jam sebagai berikut.
Pada jam limaan tidak ada bilangan lain, hanya kekongruenannya saja. Contohnya, bilangan 5 kongruen dengan 0;
6 kongruen dengan 1; 7 kongruen dengan 2; 8 kongruen dengan 3; 2 4 3 1 0
79 9 kongruen dengan 4; 10 kongruen dengan 0; 11 kongruen dengan 1; 12 kongruen dengan 2; dan seterusnya.
Hal ini dapat dijelaskan lebih rinci sebagai berikut. Pada jam limaan,
5 = 5 × 1 + 0, jadi 5 kongruen dengan 0. 6 = 5 × 1 + 1, jadi 6 kongruen dengan 1. 7 = 5 × 1 + 2, jadi 7 kongruen dengan 2. 8 = 5 × 1 + 3, jadi 8 kongruen dengan 3. 9 = 5 × 1 + 4, jadi 9 kongruen dengan 4. 10 = 5 × 2 + 0, jadi 10 kongruen dengan 0. 11 = 5 × 2 + 1, jadi 11 kongruen dengan 1. 12 = 5 × 2 + 2, jadi 12 kongruen dengan 2. dan seterusnya.
Dengan kata lain, nilai kekongruenan suatu bilangan di jam limaan sama dengan sisa pembagian bilangan tersebut oleh 5.
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang jam limaan, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.
1. Berapa nilai 12 pada jam limaan?
Jawab
80 2. Bilangan-bilangan apa saja yang kongruen dengan 2 pada
jam limaan?
Jawab
Di jam limaan, bilangan yang kongruen dengan 2 adalah: 2 + 5 = 7; 7 + 5 = 12; 12 + 5 = 17; 17 + 5 = 22; 22 + 5 = 27; dan seterusnya.
Jadi 2 kongruen dengan 7, 12, 17, 22, dan seterusnya.
3. Berapa nilai 100 pada jam limaan?
Jawab
100 = 5 × .... + ...., jadi 100 kongruen dengan ....
Perhatikan bahwa pada jam limaan, semua kelipatan 5 kongruen dengan 0.
4. Berapa nilai 250 pada jam limaan?
Jawab
250 juga adalah kelipatan 5, maka 250 kongruen dengan 0.
5. Berapa nilai 254 pada jam limaan?
Jawab
81 6. Berapa nilai 69 pada jam limaan?
Jawab
69 = 5 × .... + .... Jadi 69 kongruen dengan ....
Pada jam enaman, bilangan yang digunakan adalah enam bilangan cacah pertama yaitu 0, 1, 2, 3, 4, dan 5.
Pada jam enaman, 6 kongruen dengan 0; 7 kongruen dengan 1; 8 kongruen dengan 2; 9 kongruen dengan 3; 10 kongruen dengan 4;
Cara menentukan kekongruenan di atas sama seperti pada jam limaan yaitu dengan menentukan nilai hasil bagi.
Berkaitan dengan jam enaman, mari kaji pertanyaan-pertanyaan berikut ini.
1. Berapa nilai 25 pada jam enaman?
Jawab
25 = 6 × 4 + 1, jadi 25 kongruen dengan 1.
2. Bilangan-bilangan apa saja yang kongruen dengan 1?
Jawab
Di Jam enaman, bilangan yang kongruen dengan 1 adalah: 1 + 6 = 7;
7 + 6 = 13; 13 + 6 = 19;
82 19 + 6 = 25;
dan seterusnya.
Jadi bilangan yang kongruen dengan 1 adalah 7, 13, 19, 25, dan seterusnya.
3. Berapa nilai 35 pada jam enaman?
Jawab
35 = 6 × ... + .... Jadi, 35 kongruen dengan ....
4. Bilangan-bilangan apa saja yang kongruen dengan 5?
Pada jam duabelasan, bilangan yang digunakan adalah 0 sampai 11. Jam duabelasan tampak mirip dengan jam yang kita gunakan sehari-hari, hanya saja angka yang digunakan adalah 0 sampai 11. Perhatikan gambar jam duabelasan berikut.
Berapa nilai 15 pada jam duabelasan? Berapa nilai 20 pada jam duabelasan? Berapa nilai 24 pada jam duabelasan? Berapa nilai 28 pada jam duabelasan?
11 10 9 8 7 6 5 4 2 3 1 0
83 Apabila sekarang pukul 3, pukul berapakah 12 jam lagi? 24 jam lagi? 30 jam lagi?
Penjabaran tentang jam limaan dan seterusnya di atas merupakan pengantar untuk memahami konsep kekongruenan bilangan. Berikut ini diberikan definisi dari kekongruenan.
Definisi Kekongruenan
Jika m suatu bilangan positif, maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis a ≡ b (mod m)), jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat k sehingga a = mk + b.
Contoh:
1. Pada jam duabelasan, 15 = 12 × 1 + 3, disini nilai k = 1. Jadi, 15 kongruen dengan 3, ditulis 15 ≡ 3 (mod 12).
2. Pada jam enaman, 24 = 6 × 4 + 0, disini nilai k = 4. Jadi, 24 kongruen dengan 0, ditulis 24 ≡ 0 (mod 6)
3. Hitunglah kekongruenan 25 dan 30 pada modulo 12.
Jawab
25 = 12 × … + ….
Jadi 25 kongruen dengan ...., ditulis 25 ≡ …. (mod 12).
30 = 12 × … + ….
84 4. 142 ≡ …. (mod 5).
5. 215 ≡ …. (mod 4).
Catatan.
1) Pada kekongruenan bilangan, perhitungan hasil operasi hitung seperti penjumlahan dan perkalian sama seperti pada bilangan real. Tetapi nilai bilangannya bergantung pada modulo nya.
2) Pada kekongruenan bilangan berlaku aturan berikut.
Jika ac ≡ bc (mod m) dan fpb(c, m) = d maka a ≡ b (mod 𝑚
𝑑).
Contoh:
1. Berapakah hasil 142 + 59 di modulo 5?
Jawab
Di modulo 5, 142 kongruen dengan 2 dan 59 kongruen dengan 4. Maka 142 + 59 ≡ 2 + 4 ≡ 6 ≡ 1 (mod 5).
2. Berapakah hasil 142 × 59 di modulo 6?
Jawab
85 3. Tentukan nilai p yang memenuhi 5p ≡ 10 (mod 8).
Jawab
5p ≡ 10 (mod 8) dapat ditulis sebagai 5p ≡ 5.2 (mod 8). Kedua ruas dibagi 5 sehingga didapatkan p ≡ 2 (mod 8
𝑓𝑝𝑏(5,8)) Yaitu p ≡ 2 (mod 8
1) p ≡ 2 (mod 8).
4. Tentukan nilai a yang memenuhi 3a ≡ 20 (mod 12). Jawab
3a ≡ 20 (mod 12) 3a ≡ 6 (mod 12). 3a ≡ 3.2 (mod 12).
Kedua ruas dibagi 3, didapatkan a ≡ 2 (mod 12 𝑓𝑝𝑏(3,12)) a ≡ 2 (mod 12
3) a ≡ 2 (mod 4)
Berikut ini akan diberikan contoh penerapan kekongruenan bilangan pada masalah kontekstual.
Contoh Soal
1. Misalkan sekarang hari selasa. Seribu hari lagi jatuh pada hari apa?
Jawab
Ada 7 hari dalam seminggu, berarti yang digunakan adalah modulo 7.
86 0 1 2 3 4 5 6
Sel Rab Kam Jum Sab Min Sen
Jika hari ini hari Selasa, maka 7 hari lagi adalah Selasa, 14 hari lagi juga Selasa, 21 hari lagi juga Selasa, dst.
Semua kelipatan 7 di modulo 7 senilai dengan 0.
Sekarang akan dicari nilai kekongruenan 1000 pada modulo 7, yaitu
1000 ≡ …. (mod 7)
Atau, 1000 = 7 × …. + …..
yaitu 1000 = 7 × 142 + 6, berarti 1000 ≡ 6 (mod 7). Jadi, 1000 hari lagi jatuh pada hari Senin.
2. Ibu membeli manik-manik biru dan merah untuk membuat perhiasan. Harga manik biru adalah Rp500 per butir, dan manik merah Rp800 per butir. Jika ibu membayar Rp1800, berapa butir masing-masing manik biru dan merah yang ibu beli?
Jawab
Misalkan p = banyaknya manik biru yang dibeli ibu, dan q = banyaknya manik merah yang dibeli ibu,
maka model matematika untuk masalah di atas adalah 500p + 800q = 1800
87 Kedua ruas dibagi dengan 100, diperoleh bentuk yang lebih sederhana:
5p + 8q = 18.
Persamaan seperti ini dinamakan dengan persamaan Diophantin yaitu sebuah persamaan yang memuat beberapa variabel, dimana penyelesaiannya berupa bilangan bulat.
Persamaan diophantin dapat diselesaikan dengan kekongruenan. Ingat definisi kekongruenan yaitu
a = mk + b ↔ a ≡ b(mod m), k ∈ Z.
Berdasarkan definisi di atas, persamaan 5p + 8q = 18 dapat ditulis menjadi
i) 18 = 5p + 8q, atau ii) 18 = 8q + 5p.
Dari persamaan i, bentuk kekongruenannya adalah
18 ≡ 8q (mod 5) atau 8q ≡ 18 (mod 5). Dari persamaan ii, bentuk kekongruenannya adalah
18 ≡ 5p (mod 8) atau 5p ≡ 18 (mod 8).
Pilih salah satu kekongruenan yang lebih mudah untuk diselesaikan.
Misalkan kita pilih 5p ≡ 18 (mod 8). 5p ≡ 2 (mod 8)
88 Cari bilangan lain yang kongruen dengan 2 di modulo 8 yang habis dibagi oleh 5.
5p ≡ 10 (mod 8) 5p ≡ 5 × 2 (mod 8)
Ingat: jika ac ≡ bc (mod m) dan (c, m) = d maka a ≡ b (mod 𝑚 𝑑) Maka diperoleh p ≡ 2 (mod 8).
Artinya p = 8t + 2 untuk suatu bilangan bulat t.
Substitusikan nilai p ke persamaan 5p + 8q = 18, diperoleh: 8q = 18 – 5(8t + 2)
8q = 18 – 40t – 10 8q = 8 – 40t q = 1 – 5t
Jadi solusi untuk persamaan 500p + 800q = 1800 adalah p = 8t + 2 dan q = 1 – 5t, untuk suatu bilangan bulat t.
Pilih t = 0 sehingga didapatkan p = 2 dan q = 1
(Kita tidak akan mengambil nilai t yang lain, mengapa?)
Jadi, jawaban dari soal no.2 adalah Ibu membeli manik biru sebanyak 2 butir dan manik merah 1 butir.
89 3. Tiket masuk suatu taman wisata adalah Rp7000 untuk
anak-anak dan Rp15.000 untuk orang dewasa. Jika total tiket yang terjual hari ini adalah senilai Rp51.000, berapa lembar masing-masing tiket anak-anak dan tiket dewasa yang terjual?
Jawab
Misalkan a = banyak tiket anak-anak yang terjual, dan b = banyak tiket dewasa yang terjual,
Model matematika untuk masalah di atas adalah 7000a + 15000b = 51.000,
atau disederhanakan menjadi 7a + 15b = 51 berarti 15b ≡ 51 (mod 7)
b ≡ 2 (mod 7)
Jadi, b = 7t + 2 untuk suatu bilangan bulat t.
Substitusi nilai b ke persamaan 7a + 15b = 51, diperoleh: 7a = 51 – 15(7t + 2)
7a = 51 – 105t – 30 7a = 21 – 105t a = 3 – 15t
Masukkan t = 0 diperoleh a = 3 dan b = 2. (Apakah perlu dimasukkan nilai t yang lain?)
Jadi, tiket yang terjual adalah 3 lembar tiket anak-anak dan 2 lembar tiket dewasa.
90 Soal Latihan
1. Pak Amad menjual sejumlah telur ayam dan telur itik dengan harga Rp180 per telur ayam dan Rp290 per telur itik. Pak Amad menerima hasil penjualan semua telurnya sejumlah Rp2.890. Berapa banyak telur yang dijual pak Amad?
2. Ulang tahun Nita yang ke-17 jatuh pada hari Rabu. Apabila ada 360 hari dalam satu tahun, pada hari apakah ulang tahun Nita yang ke 20?
3. Ibu membeli dua jenis jeruk. Jeruk A harganya Rp3.000 per kg, dan jeruk B Rp4.000 per kg. Jika Ibu membayar Rp44.000, berapa kg jeruk A dan B yang Ibu beli?
4. Sebuah lift dapat menampung berat hingga 268 kg. Jika rata-rata berat seorang anak adalah 12 kg dan dewasa adalah 52 kg, berapa banyak anak-anak dan dewasa yang dapat ditampung lift tersebut secara bersamaan?
91
DAFTAR PUSTAKA
McIntyre, Z.S. (2005). An analysis of variable misconceptions
before and after various collegiate level mathematics courses. Thesis: University of Maine.
Negoro, S. T. & Harahap, B. (2010). Ensiklopedia Matematika Edisi keenam. Bogor Selatan: Penerbit Ghalia Indonesia. Nelson, D. (2003). Dictionary of Mathematics. England:
Penguin Books Ltd.
Sukarman, H. (1993). Teori Bilangan. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.
92
GLOSARIUM
Bilangan : konsep yang menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan.
Bilangan bulat : bilangan yang terdiri atas 0 dan bilangan bulat positif serta bilangan bulat negatif. Bilangan komposit : bilangan asli yang mempunyai lebih dari 2
faktor.
Bilangan negatif : bilangan yang nilainya lebih kecil dari 0. Bilangan positif : bilangan yang nilainya lebih besar dari 0. Bilangan prima : bilangan asli yang mempunyai tepat 2 faktor. Definisi : penjelasan atau pembatasan arti suatu
konsep atau istilah.
Faktor : bilangan yang habis membagi bilangan tertentu. Contohnya, 2 adalah faktor dari 8 karena 2 habis membagi 8.
Faktor persekutuan : faktor yang sama dari 2 bilangan atau lebih. Faktorisasi prima : penguraian suatu bilangan menjadi perkalian
bilangan-bilangan prima.
Himpunan : sekumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas.
Invers penjumlahan : lawan penjumlahan dari suatu bilangan, yaitu jika suatu bilangan dijumlahkan dengan inversnya maka menghasilkan 0. Invers perkalian : kebalikan dari suatu bilangan, yaitu jika
suatu bilangan dikalikan dengan inversnya maka menghasilkan 1.
Jika dan hanya jika : salah satu relasi matematika yang menunjukkan hubungan dua arah. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” menunjukkan relasi dua arah yaitu jika p benar maka q juga benar. Demikian pula sebaliknya, jika q benar maka p benar. Kelipatan : bilangan yang diperoleh dari menjumlahkan
suatu bilangan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, dimana n adalah bilangan asli. Contohnya, 12 adalah kelipatan dari 3, yaitu 12 = 3 + 3 + 3 + 3 atau 12 = 4 x 3.
93 Kelipatan persekutuan: kelipatan yang sama dari 2 bilangan atau
lebih.
Kesamaan : pernyataan matematika yang menggunakan relasi “=”.
Ketaksamaan : pernyataan matematika yang menggunakan relasi “≠”, “>”, “<”, “≥”, atau “≤”.
Kongruen : sama nilainya.
Model matematika : representasi suatu masalah menggunakan simbol-simbol matematika.
Modulo : kekongruenan.
Operasi hitung : pengerjaan terhadap bilangan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Persamaan : kalimat matematika yang memuat variabel dan menggunakan relasi “=”.
Pertidaksamaan : kalimat matematika yang memuat variabel dan menggunakan relasi “≠”, “>”, “<”, “≥”, atau “≤”.
Relasi : hubungan.
Substitusi : penggantian.
Urutan bilangan : posisi suatu bilangan dibandingkan dengan bilangan lainnya pada garis bilangan.
Variabel : peubah yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan yang belum diketahui nilainya.
94
INDEKS
algoritma pembagian, 62, 65, 74, 75, 76 asosiatif, 20, 23, 25, 32, 33 bilangan, 2, 3, 20, 23, 28, 29, 36, 38, 40, 41, 46, 48, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 70, 71, 73, 74, 75, 77, 79, 80, 82, 85, 87, 88, 89, 93 bilangan asli, 6 bilangan bulat, 1, 7, 8, 18, 19, 34, 36, 38, 39, 40, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 63, 64, 67, 70, 74, 77, 83, 87, 88, 89, 92 bilangan cacah, 6, 7, 15, 16, 17, 18, 32, 78, 81 bilangan ganjil, 6 bilangan genap, 6 bilangan imajiner, 5, 9 bilangan irrasional, 9 bilangan komposit, 6, 92 bilangan negatif, 37, 39, 47, 49 bilangan positif, 25, 26, 27, 34, 37, 39, 47, 49, 83 bilangan prima, 6, 11, 12, 13, 14, 72, 92 bilangan rasional, 7, 19, 33 bilangan real, 5, 9, 30, 31, 84 definisi, 15, 18, 19, 38, 39, 41, 42, 50, 51, 55, 56, 83, 87 desimal, 1, 2, 5, 7, 8 distributif, 20, 29 faktor, 3, 6, 11, 13, 54, 58, 59, 60, 61, 62, 68, 69, 70, 72, 92 faktor persekutuan, 59, 60, 61, 62, 68, 69faktor persekutuan terbesar,
59, 60 faktorisasi prima, 62, 67, 72, 73, 75 himpunan, 1, 5, 6, 7, 11, 15, 18, 19, 70, 71, 73, 75, 92 identitas perkalian, 27, 39, 40 invers, 20, 28, 31, 41 irisan, 71, 73, 75 kanselasi, 31, 32, 48 kekongruenan, 78, 79, 81, 83, 84, 85, 86, 87, 93 kelipatan, 3, 54, 56, 58, 70, 71, 72, 80, 86, 92, 93 kelipatan persekutuan terkecil, 70 ketaksamaan, 48, 49, 50 keterbagian, 54, 55, 56 ketergandaan, 31, 32 ketertambahan, 30, 32, 48 komutatif, 20, 22, 25, 33 kongruen, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 88 modulo, 83, 84, 85, 86, 88 operasi hitung, 15, 18, 19, 20, 22, 28, 29, 34, 84 pangkat, 72 pecahan, 5, 7, 8, 9, 19, 43, 44, 45 penyebut, 43 persamaan, 30, 31, 87, 88, 89
2 persamaan diophantin, 87 persen, 5, 7, 8 prima relatif, 61, 77 reciprocal, 29 relasi, 46, 48, 50, 92, 93 sifat tertutup, 16, 17, 18, 19, 20 sifat transitif, 46 teorema, 4, 11, 54, 55, 63, 64, 65, 66, 74, 77 unit, 6 unsur identitas, 20, 27 urutan bilangan, iii, 46
Buku Teori Bilangan untuk Mahasiswa PGSD ini bertujuan untuk membekali mahasiswa PGSD dengan konsep-konsep penting yang berkaitan dengan teori bilangan. Materi yang dikaji mencakup himpunan bilangan, operasi hitung bilangan, sifat-sifat dan aturan-aturan yang berlaku pada operasi hitung bilangan, urutan bilangan, penentuan faktor persekutuan terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK), serta kekongruenan bilangan. Buku ini dilengkapi dengan contoh soal dan soal-soal latihan untuk membantu pembaca, khususnya mahasiswa PGSD, dalam memahami teori bilangan.