BAB III GRAF NON-KOMUTING DARI SUATU GRUP
A. Graf Non-Komuting dari Suatu Grup
Graf non-komuting merupakan salah satu representasi graf dari suatu grup sedemikian sehingga simpul-simpulnnya adalah elemen-elemen non-central dari grup tersebut dan kedua simpul pada graf tersebut bertetangga jika dan hanya jika elemen-elemen tersebut tidak komutatif. Secara matematis, definisi graf non-komuting dari suatu grup adalah sebagai berikut.
Definisi 3.1 Graf non-komuting dari suatu grup (Non-commuting graph of a group) (Abdollahi, 2006)
Diberikan suatu grup 𝐺, graf non-komuting dari 𝐺, dinotasikan dengan Γ𝐺 adalah graf sederhana yang himpunan simpulnya adalah 𝑉(Γ𝐺) = 𝐺 − 𝑍(𝐺) dan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(Γ𝐺), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Γ𝐺) jika dan hanya jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥.
Dibawah ini adalah bentuk-bentuk graf non-komuting dari grup simetri (𝑆𝑛), grup selang-seling (𝐴𝑛), dan grup dihedral (𝐷2𝑛).
B. Bentuk-bentuk Graf Non-Komuting dari Grup Simetri (𝑺𝒏)
Berikut adalah bentuk-bentuk graf non-komuting dari grup simetri (𝑆𝑛)
1. Grup 𝑺𝟏
𝑆1 = {(1)}. Center dari grup tersebut 𝑍(𝑆1) = {(1)} maka berdasarkan definisi graf non komuting, 𝑉(𝛤𝑆1) = 𝑆1− 𝑍(𝑆1) = {} dengan kata lain, himpunan simpul dari graf non-komuting dari grup 𝑆1 adalah himpunan kosong. Maka, grup 𝑆1 tidak dapat direpresentasikan dengan graf non-komuting.
2. Grup 𝑺𝟐
𝑆2 = {(1), (1 2)}. Center dari grup tersebut 𝑍(𝑆2) = {(1)} maka berdasarkan definisi graf kembar, 𝑉(𝛤𝑆2) = 𝑆2− 𝑍(𝑆2) = {(1 2)}. Karena hanya mempunyai satu simpul maka 𝐸(𝛤𝑆2) = {} sehingga graf non-komuting dari grup 𝑆2 dapat digambarkan seperti gambar di bawah ini.
Gambar 3.1 Graf non-komuting dari grup 𝑆2 (𝛤𝑆2) 3. Grup 𝑺𝟑
𝑆3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. Center dari grup tersebut 𝑍(𝑆3) = {(1)} maka berdasarkan definisi graf non-komuting, 𝑉(𝛤𝑆3) = 𝑆3− 𝑍(𝑆3) = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. Hasil operasi antar elemen pada 𝑆3, telah dituliskan pada Tabel 2.2 Dari tabel tersebut, diperoleh informasi sebagai berikut :
a. 𝑓2𝑓3 ≠ 𝑓3𝑓2 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓2, 𝑓3) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3) b. 𝑓2𝑓4 ≠ 𝑓4𝑓2 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓2, 𝑓4) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3) c. 𝑓2𝑓5 ≠ 𝑓5𝑓2 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓2, 𝑓5) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3)
(1 2)
d. 𝑓2𝑓6 ≠ 𝑓6𝑓2 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓2, 𝑓6) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3) e. 𝑓3𝑓4 ≠ 𝑓4𝑓3 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓3, 𝑓4) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3) f. 𝑓3𝑓5 ≠ 𝑓5𝑓3 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓3, 𝑓5) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3) g. 𝑓3𝑓6 ≠ 𝑓6𝑓3 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓3, 𝑓6) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3) h. 𝑓4𝑓5 ≠ 𝑓5𝑓4 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓4, 𝑓5) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3) i. 𝑓4𝑓6 ≠ 𝑓6𝑓4 maka berdasarkan definisi 3.1, (𝑓4, 𝑓6) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3)
Sehingga graf non-komuting dari 𝑆3 adalah seperti gambar dibawah ini.
Gambar 3.2 Graf non-komuting dari grup 𝑆3 (Γ𝑆3)
4. Grup 𝑺𝟒
Anggota grup 𝑆4 telah dibahas pada Contoh 2.17. Center dari grup tersebut 𝑍(𝑆4) = {(1)} maka berdasarkan definisi graf non-komuting
𝑉(𝛤𝑆4) = 𝑆4− 𝑍(𝑆4) = {(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2) (3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (2 3 4), (2 4 3), (3 4 1), (3 1 4), (4 1 2), (4 2 1), (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3),
(1 2)
(1 3)
(2 3)
(1 2 3) (1 3 2)
( 1 4 3 2)}.
Anggota himpunan simpul dari 𝛤𝑆4 lebih dari satu, maka untuk mencari anggota 𝐸(𝛤𝑆4), perlu dilakukan operasi antar anggota 𝑉(𝛤𝑆4) dengan operasi yang didefinisikan pada 𝑆4 yaitu operasi komposisi fungsi. Jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆4 dan 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝑆4). Untuk mempermudah proses perhitungan, digunakan software GAP (The GAP Group, 2020). Berikut adalah gambar graf non-komuting dari grup 𝑆4.
Gambar 3.3 Graf non-komuting dari grup 𝑆4 (Γ𝑆4)
C. Bentuk-bentuk Graf Non-Komuting dari Grup Selang-seling (𝑨𝒏) a. Grup 𝑨𝟏
𝐴1 ≅ 𝑆1 maka grup 𝐴1 juga tidak dapat direpresentasikan dengan graf non-komuting
b. Grup 𝑨𝟐
𝐴2 = 𝑆2 maka 𝛤𝐴2 = 𝛤𝑆2 c. Grup 𝑨𝟑
𝐴3 = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}. Center dari grup tersebut 𝑍(𝐴3) = {(1)}
maka berdasarkan definisi graf non-komuting, 𝑉(𝛤𝐴3) = 𝐴3− 𝑍(𝐴3) = {(1 2 3), (1 3 2)}. Untuk mencari anggota 𝐸(𝛤𝐴3), perlu dilakukan operasi antar anggota 𝑉(𝛤𝐴3) dengan operasi yang didefinisikan pada 𝐴3 yaitu operasi komposisi fungsi. Jika setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝛤𝐴3) dengan 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(𝛤𝐴3). Diperoleh bahwa (1 2 3)(1 3 2) = (1 3 2)(1 2 3) maka ((1 2 3), (1 3 2)) ∉ 𝐸(𝛤𝐴3) sehingga 𝐸(𝛤𝐴3) = {}. Maka dari itu, bentuk graf non-komuting dari grup 𝐴3 adalah sebagai berikut.
Gambar 3.4 Graf non-komuting dari grup 𝐴3 (𝛤𝐴3)
d. Grup 𝑨𝟒
𝐴4 = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Center dari grup tersebut 𝑍(𝐴4) = {(1)} maka berdasarkan definisi graf non-komuting, 𝑉(𝛤𝐴4) = 𝐴4− 𝑍(𝐴4) = {(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}. Untuk mencari anggota 𝐸(𝛤𝐴4), perlu dilakukan operasi antar anggota 𝑉(𝛤𝐴4)
(1 2 3) (1 3 2)
dengan operasi yang didefinisikan pada 𝐴4 yaitu operasi komposisi fungsi. Jika setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝛤𝐴4) dengan 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(𝛤𝐴4). Diperoleh bahwa (1 2 3)(1 3 2) = (1 3 2)(1 2 3), (1 2 4)(1 4 2) = (1 4 2)(1 2 4), (1 3 4)(1 4 3) = (1 4 3)(1 3 4), (2 3 4)(2 4 3) = (2 4 3)(2 4 3). maka ((1 2 3), (1 3 2)) ∉ 𝐸(𝛤𝐴3). Maka bentuk graf non-komuting dari grup 𝐴4 adalah sebagai berikut
Gambar 3.5 Graf non-komuting dari grup 𝐴4 (𝛤𝐴4)
D. Bentuk-bentuk Graf Non-Komuting dari Grup Dihedral (𝑫𝟐𝒏) a. Grup 𝑫𝟔
𝐷6 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2}. Hasil operasi elemen-elemen pada 𝐷6 dituliskan dalam Tabel 3.1 berikut.
Tabel 3.1 Tabel Cayley 𝐷6
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
1 1 𝑟 𝑟2 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟 𝑟 𝑟2 1 𝑠𝑟2 𝑠 𝑠𝑟 𝑟2 𝑟2 1 𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠 𝑟2 1 𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠 𝑠𝑟 𝑟 𝑟2 1
Center dari grup tersebut 𝑍(𝐷6) = {1} karena semua elemen 𝐷6 jika dioperasikan dengan 1 maka hasilnya adalah elemen itu sendiri sehingga berdasarkan definisi graf non-komuting, 𝑉(𝛤𝐷6) = 𝐷6− 𝑍(𝐷6) = {𝑟, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2}. Pada Tabel 3.1, diperlihatkan bahwa 𝑟2∘ 𝑟 = 𝑟 ∘ 𝑟2 = 1, 𝑠 ∘ 𝑠 = 1, 𝑠𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 1, dan 𝑠𝑟2∘ 𝑠𝑟2 = 1 sehingga 𝑟𝑟2 ∉ 𝐸(𝛤𝐷6).
Karena berdasarkan Definisi 3.1 bahwa graf non-komuting adalah graf sederhana artinya tidak ada simpul yang terhubung dengan dirinya sendiri sehingga untuk elemen yang dikomposisikan dengan dirinya sendiri hasilnya 1 maka sudah pasti simpul tersebut tidak terhubung ke dirinya sendiri. Maka bentuk graf non-komuting dari 𝐷6 adalah sebagai berikut.
Gambar 3.6 Graf non-komuting dari grup 𝐷6 (𝛤𝐷6) b. Grup 𝑫𝟖
𝐷8 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3}. Hasil operasi elemen-elemen pada 𝐷8 dituliskan dalam tabel 3.2 berikut.
Tabel 3.2 Tabel Cayley 𝐷8
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 1 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟2 𝑟2 𝑟3 1 𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑟3 𝑟3 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠 𝑟3 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑟2 𝑟3 1 𝑟 𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟 𝑟2 𝑟3 1
Center dari grup tersebut 𝑍(𝐷8) = {1, 𝑟2} karena semua elemen 𝐷8 jika dioperasikan dengan 1 atau 𝑟2 akan bersifat komutatif sehingga berdasarkan definisi graf non-komuting, 𝑉(𝛤𝐷8) = 𝐷8− 𝑍(𝐷8) =
𝑠𝑟
𝑠𝑟2 𝑠
𝑟 𝑟2
{𝑟, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3}. Pada Tabel 3.2, elemen-elemen yang jika dioperasikan bersifat komutatif ditandai dengan sel warna kuning sehingga simpul-simpulnya tidak bertetangga. Berikut adalah bentuk graf non-komuting dari grup 𝐷8.
Gambar 3.7 Graf non-komuting dari grup 𝐷8 (𝛤𝐷8)
c. Grup 𝑫𝟏𝟎
𝐷10 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4}. Hasil operasi elemen-elemen pada 𝐷10 dituliskan dalam tabel 3.3 berikut.
Tabel 3.3 Tabel Cayley 𝐷10
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1 𝑟 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟3 𝑟3 𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑟4 𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
𝑠
𝑟 𝑟3
𝑠𝑟
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑟3 𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1 𝑟 𝑠𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1
Center dari grup tersebut 𝑍(𝐷10) = {1} karena semua elemen 𝐷10 jika dioperasikan dengan 1 akan bersifat komutatif sehingga berdasarkan definisi graf non-komuting, 𝑉(𝛤𝐷10) = 𝐷10− 𝑍(𝐷10) = {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4}. Pada tabel 3.3, elemen-elemen yang jika dioperasikan bersifat komutatif ditandai dengan sel warna kuning sehingga simpul-simpulnya tidak bertetangga. Berikut adalah bentuk graf non-komuting dari grup 𝐷10.
Gambar 3.8 Graf non-komuting dari grup 𝐷10 (𝛤𝐷10)
E. Bentuk Graf Non-Komuting dari Grup Quaternion (𝑸𝟖)
Berdasarkan Tabel 2.5 pada Bab II, Diperlihatkan bahwa 𝑍(𝑄8) = {1, −1}
sehingga berdasarkan definisi graf non-komuting, 𝑉(Γ𝑄8 ) = 𝑄8− 𝑍(𝑄8) = {𝑖, −𝑖, 𝑗, −𝑗, 𝑘, −𝑘}. Selanjutnya 𝑖(−𝑖) = (−𝑖)𝑖 = 𝑗(−𝑗) = (−𝑗)𝑗 = 𝑘(−𝑘) =
(−𝑘)𝑘 = 1 sehingga 𝑖 bertetangga dengan semua simpul kecuali −𝑖, 𝑗 bertetangga dengan semua simpul kecuali −𝑗, dan 𝑘 bertetangga dengan semua simpul kecuali −𝑘. Dengan demikian, graf kembar non-komuting dari 𝑄8 adalah sebagai berikut.
Gambar 3.9 Graf non-komuting dari grup 𝑄8 (𝛤𝑄8)
Gambar 3.7 dan 3.9 memperlihatkan bahwa, 𝛤𝑄8 ≅ 𝛤𝐷8 karena terdapat fungsi 𝜙 sedemikian sehingga 𝜙(𝑟) = 𝑗, 𝜙(𝑟3) = −𝑗, 𝜙(𝑠) = 𝑘, 𝜙(𝑠𝑟2) =
−𝑘, 𝜙(𝑠𝑟) = 𝑖, dan 𝜙(𝑠𝑟3) = −𝑖. Akan tetapi 𝐷8 dan 𝑄8 bukanlah grup yang saling isomorfis.
F. Sifat-sifat Graf Non-Komuting dari Suatu Grup
Graf non-komuting dari suatu grup memiliki beberapa sifat. Berikut adalah beberapa sifat-sifat dan teorema-teorema yang berkaitan dengan graf non komuting dari suatu grup.
Berdasarkan ilustrasi-ilustrasi graf non-komuting dari grup simetri, grup selang-seling dan grup dihedral di atas. Diperlihatkan bahwa
−𝑖 −𝑘
𝑘
𝑗 −𝑗
−𝑖
𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤𝐺) = 2 dan 𝑔(𝛤𝐺) = 3. Proposisi berikut menjamin bahwa untuk sebarang grup non-abelian juga berlaku demikian.
Proposisi 3.1 (Abdolahi, 2006)
Untuk sebarang grup non-abelian, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤𝐺) = 2. Secara khusus, 𝛤𝐺 terhubung dan 𝑔(𝛤𝐺) = 3.
Bukti :
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝛤𝐺) dengan 𝑥 ≠ 𝑦. Jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(𝛤𝐺) sehingga 𝑑(𝑥, 𝑦) = 1. Untuk 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, karena 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝛤𝐺) maka jelas bahwa 𝑥, 𝑦 ∉ 𝑍(𝐺) sehingga terdapat 𝑥′ dan 𝑦′ yang berturut-turut bertetangga dengan 𝑥 dan 𝑦. Jika 𝑥′ bertetangga dengan 𝑦 atau 𝑦′ bertetangga dengan 𝑥 maka 𝑑(𝑥, 𝑦) = 2. Jika tidak maka terdapat 𝑥′𝑦′ yang bertetangga dengan 𝑥 dan 𝑦 sehingga 𝑑(𝑥, 𝑦) = 2. Diasumsikan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤𝐺) = 1 sehingga jika diambil sebarang 𝑎 ∈ 𝑉(𝛤𝐺) maka 𝑎−1 = 𝑎 karena {𝑎, 𝑎−1} ∉ 𝐸(𝛤𝐺).
Jika 𝑏 ∈ 𝑍(𝐺) maka 𝑎𝑏 ∉ 𝑍(𝐺) sehingga 𝑎𝑏 ∈ 𝑉(𝛤𝐺). Oleh karena itu, juga berlaku 𝑎𝑏 = (𝑎𝑏)−1 sehingga (𝑎𝑏)(𝑎𝑏)−1= (𝑎𝑏)(𝑎𝑏) = 1 ↔ 𝑎(𝑏𝑎)𝑏 = 1 ↔ 𝑎(𝑎𝑏)𝑏 = 1 ↔ (𝑎𝑎)(𝑏𝑏) = 1 ↔ (𝑎𝑎−1)𝑏2 = 1 ↔ 𝑏2 = 1 sehingga 𝑏 = 𝑏−1. Maka dari itu, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 maka 𝑥 = 𝑥−1 dengan kata lain 𝑥2 = 1 sehingga berdasarkan Teorema 2.6 maka 𝐺 merupakan grup abelian.
Terjadi kontadiksi maka 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤𝐺) = 2.
Selanjutnya, untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dengan 𝑥, 𝑦 ∉ 𝑍(𝐺) jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka terdapat 𝑥𝑦 ∈ 𝐺 dengan 𝑥𝑦 ∉ 𝑍(𝐺) sedemikian sehingga 𝑥(𝑥𝑦) ≠ (𝑥𝑦)𝑥 akibatnya 𝛤𝐺 merupakan graf terhubung dan {𝑥, 𝑦, 𝑥𝑦} membentuk suatu segitiga sehingga
𝑔(𝛤𝐺) = 3. □
Berdasarkan ilustrasi-ilustrasi graf non-komuting dari grup simetri, grup selang-seling dan grup dihedral yang ketiganya merupakan grup berhingga, diperlihatkan bahwa 𝛤𝐺 merupakan graf hamilton. Proposisi berikut menjamin bahwa untuk sebarang grup non-abelian berhingga juga berlaku demikian.
Proposisi 3.2 (Abdolahi, 2006)
Graf non-komuting dari grup non-abelian berhingga adalah sebuah graf Halminton. maka 𝐶(𝑥) ≠ 𝐺. 𝐶(𝑥) merupakan subgrup dari G maka berdasarkan Teorema 2.10 |𝐶(𝑥)| habis membagi |𝐺|. Karena 𝐶(𝑥) ≠ 𝐺 maka |𝐺|
Berdasarkan ilustrasi-ilustrasi graf non-komuting dari grup simetri, grup selang-seling dan grup dihedral, diperlihatkan bahwa 𝛤𝑆3, 𝛤𝐷6, 𝛤𝐷8 dan 𝛤𝑄8 adalah graf planar. Proposisi berikut menjamin bahwa 𝛤𝐺 merupakan graf planar jika dan hanya jika 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆3, 𝐷8 atau 𝑄8. Proposisi 3.3 (Abdolahi, 2006)
Diberikan suatu grup non-abelian 𝐺. 𝛤𝐺 merupakan graf planar jika dan hanya jika 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆3, 𝐷8 atau 𝑄8.
Bukti :
1) Diketahui : 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆3, 𝐷8 atau 𝑄8 Akan dibuktikan : 𝛤𝐺 merupakan graf planar
Bukti :
Telah ditunjukkan pada pembahasan diatas bahwa graf non-komuting dari grup 𝑆3, 𝐷8 dan 𝑄8 merupakan graf planar (Gambar 3.3 , Gambar 3.7, Gambar 3.9).
2) Diketahui : 𝛤𝐺 merupakan graf planar
Akan dibuktikan : 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆3, 𝐷8 atau 𝑄8 Bukti :
Diketahui 𝛤𝐺 adalah graf planar. Berdasarkan Akibat 2.2, graf 𝐾5 adalah graf yang tidak planar. Dengan demikian, graf Γ𝐺 tidak memiliki subgraf 𝐾5. Ini berarti bahwa 𝜔(𝛤𝐺) < 5. Menurut Pyber (1986), 𝐺/𝑍(𝐺) adalah grup berhingga.
Klaim: 𝐺 berhingga.
Untuk itu akan diperlihatkan bahwa |𝑍(𝐺)| ≤ 5.
Bukti klaim :
Andaikan |𝑍(𝐺)| > 5. Misalkan 𝑍 adalah subgrup berhingga dari 𝑍(𝐺) dengan |𝑍|> 5. Karena 𝐺 adalah grup tidak abelian, maka terdapat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 sehingga 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥. Misalkan 𝑇 = 𝑍𝑥 ∪ 𝑍𝑦. Karena 𝛤𝐺 planar, maka
Karena 𝐺 merupakan grup berhingga maka 𝛤𝐺 merupakan graf berhingga.
Maka dari itu, terdapat 𝑥 ∈ 𝛤𝐺 sedemikian sehingga deg(𝑥) = |𝐺 − Pada Gambar 3.8 diperlihatkan bahwa 𝛤𝐷10 bukan graf planar. Selain itu, 𝑆3 dan 𝐷6 merupakan grup yang isomorfis. Oleh karena itu, jika |𝐺| ≤ 10 dan 𝛤𝐺 merupakan graf planar maka 𝐺 isomorfis dengan salah datu
dari 𝑆3, 𝐷8 atau 𝑄8. □
Proposisi 3.4 (Abdolahi, 2006)
Diberikan grup non-abelian 𝐺 sedemikian sehingga 𝛤𝐺 ≅ 𝛤𝑠3 maka 𝐺 ≅ 𝑆3. Bukti :
𝛤𝐺 ≅ 𝛤𝑠3, 𝛤𝐺 merupakan graf planar dengan 5 simpul. Salah satu grup yang graf non-komutingnya planar dengan 5 simpul adalah 𝑆3. Berdasarkan
Proposisi 3.3 maka 𝐺 ≅ 𝑆3. □
Proposisi berikut membahas mengenai graf non-komuting dari suatu subgrup.
Proposisi 3.5
Diberikan grup berhingga 𝐺. Jika 𝐻 merupakan subgrup non-center dari 𝐺 maka 𝛤𝐻 merupakan subgraf dari 𝛤𝐺.
Bukti :
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻. Jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤𝐻) dan 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤𝐺).
Sebaliknya jika 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 maka 𝑥𝑦 ∉ 𝐸(𝛤𝐻) dan 𝑥𝑦 ∉ 𝐸(𝛤𝐺) sehingga jelas bahwa 𝐸(𝛤𝐻) ⊆ 𝐸(𝛤𝐺) . Selanjutnya, 𝑉(𝛤𝐻) ⊆ 𝑉(𝛤𝐺) karena 𝐻 − 𝑍(𝐻) ⊆ 𝐺 − 𝑍(𝐺). Jadi 𝛤𝐻 merupakan subgraf dari 𝛤𝐺. □
Proposisi 3.5 memberikan jaminan bahwa graf non-komuting dari suatu subgrup merupakan subgraf dari graf non-komuting dari grup nya. Maka dari itu, berikut adalah akibat-akibat dari Proposisi 3.5.
Akibat 1
Graf non-komuting dari grup selang-seling (𝐴𝑛) merupakan subgraf dari graf non-komuting dari grup simetri (𝑆𝑛).
Akibat 2
Pada grup simetri, 𝛤𝑆𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝑆𝑛+1 Akibat 3
Pada grup selang-seling, 𝛤𝐴𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝐴𝑛+1.
90 BAB IV
GRAF KEMBAR NON-KOMUTING DARI SUATU GRUP
A. Graf Kembar Non-Komuting
Graf kembar non-komuting adalah graf yang dibentuk dengan mempartisi simpul-simpul pada graf non-komuting berdasarkan himpunan-simpul-simpul kembar. Untuk itu, sebelum membahas graf kembar non-komuting dari suatu grup lebih lanjut, berikut adalah dua definisi penting yang berkaitan dengan simpul kembar dan graf kembar.
Definisi 4.1 Simpul kembar (Twin Vertices) (Hernando, 2007)
Misalkan 𝑢 adalah sebuah simpul pada graf 𝐺. Ketetanggaan terbuka dari 𝑢, dinotasikan dengan 𝑁(𝑢) adalah himpunan semua simpul yang bertetangga dengan 𝑢. Jika dituliskan dengan notasi 𝑁(𝑢) = {𝑣 ∈ 𝑉(𝐺)|𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺)}
Sedangkan ketetanggan tertutup dari 𝑢, dinotasikan dengan 𝑁[𝑢], adalah gabungan dari ketetanggaan terbuka dan {𝑢}. 𝑁[𝑢] = 𝑁(𝑢) ∪ {𝑢}.
• Dua simpul berbeda 𝑢 dan 𝑣 disebut simpul kembar bertetangga (adjacent
twins) jika 𝑁[𝑢] = 𝑁[𝑣] dan disebut simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) jika 𝑁(𝑢) = 𝑁(𝑣)
• Jika 𝑢 dan 𝑣 kembar bertetangga maka 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) dan jika 𝑢 dan 𝑣 kembar tidak bertetangga maka 𝑢𝑣 ∉ 𝐸(𝐺)
• Jika 𝑢 dan 𝑣 kembar bertetangga atau kembar tidak bertetangga maka 𝑢 dan 𝑣 adalah simpul kembar.
Contoh 4.1
Diberikan graf 𝐺 seperti pada gambar berikut
Gambar 4.1 Graf 𝐺 Dari gambar di atas diperoleh :
a. 𝑁(𝑢) = {𝑤, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
m. 𝑁(𝑐) = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥}
n. 𝑁[𝑐] = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑐}
o. 𝑁(𝑑) = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥}
p. 𝑁[𝑑] = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑑}
Berdasarkan informasi-informasi diatas, dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
a. 𝑁[𝑢] = 𝑁[𝑤] maka 𝑢 dan 𝑤 adalah simpul kembar bertetangga (adjacent twins)
b. 𝑁(𝑣) = 𝑁(𝑥) maka 𝑣 dan 𝑥 adalah simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)
c. 𝑁(𝑎) = 𝑁(𝑏) = 𝑁(𝑐) = 𝑁(𝑑) maka 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)
Definisi 4.2 Graf kembar (Twin Graph) (Hernando, 2007)
Diberikan suatu graf 𝐺. Didefinisikan relasi ekuivalen ≡ pada 𝐺 dengan 𝑢 ≡ 𝑣 jika dan hanya jika 𝑉(𝐺) atau u dan v merupakan simpul kembar. Untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑉∗ adalah himpunan semua simpul pada 𝐺 yang ekuivalen dengan 𝑣 sehingga {𝑉1∗, 𝑉2∗, 𝑉3∗, … , 𝑉𝑘∗} adalah partisi-partisi dari 𝑉(𝐺) dimana 𝑣𝑖∗ adalah representasi dari himpunan 𝑉𝑖∗. Graf kembar dari 𝐺 (the twin graph of G), dinotasikan dengan 𝐺∗adalah graf dengan himpunan simpul 𝑉(𝐺∗) = {𝑣1∗, 𝑣2∗, 𝑣3∗, … , 𝑣𝑘∗} dimana (𝑣𝑖∗𝑣𝑗∗) ∈ 𝐸(𝐺∗) jika dan hanya jika (𝑣𝑖𝑣𝑗) ∈ 𝐸(𝐺). Dua simpul 𝑣∗dan 𝑤∗dari 𝐺∗ bertetangga jika dan hanya jika setiap anggota di 𝑉∗ bertetangga dengan setiap anggota di 𝑊∗ di 𝐺.
Untuk lebih memahami graf kembar, perhatikan Gambar 4.1. Pada graf 𝐺, pasangan simpul simpul kembar adalah 𝑢 dan 𝑤, 𝑣 dan 𝑥, serta 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 maka ada tiga partisi dari himpunan simpul pada 𝐺. Misalkan 𝑈∗, 𝑉∗, dan 𝐴∗ adalah himpunan semua simpul yang berturut-turut ekuivalen dengan 𝑢, 𝑣, dan 𝑎 sehingga 𝑈∗ = {𝑤}, 𝑉∗ = {𝑥}, dan 𝐴∗ = {𝑏, 𝑐, 𝑑}. Maka, simpul dari graf 𝐺∗, 𝑉(𝐺∗) = {𝑢∗, 𝑣∗, 𝑎∗}. Pada graf 𝐺, (𝑢, 𝑣) ∉ 𝐸(𝐺) maka (𝑢∗, 𝑣∗) ∉ 𝐸(𝐺∗), 𝑢𝑎 ∈ 𝐸(𝐺) maka (𝑢∗, 𝑎∗) ∈ 𝐸(𝐺∗), (𝑎, 𝑣) ∈ 𝐸(𝐺) maka (𝑎∗, 𝑣∗) ∈ 𝐸(𝐺∗).
Jika digambarkan, graf 𝐺∗adalah sebagai berikut
Gambar 4.2 Graf 𝐺∗(graf kembar dari 𝐺)
Graf kembar non-komuting disefinisikan sebagai graf kembar dari graf non-komuting. Berikut adalah definisi graf kembar non-komuting dari suatu grup.
Definisi 4.3 Graf kembar komuting dari suatu grup (Twin non-commuting graph of a group)
Misalkan Γ𝐺 adalah graf komuting dari suati grup. Graf kembar non-komuting dari suatu grup (twin non-commuting graph of a group), dinotasikan dengan Γ𝐺∗adalah graf kembar dari graf Γ𝐺.
𝑢∗ 𝑣∗
𝑎∗
Dibawah ini adalah bentuk-bentuk graf kembar non-komuting dari grup simetri (𝑆𝑛), grup selang-seling (𝐴𝑛), dan grup dihedral (𝐷2𝑛).
B. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Simetri (𝑺𝒏) 1. Grup 𝑺𝟏
Grup 𝑆1 tidak dapat direpresentasikan dengan graf non-komuting. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa graf kembar non-komuting dari grup 𝑆1 tidak ada.
2. Grup 𝑺𝟐
Pada Gambar 3.1 diperlihatkan bahwa simpul dari 𝛤𝑆2 hanya satu. Oleh karena itu, graf 𝛤𝑆2 tidak memiliki pasangan simpul kembar sehingga (1 2)∗= {} akibatnya graf kembar tidak komuting dari 𝛤𝑆2 hanya memiliki satu simpul pula yaitu (1 2)∗ dengan kata lain 𝑉(𝛤𝑆2∗) = {(1 2)∗} dan tidak punya sisi.
3. Grup 𝑺𝟑
Dari Gambar 3.2, informasi terkait ketetanggan yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut :
a. 𝑁((1 2)) = {(1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
b. 𝑁[(1 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
c. 𝑁((1 3)) = {(1 2), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
d. 𝑁[(1 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
e. 𝑁((2 3)) = {(1 2), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}
f. 𝑁[(2 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
g. 𝑁((1 2 3)) = {(1 2), (1 3), (2 3)}
h. 𝑁[(1 2 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3)}
i. 𝑁((1 3 2)) = {(1 2), (1 3), (2 3)}
j. 𝑁[(1 3 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 3 2)}
Karena 𝑁[(1 2)] = 𝑁[(1 3)] = 𝑁[(2 3)] dan 𝑁((1 2 3)) = 𝑁((1 3 2)) maka berdasarkan definisi 4.2, (1 2), (1 3), (2 3) merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins) dan (1 2 3), (1 3 2) merupakan simpul-simpul yang kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) sehingga pada graf 𝛤𝑆3 terdapat dua partisi yaitu (1 2)∗ dan (1 2 3)∗. Berdasarkan definisi 4.3, simpul-simpul dari graf kembar non-komuting dari 𝑆3 (𝛤𝑆3∗) adalah (1 2)∗ dan (1 2 3)∗. Karena (1 2)(1 2 3) ∈ 𝐸(𝛤𝑆3), maka berdasarkan definisi 3.3, (1 2)∗(1 2 3)∗ ∈ 𝐸(𝛤𝑆3∗) dengan kata lain simpul (1 2)∗ dan (1 2 3)∗ bertetangga pada 𝛤𝑆3∗. Gambar graf kembar non-komuting dari 𝑆3 adalah sebagai berikut
Gambar 4.3 Graf kembar non-komuting dari grup 𝑆3 (Γ𝑆∗3)
4. Grup 𝑺𝟒
Berdasarkan Gambar 3.3, diperoleh informasi sebagai berikut. 𝑁((1 2)) = 𝑁((3 4)), 𝑁((1 3)) = 𝑁((2 4)), 𝑁((1 4)) = 𝑁((2 3)), 𝑁((1 2 3)) = 𝑁((1 3 2)), 𝑁((1 2 4)) = 𝑁((1 4 2)), 𝑁((1 3 4)) = 𝑁((1 4 3)),
(1 2)∗ (1 2 3)∗
𝑁((2 3 4)) = 𝑁((2 4 3)), 𝑁((1 2 3 4)) = 𝑁((1 4 3 2)), 𝑁((1 2 4 3)) = 𝑁((1 3 4 2)), dan 𝑁((1 3 2 4)) = 𝑁((1 4 2 3)). Selain itu, ketetanggan dari anggota 𝑆4 yang terdiri dari 2 sikel saling berbeda. Maka dari itu, terdapat 13 kelas ekivalensi pada 𝛤𝑆4 yang akan menjadi simpul-simpul pada 𝛤𝑆4∗ yaitu (1 2)∗, (1 3)∗, (1 4)∗, (1 2 3)∗, (1 2 4)∗, (1 3 4)∗, (2 3 4)∗, (1 2 3 4)∗, (1 2 4 3)∗, dan (1 3 2 4)∗ yang saling bertetangga membentuk 𝐾10 dan (1 2)(3 4)∗, (1 3)(2 4)∗, dan (1 4)(2 3)∗ yang tidak saling bertetangga namun masing-masing bertetangga dengan simpil-simpul lainnya. Gambar graf kembar non-komuting dari 𝑆4 adalah sebagai berikut
Gambar 4.4 Graf kembar non-komuting dari grup 𝑆4 (Γ𝑆∗4)
(1 2)∗
(1 3)∗
(1 4)∗
(1 2 3)∗ (1 2 4)∗
(2 3 4)∗ (1 2)(3 4)∗
(1 3)(2 4)∗ (1 4)(2 3)∗
(1 3 4)∗ (1 2 3 4)∗
(1 3 2 4)∗
(1 2 4 3)∗
C. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Selang-seling (𝑨𝒏)
1. Grup 𝑨𝟏
𝐴1 ≅ 𝑆1 maka 𝐴1 juga tidak dapat direpresentasikan dengan graf komuting. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa graf kembar non-komuting dari grup 𝐴1 tidak ada.
2. Grup 𝑨𝟐
𝐴2 = 𝑆2 dan Γ𝐴2 = Γ𝑆2 maka 𝛤𝐴∗2 = 𝛤𝑆∗2 3. Grup 𝑨𝟑
Pada Gambar 3.4 diperlihatkan bahwa graf non-komuting dari grup 𝐴3 memiliki dua simpul yang tidak bertetangga yaitu (1 2 3) dan (1 3 2). Oleh karena itu, (1 2 3) dan (1 3 2) merupakan simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan (1 2 3)∗ = {(1 3 2)} akibatnya graf kembar tidak komuting dari 𝛤𝐴3 hanya memiliki satu simpul pula yaitu (1 2 3)∗ dan tidak punya sisi.
4. Grup 𝑨𝟒
Berdasarkan Gambar 3.5 diperoleh bahwa 𝑁[(1 2)(3 4)] = 𝑁[(1 3)(2 4)] = 𝑁[(1 3)(2 3)], 𝑁((1 2 3)) = 𝑁((1 3 2)), 𝑁((1 2 4)) = 𝑁((1 4 2)), 𝑁((1 3 4)) = 𝑁((1 4 3)), 𝑁((2 3 4)) = 𝑁((2 4 3)) maka berdasarkan definisi 3.2, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins) dan simpul-simpul yang kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) adalah (1 2 3), (1 3 2) , (1 2 4), (1 4 2) , (1 3 4), (1 4 3) , (2 3 4), (2 4 3) sehingga pada graf 𝛤𝐴4
terdapat lima partisi yaitu (1 2)(3 4)∗, (1 2 3)∗, (1 2 4)∗, (1 3 4)∗,dan (2 4 3)∗. Berdasarkan Definisi 4.2, simpul-simpul dari graf kembar non-komuting dari 𝐴4 (𝛤𝐴4∗) adalah (1 2)(3 4)∗, (1 2 3)∗, (1 2 4)∗, (1 3 4)∗,dan (2 4 3)∗. Karena pada 𝛤𝐴4 (1 2)(3 4), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 4), (2 4 3) merupakan simpul-simpul yang saling bertetangga maka simpul-simpul 𝛤𝐴4∗ juga saling bertetangga. Berikut adalah graf kembar non-komuting dari graf 𝐴4.
Gambar 4.5 Graf kembar non-komuting dari grup 𝐴4 (𝛤𝐴∗4)
D. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Dihedral (𝑫𝟐𝒏) 1. Grup 𝑫𝟔
Berdasarkan Gambar 3.6 diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑟) = 𝑁(𝑟2) dan 𝑁[𝑠] = 𝑁[𝑠𝑟] = 𝑁[𝑠𝑟2] sehingga 𝑟 dan 𝑟2 merupakan simpul yang kermbar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan 𝑠, 𝑠𝑟, dan 𝑠𝑟2 merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins). Maka dari itu berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul pada graf kembar non-komuting
(1 2)(3 4)∗
(2 4 3)∗ (1 3 4)∗
(1 2 3)∗ (1 2 4)∗
dari 𝐷6 (𝛤𝐷∗6) adalah 𝑟∗ dan 𝑠∗ selanjutnya 𝑟∗ dan 𝑠∗ terhubung pada 𝛤𝐷∗6. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝐷6.
Gambar 4.6 Graf kembar non-komuting dari grup 𝐷6 (𝛤𝐷∗6)
2. Grup 𝑫𝟖
Berdasarkan Gambar 3.7 diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑟) = 𝑁(𝑟3), 𝑁(𝑠) = 𝑁(𝑠𝑟2), dan 𝑁(𝑠𝑟) = 𝑁(𝑠𝑟3) sehingga diperoleh tiga pasang simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) yaitu 𝑟 dan 𝑟3, 𝑠 dan 𝑠𝑟2, serta 𝑠𝑟 dan 𝑠𝑟3. Oleh karena itu maka ada tiga partisi yaitu 𝑟∗, 𝑠∗, dan (𝑠𝑟)∗. Berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul dari 𝛤𝐷∗8 adalah 𝑟∗, 𝑠∗, dan (𝑠𝑟)∗. Selanjutnya karena 𝑟, 𝑠, dan 𝑠𝑟 saling terhubung pada 𝛤𝐷8 maka 𝑟∗, 𝑠∗, dan (𝑠𝑟)∗ juga terhubung pada 𝛤𝐷∗8. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝐷8 (𝛤𝐷∗8).
Gambar 4.7 Graf kembar non-komuting dari 𝐷8 (𝛤𝐷∗8).
𝑟∗ 𝑠∗
𝑟∗ 𝑠∗
(𝑠𝑟)∗
3. Grup 𝑫𝟏𝟎
Berdasarkan Gambar 3.8 diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑟) = 𝑁(𝑟2) = 𝑁(𝑟3) = 𝑁(𝑟4) dan 𝑁[𝑠] = 𝑁[𝑠𝑟] = 𝑁[𝑠𝑟2] = 𝑁[𝑠𝑟3] = 𝑁[𝑠𝑟4] sehingga 𝑟 dan 𝑟4 merupakan simpul yang kermbar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3dan 𝑠𝑟4 merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins). Maka dari itu berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul pada graf kembar non-komuting dari 𝐷10 (𝛤𝐷∗10) adalah 𝑟∗ dan 𝑠∗ selanjutnya 𝑟∗ dan 𝑠∗ terhubung pada 𝛤𝐷∗10. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝐷10.
Gambar 4.8 Graf kembar non-komuting dari grup 𝐷10 (𝛤𝐷∗10)
E. Bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Quaternion (𝑸𝟖)
Pada Gambar 3,9, diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑖) = 𝑁(−𝑖), 𝑁(𝑗) = 𝑁(−𝑗), dan 𝑁(𝑘) = 𝑁(−𝑘) sehingga diperoleh tiga pasang simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) yaitu 𝑖 dan −𝑖, 𝑗 dan −𝑗, serta 𝑘 dan −𝑘.
Oleh karena itu maka ada tiga partisi yaitu 𝑖∗, 𝑗∗, dan 𝑘∗. Berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul dari 𝛤𝐷∗8 adalah 𝑖∗, 𝑗∗, dan 𝑘∗. Selanjutnya karena 𝑖, 𝑗, dan 𝑘 saling terhubung pada 𝛤𝐷8 maka 𝑖∗, 𝑗∗, dan 𝑘∗ juga terhubung pada 𝛤𝐷∗8. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝑄8 (𝛤𝑄∗8).
𝑟∗ 𝑠∗
Gambar 4.9 Graf kembar non-komuting dari 𝑄8 (𝛤𝑄∗8).
Gambar 4.7 dan 4.9 memperlihatkan bahwa, 𝛤𝑄∗8 ≅ 𝛤𝐷∗8 karena terdapat fungsi 𝜙 sedemikian sehingga 𝜙(𝑟∗) = 𝑖∗, 𝜙(𝑠∗) = 𝑗∗, dan 𝜙((𝑠𝑟)∗) = 𝑘∗.
F. Sifat-sifat Graf Kembar Non-Komuting dari Suatu Grup
Berikut adalah beberapa sifat-sifat dari graf kembar non-komuting dari suatu grup. Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa 𝑁((1 2)(3 4)) ≠ 𝑁((1 3)(2 4)) ≠ 𝑁((1 4)(2 3)). Berdasarkan definisi simpul kembar, elemen-elemen tersebut bukan merupakan simpul kembar pada 𝛤𝑆4. Menarik untuk didiskusikan, manakah elemen 𝑆𝑛 yang merupakan simpul kembar dan mana yang tidak.
Proposisi 4.1 (Tolue, 2019)
Jika 𝑆𝑛 adalah grup simetri dengan 𝑛 objek, maka :
1. Γ𝑆3∗≅ 𝐾2 dan memiliki dua simpul yang bertetangga yaitu (1 2)∗ dan (1 2 3)∗
2. Elemen-elemen grup 𝑆𝑛 yang merupakan hasil operasi 2-sikel terpisah (disjoint 2-cycles) bukan merupakan simpul kembar pada Γ𝑆𝑛 dengan 𝑛 ≥ 4
𝑖∗ 𝑗∗
𝑘∗
Bukti :
1. Jelas terbukti berdasarkan definisi graf non-komuting dan graf kembar non-komuting (telah ditunjukkan pada Gambar 4.3)
2. Menurut Teorema 2.12, setiap elemen pada 𝑆𝑛 dapat dinyatakan sebagai komposisi 2-sikal. Misalkan 𝑥 dan 𝑦 adalah elemen 𝑆𝑛 dengan
𝑥 = (𝑎1𝑎2)(𝑎3𝑎4)(𝑎5𝑎6) … (𝑎𝑘−1𝑎𝑘)
𝑦 = (𝑏1𝑏2)(𝑏3𝑏4)(𝑏5𝑏6) … (𝑏𝑚−1𝑏𝑚), 𝑘 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛,
Tanpa mengurangi keumuman, untuk setiap (𝑎𝑖𝑎𝑗), 𝑎𝑖 < 𝑎𝑗, 𝑎1 < 𝑎3… <
𝑎𝑘−1 dan untuk setiap (𝑏𝑖𝑏𝑗), 𝑏𝑖 < 𝑏𝑗, 𝑏1 < 𝑏3… < 𝑏𝑚−1.
Perlu dicatat bahwa jika ∀𝑖 ≤ 𝑘, 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖, dan 𝑘 = 𝑚 maka 𝑥 dan 𝑦 adalah simpul yang sama.
Dengan demikian, hanya ada dua kemungkinan:
i. Jika ∀𝑖 ≤ 𝑘, 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖, dan 𝑘 < 𝑚 maka (𝑏𝑖𝑏𝑗) dengan 𝑖, 𝑗 > 𝑘 akan bertetangga dengan 𝑥 tetapi tidak dengan 𝑦.
ii. Jika terdapat 𝑖 ≤ 𝑘 sedemikian sehingga 𝑎𝑖 ≠ 𝑏𝑖 maka (𝑎𝑖𝑎𝑖+1) atau (𝑎𝑖−1𝑎𝑖) akan bertetangga dengan 𝑦 tetapi tidak dengan 𝑥.
Dengan demikian 𝑁(𝑥) ≠ 𝑁(𝑦), jadi menurut definisi simpul kembar, simpul 𝑥 dan 𝑦 bukan merupakan simpul kembar.
Catatan:
Berdasarkan Proposisi 4.1 bagian 2, maka elemen 𝑆𝑛 yang merupakan simpul kembar adalah elemen yang merupakan 2-sikal atau hasil operasi 2-sikal tidak terpisah.
Proposisi 4.2
Diberikan grup dihedral 𝐷2𝑛, maka : 1. Γ𝐷∗2𝑛≅ 𝐾2 untuk 𝑛 bilangan ganjil 2. Γ𝐷∗2𝑛≅ 𝐾𝑛
2+1 untuk 𝑛 bilangan genap Bukti :
Misalkan grup 𝐷2𝑛= 〈𝑟, 𝑠|𝑟𝑛 = 𝑠2 = 1, 𝑠𝑟 = 𝑟−1𝑠〉. Berdasarkan Teorema 2.13, 𝑍(𝐷2𝑛) = {1} untuk 𝑛 bilangan ganjil dan 𝑍(𝐷2𝑛) = {1, 𝑟𝑛2} untuk 𝑛 bilangan genap. Karena center nya berbeda maka untuk pembuktian teorema ini dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1 (𝒏 bilangan ganjil)
Karena 𝑍(𝐷2𝑛) = {1}, maka |𝑉(Γ𝐷2𝑛)| = 2𝑛 − 1. Pada grup dihedral 𝑟𝑖𝑟𝑗 = 𝑟𝑖+𝑗 = 𝑟𝑗+𝑖 = 𝑟𝑗𝑟𝑖 sehingga (1) hasil operasi antar rotasi saling komutatif akibatnya, pada Γ𝐷2𝑛, 𝑟𝑖 dan 𝑟𝑗 tidak saling bertetangga untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛.
Selain itu 𝑟𝑖(𝑠𝑟𝑗) = 𝑟𝑖(𝑟𝑛−𝑗𝑠) = (𝑟𝑖𝑟𝑛−𝑗)𝑠 = 𝑟𝑖+𝑛−𝑗𝑠 = 𝑟𝑛−(𝑗−𝑖)𝑠 = 𝑠𝑟𝑗−𝑖 = (𝑠𝑟𝑗)𝑟−𝑖 sehingga (2) 𝑟𝑖 tidak komutatif dengan 𝑠𝑟𝑗 akibatnya 𝑟𝑖 bertetangga dengan 𝑠𝑟𝑗. Berdasarkan (1) dan (2) maka 𝑟𝑖 dengan 1 ≤ 𝑛 + 1 merupakan simpul-simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)
dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu 𝑟∗. Selanjutnya untuk (𝑠𝑟𝑖)(𝑠𝑟𝑗) = 𝑠(𝑟𝑖𝑠)𝑟𝑗 = 𝑠(𝑠𝑟𝑛−𝑖)𝑟𝑗 = 𝑠2(𝑟𝑛−𝑖𝑟𝑗) = 𝑟𝑛−𝑖+𝑗. Sementara itu, (𝑠𝑟𝑗)(𝑠𝑟𝑖) = 𝑠(𝑟𝑗𝑠)𝑟𝑖 = 𝑠(𝑠𝑟𝑛−𝑗)𝑟𝑖 = 𝑠2(𝑟𝑛−𝑗𝑟𝑗) = 𝑟𝑛−𝑗+𝑖 sehingga untuk 𝑖 ≠ 𝑗, (𝑠𝑟𝑖)(𝑠𝑟𝑗) ≠ (𝑠𝑟𝑗)(𝑠𝑟𝑖) sehingga (3) 𝑠𝑟𝑖 bertetangga dengan 𝑠𝑟𝑗 . Berdasarkan (2) dan (3) maka 𝑠𝑟𝑖 dengan 1 ≤ 𝑛 + 1 merupakan simpul-simpul kembar bertetangga (adjacent twins) dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu 𝑠∗. Dengan demikian pada Γ𝐷∗2𝑛, terdapat dua simpul yang bertetangga 1 merupakan simpul-simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu 𝑟∗. Telah dibuktikan pada Kasus 1 bahwa secara umum, (𝑠𝑟𝑖)(𝑠𝑟𝑗) ≠ (𝑠𝑟𝑗)(𝑠𝑟𝑖) sehingga 𝑠𝑟𝑖 bertetangga
dengan 1 ≤ 𝑘 ≤𝑛 sebaliknya. Maka dari itu terdapat sebanyak 𝑛
2 kelas ekivalensi (𝑠𝑟𝑘)∗ dengan
Untuk lebih jelasnya, dapat diperhatikan pada Gambar 4.6, 4.7, dan 4.8.
Gambar 4.6 dan 4.8 memperlihatkan graf kembar non-komuting untuk 𝐷6 (𝑛 = 3) dan 𝐷10 (𝑛 = 5) isomorfis dengan 𝐾2 dan Gambar 4.7 memperlihatkan graf kembar non-komuting dari 𝐷8 (𝑛 = 4) isomorfis dengan 𝐾4
2+1= 𝐾3.
Proposisi 4.3 dibawah ini membahas graf kembar non-komuting dari suatu subgrup.
𝐸(𝛤𝐺∗) artinya 𝑢𝑣 = 𝑣𝑢 pada 𝐺. Terjadi kontradiksi karena 𝐻 merupakan subgrup dari 𝐺 sehingga jika 𝑢𝑣 ≠ 𝑣𝑢 pada 𝐻 maka 𝑢𝑣 ≠ 𝑣𝑢 pada 𝐺.
Misalkan terdapat 𝑢∗ ∈ 𝑉(𝛤𝐻∗) dan 𝑢∗ ∈ 𝑉(𝛤𝐺∗). Jika 𝑉(𝛤𝐻∗) ⊋ 𝑉(𝛤𝐺∗) maka terdapat 𝑤∗ ∈ 𝑉(𝛤𝐻∗) tetapi 𝑤∗∉ 𝑉(𝛤𝐺∗) sehingga 𝑁(𝑢) ≠ 𝑁(𝑤) pada 𝛤𝐻. Maka, terdapat 𝑣 ∈ 𝑁(𝑢) dan 𝑣 ∉ 𝑁(𝑤) sehingga (𝑣, 𝑤) ∉ 𝐸(𝛤𝐻) artinya 𝑣𝑤 = 𝑤𝑣 pada 𝐻. Di sisi lain 𝑤∗ ∉ 𝑉(𝛤𝐺∗). Misalkan 𝑤 ∈ 𝑢∗ maka 𝑁(𝑢) = 𝑁(𝑤) sehingga jika terdapat 𝑣 ∈ 𝑁(𝑢) maka 𝑣 ∈ 𝑁(𝑤) sehingga (𝑣, 𝑤) ∈ 𝐸(𝛤𝐺) artinya 𝑣𝑤 ≠ 𝑤𝑣 pada 𝐺. Terjadi kontadiksi karena 𝐻 merupakan subgrup dari 𝐺 sehingga jika 𝑣𝑤 = 𝑤𝑣 pada 𝐻 maka 𝑣𝑤 = 𝑤𝑣 pada 𝐺.
Proposisi 4.3 memberikan jaminan bahwa graf kembar non-komuting dari suatu subgrup merupakan subgraf dari graf kembar non-komuting dari grup nya. Maka dari itu, berikut adalah akibat-akibat dari Proposisi 4.3.
Akibat 1
Graf kembar non-komuting dari grup selang-seling (𝐴𝑛) merupakan subgraf dari graf kembar non-komuting dari grup simetri (𝑆𝑛).
Akibat 2
Pada grup simetri, 𝛤𝑆∗𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝑆∗𝑛+1 Akibat 3
Pada grup selang-seling, 𝛤𝐴∗𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝐴∗𝑛+1.
107 BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarrkan kajian pada Bab III dan Bab IV, dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut :
1. Graf non-komuting dari suatu grup adalah graf sederhana yang himpunan simpul adalah simpul-simpulnnya adalah elemen-elemen non-central dari grup tersebut 𝑉(Γ𝐺) = 𝐺 − 𝑍(𝐺) dan kedua simpul pada graf tersebut bertetangga jika dan hanya jika elemen-elemen tersebut tidak komutatif (untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(Γ𝐺), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Γ𝐺) jika dan hanya jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥).
2. Graf kembar non-komuting dari suatu grup 𝐺 (Γ𝐺∗) adalah graf yang dibentuk dengan mempartisi simpul-simpul dari dari graf non-komuting Γ(𝐺) berdasarkan sifat simpul kembar sehingga himpunan simpul dari graf kembar non-komuting adalah 𝑉(𝛤𝐺∗) = {𝑣1∗, 𝑣2∗, 𝑣3∗, … , 𝑣𝑘∗} dengan 𝑣𝑖∗ adalah anggota himpunan semua simpul yang kembar dengan 𝑣𝑖 pada Γ𝐺. Selanjutnya, 𝑣𝑖∗𝑣𝑗∗ ∈ 𝐸 (𝛤𝐺∗) jika dan hanya jika 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸(𝛤𝐺).
3. Beberapa sifat graf non-komuting telah dibuktikan oleh Abdollahi (2006).
Abdollahi (2006) telah menunjukkan bahwa (1) Untuk sebarang grup non-abelian, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤𝐺) = 2. Secara khusus, 𝛤𝐺 terhubung dan 𝑔(𝛤𝐺) = 3.
(2) Graf non-komuting dari grup non-abelian berhingga adalah sebuah
graf Halminton. (3) 𝛤𝐺 merupakan graf planar jika dan hanya jika 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆3, 𝐷8 atau 𝑄8 sehingga jika diberikan grup non-abelian 𝐺 sedemikian sehingga 𝛤𝐺 ≅ 𝛤𝑠3 maka 𝐺 ≅ 𝑆3.
4. Beberapa sifat graf kembar non-komuting telah dibuktikan Tolue (2019).
Tolue (2019) telah menunjukkan bahwa jika 𝑆𝑛 adalah grup simetri dengan n objek, maka (1) Γ𝑆3∗≅ 𝐾2 dan memiliki dua simpul yang bertetangga yaitu (1 2)∗ dan (1 2 3)∗, (2) Elemen-elemen grup 𝑆𝑛 yang merupakan hasil operasi 2-sikel terpisah (disjoint 2-cycles) bukan merupakan simpul kembar pada Γ𝑆𝑛 dengan 𝑛 ≥ 4. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa elemen 𝑆𝑛 yang merupakan simpul kembar adalah elemen yang merupakan 2-sikal atau hasil operasi 2-sikal tidak terpisah.
5. Berkaitan dengan sifat-sifat graf komuting dan graf kembar non-komuting, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa :
a. Jika 𝐻 merupakan subgrup non-center dari 𝐺 maka 𝛤𝐻 merupakan subgraf dari 𝛤𝐺 dan 𝛤𝐻∗ merupakan subgraf dari 𝛤𝐺∗ sehingga
1) 𝛤𝐴𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝑆𝑛 dan 𝛤𝐴∗𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝑆∗𝑛.
2) Pada grup simetri, 𝛤𝑆𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝑆𝑛+1 dan 𝛤𝑆∗𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝑆∗𝑛+1.
3) Pada grup selang-seling, 𝛤𝐴𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝐴𝑛+1 dan 𝛤𝐴∗𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤𝐴∗𝑛+1.
b. Pada grup dihedral (𝐷2𝑛), Γ𝐷∗2𝑛≅ 𝐾2 untuk 𝑛 bilangan ganjil dan Γ𝐷∗2𝑛 ≅ 𝐾𝑛
2+1 untuk 𝑛 bilangan genap.
c. Pada grup quaternion (𝑄8), Γ𝑄8 ≅ Γ𝐷8 dan Γ𝑄∗8 ≅ Γ𝐷∗8 meskipun 𝑄8 dan 𝐷8 tidak saling isomorfis.
B. Saran
Untuk penelitian lebih lanjut, peneliti memiliki saran sebagai berikut :
Untuk penelitian lebih lanjut, peneliti memiliki saran sebagai berikut :