BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Hal-hal Terkait dan informasi-informasi Terkait dengan Masalah yang
5. Fungsi
a. Pengertian fungsi
Menurut L. Euler dalam Herry Pribawanto Suryawan (2016), himpunan X disebut daerah asal (domain) fungsi dan dinotasikan dom sementara himpunan Y disebut daerah kawan (kodomain) fungsi dan dinotasikan kod Himpunan yang beranggotakan semua nilai dengan disebut daerah hasil (peta) dari fungsi . Daerah asal dari sebuah fungsi adalah himpunan terbesar yang beranggotakan semua bilangan real
x sehingga ada (berupa bilangan real). Fungsi dapat didefinisikan sebagai fungsi dari himpunan ke himpunan adalah sebuah aturan yang mengaitkan setiap
dengan tepat satu . Notasi untuk fungsi f dari X ke Y adalah
Dalam notasi himpunan om , dua fungsi dikatakan sama apabila memiliki daerah asal yang sama dan bernilai sama untuk setiap anggota daerah asal sedangkan daerah hasil dari sebuah fungsi f adalah himpunan besar yang beranggotakan semua bilangan real y hasil pemetaan dari daerah asal (domain) di f(x).
Dalam menggambar sketsa grafik fungsi terdapat dua cara yaitu: 1) Membuat tabel domain dan range
2) Analisa grafik fungsi yang lebih sederhana
Dalam menganalisa grafik fungsi ada beberapa macam transformasi fungsi yang perlu diketahui, yaitu:
a) Pergeseran (translasi). Jika maka:
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang digeser c satuan ke atas. - Grafik dari fungsi adalah grafik dari
fungsi yang digeser c satuan ke bawah. - Grafik dari fungsi adalah grafik dari
fungsi yang digeser c satuan ke kiri.
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang digeser c satuan ke kanan.
b) Penskalaan (dilasi). Jika , maka:
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang diperbesar secara vertikal oleh faktor c.
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang diperkecil secara vertikal oleh faktor c.
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang diperkecil secara horizontal oleh faktor c.
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang diperbesar secara horizontal oleh faktor c.
c) Pencerminan (refleksi).
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang dicerminkan terhadap sumbu x.
- Grafik dari fungsi adalah grafik dari fungsi yang dicerminkan terhadap sumbu y.
b. Sifat –sifat fungsi
Frans Susilo (2011) mengemukakan tiga sifat dari suatu fungsi, yaitu:
1) Fungsi injektif (satu-satu)
Suatu fungsi disebut fungsi (pemetaan) injektif jika dan hanya jika untuk setiap berlaku apabila maka , yaitu bila dua elemen dalam domain mempunyai bayangan yang sama, maka kedua elemen itu adalah sama. Secara simbolis:
.
Secara ekivalen, dapat dinyatakan bahwa adalah fungsi injektif jika dan hanya jika
.
Gambar 2.5.1 contoh fungsi injektif dan bukan fungsi injektif
2) Fungsi surjektif (onto)
Suatu fungsi disebut fungsi (pemetaan) surjektif jika dan hanya jika kisaran dari fungsi f tersebut sama dengan kodomain dari fungsi f, yaitu Dengan perkataan lain, fungsi adalah fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga
yaitu setiap elemen dalam kodomain mempunyai prabayangan. Secara simbolis:
F adalah fungsi surjektif jika dan hanya jika
Gambar 2.5.2 contoh fungsi surjektif dan bukan fungsi surjektif
3) Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)
Fungsi bijektif merupakan fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif.
Gambar 2.5.3 contoh fungsi bijektif dan bukan fungsi bijektif
c. Fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Fungsi Aljabar menurut Herry Pribawanto Suryawan (2016) merupakan fungsi yang dapat dinyatakan sebagai sejumlah hingga hasil penjumlahan, selisih, kelipatan skalar, perkalian, pembagian, dan pengambilan akar dari fungsi suku banyak sedangkan fungsi trigonometri merupakan salah satu fungsi transendental. Dalam memahami dan menyelesaikan limit dan turunan, konsep dasar mengenai aljabar dan identitas trigonometri sangat diperlukan. Fungsi trigonometri diperkenalkan melalui segitiga siku-siku, dimana t adalah sudut yang menghadap sisi tegak dengan panjang
b, sementara panjang sisi datar dan sisi miring segiriga berturut-turut adalah a dan c. Biasanya t diberikan dalam satuan derajat namun didalam kalkulus ada kesepakatan bahwa semua sudut diukur dalam satuan radian, kecuali disebutkan secara eksplisit menggunakan satuan derajat.
Dari gambar 2.5.4 sinus, kosinus, dan tangen dapat didefinisikan sebagai
s n os n n os s n
Perbandingan trigonometri lain adalah kotangen, sekan, dan kosekan:
o n s os n s s n
Adapun beberapa teorema dasar dalam trigonometri sebagai berikut: 1) Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut
(a) Rumus untuk os
os os os s n s n os os os s n s n
(b) Rumus untuk s n
s n s n os s n os s n s n os s n os
Gambar 2.5.4 segitiga siku-siku b c
a t
(c) Rumus untuk n n os s n
n n n n n n n n n n
2) Trigonometri untuk sudut ganda (a) Rumus untuk s n
s n s n os (b) Rumus untuk os os os s n atau os os atau os s n (c) Rumus untuk n n n n 3) Rumus konversi
(a) Perkalian sinus dan kosinus
(1) os os os os
Jadi os os
(2) os os s n s n
Jadi s n s n
Jadi s n os
(4) sin s n os s n
jadi os s n
(b) Penjumlahan dan pengurangan sinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus pada bagian (1) dapat ditulis dalam rumus berikut.
os os os os os os s n s n s n s n s n os s n s n os s n
Misalkan n sehingga diperoleh
Sehingga apabila disubstitusikan persamaan (5) dan (6) pada rumus (1) sampai (4) maka akan diperoleh kesimpulan berikut:
(1) os os os os
(2) os os s n s n
(3) s n s n s n os
(c) Identitas trigonometri
(1) os s n
(2) n s
(3) o s
Ini merupakan identitas trigonometri yang umum digunakan, masih banyak lagi identitas trigonometri yang bisa diperoleh dengan menjabarkan rumus trigonometri yang ada untuk ditemukan rumus-rumus identitas trigonometri.
d. Fungsi komposisi
Fungsi komposisi menurut Ruseffendi (1979) merupakan fungsi baru yang didefinisikan atas dasar fungsi g dan f , fungsi komposisi dari g dengan f disebut produk fungsi. Secara umum fungsi komposisi dapat diartikan sebagai fungsi baru yang dibentuk dari dua atau lebih fungsi yang diberikan.
Menurut Herry Pribawanto Suryawan (2016) definisi komposisi fungsi adalah sebagai berikut:
Diberikan fungsi dan Fungsi komposisi didefinisikan dengan rumus
( )
Dengan kata lain,
Dalam komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif sehingga urutan komposisi fungsi tidak dapat ditukar yakni
Dalam komposisi fungsi berlaku beberapa sifat diantaranya sebagai berikut: 1) 2) 3) 4) 5)
Nugroho Soedyarto dan Maryanto (2008) menyatakan syarat fungsi yang dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong.
e. Fungsi invers
Nugroho Soedyarto dan Maryanto (2008) menyatakan bahwa semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers namun invers dari himpunan dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Suatu fungsi f akan mempunyai fungsi invers, yaitu
jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau berkorespondensi satu-satu.
Gambar 2.5.5 contoh invers fungsi
Dari gambar Gambar 2.5.5 bagian (i), himpunan A yang beranggotakan dipetakan oleh fungsi f ke himpunan B yang beranggotakan dimana daerah hasilnya adalah . Pada gambar (ii) himpunan B dipetakan oleh fungsi g ke himpunan A daerah hasilnya adalah . pemetaan diperoleh dengan cara membalik pasangan terurut . B merupakan balikan dari f dinotasikan , atau dapat disebut g merupakan invers dari f.
Fungsi invers dapat didefinisikan sebagai berikut:
Jika fungsi dinyatakan dengan pasangan terurut
n maka invers fungsi f adalah
ditentukan oleh n .
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini:
1) Buatlah permisalan pada persamaan.
2) Persamaan tersebut disesuaikan dengan sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakan .
f. Kaitan fungsi komposisi dan fungsi invers
Jika terdapat fungsi komposisi maka adalah fungsi tunggal yang dapat dicari inversnya.
Gambar 2.5.6 Kaitan fungsi komposisi dan fungsi invers
Dari gambar di atas dengan f dan g
berkorespondensi satu-satu sedemikian sehingga maka
. Dalam hal ini disebut fungsi invers
dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat-sifat berikut: (1)
(2) )
