III. LANDASAN TEORI
3.3. Fuzzy
3.3.3. Fungsi Keanggotaan ( Membership Functions )
Masing-masing jenis fungsi keanggotaan dapat digambarkan secara matematis. Salah satu contohnya adalah pembentukan fungsi keanggotaan bilangan fuzzy triangular seperti pada Gambar 12:
Fungsi keanggotaan TFN pada Gambar 12 adalah sebagai berikut:
μA(x) = 0 untuk x< a1 ……...……….. (41) = 1 2 1 a a a x − − untuk a1<x<a2 ……...……….. (42) = 2 3 3 a a x a − − untuk a2<x<a3 ……….. (43)
Pada fungsi keanggotaan trapezoidal, himpunan fuzzy terdiri dari empat anggota bilangan yang berdistribusi membentuk bangunan trapesium, sementara untuk fungsi keanggotaan sigmoida (normal distribution) nilai-nilai anggota fuzzy berdistribusi kontinyu mengikuti distribusi normal. Proses pencarian kebenaran dilakukan melalui tahap fuzifikasi dan defuzifikasi. Fuzifikasi merupakan pemrosesan secara matematik suatu bilangan crisp menjadi bilangan fuzzy berdasarkan metoda representasi yang digunakan. Metoda representasi yang bisa digunakan di antaranya adalah model TFN, model pi,
Gambar 12.Triangular fuzzy Number (TFN) A = (a1, a2, a3).
1
μA(x)
model Z dan model trapezoida. Masing-masing model tersebut mempunyai formulasi matematis dalam mendefinisikan nilai fuzzy dari bilangan yang diolah.
Suatu fungsi keanggotaan atau membership functions (MF) adalah kurva yang menggambarkan tiap titik asupan pada keluaran berupa bobot keanggotaannya (membership value atau degree of membership) yang nilainya antara 0-1 dalam suatu himpunan. Asupan seringkali disebut juga gugus pembahasan. Salah satu contoh yang sering digunakan dalam menjelaskan himpunan fuzzy adalah himpunan orang jangkung. Dalam hal ini gugus pembahasan adalah semua kemungkinan ketinggian, misalnya antara 1 m sampai 3 m, dan kata jangkung akan menghubungkan kurva yang menggambarkan bobot kejangkungan seseorang. Jika suatu himpunan orang jangkung diberi batas yang tegas (crisp) sebagaimana batas pada himpunan klasik, maka setiap orang tingginya lebih dari 2 m, dapat digolongkan sebagai orang jangkung. Pembatasannya seperti itu kurang tepat, karena seseorang dapat digolongkan jangkung dan lainnya digolongkan pendek padahal beda tinggi mereka hanya setebal rambut saja (lihat Gambar 13 dan Gambar 14).
Jika pembedaan seperti ini tidak bisa digunakan secara tepat, maka diperlukan cara lain guna mendefinisikan himpunan orang jangkung. Mirip dengan cara plotting, hari-hari anggota himpunan akhir pekan, gambar berikut menunjukkan kurva mulus dari orang tidak jangkung sampai orang jangkung. Sumbu keluaran atau output-axis adalah nilai keanggotaan antara 0 dan 1. Kurva tersebut disebut fungsi keanggotaan dan sering ditandai sebagai µ. Kurva tersebut menunjukkan transisi dari tidak jangkung ke jangkung. Kedua golongan tersebut sebetulnya sama-sama jangkung, hanya saja yang satu kurang jangkung dibanding lainnya.
Pemahaman subjektif dan satuan-satuan yang tepat sudah dilebur dalam himpunan
fuzzy. Pernyataan ‘orang itu jangkung’ menunjukkan fungsi keanggotaan atau membership function orang jangkung yang tidak lagi mempersoalkan apakah orang itu tergolong anak-anak atau sudah dewasa. Juga tidak perlu diperdebatkan apakah ukuran ketinggian menggunakan satuan meter atau inci
Sebagaimana telah ditegaskan, satu-satunya persyaratan fungsi keanggotaan dalam
fuzzy yang harus dipenuhi adalah nilainya di antara 0 dan 1. Fungsi tersebut bisa merupakan suatu kurva yang tegas atau arbitrary curve yang bentuknya dapat memenuhi kesederhanaan, kenyamanan, kecepatan dan efisiensi. Suatu himpunan klasik dapat ditampilkan sebagai berikut:
A = {x | x > 6}……….…………..………….…..….… (44)
Suatu himpunan fuzzy adalah kelanjutan dari himpunan klasik. Jika X merupakan gugus wacana (universe of discourse) dan anggotanya adalah x, maka himpunan fuzzy A dalam X digambarkan dalam pasangan persamaan:
Gambar 14.Kurva fungsi keanggotaan bilangan tegas (atas) dan bilangan fuzzy
A = {x, µA(x) | x c X}…………...………..…...…….. (45)
di mana µA(x) disebut fungsi keanggotaan atau membership function (MF) x dalam A
Fungsi keanggotaan memetakan tiap anggota X pada suatu nilai keanggotaan antara 0 dan 1. Sejauh ini dikenal 11 jenis fungsi keanggotaan, yang masing-masing dibangun berdasarkan potongan fungsi linier, fungsi distribusi Gaussian, kurva sigmoid, dan kurva polinomial kuadrat maupun polinomial pangkat tiga.
Fungsi keanggotaan yang sederhana dibentuk menggunakan garis-garis lurus, di antaranya yang paling sederhana adalah fungsi keanggotaan segi tiga atau triangular membership function, dan fungsinya disebut trimf yang sebetulnya tidak lebih dari kumpulan tiga titik yang membentuk segitiga. Fungsi keanggotaan trapezoidal atau
trapezoidal membership function, trapmf, memiliki bagian atas yang rata dan merupakan potongan dari kurva segitiga. Fungsi-fungsi garis lurus ini memiliki kelebihan dalam hal kesederhanaan (Gambar 15).
Ada dua fungsi keanggotaan yang dibentuk pada kurva distribusi Gaussian, yakni kurva Gaussian sederhana dan komposit dua sisi dari dua kurva Gaussian yang berbeda. Kedua fungsi itu dinamakan gaussmf dan gauss2mf. Sedang fungsi keanggotaan lonceng yang umum atau generalized bell membership function dicirikan oleh tiga parameter dan memiliki fungsi yang disebut gbellmf. Fungsi keanggotaan lonceng memiliki satu parameter lebih banyak dibandingkan fungsi keanggotaan Gaussian, sehingga dapat digunakan bagi himpunan non-fuzzy jika parameter bebasnya ditala atau tuned. Karena kemulusan dan notasinya yang ringkas, fungsi keanggotaan Gaussian dan lonceng merupakan metoda yang sering digunakan bagi himpunan fuzzy. Kedua jenis kurva ini memiliki keunggulan karena mulus dan nilainya tidak pernah 0 pada semua titik (Gambar 16).
Meski fungsi keanggotaan Gaussian dan fungsi keanggotaan lonceng memiliki kemulusan, keduanya tidak bisa membentuk fungsi keanggotaan yang asimetris atau
asymmetric membership functions, yang merupakan hal penting dalam beberapa aplikasi tertentu. Kelemahan ini dapat diatasi oleh fungsi keanggotaan sigmoidal atau sigmoidal membership function, yang bentuk kurvanya terbuka di sebelah kiri atau kanan dan fungsinya dinamakan sigmf. Fungsi keanggotaan yang asimetris dan tertutup dapat dibentuk menggunakan gabungan dua fungsi sigmoidal. Sehingga selain fungsi dasar sigmoidal sigmf, kita kenal juga dsigmf sebagai perbedaan antara dua fungsi sigmoidal, dan psigmf sebagai produk dari dua fungsi sigmoidal (Gambar 17).
Kurva dasar polinomial tersusun oleh beberapa jenis fungsi keanggotaan. Tiga fungsi keanggotaan yang dimaksud adalah kurva Z, S, dan Pi, yang penamaannya disesuaikan dengan bentuk kurvanya. Fungsi keanggotaan z (zmf) adalah kurva polinomial asimetris yang terbuka di sebelah kiri, sedang keanggotaan s (smf) adalah fungsi cerminan yang terbuka di sebelah kanan, dan pimf adalah kurva fungsi keanggotaan dengan nilai 0 pada kedua ujung dan tonjolan di bagian tengahnya (Gambar 18).
Gambar 16.Kurva fungsi keanggotaan Gaussian dan lonceng atau g-bell.