KUANTOR UNIVERSAL DAN EKSISTENSIAL
3.7. Ingkaran Suatu Pernyataan yang Memuat Kuantor
Menggunakan konsep di bab 2, negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang menyangkal dari pernyataan semula, teknis penggunaannya cukup menambahkan kata "tidak" atau "bukan" di depan pernyataan.
Dengan dasar tersebut, maka ingkaran dari suatu kuantor juga menambahkan kata
“tidak” di depan kuantor yang dimaksud. Untuk kuantor universal kata “semua”, ingkarannya adalah “tidak semua” yang berarti “ada” atau “sekurang-kurangnya satu”. Sebaliknya ingkaran dari kuantor eksistensial “terdapat” adalah “tidak terdapat” artinya adalah “semua”.
Misalnya:
a) Ada pernyataan “semua x bersifat P(x)” ingkarannya “tidak semua x bersifat P(x)”
Kata “tidak semua” = “terdapat” (ada, beberapa, sekurang-kurangnya satu) Dituliskan: ~ (x) P(x) ( x) ~ P(x)
Atau bisa pakai notasi berikut:
______________________________________________
b) Ada pernyataan “Ada x bersifat Q(x)” ingkarannya “Tidak ada x bersifat Q(x)”
Kata “tidak ada” atau “terdapat” = “semua”
Dituliskan: ~ ( x) Q(x) (x) ~ Q(x) Atau bisa pakai notasi berikut:
( x) Q(x) ( x) Q(x) ( x) Q(x)
Jadi negasi (ingkaran) pernyataan ”Semua x bersifat P(x)” adalah ”Ada x yang tidak bersifat P(x)”, dan negasi kalimat ”Ada x yang bersifat Q(x)” adalah ”Semua x tidak bersifat Q(x). dengan kata lain bahwa:
Negasi suatu pernyataan yang memuat kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan negasi dari suatu pernyataan yang memuat kuantor eksistensial adalah kuantor universal.
Ingkaran pernyataan berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal. Misalnya:
~ [ (x) ( y) P(x,y) ] (x) (y) ~ P(x,y)
~ [ (x) (y) P(x,y) ] (x) ( y) ~ P(x,y)
Atau bisa pakai notasi berikut:
( x) ( y) P(x,y) ( x)( y) P(x,y) ( x)( y) P(x,y) ( x) ( y) P(x,y) Contoh (3.13 ):
a) semua bilangan bulat adalah positif
Ditulis: ( x) (B(x) P(x))
Ingkarannya adalah: (Ǝx) (B(x) ~ P(x))
Atau bisa juga ditulis
( x) B(x) P(x) ( x)( B(x)P(x) ) (x)(B(x) P(x) Dibaca: ada bilangan bulat, yang tidak positif
b) Misal diketahui domain (semestanya) adalah himpunan bilangan bulat Tentukan nilai kebenaran dari ingkaran (∀x) (y) x = 2y
Pembahasan:
N = himpunan bilangan bulat
Pernyataan: (xN)( yN) x = 2y
Dibaca: “Untuk semua bilangan bulat x dalam himpunan N, terdapat bilangan bulat y dalam N yang memenuhi x = 2y”
Negasinya : (xN)( yN) x = 2y (x)(∀y) x2y bernilai benar Dibaca:
1. “Tidak untuk semua bilangan bulat x dalam himpunan N, terdapat bilangan bulat y dalam N yang memenuhi x = 2y”
2. “Ada bilangan bulat x dalam himpunan N, terdapat bilangan bulat y dalam N yang memenuhi x = 2y”
Contoh (3.14):
Tentukan ingkaran-ingkaran dari setiap pernyataan a) ~ (( x) x x ) d). ~ (( x) x 2 x)
b) ~ (( x) x2 ) x e). ~ (( x) x ) 0 c) ~ (( x) x+1 > x)
Pembahasan: untuk negasi pakai notasi berikut:
(1) x, x x x, x x x, x x (2) x, x = x2 x, x2 x x, x2 x (3) x, x 1 x x, x 1 x x, x 1 x
(4) x, x 2 x x x 2 x x x 2 x (5) x, x 0 x x 0 x x 0
Contoh (3.15): Kuantor ganda
Tentukan ingkaran-ingkaran dari setiap pernyataan a) ~ [ x y p(x, y)] c). ~ [ x y p(x, y)] b) ~ [ x y p(x, y)] d). ~ [ x y p(x, y)] Pembahasan:
a) ~ [ x y p(x, y)] (~ x ) ~ ( y) p(x, y) x y (~ p(x, y) Atau bisa pakai notasi berikut:
x y p(x,y) x y p(x,y) x y p(x,y)
b) ~ [ x y p(x, y)] (~x ) (~ y) ( ~ p(x, y)) x y ~ p x, y
Atau bisa pakai notasi berikut:x y p(x,y) x x p(x,y) x y p(x,y)
c) ~ [ x y p(x, y)] (~ ( x))(~ ( x))(~ p(x, y)) x y ~ p x, y
Atau bisa pakai notasi berikut:
x y p(x,y) x y p(x,y) x y p(x,y)
d) ~ [ x y p(x, y)] (~ ( x))(~ ( x)) ~ p x, y
x y ~ p x, y
Atau bisa pakai notasi berikut:
x y p(x,y) x y p(x,y) x y p(x,y)
Contoh (2.16): buat negasi contoh (3.12)
Diketahui Semesta A = {Nyoman, Agus, Darman}, B = {Rita, Farida}, dan fungsi pernyataan p(x,y) menyatakan x adalah kakak y
Buatlah negasi dari:
a) ~ [(x A) (y B) p(x,y)]
b) ~ [(x A) (y B) p(x,y)]
c) ~ [(x A) (y B) p(x,y)]
______________________________________________
d) ~ [(x A) (y B) p(x,y)]
Pembahasan ingkarannya adalah:
a) ~ [(xA) (yB) p(x,y)] (~(xA)) (~ (yB)) ~p(x,y) (x A) (y B) ~p(x,y) Atau bisa pakai notasi berikut:
( x A)( y B) p(x,y)) ( x A) ( y B) p(x,y) ( x A)( y B) p(x,y) Dibaca:
“Ada x di dalam A, dan ada y di dalam B maka berlaku x bukan kakak y”
b) ~ [(xA)(yB) p(x,y)] (~ (xA))( ~(yB)) ~p(x,y) (xA) (yB) ~p(x,y) Atau bisa pakai notasi berikut:
( x A)( y B) p(x,y)) ( x A) ( y B) p(x,y) ( x A) ( y B) p(x,y) Dibaca:
“Ada x dalam A, untuk semua y dalam B, maka berlaku x bukan kakak y”
c) ~ [(xA) (yB) p(x,y)] (~ (xA))(~(yB)) ~p(x,y) (xA)( yB) ~p(x,y) Atau bisa pakai notasi berikut:
( x A)( y B) p(x,y)) ( x A) ( y B) p(x,y) ( x A) ( y B) p(x,y) Dibaca:
“Semua x di A, ada y di B sedemikian hingga x bukan kakak y”
d) ~ [(xA), (yB) p(x,y)] (~(xA)) (~(yB)) ~p(x,y) (xA) (yB) ~p(x,y) Atau bisa pakai notasi berikut:
( x A)( y B) p(x,y)) ( x A) ( y B) p(x,y) ( x A) ( y B) p(x,y) Dibaca:
“Semua x di A dan semua y di B maka berlaku x bukan kakak y”
Selanjutnya jika suatu pernyataan terbuka yang memuat tiga perubah x, y dan z ditulis p(x,y,z) atau P(x,y,z) , jika ditambahkan suatu kuantor di depan pernyataan tersebut akan menjadi:
a. x y z P x, y, z
, e. x y z P x, y, z
, b. x y z P x, y, z
f. x y z P x, y, z
c. x y z P x, y, z
g. x y z P x, y, z
d. x y z P x, y, z
h. x y z P x, y, z
, Sedangkan negasinya adalah sebagai berikut:a. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z)
b. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z) c. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z) d. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z)
e. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z) f. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z) g. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z)
h. x y z P(x, y,z) ( x) (y) (z) P(x, y,z) x y z P(x, y,z)
Contoh (3.17):
Diketahui A = himpunan semua bilangan asli = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Didefinisikan pernyataan K x,y,z
2x – y 5z 10
K x, y,z adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.
Maka tentukan nilai kebenaran dari fungsi pernyatan berikut:
a) x y z K(x, y, z) b) x y z K(x, y, z) c) x y z K(x, y, z) Pembahasan
Pernyataan a) bernilai benar sedangkan b) bernilai salah dan c) bernilai salah 3.8. Soal-Soal Latihan
1. Manakah yang merupakan kalimat terbuka (a) Jika saya lapar maka saya tidak bisa belajar (b) Mahasiswa Jurusan matematika rajin-rajin
(c) Segitiga sama sisi adalah segi tiga yang ketiga sisinya sama panjang.
(d). x – 5 < 7
(e). Agus kuliah di UGM
(f). Diagonal bujur sangkar saling berpotongan dan tegak lurus 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut
a) Setiap bilangan prima merupakan bilangan ganjil b) xR; x25x 6 0
c) ƎxR; x24x 5 0
d) Ada mahasiswa yang tidak menyenangi matakuliah matematika e) Semua segitiga jumlah sudutnya 1800
3. Misal r(x): x adalah bilangan integer. Ubahlah ke dalam pernyataan berkuantor a. Kuadrat dari setiap bilangan integer negative adalah positif
b. Tidak semua bilangan integer adalah positif
______________________________________________
d. Semua bilangan integer adalah positif atau tidak ada bilangan integer yang positif
4. Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut ini dalam bentuk simbolik, kemudian tentukan negasinya
a) Setiap bilangan kuadrat lebih besar atau sama dengan nol b) Ada segi tiga sama kaki yang bukan segi tiga sama sisi c) Tidak ada manusia yang hidup abadi
d) Di perguruan tinggiku ada profesor wanita
5. Ubahlah pernyataan berikut ke dalam logika predikat kemudian cari negasinya a) Setiap orang memiliki seseorang yang menjadi ibunya
b) Semua orang menghormati presidenya
c) Ada mahasiswa Statistik yang tidak lulus logika matematika d) Ada programmer yang menguasai semua Bahasa pemrograman
6. Misalkan C(x) adalah pernyataan “x berbicara bahasa Inggris” dan B(x) adalah pernyataan “x menguasai bahasa pemrograman Delphi”. Ubahlah pernyataan berikut ke symbol kuantor kemudian buat negasinya
a) Ada mahasiswa IST Akprind yang dapat berbicara Bahasa inggris dan menguasai Bahasa Delphi
b) Ada mahasiswa IST Akprind yang dapat berbicara Bahasa inggris tetapi tidak menguasai Bahasa Delphi
c) Semua mahasiswa IST Akprind yang dapat berbicara Bahasa inggris sekaligus menguasai Bahasa Delphi
d) Tidak ada mahasiswa IST Akprind yang dapat berbicara Bahasa inggris dan menguasai Bahasa Delphi
7. Misal p(x) : x adalah planet seperti bumi dan q(x) : x mendukung kehidupan Terjemahkan pernyataan kuantor berikut ini ke dalam Bahasa sehari-hari
a. (x) p(x)q(x) b. (x) p(x) (x) q(x) c. (x) [p(x) ~ q(x)]
d. (x) p(x) (x) ~ q(x)
8. Misalkan A{ , , , , }1 2 3 4 5 merupakan himpunan semesta, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut, kemudian carilah negasinya
(a). ( x A), x3 10 (e). ( x A), x 3 5 (b). ( x A), x3 10 (f). ( x A), x 3 7 (c). x (4x 10) (g). x (4 x 8)
(d). x (4 x 7) (h). x (4 x 7)
9. Misalkan B(x,y) adalah pernyataan “x mengikuti kuliah y”, dan semesta
pembicaraannya untuk x adalah semua mahasiswa yang mengikuti matakuliah tsb, sedangkan y adalah semua matakuliah logika matematika. Ubahlah ekspresi kuantor tersebut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia
a) (∃x) (∃y) B(x,y) b) (∃x) (∀y) B(x,y) c) (∀x) (∃y) B(x,y) d) (∃y) (∀x) B(x,y) e) (∀y) (∃x) B(x,y) f) (∀x) (∀y) B(x,y)
10. Misalkan W(x,y) adalah pernyataan “x berwisata ke y”, dan semesta
pembicaraannya untuk x adalah semua mahasiswa di STMIK NH, sedangkan y adalah semua objek wisata di Indonesia. Ubahlah kuantor berikut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia
a) W(rani, Borobudur) b) (∃x) W(x, kuta) c) (∃y) W(Dito, y)
d) (∃y) (W(Dewi, y) W(Siti, y)
11. Jika diketahui semesta pembicaraannya adalah himpunan {1, 2, 3}. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut
a)
x y x2 y2 12 e) x y (x2 y 1)b)
x y x2 y2 12 f) x y (x2 y 1) c)
x y x2 y2 12 g) x y (x2 y 1)d)
x y x2 y2 12 h) x y (x2 y 1)12. Negasikan pernyataan berikut a) (∀x) (∃y) (p(x,y) q(x,y)) b) (∃x) (∀y) (p(x,y) q(x,y)) c) (∃x) (∃y) (p(x) q(y))
13. Tentukan nilai kebenaran dari negasi pernyataan-pernyataan berikut ini:
(a). x (x 3 5) dalam himpunan X{ , , , ...}1 2 3 (b). n (2 n 5) dalam himpunan bilangan asli (c). ( x R) (x2 0); R = {bilangan cacah}
(d). x x 0 dalam himpunan bilangan riel (e). ( x R) (x2 x); R = {bilangan riel}
14. Negasikan pernyataan-pernyataan berikut ini,
(a). x p(x) y q(y) (g). x y p(x,y) (b). x p(x) y q(y) (h). x y p(x,y) (c). x p(x) y q(y) (i). x y [p(x) q(y)] (d). x p(x) y ( q(y)) (j). x y [ p(x)q(y)]
______________________________________________
(f). x p(x) y q(y) (l). x y z p(x,y,z)
15. Ambil M = {1, 2, 3} adalah himpunan universal, tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini :
(a). x y (x y 1) (g) x y , x + y2 2 20 (b) x y (x y 1) (h) x y , x + y2 2 20 (c). x y , x + y2 2 13 (i) x y z, x + y2 2 z 2 (d). x y , x + y2 2 13 (j) x y z, x + y2 2 z 2 (e). x y , x + 2y < 102 (k) x y z, x + y2 2 z2 (f). x y , x + 2y > 10 2 (l) x y z, x + y2 2 z2 16. Tiadakanlah pernyataan no 15 diatas
17. Cari negasi dari pernyataan berkuantor berikut ini :
(1) ( x) ( y) p x, y
g) ( x) ( y) (p x
q y ) (2) ( x) ( y) p x, y
h) ( x) ( y), (p x, y
q y )
(3) ( x) ( y) ( z) P x, y,z
i) ( x) ( y), (p x
q y )
(4) ( x) ( y), (p x
q y )
j) ( y) p y
( x) q x
(5) ( x) ( y) (p x, y
q x, y )
k) ( x) p x
( x) q x
(6) ( y) ( x) (p x
q y ) l) ( x)p x
( x) q x
===@@@===