BAB II KAJIAN PUSTAKA
A. Hal-hal Terkait dan informasi-informasi Terkait dengan Masalah yang
6. Limit Fungsi
Herry Pribawanto Suryawan (2016) mendefinisikan bagian-bagian dari limit fungsi sebagai berikut:
a. Pengertian limit fungsi
1) Pengertian informal limit fungsi
Jika fungsi f terdefinisi di setiap titik di dekat a, kecuali mungkin di a sendiri, maka fungsi f dikatakan mempunyai limit
L untuk x menuju a apabila berlaku nilai f(x) cukup dekat dengan L untuk nilai x yang cukup dekat dengan a. Notasi:
l m
2) Pengertian formal limit fungsi
Definsi formal limit dapat didefinisikan sebagai berikut:
Kita mengatakan f(x) menuju L ketika x menuju a, dan menuliskan dengan
l m ,
Apabila untuk setiap bilangan terdapat yang mungkin bergantung pada sehingga jika dan
maka . Bilangan dan adalah suatu bilangan yang sangat kecil yang menunjukkan jarak, dikarenakan dan merupakan suatu jarak maka nilainya harus lebih besar dari nol.
Misalkan kita akan membuktikan l m n l m
Pembuktian:
(i) Diberikan sembarang Kita harus mencari
sehingga jika m k Cukup jelas bahwa kita dapat memilih dan implikasi di atas berlaku. Terbukti l m
(ii) Diberikan sembarang Kita harus mencari
maka kita dapat memilih bilangan positif secara sebarang dan implikasinya di atas terpenuhi. Terbukti l m . b. Limit satu sisi
Jika fungsi f terdefinisi pada suatu selang (a,b) dan berlaku nilai f(x)
cukup dekat dengan L untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan b dan , maka kita katakan f mempunyai limit kiri L di x = b
dan di notasikan dengan
l m
Jika fungsi f terdefinisi pada suatu selang (a,b) dan berlaku nilai f(x)
cukup dekat dengan L untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan a dan , maka kita katakan f mempunyai limit kanan L di x = a dan dinotasikan dengan
l m
Maka hubungan limit dengan limit satu sisi diberikan oleh teorema berikut:
Fungsi f mempunyai limit L di x = a jika dan hanya jika limit kanan dan limit kirinya keduanya ada dan nilainya sama dengan L. Jadi,
l m
l m l m
c. Teorema limit fungsi
Beberapa teorema yang mempermudah perhitungan limit fungsi. Jika l m l m , dan k adalah sebuah konstanta, maka:
1) Limit jumlahan: l m ( ) l m l m 2) Limit selisih: l m ( ) l m l m
3) Limit kelipatan skalar:
l m l m 4) Limit hasilkali: l m ( ) l m l m 5) Limit hasilbagi: l m l m l m
6) Limit pangkat: jika dan , maka
l m
( ) (l m )
Asalkan L > 0 jika n genap dan jika
Khususnya, apabila jika dan kita peroleh
l m
√ √
7) Limit urutan: jika pada sebuah selang yang memuat a, maka
l m
8) Limit sukubanyak: jika p(x) adalah sebuah sukubanyak, maka
l m
9) Limit fungsi rasional: jika dan adalah suku banyak dengan , maka
l m
d. Teorema prinsip apit
Misalkan untuk setiap x pada sebuah selang yang memuat a, kecuali mungkin di a. Jika
l m dan l m Maka l m Khususnya, jika l m l m Maka l m
e. Limit menuju takhingga dan limit tak hingga 1) Limit menuju takhingga
Jika fungsi f terdefinisi pada sebuah selang dan berlaku bahwa nilai mendekati L apabila x bernilai positif dan
semakin membesar, maka dikatakan mempunyai limit L untuk x menuju takhingga. Notasi:
l m
Jika fungsi f terdefinisi pada sebuah selang dan berlaku bahwa nilai melewati M apabila x bernilai negatif dan semakin mengecil, maka dikatakan mempunyai limit M untuk x menuju negatif takhingga. Notasi:
l m
2) Limit takhingga
Limit takhingga merupakan sebuah fungsi yang nilainya semakin membesar tanpa batas.
f. Limit fungsi trigonometri
Salah satu teorema dari limit fungsi trigonometri yaitu l m . g. Fungsi kontinu
1) Definisi informal fungsi kontinu
Fungsi f dikatakan kontinu di sebuah titik c di dalam daerah asal fungsi f jika l m . Apabila l m tidak ada atau l m ada tetapi nilainya tidak sama dengan , maka fungsi f dikatakan diskontinu di c. fungsi f dikatakan kontinu pada sebuah selang I jika f kontinu di setiap titik anggota I. Langkah-langkah memeriksa kekontinuan sebuah fungsi di c yaitu:
a) Periksa apakah ada b) Periksa apakah l m ada c) Periksalah apakah l m
Kekontinuan fungsi satu sisi di suatu titik dapat didefinisikan sebagai berikut:
a) Fungsi f dikatakan kontinu kanan di c jika l m .
b) Fungsi f dikatakan kontinu kiri di c jika l m .
Fungsi f kontinu di c jika dan hanya jika f kontinu kanan di x dan kontinu kiri di c.
Berikut adalah sifat-sifat hasil operasi aljabar dari fungsi-fungsi kontinu yang juga merupakan fungsi kontinu:
Jika fungsi f dan g keduanya terdefinisi pada sebuah selang yang memuat titik c, dan keduanya kontinu di c maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di c.
a) dan
b)
c)
d)
Komposisi dari dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu:
Diberikan dua fungsi f dan g. jika
terdefinisi pada sebuah selang yang memuat c dan jika f kontinu di L dengan l m maka
l m
( ) (l m )
Khususnya, jika g kontinu di c (yakni L = g(c)), maka komposisi f o g kontinu di c dan
l m
( ) . 2) Definisi formal fungsi kontinu
Fungsi f dikatakan kontinu di sebuah titik a di dalam daerah asal fungsi f apabila untuk setiap terdapat sehingga jika maka
Definisi formal limit fungsi dan definisi formal fungsi kontinu cukup mirip. Namun ada beberapa perbedaan, yaitu:
a) Pada definisi limit fungsi, a tidak harus berada di dalam daerah asal fungsi f tetapi pada definisi fungsi kontinu, a
haruslah berada di dalam daerah asal fungsi f.
b) Pada definisi fungsi kontinu, kita mengukur seberapa dekat f(x) dengan f(a). sementara pada definisi limit fungsi, kita mengukur seberapa dekat f(x) dengan sebuah
bilangan L dan dalam hal ini L tidak harus sama dengan
f(a).
c) Pada definisi limit fungsi, disyaratkan
yang berarti Pada definisi fungsi kontinu, kita hanya mensyaratkan yang berarti x bisa sama dengan a.
Menurut Sudaryono (2014) limit fungsi merupakan perubahan nilai suatu fungsi ketika nilai input (variabel bebas) fungsi tersebut berubah. Berikut adalah beberapa teorema limit:
Jika l m . Jika c konstanta, l m l m l m ( ) l m l m . l m ( ) l m l m . l m ( ) l m l m . l m l m l m {l m }
a) Limit fungsi aljabar
Langkah-langkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar l m
sebagai berikut:
2)Jika hasilnya bentuk tak tentu n harus diuraikan.
3)Jika hasilnya bentuk tertentu maka nilai tersebut merupakan nilai limitnya.
Jenis limit untuk x mendekati konstanta (x→ c):
- Jika dan c adalah konstanta, fungsi f(x) diuraikan dengan cara faktorisasi.
- Untuk fungsi f(x) yang mengandung akar, kalikan dengan sekawan terlebih dahulu.
b) Limit untuk x mendekati nilai tak berhingga (x ) dengan hasil atau
Jika dan hasilnya atau , fungsi f(x) diuraikan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi. Cara langsung:
Jika dan hasilnya atau , fungsi f(x) diuraikan dengan rumus:
l m
c) Limit untuk x mendekati tak berhingga (x ) dengan hasil (
)
Jika dan hasilnya ( , fungsi f(x) diuraikan dengan cara dikali sekawan untuk fungsi yang mengandung
s lny s lny s lny
bentuk akar, kemudian membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi.
Cara langsung:
Jika dan hasilnya ( fungsi f(x) diuraikan dengan rumus:
(1) Rumus jumlah dan selisih akar
l m
(√ √ )
l m
(√ √ )
(2) Rumus selisih akar kuadrat
l m
√ √
d) Limit fungsi trigonometri
Beberapa langkah umum menyelesaikan limit fungsi l m
trigonometri menurut Sudaryono: (1) Substitusikan x = a ke f(x).
(2) Jika hasilnya bentuk tak tentu n , f(x) harus diuraikan. � √ , untuk a=p
(3) Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai limitnya. Langkah menguraikan fungsi f(x) dengan rumus dasar
Jika terdapat bentuk l m l m l m l m
, Gunakan rumus dasar trigonometri: l m l m l m l m m l m l m l m
