Sifat-sifat Graf Non-Komuting dari Suatu Grup

BAB III GRAF NON-KOMUTING DARI SUATU GRUP

F. Sifat-sifat Graf Non-Komuting dari Suatu Grup

Graf non-komuting dari suatu grup memiliki beberapa sifat. Berikut adalah beberapa sifat-sifat dan teorema-teorema yang berkaitan dengan graf non komuting dari suatu grup.

Berdasarkan ilustrasi-ilustrasi graf non-komuting dari grup simetri, grup selang-seling dan grup dihedral di atas. Diperlihatkan bahwa

−𝑖 −𝑘

𝑘

𝑗 −𝑗

−𝑖

𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤_𝐺) = 2 dan 𝑔(𝛤_𝐺) = 3. Proposisi berikut menjamin bahwa untuk sebarang grup non-abelian juga berlaku demikian.

Proposisi 3.1 (Abdolahi, 2006)

Untuk sebarang grup non-abelian, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤_𝐺) = 2. Secara khusus, 𝛤_𝐺 terhubung dan 𝑔(𝛤_𝐺) = 3.

Bukti :

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝛤_𝐺) dengan 𝑥 ≠ 𝑦. Jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(𝛤_𝐺) sehingga 𝑑(𝑥, 𝑦) = 1. Untuk 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, karena 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝛤_𝐺) maka jelas bahwa 𝑥, 𝑦 ∉ 𝑍(𝐺) sehingga terdapat 𝑥^′ dan 𝑦^′ yang berturut-turut bertetangga dengan 𝑥 dan 𝑦. Jika 𝑥^′ bertetangga dengan 𝑦 atau 𝑦^′ bertetangga dengan 𝑥 maka 𝑑(𝑥, 𝑦) = 2. Jika tidak maka terdapat 𝑥^′𝑦^′ yang bertetangga dengan 𝑥 dan 𝑦 sehingga 𝑑(𝑥, 𝑦) = 2. Diasumsikan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤_𝐺) = 1 sehingga jika diambil sebarang 𝑎 ∈ 𝑉(𝛤_𝐺) maka 𝑎⁻¹ = 𝑎 karena {𝑎, 𝑎⁻¹} ∉ 𝐸(𝛤_𝐺).

Jika 𝑏 ∈ 𝑍(𝐺) maka 𝑎𝑏 ∉ 𝑍(𝐺) sehingga 𝑎𝑏 ∈ 𝑉(𝛤_𝐺). Oleh karena itu, juga berlaku 𝑎𝑏 = (𝑎𝑏)⁻¹ sehingga (𝑎𝑏)(𝑎𝑏)⁻¹= (𝑎𝑏)(𝑎𝑏) = 1 ↔ 𝑎(𝑏𝑎)𝑏 = 1 ↔ 𝑎(𝑎𝑏)𝑏 = 1 ↔ (𝑎𝑎)(𝑏𝑏) = 1 ↔ (𝑎𝑎⁻¹)𝑏² = 1 ↔ 𝑏² = 1 sehingga 𝑏 = 𝑏⁻¹. Maka dari itu, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 maka 𝑥 = 𝑥⁻¹ dengan kata lain 𝑥² = 1 sehingga berdasarkan Teorema 2.6 maka 𝐺 merupakan grup abelian.

Terjadi kontadiksi maka 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤_𝐺) = 2.

Selanjutnya, untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 dengan 𝑥, 𝑦 ∉ 𝑍(𝐺) jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka terdapat 𝑥𝑦 ∈ 𝐺 dengan 𝑥𝑦 ∉ 𝑍(𝐺) sedemikian sehingga 𝑥(𝑥𝑦) ≠ (𝑥𝑦)𝑥 akibatnya 𝛤_𝐺 merupakan graf terhubung dan {𝑥, 𝑦, 𝑥𝑦} membentuk suatu segitiga sehingga

𝑔(𝛤_𝐺) = 3. □

Berdasarkan ilustrasi-ilustrasi graf non-komuting dari grup simetri, grup selang-seling dan grup dihedral yang ketiganya merupakan grup berhingga, diperlihatkan bahwa 𝛤_𝐺 merupakan graf hamilton. Proposisi berikut menjamin bahwa untuk sebarang grup non-abelian berhingga juga berlaku demikian.

Proposisi 3.2 (Abdolahi, 2006)

Graf non-komuting dari grup non-abelian berhingga adalah sebuah graf Halminton. maka 𝐶(𝑥) ≠ 𝐺. 𝐶(𝑥) merupakan subgrup dari G maka berdasarkan Teorema 2.10 |𝐶(𝑥)| habis membagi |𝐺|. Karena 𝐶(𝑥) ≠ 𝐺 maka ^|𝐺|

Berdasarkan ilustrasi-ilustrasi graf non-komuting dari grup simetri, grup selang-seling dan grup dihedral, diperlihatkan bahwa 𝛤_𝑆₃, 𝛤_𝐷₆, 𝛤_𝐷₈ dan 𝛤_𝑄₈ adalah graf planar. Proposisi berikut menjamin bahwa 𝛤_𝐺 merupakan graf planar jika dan hanya jika 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆₃, 𝐷₈ atau 𝑄₈. Proposisi 3.3 (Abdolahi, 2006)

Diberikan suatu grup non-abelian 𝐺. 𝛤_𝐺 merupakan graf planar jika dan hanya jika 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆₃, 𝐷₈ atau 𝑄₈.

Bukti :

1) Diketahui : 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆₃, 𝐷₈ atau 𝑄₈ Akan dibuktikan : 𝛤_𝐺 merupakan graf planar

Bukti :

Telah ditunjukkan pada pembahasan diatas bahwa graf non-komuting dari grup 𝑆₃, 𝐷₈ dan 𝑄₈ merupakan graf planar (Gambar 3.3 , Gambar 3.7, Gambar 3.9).

2) Diketahui : 𝛤_𝐺 merupakan graf planar

Akan dibuktikan : 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆₃, 𝐷₈ atau 𝑄₈ Bukti :

Diketahui 𝛤_𝐺 adalah graf planar. Berdasarkan Akibat 2.2, graf 𝐾₅ adalah graf yang tidak planar. Dengan demikian, graf Γ_𝐺 tidak memiliki subgraf 𝐾₅. Ini berarti bahwa 𝜔(𝛤_𝐺) < 5. Menurut Pyber (1986), 𝐺/𝑍(𝐺) adalah grup berhingga.

Klaim: 𝐺 berhingga.

Untuk itu akan diperlihatkan bahwa |𝑍(𝐺)| ≤ 5.

Bukti klaim :

Andaikan |𝑍(𝐺)| > 5. Misalkan 𝑍 adalah subgrup berhingga dari 𝑍(𝐺) dengan |𝑍|> 5. Karena 𝐺 adalah grup tidak abelian, maka terdapat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 sehingga 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥. Misalkan 𝑇 = 𝑍𝑥 ∪ 𝑍𝑦. Karena 𝛤_𝐺 planar, maka

Karena 𝐺 merupakan grup berhingga maka 𝛤_𝐺 merupakan graf berhingga.

Maka dari itu, terdapat 𝑥 ∈ 𝛤_𝐺 sedemikian sehingga deg(𝑥) = |𝐺 − Pada Gambar 3.8 diperlihatkan bahwa 𝛤_𝐷10 bukan graf planar. Selain itu, 𝑆₃ dan 𝐷₆ merupakan grup yang isomorfis. Oleh karena itu, jika |𝐺| ≤ 10 dan 𝛤_𝐺 merupakan graf planar maka 𝐺 isomorfis dengan salah datu

dari 𝑆₃, 𝐷₈ atau 𝑄₈. □

Proposisi 3.4 (Abdolahi, 2006)

Diberikan grup non-abelian 𝐺 sedemikian sehingga 𝛤_𝐺 ≅ 𝛤_𝑠₃ maka 𝐺 ≅ 𝑆₃. Bukti :

𝛤_𝐺 ≅ 𝛤_𝑠₃, 𝛤_𝐺 merupakan graf planar dengan 5 simpul. Salah satu grup yang graf non-komutingnya planar dengan 5 simpul adalah 𝑆₃. Berdasarkan

Proposisi 3.3 maka 𝐺 ≅ 𝑆₃. □

Proposisi berikut membahas mengenai graf non-komuting dari suatu subgrup.

Proposisi 3.5

Diberikan grup berhingga 𝐺. Jika 𝐻 merupakan subgrup non-center dari 𝐺 maka 𝛤_𝐻 merupakan subgraf dari 𝛤_𝐺.

Bukti :

Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻. Jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥 maka 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤_𝐻) dan 𝑥𝑦 ∈ 𝐸(𝛤_𝐺).

Sebaliknya jika 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 maka 𝑥𝑦 ∉ 𝐸(𝛤_𝐻) dan 𝑥𝑦 ∉ 𝐸(𝛤_𝐺) sehingga jelas bahwa 𝐸(𝛤_𝐻) ⊆ 𝐸(𝛤_𝐺) . Selanjutnya, 𝑉(𝛤_𝐻) ⊆ 𝑉(𝛤_𝐺) karena 𝐻 − 𝑍(𝐻) ⊆ 𝐺 − 𝑍(𝐺). Jadi 𝛤_𝐻 merupakan subgraf dari 𝛤_𝐺. □

Proposisi 3.5 memberikan jaminan bahwa graf non-komuting dari suatu subgrup merupakan subgraf dari graf non-komuting dari grup nya. Maka dari itu, berikut adalah akibat-akibat dari Proposisi 3.5.

Akibat 1

Graf non-komuting dari grup selang-seling (𝐴_𝑛) merupakan subgraf dari graf non-komuting dari grup simetri (𝑆_𝑛).

Akibat 2

Pada grup simetri, 𝛤_𝑆_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝑆_𝑛+1 Akibat 3

Pada grup selang-seling, 𝛤_𝐴_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝐴_𝑛+1.

90 BAB IV

GRAF KEMBAR NON-KOMUTING DARI SUATU GRUP

A. Graf Kembar Non-Komuting

Graf kembar non-komuting adalah graf yang dibentuk dengan mempartisi simpul-simpul pada graf non-komuting berdasarkan himpunan-simpul-simpul kembar. Untuk itu, sebelum membahas graf kembar non-komuting dari suatu grup lebih lanjut, berikut adalah dua definisi penting yang berkaitan dengan simpul kembar dan graf kembar.

Definisi 4.1 Simpul kembar (Twin Vertices) (Hernando, 2007)

Misalkan 𝑢 adalah sebuah simpul pada graf 𝐺. Ketetanggaan terbuka dari 𝑢, dinotasikan dengan 𝑁(𝑢) adalah himpunan semua simpul yang bertetangga dengan 𝑢. Jika dituliskan dengan notasi 𝑁(𝑢) = {𝑣 ∈ 𝑉(𝐺)|𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺)}

Sedangkan ketetanggan tertutup dari 𝑢, dinotasikan dengan 𝑁[𝑢], adalah gabungan dari ketetanggaan terbuka dan {𝑢}. 𝑁[𝑢] = 𝑁(𝑢) ∪ {𝑢}.

• Dua simpul berbeda 𝑢 dan 𝑣 disebut simpul kembar bertetangga (adjacent

twins) jika 𝑁[𝑢] = 𝑁[𝑣] dan disebut simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) jika 𝑁(𝑢) = 𝑁(𝑣)

• Jika 𝑢 dan 𝑣 kembar bertetangga maka 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) dan jika 𝑢 dan 𝑣 kembar tidak bertetangga maka 𝑢𝑣 ∉ 𝐸(𝐺)

• Jika 𝑢 dan 𝑣 kembar bertetangga atau kembar tidak bertetangga maka 𝑢 dan 𝑣 adalah simpul kembar.

Contoh 4.1

Diberikan graf 𝐺 seperti pada gambar berikut

Gambar 4.1 Graf 𝐺 Dari gambar di atas diperoleh :

a. 𝑁(𝑢) = {𝑤, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}

m. 𝑁(𝑐) = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥}

n. 𝑁[𝑐] = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑐}

o. 𝑁(𝑑) = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥}

p. 𝑁[𝑑] = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑑}

Berdasarkan informasi-informasi diatas, dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :

a. 𝑁[𝑢] = 𝑁[𝑤] maka 𝑢 dan 𝑤 adalah simpul kembar bertetangga (adjacent twins)

b. 𝑁(𝑣) = 𝑁(𝑥) maka 𝑣 dan 𝑥 adalah simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)

c. 𝑁(𝑎) = 𝑁(𝑏) = 𝑁(𝑐) = 𝑁(𝑑) maka 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)

Definisi 4.2 Graf kembar (Twin Graph) (Hernando, 2007)

Diberikan suatu graf 𝐺. Didefinisikan relasi ekuivalen ≡ pada 𝐺 dengan 𝑢 ≡ 𝑣 jika dan hanya jika 𝑉(𝐺) atau u dan v merupakan simpul kembar. Untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑉^∗ adalah himpunan semua simpul pada 𝐺 yang ekuivalen dengan 𝑣 sehingga {𝑉₁^∗, 𝑉₂^∗, 𝑉₃^∗, … , 𝑉_𝑘^∗} adalah partisi-partisi dari 𝑉(𝐺) dimana 𝑣_𝑖^∗ adalah representasi dari himpunan 𝑉_𝑖^∗. Graf kembar dari 𝐺 (the twin graph of G), dinotasikan dengan 𝐺^∗adalah graf dengan himpunan simpul 𝑉(𝐺^∗) = {𝑣₁^∗, 𝑣₂^∗, 𝑣₃^∗, … , 𝑣_𝑘^∗} dimana (𝑣_𝑖^∗𝑣_𝑗^∗) ∈ 𝐸(𝐺^∗) jika dan hanya jika (𝑣_𝑖𝑣_𝑗) ∈ 𝐸(𝐺). Dua simpul 𝑣^∗dan 𝑤^∗dari 𝐺^∗ bertetangga jika dan hanya jika setiap anggota di 𝑉^∗ bertetangga dengan setiap anggota di 𝑊^∗ di 𝐺.

Untuk lebih memahami graf kembar, perhatikan Gambar 4.1. Pada graf 𝐺, pasangan simpul simpul kembar adalah 𝑢 dan 𝑤, 𝑣 dan 𝑥, serta 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 maka ada tiga partisi dari himpunan simpul pada 𝐺. Misalkan 𝑈^∗, 𝑉^∗, dan 𝐴^∗ adalah himpunan semua simpul yang berturut-turut ekuivalen dengan 𝑢, 𝑣, dan 𝑎 sehingga 𝑈^∗ = {𝑤}, 𝑉^∗ = {𝑥}, dan 𝐴^∗ = {𝑏, 𝑐, 𝑑}. Maka, simpul dari graf 𝐺^∗, 𝑉(𝐺^∗) = {𝑢^∗, 𝑣^∗, 𝑎^∗}. Pada graf 𝐺, (𝑢, 𝑣) ∉ 𝐸(𝐺) maka (𝑢^∗, 𝑣^∗) ∉ 𝐸(𝐺^∗), 𝑢𝑎 ∈ 𝐸(𝐺) maka (𝑢^∗, 𝑎^∗) ∈ 𝐸(𝐺^∗), (𝑎, 𝑣) ∈ 𝐸(𝐺) maka (𝑎^∗, 𝑣^∗) ∈ 𝐸(𝐺^∗).

Jika digambarkan, graf 𝐺^∗adalah sebagai berikut

Gambar 4.2 Graf 𝐺^∗(graf kembar dari 𝐺)

Graf kembar non-komuting disefinisikan sebagai graf kembar dari graf non-komuting. Berikut adalah definisi graf kembar non-komuting dari suatu grup.

Definisi 4.3 Graf kembar komuting dari suatu grup (Twin non-commuting graph of a group)

Misalkan Γ_𝐺 adalah graf komuting dari suati grup. Graf kembar non-komuting dari suatu grup (twin non-commuting graph of a group), dinotasikan dengan Γ_𝐺^∗adalah graf kembar dari graf Γ_𝐺.

𝑢^∗ 𝑣^∗

𝑎^∗

Dibawah ini adalah bentuk-bentuk graf kembar non-komuting dari grup simetri (𝑆_𝑛), grup selang-seling (𝐴_𝑛), dan grup dihedral (𝐷_2𝑛).

B. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Simetri (𝑺_𝒏) 1. Grup 𝑺_𝟏

Grup 𝑆₁ tidak dapat direpresentasikan dengan graf non-komuting. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa graf kembar non-komuting dari grup 𝑆₁ tidak ada.

2. Grup 𝑺_𝟐

Pada Gambar 3.1 diperlihatkan bahwa simpul dari 𝛤_𝑆₂ hanya satu. Oleh karena itu, graf 𝛤_𝑆₂ tidak memiliki pasangan simpul kembar sehingga (1 2)^∗= {} akibatnya graf kembar tidak komuting dari 𝛤_𝑆₂ hanya memiliki satu simpul pula yaitu (1 2)^∗ dengan kata lain 𝑉(𝛤_𝑆₂^∗) = {(1 2)^∗} dan tidak punya sisi.

3. Grup 𝑺_𝟑

Dari Gambar 3.2, informasi terkait ketetanggan yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut :

a. 𝑁((1 2)) = {(1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

b. 𝑁[(1 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

c. 𝑁((1 3)) = {(1 2), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

d. 𝑁[(1 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

e. 𝑁((2 3)) = {(1 2), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}

f. 𝑁[(2 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

g. 𝑁((1 2 3)) = {(1 2), (1 3), (2 3)}

h. 𝑁[(1 2 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3)}

i. 𝑁((1 3 2)) = {(1 2), (1 3), (2 3)}

j. 𝑁[(1 3 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 3 2)}

Karena 𝑁[(1 2)] = 𝑁[(1 3)] = 𝑁[(2 3)] dan 𝑁((1 2 3)) = 𝑁((1 3 2)) maka berdasarkan definisi 4.2, (1 2), (1 3), (2 3) merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins) dan (1 2 3), (1 3 2) merupakan simpul-simpul yang kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) sehingga pada graf 𝛤_𝑆₃ terdapat dua partisi yaitu (1 2)^∗ dan (1 2 3)^∗. Berdasarkan definisi 4.3, simpul-simpul dari graf kembar non-komuting dari 𝑆₃ (𝛤_𝑆₃^∗) adalah (1 2)^∗ dan (1 2 3)^∗. Karena (1 2)(1 2 3) ∈ 𝐸(𝛤_𝑆₃), maka berdasarkan definisi 3.3, (1 2)^∗(1 2 3)^∗ ∈ 𝐸(𝛤_𝑆₃^∗) dengan kata lain simpul (1 2)^∗ dan (1 2 3)^∗ bertetangga pada 𝛤_𝑆₃^∗. Gambar graf kembar non-komuting dari 𝑆₃ adalah sebagai berikut

Gambar 4.3 Graf kembar non-komuting dari grup 𝑆₃ (Γ_𝑆^∗₃)

4. Grup 𝑺_𝟒

Berdasarkan Gambar 3.3, diperoleh informasi sebagai berikut. 𝑁((1 2)) = 𝑁((3 4)), 𝑁((1 3)) = 𝑁((2 4)), 𝑁((1 4)) = 𝑁((2 3)), 𝑁((1 2 3)) = 𝑁((1 3 2)), 𝑁((1 2 4)) = 𝑁((1 4 2)), 𝑁((1 3 4)) = 𝑁((1 4 3)),

(1 2)^∗ (1 2 3)^∗

𝑁((2 3 4)) = 𝑁((2 4 3)), 𝑁((1 2 3 4)) = 𝑁((1 4 3 2)), 𝑁((1 2 4 3)) = 𝑁((1 3 4 2)), dan 𝑁((1 3 2 4)) = 𝑁((1 4 2 3)). Selain itu, ketetanggan dari anggota 𝑆₄ yang terdiri dari 2 sikel saling berbeda. Maka dari itu, terdapat 13 kelas ekivalensi pada 𝛤_𝑆₄ yang akan menjadi simpul-simpul pada 𝛤_𝑆₄^∗ yaitu (1 2)^∗, (1 3)^∗, (1 4)^∗, (1 2 3)^∗, (1 2 4)^∗, (1 3 4)^∗, (2 3 4)^∗, (1 2 3 4)^∗, (1 2 4 3)^∗, dan (1 3 2 4)^∗ yang saling bertetangga membentuk 𝐾₁₀ dan (1 2)(3 4)^∗, (1 3)(2 4)^∗, dan (1 4)(2 3)^∗ yang tidak saling bertetangga namun masing-masing bertetangga dengan simpil-simpul lainnya. Gambar graf kembar non-komuting dari 𝑆₄ adalah sebagai berikut

Gambar 4.4 Graf kembar non-komuting dari grup 𝑆₄ (Γ_𝑆^∗₄)

(1 2)^∗

(1 3)^∗

(1 4)^∗

(1 2 3)^∗ (1 2 4)^∗

(2 3 4)^∗ (1 2)(3 4)^∗

(1 3)(2 4)^∗ (1 4)(2 3)^∗

(1 3 4)^∗ (1 2 3 4)^∗

(1 3 2 4)^∗

(1 2 4 3)^∗

C. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Selang-seling (𝑨_𝒏)

1. Grup 𝑨_𝟏

𝐴₁ ≅ 𝑆₁ maka 𝐴₁ juga tidak dapat direpresentasikan dengan graf komuting. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa graf kembar non-komuting dari grup 𝐴₁ tidak ada.

2. Grup 𝑨_𝟐

𝐴₂ = 𝑆₂ dan Γ_𝐴₂ = Γ_𝑆₂ maka 𝛤_𝐴^∗₂ = 𝛤_𝑆^∗₂ 3. Grup 𝑨_𝟑

Pada Gambar 3.4 diperlihatkan bahwa graf non-komuting dari grup 𝐴₃ memiliki dua simpul yang tidak bertetangga yaitu (1 2 3) dan (1 3 2). Oleh karena itu, (1 2 3) dan (1 3 2) merupakan simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan (1 2 3)^∗ = {(1 3 2)} akibatnya graf kembar tidak komuting dari 𝛤_𝐴₃ hanya memiliki satu simpul pula yaitu (1 2 3)^∗ dan tidak punya sisi.

4. Grup 𝑨_𝟒

Berdasarkan Gambar 3.5 diperoleh bahwa 𝑁[(1 2)(3 4)] = 𝑁[(1 3)(2 4)] = 𝑁[(1 3)(2 3)], 𝑁((1 2 3)) = 𝑁((1 3 2)), 𝑁((1 2 4)) = 𝑁((1 4 2)), 𝑁((1 3 4)) = 𝑁((1 4 3)), 𝑁((2 3 4)) = 𝑁((2 4 3)) maka berdasarkan definisi 3.2, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins) dan simpul-simpul yang kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) adalah (1 2 3), (1 3 2) , (1 2 4), (1 4 2) , (1 3 4), (1 4 3) , (2 3 4), (2 4 3) sehingga pada graf 𝛤_𝐴₄

terdapat lima partisi yaitu (1 2)(3 4)^∗, (1 2 3)^∗, (1 2 4)^∗, (1 3 4)^∗,dan (2 4 3)^∗. Berdasarkan Definisi 4.2, simpul-simpul dari graf kembar non-komuting dari 𝐴₄ (𝛤_𝐴₄^∗) adalah (1 2)(3 4)^∗, (1 2 3)^∗, (1 2 4)^∗, (1 3 4)^∗,dan (2 4 3)^∗. Karena pada 𝛤_𝐴₄ (1 2)(3 4), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 4), (2 4 3) merupakan simpul-simpul yang saling bertetangga maka simpul-simpul 𝛤_𝐴₄^∗ juga saling bertetangga. Berikut adalah graf kembar non-komuting dari graf 𝐴₄.

Gambar 4.5 Graf kembar non-komuting dari grup 𝐴₄ (𝛤_𝐴^∗₄)

D. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Dihedral (𝑫_𝟐𝒏) 1. Grup 𝑫_𝟔

Berdasarkan Gambar 3.6 diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑟) = 𝑁(𝑟²) dan 𝑁[𝑠] = 𝑁[𝑠𝑟] = 𝑁[𝑠𝑟²] sehingga 𝑟 dan 𝑟² merupakan simpul yang kermbar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan 𝑠, 𝑠𝑟, dan 𝑠𝑟² merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins). Maka dari itu berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul pada graf kembar non-komuting

(1 2)(3 4)^∗

(2 4 3)^∗ (1 3 4)^∗

(1 2 3)^∗ (1 2 4)^∗

dari 𝐷₆ (𝛤_𝐷^∗₆) adalah 𝑟^∗ dan 𝑠^∗ selanjutnya 𝑟^∗ dan 𝑠^∗ terhubung pada 𝛤_𝐷^∗₆. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝐷₆.

Gambar 4.6 Graf kembar non-komuting dari grup 𝐷₆ (𝛤_𝐷^∗₆)

2. Grup 𝑫_𝟖

Berdasarkan Gambar 3.7 diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑟) = 𝑁(𝑟³), 𝑁(𝑠) = 𝑁(𝑠𝑟²), dan 𝑁(𝑠𝑟) = 𝑁(𝑠𝑟³) sehingga diperoleh tiga pasang simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) yaitu 𝑟 dan 𝑟³, 𝑠 dan 𝑠𝑟², serta 𝑠𝑟 dan 𝑠𝑟³. Oleh karena itu maka ada tiga partisi yaitu 𝑟^∗, 𝑠^∗, dan (𝑠𝑟)^∗. Berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul dari 𝛤_𝐷^∗₈ adalah 𝑟^∗, 𝑠^∗, dan (𝑠𝑟)^∗. Selanjutnya karena 𝑟, 𝑠, dan 𝑠𝑟 saling terhubung pada 𝛤_𝐷₈ maka 𝑟^∗, 𝑠^∗, dan (𝑠𝑟)^∗ juga terhubung pada 𝛤_𝐷^∗₈. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝐷₈ (𝛤_𝐷^∗₈).

Gambar 4.7 Graf kembar non-komuting dari 𝐷₈ (𝛤_𝐷^∗₈).

𝑟^∗ 𝑠^∗

(𝑠𝑟)^∗

3. Grup 𝑫_𝟏𝟎

Berdasarkan Gambar 3.8 diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑟) = 𝑁(𝑟²) = 𝑁(𝑟³) = 𝑁(𝑟⁴) dan 𝑁[𝑠] = 𝑁[𝑠𝑟] = 𝑁[𝑠𝑟²] = 𝑁[𝑠𝑟³] = 𝑁[𝑠𝑟⁴] sehingga 𝑟 dan 𝑟⁴ merupakan simpul yang kermbar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟², 𝑠𝑟³dan 𝑠𝑟⁴ merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins). Maka dari itu berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul pada graf kembar non-komuting dari 𝐷₁₀ (𝛤_𝐷^∗₁₀) adalah 𝑟^∗ dan 𝑠^∗ selanjutnya 𝑟^∗ dan 𝑠^∗ terhubung pada 𝛤_𝐷^∗₁₀. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝐷₁₀.

Gambar 4.8 Graf kembar non-komuting dari grup 𝐷₁₀ (𝛤_𝐷^∗₁₀)

E. Bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Quaternion (𝑸_𝟖)

Pada Gambar 3,9, diperlihatkan bahwa 𝑁(𝑖) = 𝑁(−𝑖), 𝑁(𝑗) = 𝑁(−𝑗), dan 𝑁(𝑘) = 𝑁(−𝑘) sehingga diperoleh tiga pasang simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) yaitu 𝑖 dan −𝑖, 𝑗 dan −𝑗, serta 𝑘 dan −𝑘.

Oleh karena itu maka ada tiga partisi yaitu 𝑖^∗, 𝑗^∗, dan 𝑘^∗. Berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul dari 𝛤_𝐷^∗₈ adalah 𝑖^∗, 𝑗^∗, dan 𝑘^∗. Selanjutnya karena 𝑖, 𝑗, dan 𝑘 saling terhubung pada 𝛤_𝐷₈ maka 𝑖^∗, 𝑗^∗, dan 𝑘^∗ juga terhubung pada 𝛤_𝐷^∗₈. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari 𝑄₈ (𝛤_𝑄^∗₈).

𝑟^∗ 𝑠^∗

Gambar 4.9 Graf kembar non-komuting dari 𝑄₈ (𝛤_𝑄^∗₈).

Gambar 4.7 dan 4.9 memperlihatkan bahwa, 𝛤_𝑄^∗₈ ≅ 𝛤_𝐷^∗₈ karena terdapat fungsi 𝜙 sedemikian sehingga 𝜙(𝑟^∗) = 𝑖^∗, 𝜙(𝑠^∗) = 𝑗^∗, dan 𝜙((𝑠𝑟)^∗) = 𝑘^∗.

F. Sifat-sifat Graf Kembar Non-Komuting dari Suatu Grup

Berikut adalah beberapa sifat-sifat dari graf kembar non-komuting dari suatu grup. Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa 𝑁((1 2)(3 4)) ≠ 𝑁((1 3)(2 4)) ≠ 𝑁((1 4)(2 3)). Berdasarkan definisi simpul kembar, elemen-elemen tersebut bukan merupakan simpul kembar pada 𝛤_𝑆4. Menarik untuk didiskusikan, manakah elemen 𝑆_𝑛 yang merupakan simpul kembar dan mana yang tidak.

Proposisi 4.1 (Tolue, 2019)

Jika 𝑆_𝑛 adalah grup simetri dengan 𝑛 objek, maka :

1. Γ_𝑆₃^∗≅ 𝐾₂ dan memiliki dua simpul yang bertetangga yaitu (1 2)^∗ dan (1 2 3)^∗

2. Elemen-elemen grup 𝑆_𝑛 yang merupakan hasil operasi 2-sikel terpisah (disjoint 2-cycles) bukan merupakan simpul kembar pada Γ_𝑆_𝑛 dengan 𝑛 ≥ 4

𝑖^∗ 𝑗^∗

𝑘^∗

Bukti :

1. Jelas terbukti berdasarkan definisi graf non-komuting dan graf kembar non-komuting (telah ditunjukkan pada Gambar 4.3)

2. Menurut Teorema 2.12, setiap elemen pada 𝑆_𝑛 dapat dinyatakan sebagai komposisi 2-sikal. Misalkan 𝑥 dan 𝑦 adalah elemen 𝑆_𝑛 dengan

𝑥 = (𝑎₁𝑎₂)(𝑎₃𝑎₄)(𝑎₅𝑎₆) … (𝑎_𝑘−1𝑎_𝑘)

𝑦 = (𝑏₁𝑏₂)(𝑏₃𝑏₄)(𝑏₅𝑏₆) … (𝑏_𝑚−1𝑏_𝑚), 𝑘 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛,

Tanpa mengurangi keumuman, untuk setiap (𝑎_𝑖𝑎_𝑗), 𝑎_𝑖 < 𝑎_𝑗, 𝑎₁ < 𝑎₃… <

𝑎_𝑘−1 dan untuk setiap (𝑏_𝑖𝑏_𝑗), 𝑏_𝑖 < 𝑏_𝑗, 𝑏₁ < 𝑏₃… < 𝑏_𝑚−1.

Perlu dicatat bahwa jika ∀𝑖 ≤ 𝑘, 𝑎_𝑖 = 𝑏_𝑖, dan 𝑘 = 𝑚 maka 𝑥 dan 𝑦 adalah simpul yang sama.

Dengan demikian, hanya ada dua kemungkinan:

i. Jika ∀𝑖 ≤ 𝑘, 𝑎_𝑖 = 𝑏_𝑖, dan 𝑘 < 𝑚 maka (𝑏_𝑖𝑏_𝑗) dengan 𝑖, 𝑗 > 𝑘 akan bertetangga dengan 𝑥 tetapi tidak dengan 𝑦.

ii. Jika terdapat 𝑖 ≤ 𝑘 sedemikian sehingga 𝑎_𝑖 ≠ 𝑏_𝑖 maka (𝑎_𝑖𝑎_𝑖+1) atau (𝑎_𝑖−1𝑎_𝑖) akan bertetangga dengan 𝑦 tetapi tidak dengan 𝑥.

Dengan demikian 𝑁(𝑥) ≠ 𝑁(𝑦), jadi menurut definisi simpul kembar, simpul 𝑥 dan 𝑦 bukan merupakan simpul kembar.

Catatan:

Berdasarkan Proposisi 4.1 bagian 2, maka elemen 𝑆_𝑛 yang merupakan simpul kembar adalah elemen yang merupakan 2-sikal atau hasil operasi 2-sikal tidak terpisah.

Proposisi 4.2

Diberikan grup dihedral 𝐷_2𝑛, maka : 1. Γ_𝐷^∗_2𝑛≅ 𝐾₂ untuk 𝑛 bilangan ganjil 2. Γ_𝐷^∗_2𝑛≅ 𝐾^𝑛

2+1 untuk 𝑛 bilangan genap Bukti :

Misalkan grup 𝐷_2𝑛= 〈𝑟, 𝑠|𝑟^𝑛 = 𝑠² = 1, 𝑠𝑟 = 𝑟⁻¹𝑠〉. Berdasarkan Teorema 2.13, 𝑍(𝐷_2𝑛) = {1} untuk 𝑛 bilangan ganjil dan 𝑍(𝐷_2𝑛) = {1, 𝑟^𝑛²} untuk 𝑛 bilangan genap. Karena center nya berbeda maka untuk pembuktian teorema ini dibagi menjadi dua kasus.

Kasus 1 (𝒏 bilangan ganjil)

Karena 𝑍(𝐷_2𝑛) = {1}, maka |𝑉(Γ_𝐷_2𝑛)| = 2𝑛 − 1. Pada grup dihedral 𝑟^𝑖𝑟^𝑗 = 𝑟^𝑖+𝑗 = 𝑟^𝑗+𝑖 = 𝑟^𝑗𝑟^𝑖 sehingga (1) hasil operasi antar rotasi saling komutatif akibatnya, pada Γ_𝐷_2𝑛, 𝑟^𝑖 dan 𝑟^𝑗 tidak saling bertetangga untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛.

Selain itu 𝑟^𝑖(𝑠𝑟^𝑗) = 𝑟^𝑖(𝑟^𝑛−𝑗𝑠) = (𝑟^𝑖𝑟^𝑛−𝑗)𝑠 = 𝑟^{𝑖+𝑛−𝑗}𝑠 = 𝑟^{𝑛−(𝑗−𝑖)}𝑠 = 𝑠𝑟^𝑗−𝑖 = (𝑠𝑟^𝑗)𝑟^−𝑖 sehingga (2) 𝑟^𝑖 tidak komutatif dengan 𝑠𝑟^𝑗 akibatnya 𝑟^𝑖 bertetangga dengan 𝑠𝑟^𝑗. Berdasarkan (1) dan (2) maka 𝑟^𝑖 dengan 1 ≤ 𝑛 + 1 merupakan simpul-simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)

dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu 𝑟^∗. Selanjutnya untuk (𝑠𝑟^𝑖)(𝑠𝑟^𝑗) = 𝑠(𝑟^𝑖𝑠)𝑟^𝑗 = 𝑠(𝑠𝑟^𝑛−𝑖)𝑟^𝑗 = 𝑠²(𝑟^𝑛−𝑖𝑟^𝑗) = 𝑟^{𝑛−𝑖+𝑗}. Sementara itu, (𝑠𝑟^𝑗)(𝑠𝑟^𝑖) = 𝑠(𝑟^𝑗𝑠)𝑟^𝑖 = 𝑠(𝑠𝑟^𝑛−𝑗)𝑟^𝑖 = 𝑠²(𝑟^𝑛−𝑗𝑟^𝑗) = 𝑟^{𝑛−𝑗+𝑖} sehingga untuk 𝑖 ≠ 𝑗, (𝑠𝑟^𝑖)(𝑠𝑟^𝑗) ≠ (𝑠𝑟^𝑗)(𝑠𝑟^𝑖) sehingga (3) 𝑠𝑟^𝑖 bertetangga dengan 𝑠𝑟^𝑗 . Berdasarkan (2) dan (3) maka 𝑠𝑟^𝑖 dengan 1 ≤ 𝑛 + 1 merupakan simpul-simpul kembar bertetangga (adjacent twins) dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu 𝑠^∗. Dengan demikian pada Γ_𝐷^∗_2𝑛, terdapat dua simpul yang bertetangga 1 merupakan simpul-simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu 𝑟^∗. Telah dibuktikan pada Kasus 1 bahwa secara umum, (𝑠𝑟^𝑖)(𝑠𝑟^𝑗) ≠ (𝑠𝑟^𝑗)(𝑠𝑟^𝑖) sehingga 𝑠𝑟^𝑖 bertetangga

dengan 1 ≤ 𝑘 ≤^𝑛 sebaliknya. Maka dari itu terdapat sebanyak ^𝑛

2 kelas ekivalensi (𝑠𝑟^𝑘)^∗ dengan

Untuk lebih jelasnya, dapat diperhatikan pada Gambar 4.6, 4.7, dan 4.8.

Gambar 4.6 dan 4.8 memperlihatkan graf kembar non-komuting untuk 𝐷₆ (𝑛 = 3) dan 𝐷₁₀ (𝑛 = 5) isomorfis dengan 𝐾₂ dan Gambar 4.7 memperlihatkan graf kembar non-komuting dari 𝐷₈ (𝑛 = 4) isomorfis dengan 𝐾⁴

2+1= 𝐾₃.

Proposisi 4.3 dibawah ini membahas graf kembar non-komuting dari suatu subgrup.

𝐸(𝛤_𝐺^∗) artinya 𝑢𝑣 = 𝑣𝑢 pada 𝐺. Terjadi kontradiksi karena 𝐻 merupakan subgrup dari 𝐺 sehingga jika 𝑢𝑣 ≠ 𝑣𝑢 pada 𝐻 maka 𝑢𝑣 ≠ 𝑣𝑢 pada 𝐺.

Misalkan terdapat 𝑢^∗ ∈ 𝑉(𝛤_𝐻^∗) dan 𝑢^∗ ∈ 𝑉(𝛤_𝐺^∗). Jika 𝑉(𝛤_𝐻^∗) ⊋ 𝑉(𝛤_𝐺^∗) maka terdapat 𝑤^∗ ∈ 𝑉(𝛤_𝐻^∗) tetapi 𝑤^∗∉ 𝑉(𝛤_𝐺^∗) sehingga 𝑁(𝑢) ≠ 𝑁(𝑤) pada 𝛤_𝐻. Maka, terdapat 𝑣 ∈ 𝑁(𝑢) dan 𝑣 ∉ 𝑁(𝑤) sehingga (𝑣, 𝑤) ∉ 𝐸(𝛤_𝐻) artinya 𝑣𝑤 = 𝑤𝑣 pada 𝐻. Di sisi lain 𝑤^∗ ∉ 𝑉(𝛤_𝐺^∗). Misalkan 𝑤 ∈ 𝑢^∗ maka 𝑁(𝑢) = 𝑁(𝑤) sehingga jika terdapat 𝑣 ∈ 𝑁(𝑢) maka 𝑣 ∈ 𝑁(𝑤) sehingga (𝑣, 𝑤) ∈ 𝐸(𝛤_𝐺) artinya 𝑣𝑤 ≠ 𝑤𝑣 pada 𝐺. Terjadi kontadiksi karena 𝐻 merupakan subgrup dari 𝐺 sehingga jika 𝑣𝑤 = 𝑤𝑣 pada 𝐻 maka 𝑣𝑤 = 𝑤𝑣 pada 𝐺.

Proposisi 4.3 memberikan jaminan bahwa graf kembar non-komuting dari suatu subgrup merupakan subgraf dari graf kembar non-komuting dari grup nya. Maka dari itu, berikut adalah akibat-akibat dari Proposisi 4.3.

Akibat 1

Graf kembar non-komuting dari grup selang-seling (𝐴_𝑛) merupakan subgraf dari graf kembar non-komuting dari grup simetri (𝑆_𝑛).

Akibat 2

Pada grup simetri, 𝛤_𝑆^∗_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝑆^∗_𝑛+1 Akibat 3

Pada grup selang-seling, 𝛤_𝐴^∗_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝐴^∗_𝑛+1.

107 BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarrkan kajian pada Bab III dan Bab IV, dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Graf non-komuting dari suatu grup adalah graf sederhana yang himpunan simpul adalah simpul-simpulnnya adalah elemen-elemen non-central dari grup tersebut 𝑉(Γ_𝐺) = 𝐺 − 𝑍(𝐺) dan kedua simpul pada graf tersebut bertetangga jika dan hanya jika elemen-elemen tersebut tidak komutatif (untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(Γ_𝐺), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸(Γ_𝐺) jika dan hanya jika 𝑥𝑦 ≠ 𝑦𝑥).

2. Graf kembar non-komuting dari suatu grup 𝐺 (Γ_𝐺^∗) adalah graf yang dibentuk dengan mempartisi simpul-simpul dari dari graf non-komuting Γ(𝐺) berdasarkan sifat simpul kembar sehingga himpunan simpul dari graf kembar non-komuting adalah 𝑉(𝛤_𝐺^∗) = {𝑣₁^∗, 𝑣₂^∗, 𝑣₃^∗, … , 𝑣_𝑘^∗} dengan 𝑣_𝑖^∗ adalah anggota himpunan semua simpul yang kembar dengan 𝑣_𝑖 pada Γ_𝐺. Selanjutnya, 𝑣_𝑖^∗𝑣_𝑗^∗ ∈ 𝐸 (𝛤_𝐺^∗) jika dan hanya jika 𝑣_𝑖𝑣_𝑗 ∈ 𝐸(𝛤_𝐺).

3. Beberapa sifat graf non-komuting telah dibuktikan oleh Abdollahi (2006).

Abdollahi (2006) telah menunjukkan bahwa (1) Untuk sebarang grup non-abelian, 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤_𝐺) = 2. Secara khusus, 𝛤_𝐺 terhubung dan 𝑔(𝛤_𝐺) = 3.

(2) Graf non-komuting dari grup non-abelian berhingga adalah sebuah

graf Halminton. (3) 𝛤_𝐺 merupakan graf planar jika dan hanya jika 𝐺 isomorfis dengan salah satu grup 𝑆₃, 𝐷₈ atau 𝑄₈ sehingga jika diberikan grup non-abelian 𝐺 sedemikian sehingga 𝛤_𝐺 ≅ 𝛤_𝑠₃ maka 𝐺 ≅ 𝑆₃.

4. Beberapa sifat graf kembar non-komuting telah dibuktikan Tolue (2019).

Tolue (2019) telah menunjukkan bahwa jika 𝑆_𝑛 adalah grup simetri dengan n objek, maka (1) Γ_𝑆₃^∗≅ 𝐾₂ dan memiliki dua simpul yang bertetangga yaitu (1 2)^∗ dan (1 2 3)^∗, (2) Elemen-elemen grup 𝑆_𝑛 yang merupakan hasil operasi 2-sikel terpisah (disjoint 2-cycles) bukan merupakan simpul kembar pada Γ_𝑆_𝑛 dengan 𝑛 ≥ 4. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa elemen 𝑆_𝑛 yang merupakan simpul kembar adalah elemen yang merupakan 2-sikal atau hasil operasi 2-sikal tidak terpisah.

5. Berkaitan dengan sifat-sifat graf komuting dan graf kembar non-komuting, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa :

a. Jika 𝐻 merupakan subgrup non-center dari 𝐺 maka 𝛤_𝐻 merupakan subgraf dari 𝛤_𝐺 dan 𝛤_𝐻^∗ merupakan subgraf dari 𝛤_𝐺^∗ sehingga

1) 𝛤_𝐴_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝑆_𝑛 dan 𝛤_𝐴^∗_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝑆^∗_𝑛.

2) Pada grup simetri, 𝛤_𝑆_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝑆_𝑛+1 dan 𝛤_𝑆^∗_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝑆^∗_𝑛+1.

3) Pada grup selang-seling, 𝛤_𝐴_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝐴_𝑛+1 dan 𝛤_𝐴^∗_𝑛 merupakan subgraf dari 𝛤_𝐴^∗_𝑛+1.

b. Pada grup dihedral (𝐷_2𝑛), Γ_𝐷^∗_2𝑛≅ 𝐾₂ untuk 𝑛 bilangan ganjil dan Γ_𝐷^∗_2𝑛 ≅ 𝐾^𝑛

2+1 untuk 𝑛 bilangan genap.

c. Pada grup quaternion (𝑄₈), Γ_𝑄₈ ≅ Γ_𝐷₈ dan Γ_𝑄^∗₈ ≅ Γ_𝐷^∗₈ meskipun 𝑄₈ dan 𝐷₈ tidak saling isomorfis.

B. Saran

Untuk penelitian lebih lanjut, peneliti memiliki saran sebagai berikut :

1. Penelitian mengenai graf kembar non-komuting merupakan penelitian baru sehingga kajiannya juga masih terbatas. Dalam penelitian ini, hanya dibahas beberapa sifat terkait ketetanggaan (neighborhood) dan graf kembar non-komuting dari suatu subgrup. Masih banyak kajian lain yang sangat terbuka dan menarik untuk dibahas misalnya terkait himpunan bebas (independent set), pewarnaan graf dan bilangan kromatik, dll.

2. Dalam penelitian ini, hanya ditunjukkan ilustrasi baik graf non-komuting maupun graf kembar non-komuting dari grup berhingga dengan order kurang dari 25. Peneliti juga belum menemukan keterkaitas antara ukuran (size) graf dengan order grup sehingga sangat menungkinkan untuk diteliti lebih lanjut.

DAFTAR PUSTAKA

Abdollahi, A., Akbari, S., & Maimani, H. R. (2006). Non-commuting Graph of a

Group. Journal of Algebra, 298(2), 468-492.

www.elsevier.com/locate/jalgebra diakses tanggal 2 September 2020 Bondy, J.A., Murty, U.S.R. (1976). Graph Theory with Application. USA :

Elsevier Science Publishing Co., Inc.

Chartrand, G., Lesinak, L., & Zhang, P. (2011). Graph & Digraphs fifth edition.

USA : CRC Press.

Dummit, D.S, Foote, Richard, M. (2004). Abstract Algebra third edition. USA : John Wiley & Sons, inc.

Gallian, Joseph (2010). Contemporary Abstract Algebra Seventh Edition. USA : Brooks/Cole, Cengage Learning.

Hernando, C ,dkk. (2007). Extremal Graph Theory for Metric Dimension and Diameter. Electronic Notes in Discrete Mathematics 29 (2007) 339–343 1571-0653/$ – see front matter © 2007 Elsevier B.V. All rights reserved.

https://doi.org/10.1016/j.endm.2007.07.058 diakses tanggal 2 September 2020

Kandasamy, W.B.V, S, Florentine. (2009). Group as Graphs.

L. Pyber. (1987). The number of pairwise noncommuting elements and the index of the centre in a ﬁnite group. J. London Math. Soc. (2) 35 (2) (1987) 287–

295

Ma, X , Yang, L. (2014). The Coprime Graph of A Group. International Journal of Group Theory Vol. 3 No. 3 (2014), pp. 13-23. Diperoleh 24 Februari 2021 pada

https://www.researchgate.net/publication/287379538_The_Coprime_graph

_of_a_group/fulltext/57a9a1a708ae659d18236fa4/The-Coprime-graph-of-a group.pdf?origin=public_of_a_group/fulltext/57a9a1a708ae659d18236fa4/The-Coprime-graph-of-ation_det_of_a_group/fulltext/57a9a1a708ae659d18236fa4/The-Coprime-graph-of-ail

Marsudi. (2016). Teori Graf. Jakarta: UB Press.

Newmann, B.H. (1975). A Problem of Paul Erdos on Groups. J. Austral. Math.

Soc. 21 (Series A) (1976), 467-472.

https://doi.org/10.1017/S1446788700019303 diakses tanggal 10 September 2020.

Parberry, Ian. (1997). An efficient algorithm for the Knight’s tour problem.

Discrete Applied Mathematics, 73(3), 251–260. https://doi.org/10.1016/

S0166-218X(96)00010-8 diakses tanggal 30 Agustus 2020.

Scott, W.R. (1987). Group Theory. New York : Dover Publications, Inc.

Susilo, Frans. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta : Graha Ilmu.

The GAP Group. (2020). GAP - Groups, Algorithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra.version 4.11.0. https://www.gap-system.org.

Tolue, Benhaz. (2019). Twin Non-commuting Graph of A Group. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2 https://doi.org/10.1007/s12215-019-00421-4. Diakses tanggal 28 Agustus 2020.

Weisstein, E. W. (2010). Clique. https://mathworld. wolfram. com/.

Wilson, Robin. J. (2009). Pengantar Teori Graf. (Edisi Kelima). Diterjemahkan oleh: Dwinanto Purwadi dan Irzam Hardiansyah. Jakarta: Erlangga.

Vahidi,J., Rostami (2010). The commuting graphs on groups 𝐷_2𝑛 and 𝑄_𝑛. Journal of Mathematics and Computer Science Vol .1 No.2 (2010) 123-127.

Diperoleh 21 Februari 2021 pada http://www.TJMCS.com.

LAMPIRAN : Publikasi

LAMPIRAN : Bukti Penerimaan Abstrak

LAMPIRAN : Sertifikat Peserta Seminar

Dalam dokumen SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan. Program Studi Pendidikan Matematika (Halaman 103-0)