Garis dan Sudut

BAB II LANDASAN TEORI

A. Kajian Teori

7. Garis dan Sudut

Menurut Leff (2009), garis adalah himpunan titik-titik yang kontinu dapat diperpanjang di kedua arah.

Menurut Leff (2009:3), ruas garis adalah bagian dari garis yang terdiri dari dua titik ujung yang disebut titik akhir dan himpunan semua titik diantaranya.

Menurut Leff (2009: 4), sinar garis adalah bagian dari garis yang hanya memiliki satu titik ujung dan himpunan semua titik pada ujung lainnya

.

A B

Gambar 2.2 Ruas Garis AB(𝑨𝑩̅̅̅̅)

B A

Gambar 2.3 Sinar Garis AB(𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) B

Gambar 2.1 Garis AB (𝑨𝑩⃡⃗⃗⃗⃗ ) A

Menurut Smith (1956: 9), Sudut adalah suatu daerah yang terbentuk dari dua garis lurus yang bertemu pada suatu titik. Titik itu disebut titik sudut dan garis-garis tersebut disebut sisi-sisi sudut.

Hubungan Antara Titik, Garis dan Sudut 1. Letak Suatu Titik Pada Suatu Garis Lurus

Menurut Hadiwijojo (1973:10-11), letak suatu titik pada suatu garis lurus ditentukan jika diambil suatu titik pada garis tersebut. Titik Tertentu itu kemudian diberi nama titik asal. Suatu titik pada suatu garis lurus mempunyai satu koordinat yang disebut absis titik tesebut. Setiap titik pada garis menentukan suatu bilangan nyata yaitu absisnya, dan sebaliknya setiap bilangan nyata, menentukan letak suatu titik.

2. Letak Suatu Garis Pada Suatu Bidang Datar

Menurut Hadiwidjojo (1973:13-14), Letak suatu titik pada suatu bidang datar tertentu apabila diketahui jarak-jarak titik itu dari sumbu-sumbu koordinat. Jarak-jarak ini diambil sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Setiap titik dalam bidang menentukan sepasang bilangan nyata berurutan dan sebaliknya setiap pasang bilangan nayata berurutan menentukan satu titik pada bidang.

3. Letak Garis Terhadap Bidang Datar a. Garis terletak pada bidang

Menurut Hadiwijojo (1973: 55), agar suatu garis terletak dalam bidang, maka garis harus sejajar dengan bidang dan garis itu mempunyai titik yang terletak pada bidang tersebut.

b. Garis sejajar bidang

Menurut Hadiwijojo (1973:53), garis sejajar dengan bidang jika garis itu tegak lurus pada normal bidang.

c. Garis memotong bidang

Menurut Hadiwijojo (1973: 52). Mencari koordinat-koordinat titik potong garis dan bidang itu sama saja dengan mencari nilai x, y dan z yang memenuhi ketiga persamaan tesebut. Contoh diketahui persamaan garis

𝑥 − 𝑥₁ 𝑎 ⁼ 𝑦 − 𝑦₁ 𝑏 ⁼ 𝑧 − 𝑧₁ 𝑐 ^{= 𝜆}

Dari persamaan tesebut diperoleh 𝑥 = 𝑥₁+ 𝜆_𝑎, 𝑦 = 𝑦₁+ 𝜆_𝑏, 𝑧 = 𝑧₁+ 𝜆_𝑐, kemudian dicari nilai 𝜆 sedemikian sehingga 𝑥, 𝑦, 𝑧 memenuhi persamaan suatu bidang

Gambar 2.5 Garis Terletak Pada Bidang 𝜶

Gambar 2.6 Garis Sejajar Bidang k

𝐴_𝑥+ 𝐵_𝑦+ 𝐶_𝑧+ 𝐷 = 0

𝐴(𝑥₁+ 𝜆_𝑎) + 𝐵(𝑦₁+ 𝜆_𝑏) + 𝐶(𝑧₁+ 𝜆_𝑐) + 𝐷 = 0 (𝐴_𝑎 + 𝐵_𝑏+ 𝐶_𝑐)𝜆 + 𝐴_𝑥1+ 𝐵_𝑦1+ 𝐶_𝑧1+ 𝐷 = 0

Koordinat-koordinat titik potong garis dan bidang itu dapat diperoleh jika 𝐴_𝑎+ 𝐵_𝑏+ 𝐶_𝑐 + 𝐷 ≠ 0 dan 𝐴_𝑥1+ 𝐵_𝑦1+ 𝐶_𝑧1+ 𝐷 = 0

4. Letak Suatu Garis Lurus Terhadap Garis Lurus Lain

Menurut Hadiwidjojo (1973: 55), jika garis-garis lurus itu mempunyai persamaan-persamaan 𝑦 = 𝑚₁𝑥 + 𝑛₁ dan 𝑦 = 𝑚₂𝑥 + 𝑛₂, maka berlaku pernyataan berikut ini.

1) Jika 𝑚₁ = 𝑚₂ dan 𝑛₁ ≠ 𝑛₂, maka kedua garis itu akan sejajar.

2) Jika 𝑚₁ = 𝑚₂ dan 𝑛₁ = 𝑛₂, maka kedua garis itu akan berhimpit.

k l

Gambar 2.8 Garis k dan l Merupakan Garis yang Sejajar Gambar 2.7 Garis Memotong Bidang

𝜶

5. Membagi Sebuah Ruas Garis Menjadi Dua Sama Panjang (Smith, 1956:5)

Misal diketahui garis AB, bagilah garis tersebut menjadi dua bagian sama besar

1) Titik A sebagai pusat dan AB sebagai jari-jari kemudian gambarlah busur di setiap sisi AB

2) Titik B sebagai pusat dan BA sebagai jari-jari kemudian gambarlah busur di setiap sisi BA

3) Buatlah garis CD yang memotong garis AB di titik E. Sehingga AE = E

6. Membagi Sudut Menjadi Dua Bagian Sama Besar (Smith, 1956: 18)

Misal diketahui ∠𝐴𝐵𝐶, bagilah sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar.

k l

Gambar 2.9 Garis k dan Garis l Saling Berhimpit

Langkah-langkah sebagai berikut:

1) Titik B sebagai pusat, gambarlah busur yang memotong BC dengan jari-jari kurang dari panjang BA dan BC

2) Menggunakan jari-jari jangka yang sama, dengan titik D dan titik E sebagai pusat busur kemudian buat busur yang saling berpotongan di titik F.

3) Buatlah garis BG melalui titik B dan F. Sehingga garis BG membagi dua ∠𝐴𝐵𝐶

Gambar 2.12 Langkah 1

Gambar 2.13 Langkah 2

7. Membuat Sebuah Sudut Yang Sama Dengan Sudut Yang Diketahui (Smith, 1956: 19)

Misal diketahui ∠𝐴𝐵𝐶, buatlah sudut yang sama besar dengan ∠𝐴𝐵𝐶

Langkah-langkah sebagai berikut:

1) Buatlah garis ED yang bersesuain dengan sisi BA pada ∠𝐴𝐵𝐶. E adalah titik sudut dari sudut yang telah dibuat.

2) Titik B sebagai pusat, buatlah busur yang memotong BA di titik H dan BC di titik G

3) Titik E sebagai pusat, buatlah dengan jari-jari yang sama buatalah busur m memotong ED di J

4) Buatlah jarak H ke G pada susut yang diberikan sebagai jari-jari, J sebagai pusat kemudian buatlah busur yang memotong busur m di titik K.

Gambar 2.15 Langkah 1 Gambar 2.16 Langkah 2 dan 3

5) Buatlah EF melalu titik E dan titik K. ∠𝐷𝐸𝐹 = ∠𝐴𝐵𝐶.

8. Membuat Sebuah Garis Yang Tegak Lurus Dengan Garis Yang Sudah Diketahui Pada Sebuah Titik Di Garis Tersebut (Smith:1956: 24-25)

Misalkan diketahui garis AB dengan titik C di garis tersebut. Buatlah sebuah garis yang berpotongan tegak lurus AB di titik C. Langkah-langkah sebagai berikut:

1) Titik C sebagai pusat, buatlah busur yang memotong AB di titik E dan di titik D dengan jari-jari kurang dari panjang garis AB.

2) Titik D dan titik E sebagai pusat, buatalah busur yang akan saling berpotongan di titik F

3) Buatlah garis CG melalui titik C dan titik F. 𝐶𝐺

̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅̅̅ di titik C

Gambar 2.18 Langkah 5

Gambar 2.19 Langkah 1

9. Mengukur besar sudut dengan busur derajat

Menurut Abbot (1959: 40), bususr derajat digunakan untuk mengukur sudut. Busur derajat biasanya terbuat dari plastik bening, sehingga ketika penggunaan untuk pengukuran suatu objek dapat terlihat jelas.

Untuk mengukur besar sudut, yang kaki sudutnya QP dan QR. kemudian busur derajat ditempatkan di QR pada skala 00. Sehingga besar sudut ∠𝑃𝑄𝑅 adalah 300

10. Jenis-Jenis Sudut

1) Menurut Ariawan (2014: 9), sudut lancip merupakan sudut yang besar sudutnya lebih besar dari 00 dan kurang dari 900 2) Sudut Tumpul

Menurut Ariawan (2014: 9), sudut tumpul merupakan sudut yang besar sudutnya lebih dari 900 dan kuarang dari 1800 3) Sudut Siku-Siku

Menurut Ariawan (2014: 9), sudut siku-siku merupakan sudut yang besar sudutnya 900

P

R Q

Gambar 2.21 Sudut PQR s

4) Sudut Lurus

Menurut Ariawan (2014: 9), sudut lurus merupakan sudut yang besar sudutnya tepat 180⁰

5) Sudut Refleks

Menurut Ariawan (2014: 9), sudut refleks merupakan sudut yang besar sudutnya lebih dari 180⁰ dan kuarang dari 360⁰ 11. Hubungan Antar Sudut

1) Sudut Berpelurus, Berpenyiku dan Bertolak Belakang a. Sudut Berpelurus

Menurut Ariawan (2014:9) sudut berpelurus (bersumplen) jika dan hanya jika jumlah kedua sudut tersebut 1800 Contoh: 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 + 𝑚∠𝐶𝐵𝐷 = 180⁰

b. Berpenyiku

Menurut Ariawan (2014: 9), sudut berpenyiku (komplemen) jika dan hanya jika jumlah besar kedua sudutnya 90⁰

Contoh: 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 + 𝑚∠𝐶𝐵𝐷 = 900

A _B D

C

Gambar 2.22 Sudut Berpelurus

A B

C

D

c. Sudut Bertolak Belakang

Menurut Ariawan (2014: 9) sudut bertolak belakang jika titik sudut mereka sama dan kedua pasang kakinya membentuk sudut lurus.

Contoh: 𝑚∠𝐴𝑂𝐶 = 𝑚∠𝐷𝑂𝐶 dan 𝑚∠𝐴𝑂𝐷 = 𝑚∠𝐶𝑂𝐵

12. Hubungan sudut-sudut pada dua garis Sejajar

Menurut Ariawan (2004: 10), keterangan gambar sebagai berikut: a. Daerah C dan Daerah D adalah daerah diantara kedua garis b. Daerah A,B,E dan F adalah daerah diluar kedua garis c. t disebut garis transversal

d. Daerah A, C, dan E adalah daerah sepihak terhadap transvesal t e. ∠1, ∠2, ∠8, ∠7 disebut sudut luar

f. ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 disebut sudut dalam g. ∠1 berseberangan dengan ∠2, ∠3, ∠6, ∠7

h. ∠1 dan ∠8, ∠2 dan ∠7 adalah sudut luar sepihak

Gambar 2.24 Gambar Sudut Bertolak Belakang B A O C D Daerah B Daerah C Daerah D Daerah E Daerah F 1 2 4 3 5 8 6 7 Daerah A

Gambar 2.25 Sudut-Sudut yang Dibentuk dari Dua Garis Sejajar yang Dipotong oleh Garis Transvesal

i. ∠4 dan ∠5, ∠3 dan ∠6 adalah sudut dalam sepihak j. ∠1 sehadap dengan ∠5

k. ∠1 dan ∠3 adalah sudut bertolak belakang ((𝑚∠1 = 𝑚∠3) l. ∠3 dan ∠5 adalah sudut dalam berseberangan (𝑚∠3 = 𝑚∠5) m. ∠2 dan ∠8 adalah sudut luar bersebarangan (𝑚∠2 = 𝑚∠8) n. ∠5 dan ∠6 adalah sudut-sudut yang berdampingan (berpelurus)

(𝑚∠5 = 𝑚∠6)