BAB IV PEMBAHASAN
A. Graf Kembar Non-Komuting
Graf kembar non-komuting adalah graf yang dibentuk dengan mempartisi simpul-simpul pada graf non-komuting berdasarkan himpunan-simpul-simpul kembar. Untuk itu, sebelum membahas graf kembar non-komuting dari suatu grup lebih lanjut, berikut adalah dua definisi penting yang berkaitan dengan simpul kembar dan graf kembar.
Definisi 4.1 Simpul kembar (Twin Vertices) (Hernando, 2007)
Misalkan π’ adalah sebuah simpul pada graf πΊ. Ketetanggaan terbuka dari π’, dinotasikan dengan π(π’) adalah himpunan semua simpul yang bertetangga dengan π’. Jika dituliskan dengan notasi π(π’) = {π£ β π(πΊ)|π’π£ β πΈ(πΊ)}
Sedangkan ketetanggan tertutup dari π’, dinotasikan dengan π[π’], adalah gabungan dari ketetanggaan terbuka dan {π’}. π[π’] = π(π’) βͺ {π’}.
β’ Dua simpul berbeda π’ dan π£ disebut simpul kembar bertetangga (adjacent
twins) jika π[π’] = π[π£] dan disebut simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) jika π(π’) = π(π£)
β’ Jika π’ dan π£ kembar bertetangga maka π’π£ β πΈ(πΊ) dan jika π’ dan π£ kembar tidak bertetangga maka π’π£ β πΈ(πΊ)
β’ Jika π’ dan π£ kembar bertetangga atau kembar tidak bertetangga maka π’ dan π£ adalah simpul kembar.
Contoh 4.1
Diberikan graf πΊ seperti pada gambar berikut
Gambar 4.1 Graf πΊ Dari gambar di atas diperoleh :
a. π(π’) = {π€, π, π, π, π}
m. π(π) = {π’, π£, π€, π₯}
n. π[π] = {π’, π£, π€, π₯, π}
o. π(π) = {π’, π£, π€, π₯}
p. π[π] = {π’, π£, π€, π₯, π}
Berdasarkan informasi-informasi diatas, dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
a. π[π’] = π[π€] maka π’ dan π€ adalah simpul kembar bertetangga (adjacent twins)
b. π(π£) = π(π₯) maka π£ dan π₯ adalah simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)
c. π(π) = π(π) = π(π) = π(π) maka π, π, π, π adalah simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)
Definisi 4.2 Graf kembar (Twin Graph) (Hernando, 2007)
Diberikan suatu graf πΊ. Didefinisikan relasi ekuivalen β‘ pada πΊ dengan π’ β‘ π£ jika dan hanya jika π(πΊ) atau u dan v merupakan simpul kembar. Untuk setiap π£ β π(πΊ), πβ adalah himpunan semua simpul pada πΊ yang ekuivalen dengan π£ sehingga {π1β, π2β, π3β, β¦ , ππβ} adalah partisi-partisi dari π(πΊ) dimana π£πβ adalah representasi dari himpunan ππβ. Graf kembar dari πΊ (the twin graph of G), dinotasikan dengan πΊβadalah graf dengan himpunan simpul π(πΊβ) = {π£1β, π£2β, π£3β, β¦ , π£πβ} dimana (π£πβπ£πβ) β πΈ(πΊβ) jika dan hanya jika (π£ππ£π) β πΈ(πΊ). Dua simpul π£βdan π€βdari πΊβ bertetangga jika dan hanya jika setiap anggota di πβ bertetangga dengan setiap anggota di πβ di πΊ.
Untuk lebih memahami graf kembar, perhatikan Gambar 4.1. Pada graf πΊ, pasangan simpul simpul kembar adalah π’ dan π€, π£ dan π₯, serta π, π, π, dan π maka ada tiga partisi dari himpunan simpul pada πΊ. Misalkan πβ, πβ, dan π΄β adalah himpunan semua simpul yang berturut-turut ekuivalen dengan π’, π£, dan π sehingga πβ = {π€}, πβ = {π₯}, dan π΄β = {π, π, π}. Maka, simpul dari graf πΊβ, π(πΊβ) = {π’β, π£β, πβ}. Pada graf πΊ, (π’, π£) β πΈ(πΊ) maka (π’β, π£β) β πΈ(πΊβ), π’π β πΈ(πΊ) maka (π’β, πβ) β πΈ(πΊβ), (π, π£) β πΈ(πΊ) maka (πβ, π£β) β πΈ(πΊβ).
Jika digambarkan, graf πΊβadalah sebagai berikut
Gambar 4.2 Graf πΊβ(graf kembar dari πΊ)
Graf kembar non-komuting disefinisikan sebagai graf kembar dari graf non-komuting. Berikut adalah definisi graf kembar non-komuting dari suatu grup.
Definisi 4.3 Graf kembar komuting dari suatu grup (Twin non-commuting graph of a group)
Misalkan ΞπΊ adalah graf komuting dari suati grup. Graf kembar non-komuting dari suatu grup (twin non-commuting graph of a group), dinotasikan dengan ΞπΊβadalah graf kembar dari graf ΞπΊ.
π’β π£β
πβ
Dibawah ini adalah bentuk-bentuk graf kembar non-komuting dari grup simetri (ππ), grup selang-seling (π΄π), dan grup dihedral (π·2π).
B. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Simetri (πΊπ) 1. Grup πΊπ
Grup π1 tidak dapat direpresentasikan dengan graf non-komuting. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa graf kembar non-komuting dari grup π1 tidak ada.
2. Grup πΊπ
Pada Gambar 3.1 diperlihatkan bahwa simpul dari π€π2 hanya satu. Oleh karena itu, graf π€π2 tidak memiliki pasangan simpul kembar sehingga (1 2)β= {} akibatnya graf kembar tidak komuting dari π€π2 hanya memiliki satu simpul pula yaitu (1 2)β dengan kata lain π(π€π2β) = {(1 2)β} dan tidak punya sisi.
3. Grup πΊπ
Dari Gambar 3.2, informasi terkait ketetanggan yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut :
a. π((1 2)) = {(1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
b. π[(1 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
c. π((1 3)) = {(1 2), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
d. π[(1 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
e. π((2 3)) = {(1 2), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}
f. π[(2 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
g. π((1 2 3)) = {(1 2), (1 3), (2 3)}
h. π[(1 2 3)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3)}
i. π((1 3 2)) = {(1 2), (1 3), (2 3)}
j. π[(1 3 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3), (1 3 2)}
Karena π[(1 2)] = π[(1 3)] = π[(2 3)] dan π((1 2 3)) = π((1 3 2)) maka berdasarkan definisi 4.2, (1 2), (1 3), (2 3) merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins) dan (1 2 3), (1 3 2) merupakan simpul-simpul yang kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) sehingga pada graf π€π3 terdapat dua partisi yaitu (1 2)β dan (1 2 3)β. Berdasarkan definisi 4.3, simpul-simpul dari graf kembar non-komuting dari π3 (π€π3β) adalah (1 2)β dan (1 2 3)β. Karena (1 2)(1 2 3) β πΈ(π€π3), maka berdasarkan definisi 3.3, (1 2)β(1 2 3)β β πΈ(π€π3β) dengan kata lain simpul (1 2)β dan (1 2 3)β bertetangga pada π€π3β. Gambar graf kembar non-komuting dari π3 adalah sebagai berikut
Gambar 4.3 Graf kembar non-komuting dari grup π3 (Ξπβ3)
4. Grup πΊπ
Berdasarkan Gambar 3.3, diperoleh informasi sebagai berikut. π((1 2)) = π((3 4)), π((1 3)) = π((2 4)), π((1 4)) = π((2 3)), π((1 2 3)) = π((1 3 2)), π((1 2 4)) = π((1 4 2)), π((1 3 4)) = π((1 4 3)),
(1 2)β (1 2 3)β
π((2 3 4)) = π((2 4 3)), π((1 2 3 4)) = π((1 4 3 2)), π((1 2 4 3)) = π((1 3 4 2)), dan π((1 3 2 4)) = π((1 4 2 3)). Selain itu, ketetanggan dari anggota π4 yang terdiri dari 2 sikel saling berbeda. Maka dari itu, terdapat 13 kelas ekivalensi pada π€π4 yang akan menjadi simpul-simpul pada π€π4β yaitu (1 2)β, (1 3)β, (1 4)β, (1 2 3)β, (1 2 4)β, (1 3 4)β, (2 3 4)β, (1 2 3 4)β, (1 2 4 3)β, dan (1 3 2 4)β yang saling bertetangga membentuk πΎ10 dan (1 2)(3 4)β, (1 3)(2 4)β, dan (1 4)(2 3)β yang tidak saling bertetangga namun masing-masing bertetangga dengan simpil-simpul lainnya. Gambar graf kembar non-komuting dari π4 adalah sebagai berikut
Gambar 4.4 Graf kembar non-komuting dari grup π4 (Ξπβ4)
(1 2)β
(1 3)β
(1 4)β
(1 2 3)β (1 2 4)β
(2 3 4)β (1 2)(3 4)β
(1 3)(2 4)β (1 4)(2 3)β
(1 3 4)β (1 2 3 4)β
(1 3 2 4)β
(1 2 4 3)β
C. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Selang-seling (π¨π)
1. Grup π¨π
π΄1 β π1 maka π΄1 juga tidak dapat direpresentasikan dengan graf komuting. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa graf kembar non-komuting dari grup π΄1 tidak ada.
2. Grup π¨π
π΄2 = π2 dan Ξπ΄2 = Ξπ2 maka π€π΄β2 = π€πβ2 3. Grup π¨π
Pada Gambar 3.4 diperlihatkan bahwa graf non-komuting dari grup π΄3 memiliki dua simpul yang tidak bertetangga yaitu (1 2 3) dan (1 3 2). Oleh karena itu, (1 2 3) dan (1 3 2) merupakan simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan (1 2 3)β = {(1 3 2)} akibatnya graf kembar tidak komuting dari π€π΄3 hanya memiliki satu simpul pula yaitu (1 2 3)β dan tidak punya sisi.
4. Grup π¨π
Berdasarkan Gambar 3.5 diperoleh bahwa π[(1 2)(3 4)] = π[(1 3)(2 4)] = π[(1 3)(2 3)], π((1 2 3)) = π((1 3 2)), π((1 2 4)) = π((1 4 2)), π((1 3 4)) = π((1 4 3)), π((2 3 4)) = π((2 4 3)) maka berdasarkan definisi 3.2, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins) dan simpul-simpul yang kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) adalah (1 2 3), (1 3 2) , (1 2 4), (1 4 2) , (1 3 4), (1 4 3) , (2 3 4), (2 4 3) sehingga pada graf π€π΄4
terdapat lima partisi yaitu (1 2)(3 4)β, (1 2 3)β, (1 2 4)β, (1 3 4)β,dan (2 4 3)β. Berdasarkan Definisi 4.2, simpul-simpul dari graf kembar non-komuting dari π΄4 (π€π΄4β) adalah (1 2)(3 4)β, (1 2 3)β, (1 2 4)β, (1 3 4)β,dan (2 4 3)β. Karena pada π€π΄4 (1 2)(3 4), (1 2 3), (1 2 4), (1 3 4), (2 4 3) merupakan simpul-simpul yang saling bertetangga maka simpul-simpul π€π΄4β juga saling bertetangga. Berikut adalah graf kembar non-komuting dari graf π΄4.
Gambar 4.5 Graf kembar non-komuting dari grup π΄4 (π€π΄β4)
D. Bentuk-bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Dihedral (π«ππ) 1. Grup π«π
Berdasarkan Gambar 3.6 diperlihatkan bahwa π(π) = π(π2) dan π[π ] = π[π π] = π[π π2] sehingga π dan π2 merupakan simpul yang kermbar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan π , π π, dan π π2 merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins). Maka dari itu berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul pada graf kembar non-komuting
(1 2)(3 4)β
(2 4 3)β (1 3 4)β
(1 2 3)β (1 2 4)β
dari π·6 (π€π·β6) adalah πβ dan π β selanjutnya πβ dan π β terhubung pada π€π·β6. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari π·6.
Gambar 4.6 Graf kembar non-komuting dari grup π·6 (π€π·β6)
2. Grup π«π
Berdasarkan Gambar 3.7 diperlihatkan bahwa π(π) = π(π3), π(π ) = π(π π2), dan π(π π) = π(π π3) sehingga diperoleh tiga pasang simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) yaitu π dan π3, π dan π π2, serta π π dan π π3. Oleh karena itu maka ada tiga partisi yaitu πβ, π β, dan (π π)β. Berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul dari π€π·β8 adalah πβ, π β, dan (π π)β. Selanjutnya karena π, π , dan π π saling terhubung pada π€π·8 maka πβ, π β, dan (π π)β juga terhubung pada π€π·β8. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari π·8 (π€π·β8).
Gambar 4.7 Graf kembar non-komuting dari π·8 (π€π·β8).
πβ π β
πβ π β
(π π)β
3. Grup π«ππ
Berdasarkan Gambar 3.8 diperlihatkan bahwa π(π) = π(π2) = π(π3) = π(π4) dan π[π ] = π[π π] = π[π π2] = π[π π3] = π[π π4] sehingga π dan π4 merupakan simpul yang kermbar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan π , π π, π π2, π π3dan π π4 merupakan simpul-simpul yang kembar bertetangga (adjacent twins). Maka dari itu berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul pada graf kembar non-komuting dari π·10 (π€π·β10) adalah πβ dan π β selanjutnya πβ dan π β terhubung pada π€π·β10. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari π·10.
Gambar 4.8 Graf kembar non-komuting dari grup π·10 (π€π·β10)
E. Bentuk Graf Kembar Non-Komuting dari Grup Quaternion (πΈπ)
Pada Gambar 3,9, diperlihatkan bahwa π(π) = π(βπ), π(π) = π(βπ), dan π(π) = π(βπ) sehingga diperoleh tiga pasang simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) yaitu π dan βπ, π dan βπ, serta π dan βπ.
Oleh karena itu maka ada tiga partisi yaitu πβ, πβ, dan πβ. Berdasarkan definisi 4.2, simpul-simpul dari π€π·β8 adalah πβ, πβ, dan πβ. Selanjutnya karena π, π, dan π saling terhubung pada π€π·8 maka πβ, πβ, dan πβ juga terhubung pada π€π·β8. Berikut adalah bentuk graf kembar non-komuting dari π8 (π€πβ8).
πβ π β
Gambar 4.9 Graf kembar non-komuting dari π8 (π€πβ8).
Gambar 4.7 dan 4.9 memperlihatkan bahwa, π€πβ8 β π€π·β8 karena terdapat fungsi π sedemikian sehingga π(πβ) = πβ, π(π β) = πβ, dan π((π π)β) = πβ.
F. Sifat-sifat Graf Kembar Non-Komuting dari Suatu Grup
Berikut adalah beberapa sifat-sifat dari graf kembar non-komuting dari suatu grup. Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa π((1 2)(3 4)) β π((1 3)(2 4)) β π((1 4)(2 3)). Berdasarkan definisi simpul kembar, elemen-elemen tersebut bukan merupakan simpul kembar pada π€π4. Menarik untuk didiskusikan, manakah elemen ππ yang merupakan simpul kembar dan mana yang tidak.
Proposisi 4.1 (Tolue, 2019)
Jika ππ adalah grup simetri dengan π objek, maka :
1. Ξπ3ββ πΎ2 dan memiliki dua simpul yang bertetangga yaitu (1 2)β dan (1 2 3)β
2. Elemen-elemen grup ππ yang merupakan hasil operasi 2-sikel terpisah (disjoint 2-cycles) bukan merupakan simpul kembar pada Ξππ dengan π β₯ 4
πβ πβ
πβ
Bukti :
1. Jelas terbukti berdasarkan definisi graf non-komuting dan graf kembar non-komuting (telah ditunjukkan pada Gambar 4.3)
2. Menurut Teorema 2.12, setiap elemen pada ππ dapat dinyatakan sebagai komposisi 2-sikal. Misalkan π₯ dan π¦ adalah elemen ππ dengan
π₯ = (π1π2)(π3π4)(π5π6) β¦ (ππβ1ππ)
π¦ = (π1π2)(π3π4)(π5π6) β¦ (ππβ1ππ), π β€ π β€ π,
Tanpa mengurangi keumuman, untuk setiap (ππππ), ππ < ππ, π1 < π3β¦ <
ππβ1 dan untuk setiap (ππππ), ππ < ππ, π1 < π3β¦ < ππβ1.
Perlu dicatat bahwa jika βπ β€ π, ππ = ππ, dan π = π maka π₯ dan π¦ adalah simpul yang sama.
Dengan demikian, hanya ada dua kemungkinan:
i. Jika βπ β€ π, ππ = ππ, dan π < π maka (ππππ) dengan π, π > π akan bertetangga dengan π₯ tetapi tidak dengan π¦.
ii. Jika terdapat π β€ π sedemikian sehingga ππ β ππ maka (ππππ+1) atau (ππβ1ππ) akan bertetangga dengan π¦ tetapi tidak dengan π₯.
Dengan demikian π(π₯) β π(π¦), jadi menurut definisi simpul kembar, simpul π₯ dan π¦ bukan merupakan simpul kembar.
Catatan:
Berdasarkan Proposisi 4.1 bagian 2, maka elemen ππ yang merupakan simpul kembar adalah elemen yang merupakan 2-sikal atau hasil operasi 2-sikal tidak terpisah.
Proposisi 4.2
Diberikan grup dihedral π·2π, maka : 1. Ξπ·β2πβ πΎ2 untuk π bilangan ganjil 2. Ξπ·β2πβ πΎπ
2+1 untuk π bilangan genap Bukti :
Misalkan grup π·2π= β©π, π |ππ = π 2 = 1, π π = πβ1π βͺ. Berdasarkan Teorema 2.13, π(π·2π) = {1} untuk π bilangan ganjil dan π(π·2π) = {1, ππ2} untuk π bilangan genap. Karena center nya berbeda maka untuk pembuktian teorema ini dibagi menjadi dua kasus.
Kasus 1 (π bilangan ganjil)
Karena π(π·2π) = {1}, maka |π(Ξπ·2π)| = 2π β 1. Pada grup dihedral ππππ = ππ+π = ππ+π = ππππ sehingga (1) hasil operasi antar rotasi saling komutatif akibatnya, pada Ξπ·2π, ππ dan ππ tidak saling bertetangga untuk 1 β€ π, π β€ π.
Selain itu ππ(π ππ) = ππ(ππβππ ) = (ππππβπ)π = ππ+πβππ = ππβ(πβπ)π = π ππβπ = (π ππ)πβπ sehingga (2) ππ tidak komutatif dengan π ππ akibatnya ππ bertetangga dengan π ππ. Berdasarkan (1) dan (2) maka ππ dengan 1 β€ π + 1 merupakan simpul-simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins)
dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu πβ. Selanjutnya untuk (π ππ)(π ππ) = π (πππ )ππ = π (π ππβπ)ππ = π 2(ππβπππ) = ππβπ+π. Sementara itu, (π ππ)(π ππ) = π (πππ )ππ = π (π ππβπ)ππ = π 2(ππβπππ) = ππβπ+π sehingga untuk π β π, (π ππ)(π ππ) β (π ππ)(π ππ) sehingga (3) π ππ bertetangga dengan π ππ . Berdasarkan (2) dan (3) maka π ππ dengan 1 β€ π + 1 merupakan simpul-simpul kembar bertetangga (adjacent twins) dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu π β. Dengan demikian pada Ξπ·β2π, terdapat dua simpul yang bertetangga 1 merupakan simpul-simpul kembar tidak bertetangga (non-adjacent twins) dan membentuk satu kelas ekivalensi yaitu πβ. Telah dibuktikan pada Kasus 1 bahwa secara umum, (π ππ)(π ππ) β (π ππ)(π ππ) sehingga π ππ bertetangga
dengan 1 β€ π β€π sebaliknya. Maka dari itu terdapat sebanyak π
2 kelas ekivalensi (π ππ)β dengan
Untuk lebih jelasnya, dapat diperhatikan pada Gambar 4.6, 4.7, dan 4.8.
Gambar 4.6 dan 4.8 memperlihatkan graf kembar non-komuting untuk π·6 (π = 3) dan π·10 (π = 5) isomorfis dengan πΎ2 dan Gambar 4.7 memperlihatkan graf kembar non-komuting dari π·8 (π = 4) isomorfis dengan πΎ4
2+1= πΎ3.
Proposisi 4.3 dibawah ini membahas graf kembar non-komuting dari suatu subgrup.
πΈ(π€πΊβ) artinya π’π£ = π£π’ pada πΊ. Terjadi kontradiksi karena π» merupakan subgrup dari πΊ sehingga jika π’π£ β π£π’ pada π» maka π’π£ β π£π’ pada πΊ.
Misalkan terdapat π’β β π(π€π»β) dan π’β β π(π€πΊβ). Jika π(π€π»β) β π(π€πΊβ) maka terdapat π€β β π(π€π»β) tetapi π€ββ π(π€πΊβ) sehingga π(π’) β π(π€) pada π€π». Maka, terdapat π£ β π(π’) dan π£ β π(π€) sehingga (π£, π€) β πΈ(π€π») artinya π£π€ = π€π£ pada π». Di sisi lain π€β β π(π€πΊβ). Misalkan π€ β π’β maka π(π’) = π(π€) sehingga jika terdapat π£ β π(π’) maka π£ β π(π€) sehingga (π£, π€) β πΈ(π€πΊ) artinya π£π€ β π€π£ pada πΊ. Terjadi kontadiksi karena π» merupakan subgrup dari πΊ sehingga jika π£π€ = π€π£ pada π» maka π£π€ = π€π£ pada πΊ.
Proposisi 4.3 memberikan jaminan bahwa graf kembar non-komuting dari suatu subgrup merupakan subgraf dari graf kembar non-komuting dari grup nya. Maka dari itu, berikut adalah akibat-akibat dari Proposisi 4.3.
Akibat 1
Graf kembar non-komuting dari grup selang-seling (π΄π) merupakan subgraf dari graf kembar non-komuting dari grup simetri (ππ).
Akibat 2
Pada grup simetri, π€πβπ merupakan subgraf dari π€πβπ+1 Akibat 3
Pada grup selang-seling, π€π΄βπ merupakan subgraf dari π€π΄βπ+1.
107 BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarrkan kajian pada Bab III dan Bab IV, dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut :
1. Graf non-komuting dari suatu grup adalah graf sederhana yang himpunan simpul adalah simpul-simpulnnya adalah elemen-elemen non-central dari grup tersebut π(ΞπΊ) = πΊ β π(πΊ) dan kedua simpul pada graf tersebut bertetangga jika dan hanya jika elemen-elemen tersebut tidak komutatif (untuk setiap π₯, π¦ β π(ΞπΊ), (π₯, π¦) β πΈ(ΞπΊ) jika dan hanya jika π₯π¦ β π¦π₯).
2. Graf kembar non-komuting dari suatu grup πΊ (ΞπΊβ) adalah graf yang dibentuk dengan mempartisi simpul-simpul dari dari graf non-komuting Ξ(πΊ) berdasarkan sifat simpul kembar sehingga himpunan simpul dari graf kembar non-komuting adalah π(π€πΊβ) = {π£1β, π£2β, π£3β, β¦ , π£πβ} dengan π£πβ adalah anggota himpunan semua simpul yang kembar dengan π£π pada ΞπΊ. Selanjutnya, π£πβπ£πβ β πΈ (π€πΊβ) jika dan hanya jika π£ππ£π β πΈ(π€πΊ).
3. Beberapa sifat graf non-komuting telah dibuktikan oleh Abdollahi (2006).
Abdollahi (2006) telah menunjukkan bahwa (1) Untuk sebarang grup non-abelian, ππππ(π€πΊ) = 2. Secara khusus, π€πΊ terhubung dan π(π€πΊ) = 3.
(2) Graf non-komuting dari grup non-abelian berhingga adalah sebuah
graf Halminton. (3) π€πΊ merupakan graf planar jika dan hanya jika πΊ isomorfis dengan salah satu grup π3, π·8 atau π8 sehingga jika diberikan grup non-abelian πΊ sedemikian sehingga π€πΊ β π€π 3 maka πΊ β π3.
4. Beberapa sifat graf kembar non-komuting telah dibuktikan Tolue (2019).
Tolue (2019) telah menunjukkan bahwa jika ππ adalah grup simetri dengan n objek, maka (1) Ξπ3ββ πΎ2 dan memiliki dua simpul yang bertetangga yaitu (1 2)β dan (1 2 3)β, (2) Elemen-elemen grup ππ yang merupakan hasil operasi 2-sikel terpisah (disjoint 2-cycles) bukan merupakan simpul kembar pada Ξππ dengan π β₯ 4. Hal tersebut mengimplikasikan bahwa elemen ππ yang merupakan simpul kembar adalah elemen yang merupakan 2-sikal atau hasil operasi 2-sikal tidak terpisah.
5. Berkaitan dengan sifat-sifat graf komuting dan graf kembar non-komuting, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa :
a. Jika π» merupakan subgrup non-center dari πΊ maka π€π» merupakan subgraf dari π€πΊ dan π€π»β merupakan subgraf dari π€πΊβ sehingga
1) π€π΄π merupakan subgraf dari π€ππ dan π€π΄βπ merupakan subgraf dari π€πβπ.
2) Pada grup simetri, π€ππ merupakan subgraf dari π€ππ+1 dan π€πβπ merupakan subgraf dari π€πβπ+1.
3) Pada grup selang-seling, π€π΄π merupakan subgraf dari π€π΄π+1 dan π€π΄βπ merupakan subgraf dari π€π΄βπ+1.
b. Pada grup dihedral (π·2π), Ξπ·β2πβ πΎ2 untuk π bilangan ganjil dan Ξπ·β2π β πΎπ
2+1 untuk π bilangan genap.
c. Pada grup quaternion (π8), Ξπ8 β Ξπ·8 dan Ξπβ8 β Ξπ·β8 meskipun π8 dan π·8 tidak saling isomorfis.
B. Saran
Untuk penelitian lebih lanjut, peneliti memiliki saran sebagai berikut :
1. Penelitian mengenai graf kembar non-komuting merupakan penelitian baru sehingga kajiannya juga masih terbatas. Dalam penelitian ini, hanya dibahas beberapa sifat terkait ketetanggaan (neighborhood) dan graf kembar non-komuting dari suatu subgrup. Masih banyak kajian lain yang sangat terbuka dan menarik untuk dibahas misalnya terkait himpunan bebas (independent set), pewarnaan graf dan bilangan kromatik, dll.
2. Dalam penelitian ini, hanya ditunjukkan ilustrasi baik graf non-komuting maupun graf kembar non-komuting dari grup berhingga dengan order kurang dari 25. Peneliti juga belum menemukan keterkaitas antara ukuran (size) graf dengan order grup sehingga sangat menungkinkan untuk diteliti lebih lanjut.
DAFTAR PUSTAKA
Abdollahi, A., Akbari, S., & Maimani, H. R. (2006). Non-commuting Graph of a
Group. Journal of Algebra, 298(2), 468-492.
www.elsevier.com/locate/jalgebra diakses tanggal 2 September 2020 Bondy, J.A., Murty, U.S.R. (1976). Graph Theory with Application. USA :
Elsevier Science Publishing Co., Inc.
Chartrand, G., Lesinak, L., & Zhang, P. (2011). Graph & Digraphs fifth edition.
USA : CRC Press.
Dummit, D.S, Foote, Richard, M. (2004). Abstract Algebra third edition. USA : John Wiley & Sons, inc.
Gallian, Joseph (2010). Contemporary Abstract Algebra Seventh Edition. USA : Brooks/Cole, Cengage Learning.
Hernando, C ,dkk. (2007). Extremal Graph Theory for Metric Dimension and Diameter. Electronic Notes in Discrete Mathematics 29 (2007) 339β343 1571-0653/$ β see front matter Β© 2007 Elsevier B.V. All rights reserved.
https://doi.org/10.1016/j.endm.2007.07.058 diakses tanggal 2 September 2020
Kandasamy, W.B.V, S, Florentine. (2009). Group as Graphs.
L. Pyber. (1987). The number of pairwise noncommuting elements and the index of the centre in a ο¬nite group. J. London Math. Soc. (2) 35 (2) (1987) 287β
295
Ma, X , Yang, L. (2014). The Coprime Graph of A Group. International Journal of Group Theory Vol. 3 No. 3 (2014), pp. 13-23. Diperoleh 24 Februari 2021 pada
https://www.researchgate.net/publication/287379538_The_Coprime_graph
_of_a_group/fulltext/57a9a1a708ae659d18236fa4/The-Coprime-graph-of-a group.pdf?origin=public_of_a_group/fulltext/57a9a1a708ae659d18236fa4/The-Coprime-graph-of-ation_det_of_a_group/fulltext/57a9a1a708ae659d18236fa4/The-Coprime-graph-of-ail
Marsudi. (2016). Teori Graf. Jakarta: UB Press.
Newmann, B.H. (1975). A Problem of Paul Erdos on Groups. J. Austral. Math.
Soc. 21 (Series A) (1976), 467-472.
https://doi.org/10.1017/S1446788700019303 diakses tanggal 10 September 2020.
Parberry, Ian. (1997). An efficient algorithm for the Knightβs tour problem.
Discrete Applied Mathematics, 73(3), 251β260. https://doi.org/10.1016/
S0166-218X(96)00010-8 diakses tanggal 30 Agustus 2020.
Scott, W.R. (1987). Group Theory. New York : Dover Publications, Inc.
Susilo, Frans. (2012). Landasan Matematika. Yogyakarta : Graha Ilmu.
The GAP Group. (2020). GAP - Groups, Algorithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra.version 4.11.0. https://www.gap-system.org.
Tolue, Benhaz. (2019). Twin Non-commuting Graph of A Group. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2 https://doi.org/10.1007/s12215-019-00421-4. Diakses tanggal 28 Agustus 2020.
Weisstein, E. W. (2010). Clique. https://mathworld. wolfram. com/.
Wilson, Robin. J. (2009). Pengantar Teori Graf. (Edisi Kelima). Diterjemahkan oleh: Dwinanto Purwadi dan Irzam Hardiansyah. Jakarta: Erlangga.
Vahidi,J., Rostami (2010). The commuting graphs on groups π·2π and ππ. Journal of Mathematics and Computer Science Vol .1 No.2 (2010) 123-127.
Diperoleh 21 Februari 2021 pada http://www.TJMCS.com.
LAMPIRAN : Publikasi
LAMPIRAN : Bukti Penerimaan Abstrak
LAMPIRAN : Sertifikat Peserta Seminar