Hukum Hooke

Modulus Elastisitas

A. Wujud Padat, Cair, dan Gas

6. Hukum Hooke

1 MN = 106 N

6. Hukum Hooke

Jika kita mengamati kurva tegangan-regangan pada Gambar 5.7 tampak adanya daerah linier pada saat besarnya regangan yang diberikan belum melampau titik A. Keadaan dimana regangan berubah secara linear dengan tegangan dikenal sebagai

hukum Hooke. Rasio tegangan terhadap regangan dalam daerah linear pada kurva

regangan-tegangan (pada Gambar 5.7) adalah konstanta kesebandingan yang dinamakan

modulus elastisitas atau modulus YoungY :

𝑌 = ^tegangan regangan =^𝜎

𝜀 = ^𝐹/𝐴𝑜

𝛥𝐿/𝐿_𝑜 (5.9)

atau dapat dinyatakan 𝐹 = (^𝑌𝐴𝑜

𝐿_𝑜) ∆𝐿 (5.10)

Bandingkan Persamaan (5.10) dengan hukum Hook untuk pegas F = kx. Tampak ada kemiripan bukan? Kemiripan ini muncul karena bahan pun juga menunjukkan sifat elastis seperti halnya pegas. Dari kemiripan tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk bahan, “konstanta pegas” (k) yang dimiliki mempunyai persamaan

𝑘 = ^𝑌𝐴𝑜

𝐿_𝑜 (5.11)

Satuan modulus elastisitas atau modulus Young adalah N/m2 atau MPa, dan satuan untuk “konstanta pegas” adalah N/m. Modulus elastisitas dan tegangan mempunyai satuan yang sama. Ketika modulus elastisitas bahan bernilai besar, bahan tersebut memerlukan tegangan yang besar untuk menghasilkan perubahan.

162

Contoh Soal 5.6

Massa 500 kg digantungkan pada kawat baja 3 m yang luas penampangnya 0,15 cm². Modulus elatisitas untuk baja adalah sekitar 2,0 x 10¹¹ N/m². Berdasarkan informasi tersebut hitunglah: (a) pertambahan panjang kawat baja; (b) “konstanta pegas” untuk kawat baja.

Penyelesaian

a) Berat benda bermassa 500 kg adalah: mg = (500 kg)(9,81 N/kg) = 4,90 x 103 N Tegangan kawat adalah

= ^𝐹

𝐴_𝑜=^{4,9 x103 N} 0,15 cm2

= 3,27 x 104 N/cm2 = 3,27 x 108 N/m2

Karena itu besarnya regangan adalah ∆𝐿 𝐿_𝑜 ⁼  𝑌⁼ 3,27 x 108 N/m2 2,0 x 1011N/m2 = 1,63 x 10⁻³

Karena panjang kawat 3 m atau 300 cm, jumlah pertambahan panjang adalah ΔL = (1,63 x 10-3)L = (1,63 x 10-3)(300 cm) = 0,48 cm.

b) Dengan menggunakan Persamaan (7.11), “konstanta pegas” untuk kawat adalah 𝑘 = ^𝑌𝐴𝑜 𝐿_𝑜 ⁼ (2,0 𝑥1011N/m2) (0,15 cm2) 300 cm ^{= 10} 6N/m

7. Modulus Elastisitas

Seperti tampak pada Gambar 5.7, grafik tegangan-regangan menghasilkan hubungan linier. Kemiringan (slope) dari bagian linier merupakan modulus elastisitas. Modulus elastisitas bahan menyatakan kekuatan atau ketahanan bahan dalam menerima deformasi elastis, semakin besar nilai modulus elastis semakin kuat bahan tersebut. Beberapa jenis logam nilai modulus elastisitasnya berkisar 4,5x10⁴ MPa (untuk magnesium) hingga 40,7x10⁴ MPa (untuk tungsten). Nilai hampiran modulus elastisitas atau modulus Young untuk berbagai bahan dicantumkan di Tabel 5.3.

Tabel 5.3 Modulus Elastisitas, Modulus Geser dan Bilangan Poisson Berbagai Bahan Logam

Paduan

Modulus Elastisitas Modulus Geser Bilangan Poisson

(psi x 106) (MPa x 104) (psi x 106) (MPa x 104)

Magnesium 6,5 4,5 2,5 1,7 0,29 Alumunium 10,0 6,9 3,8 2,6 0,33 Kuningan 14,6 10,1 5,4 3,7 0,35 Titanium 15,5 10,7 6,5 4,5 0,36 Tembaga 16,0 11,0 6,7 4,6 0,35 Nikel 30,0 20,7 11,0 7,6 0,31 Baja 30,0 20,7 12,0 8,3 0,27 Tungsten 59,0 40,7 23,2 16,0 0,28

Sebagai catatan, ada beberapa bahan (misalnya besi cor, beton, dan banyak polimer) untuk daerah elastisnya pada kurva tegangan-regangan tidak linear. Oleh karena itu, kita tidak dapat menentukan modulus elastisitas dengan menggunakan gradien kemiringan kurva seperti yang sudah dijelaskan. Untuk karakteristik non-linier pada kurva tegangan-regangan dapat digunakan tangent modulus atau secant modulus yang tidak dibahas pada bab ini.

Tegangan tekan dan tekanan geser dapat mempunyai sifat elastis yang hampir sama. Karakteristik tegangan-regangan pada pemakaian tegangan rendah sama untuk tegangan tarik dan tekan, termasuk besarnya modulus elastisitas. Sedangkan rasio tegangan geser terhadap regangan geser dinamakan modulus geserMs:

𝑀_𝑠 = ^{𝑡𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟}

𝑟𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟 = ^𝐹𝑠/𝐴

∆𝑋/𝐿= ^𝐹𝑠 /𝐴

tan 𝜃 (5.12)

Kemiringan daerah elastisnya juga linier pada kurva tegangan-regangan geser. Modulus geser mempunyai satuan MPa atau N/m2.

Pada umumnya nilai perpindahan ΔX sangat kecil hingga perbandingan ΔX/L mendekati sudut geser , asal dinyatakan dalam satuan radian (1 radian = 360o/2π = 57,3^o). Bila demikian modulus geser dapat dinyatakan:

𝑀_𝑠 = ^𝐹𝑠

𝐴 𝜃 (5.13)

Modulus geser juga dikenal sebagai modulus torsi. Kenyataan bahwa modulus ini hampir konstan untuk tegangan kecil, yang menunjukkan bahwa regangan geser berubah secara linier dengan tegangan geser adalah hukum Hooke untuk tegangan torsional. Nilai hampiran modulus geser beberapa bahan tercantum pada Tabel 5.3.

164

Contoh Soal 5.7

Diberikan data tegangan-regangan untuk “Bahan A” dan “Bahan B” seperti ditunjukkan pada Tabel 5.4. Dari data tersebut dapat dibuat grafik tegangan-regangan seperti ditunjukkan pada Gambar 5.8, dan selanjutnya dapat ditentukan besarnya koefisien kemiringan (slope) dengan melakukan fitting dari data yang tersedia. Tentukan besarnya modulus elastisitas kedua bahan tesebut. Jelaskan material atau bahan mana yang lebih elastis.

Tabel 5.4 : Data Tegangan-Regangan “Bahan A” dan “Bahan B” "Bahan A" "Bahan B"

Tegangan (MPa) Regangan (mm/mm) Tegangan (MPa) Regangan (mm/mm) 95 0.0002 3 0.0016 148 0.0005 5 0.0025 202 0.0007 7 0.0036 257 0.0010 8 0.0046 309 0.0012 10 0.0055 361 0.0015 11 0.0066 410 0.0018 13 0.0076 451 0.0021 14 0.0086

y = 19254x + 62.51

0 100 200 300 400 500 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025

T

ega

ng

an

[MPa

]

Regangan [mm/mm]

Gambar 5.8 Kurva Tegangan-regangan untuk Bahan A (atas) dan Bahan B (bawah)

Jika benda mengalami gaya eksternal dari semua sisi, volumenya akan berkurang. Situasi ini dapat terjadi ketika sebuah benda dimasukkan pada fluida. Bila sebuah benda tercelup dalam fluida seperti air, fluida mengadakan sebuah gaya yang tegak lurus permukaan benda di setiap titik pada permukaan seperti diilustrasikan pada Gambar 5.9. Jika benda cukup kecil kita dapat mengabaikan tiap perbedaan kedalaman fluida, gaya per satuan luas yang diadakan oleh fluida sama di setiap titik pada permukaan benda. Gaya per satuan luas ini dinamakan tekanan fluida P yang ekuivalen dengan tegangan kompresi. Dalam kondisi ini, berdasarkan sejumlah eksperimen diamati bahwa pengurangan volum ΔV ternyata: (i) berbanding lurus dengan volume semulaVo; dan (ii) berbanding lurus dengan penambahan tekanan ΔP.

y = 1550x + 1.005

0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

T

ega

na

gn

[MPa]

Regangan [mm/mm]

Kurva Tegangan-Regangan "Bahan B"

F

Vo

V

Gambar 5.9 Ketika benda padat dikenai tekanan uniform, benda menga-lami perubahan volume tetapi tidak tidak merubah bentuk.Kubus ini menga-lami tekanan pada semua sisinya dengan gaya arah normal terhadap enam sisinya.

166

Dari pengamatan tersebut dapat diturunkan hubungan antara perubahan volum, volum awal benda, dan perubahan tekanan sebagai berikut

∆𝑉 ∝ 𝑉₀ 𝛥𝑃 (5.14)

Kalau kesebandingan di atas diganti dengan tanda sama dengan, maka kita perkenalkan suatu konstanta pembanding, B, sehingga

∆𝑉 = −¹

𝐵𝑉_𝑜∆𝑃 (5.15)

Konstanta B dikenal dengan modulus bulk atau modulus volume dari benda. Dari Persamaan (5.15), modulus volume dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut 𝐵 = − ^∆𝑃

∆𝑉/𝑉_𝑜 (5.16)

Tanda negatif menginformasikan bahwa volume benda berkurang terhadap penambahan tekanan, makin besar perubahan tekanan yang diberikan maka semakin kecil volume akhir benda, atau tekanan menyebabkan pengurangan volum benda. Nilai-nilai untuk modulus bulk berbagai bahan dicantumkan pada Tabel 5.5.

Tabel 5.5 Nilai Hampiran Modulus Volume B Berbagai Bahan

Bahan B, (GN/m2) Alumnium 70 Kuningan 61 Tembaga 140 Besi 100 Timah hitam 7,7 Baja 160 Tungsten 200

Karena semua bahan berkurang volumenya ketika diberi tekanan eksternal, maka sebuah tanda minus diberikan pada Persamaan (5.15) untuk membuat B positif. Tekanan yang diadakan fluida ekuivalen dengan tegangan kompresi, dan penurunan fraksional dalam volume (-ΔV/Vo) adalah regangan kompresi. Invers modulus volume dinamakan

kompresibilitask:

𝑘 = ¹

𝐵= ^{−∆𝑉/𝑉}𝑜

∆𝑃 (5.17)

Makin sulit bahan ditekan, makin kecil perubahan fraksional –ΔV/Vo untuk suatu tekanan, dan dengan demikian, makin kecil kompresibilitas k. Konsep modulus volume dan kompresibilitas berlaku untuk zat padat. Zat padat relatif tak kompresibel; artinya, mempunyai nilai kompresibilitas yang kecil dan nilai modulus volume yang besar. Nilai-nilai ini juga relatif tak bergantung pada temperatur dan tekanan.

Contoh Soal 5.8

Sebuah bola dari bahan kuningan berada di udara dengan pengaruh tekanan udara 1,0 x 10⁵ N/m² (tekanan atmosfir normal). Kemudian bola dimasukkan ke dalam lautan pada kedalaman tertentu dimana besarnya tekanan air laut adalah 2,0 x 10⁷ N/m². Volume bola ketika di udara adalah 0,50 m³. Berapakah perubahan volumenya ketika bola terendam dalam air laut?

Penyelesaian

Sesuai Tabel 6.5, logam kuningan mempunyai modulus volume B = 6,1 x 1010 N/m2. Untuk menghitung besarnya perubahan volume bola dapat digunakan Persamaan (6.15)

∆𝑉 = −¹ 𝐵𝑉_𝑜∆𝑃

∆𝑉 = − ¹

6,1 x1010N m⁄ 2(0,50 m3)(2,0 x107N m⁄ ²− 1,0 x10⁷N m⁄ ²) = −1,6 x 10⁻⁴m³

Tanda negatif menginformasikan bahwa ketika bola terendam dalam air laut volumenya berkurang atau mengalami penyusutan.

168