Prinsip Modus Ponen’s

METODE PEMBUKTIAN DAN PENARIKAN KESIMPULAN

4.3. Validasi Pembuktian (I)

4.4.1 Prinsip Modus Ponen’s

Prinsip modus ponen ini merupakan prinsip dasar logika matematika yang sangat sederhana, Konsep dasarnya adalah salah satu cara pengambilan kesimpulan (konklusi, argumentasi) yang paling sering digunakan, yang dibenarkan secara kaidah logika. Modus ponen bekerja berdasarkan premis kalimat majemuk jika p maka q bernilai benar. Misalnya kita menentukan kesimpulan dari dua permis berikut:

Premis 1: Hewan Mamalia Bernafas dengan paru-paru, Premis 2: Hewan ini adalah hewan mamalia.

Jadi Kesimpulannya adalah: Hewan ini bernafas dengan paru-paru.

Modus ponen ini sangat dekat dengan motode deduktif. Metode deduksi (atau logika deduktif, deduksi logis) adalah proses penalaran dari satu atau lebih pernyataan premis untuk mencapai kesimpulan logis tertentu.

Dalam contoh di atas, karena kita tahu bahwa ikan paus adalah hewan mamalia, maka melalui deduktif kita bisa menyimpulkan ikan paus juga bernafas dengan paru-paru.

Lebih detilnya kita lihat konsep dasar modus Ponens berikut:

Prinsip dasar:

Premis 1: p  q ( benar ) Premis 2: p ( benar ) Konklusi: q (benar)

Artinya : Jika pernyataan “p  q” bernilai benar dan pernyataan “p” bernilai benar maka dapat ditarik kesimpulan bahwa “q” pasti bernilai benar, dituliskan sebagai

{(pq)p} merupakan suatu tautologi. Dengan nilai kebenarannya dinyatakan q dalam tabel nilai kebenaran 4.1 berikut ini:

Tabel 4.1 Prinsip Modus Ponnens

p q p q (p q) p {(pq)p} q

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S S S B

Tautologi

Catatan: Jadi prinsip modus ponens {(pq)p} selalu bernilai benar (kolom terakhir) q Contoh (4.10):

a) Jika saya belajar maka saya lulus ujian, kenyataannya saya belajar. Kesimpulannya saya lulus ujian

Pembahasan:

Misalnya: p: pengganti pernyataan “saya belajar”

&

q: pengganti pernyataan “saya lulus ujian”

Sehingga menjadi:

Premis 1 : p q Premis 2 : p

Kesimpulan : q (modus Ponens) Jadi kesimpulannya: Saya lulus ujian (Valid)

b) Jika bulan Ramadhan kuliah diliburkan, mbak Niken akan berlibur ke Jepang.

Kenyataannya bulan Ramadhan kuliah diliburkan. Maka dapat disimpulkan bahwa mbak Niken akan berlibur ke Jepang

Pembahasan:

Misalkan: R: “bulan Ramadhan kuliah diliburkan”

N: “mbak Niken akan berlibur ke Jepang”

Dengan menggunakan kaidah modus Ponens, dapat disusun premis-premis sebagai berikut:

Premis 1 : R N Premis 2 : R

Kesimpulan: N (modus Ponens)

Jadi kesimpulannya adalah mbak Niken akan berlibur ke Jepang (Valid) 4.4.2 Prinsip Modus Tollens

Prinsip Modus Tollens adalah salah satu cara pengambilan kesimpulan (argumentasi) yang dibenarkan secara kaidah logika. Prinsip ini bekerja berdasarkan Premis berbentuk jika p maka q dituliskan p  q . Dengan mengambil kesimpulan jika tidak q maka tidak p.

Modus Tollens juga disebut aturan kontrapositif. Misalnya:

Premis1: Jika minuman keras maka minuman itu haram.

Premis2: Minuman ini tidak haram Kesimpulan: Ini bukan minuman keras

Dari contoh tersebut dapat dituliskan dalam prinsip dasa sebagai berikut:

Prinsip Modus Tollens

Premis 1 : p  q notasi lain dapat dituliskan

 Premis 1 : p  q Premis 2 : q Premis 2 : q Konklusi : p (valid) Kesimpulan: p

Artinya : Jika pernyataan (p  q) bernilai benar danq bernilai benar maka dapat disimpulkanp pasti bernilia benar.

Dinyatakan sebagai {(pq)q}p merupakan tautologi (Kolom terakhir dari tabel 4.3)

&

&

&

&

______________________________________________

Tabel 4.3 Prinsip Modus Tollens

p q p q p q (pq)q {(pq)q}p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Tautologi Catatan: Jadi prinsip modus Tollens {(pq)q}p selalu bernilai benar Contoh (4.11): kembali ke contoh diatas

Misalnya: p: “minuman keras”, dan p : bukan minuman keras

q: “minuman itu haram” dan q : “minuman itu tidak haram”

Maka dapat dituliskan sebagai prinsip Modus Ponens Premis1: p  q

Premis2: q Kesimpulan: p (valid)

Selanjutnya jika terdapat argument seperti di bawah ini, akan diperoleh kesimpulan yang salah, yang sering terjadi dalam diskusi- diskusi di kelas sebagai berikut:

Contoh (4.12): kembali ke contoh (4.10) Jika argumennya seperti berikut ini:

Premis1: Jika minuman keras maka minuman itu haram.

Premis2: Minuman ini bukan minuman keras Kesimpulan: Minuman ini tidak haram Dapat dituliskan sebagai:

Premis 1: p q Premis 2: p

Kesimpulan: q (salah!) , tidak valid

Jadi kesimpulannya: minuman ini tidak haram adalah suatu argument yang salah (tidak mengikuti kaidah atau prinsip modus ponens ataupun modus Tollens)

Alasannya: bagi orang Islam, daging babi itu bukan minuman keras tetapi haram.

Sehubungan dengan implikasi p mempunyai nilai logika yang sama dengan q kontraposisinya qp, maka kita coba menunjukan bahwa bentuk implikasi premis 1 pada modus Tollens p diganti dengan kontraposisinya q qp. Sehingga diperoleh:

Premis 1 : p  q diganti bentuk Premis 1 : q  p Premis 2 : q Premis 2 : q Konklusi : p Konklusi : p



Ini prinsip Modus Ponnens

& &

Jadi sebenernya bentuk lain dari Prinsip Modus Tollens adalah juga modus Ponnens, jika pernyataan p diganti q dan q diganti p dan selalu bernilai benar. Jadi bentuk modus Tollens adalah modus Ponens,

Artinya : Jika pernyataan qp bernilai benar danq bernilai benar maka dapat disimpulkanp pasti bernilai benar. Dinyatakan sebagai {(qp)q}p merupakan tautologi (Kolom terakhir dari tabel 4.4)

Tabel 4.4 Prinsip Modus Tollens

p q p q q  p (qp)q {(qp)q}p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Tautologi Contoh (4.13):

Jika diketahui

Premis 1: Jika saya tidak lulus ujian maka saya tidak belajar Premis 2: Saya tidak lulus ujian

Kesimpulan: Saya tidak belajar Pembahasan:

Misalkan: p: “saya belajar” dan p: “saya tidak belajar”

q: “saya lulus ujian” dan q: “saya tidak lulus ujian”

Soal diatas dapat ditulis sebagai:

(1) Premis 1 : p  q

kontraposisin atau bentuk

ya (2) Premis 1 : q  p Premis 2 : q Premis 2 : q

Kesimpulan : p Kesimpulan : p Bentuk (1) dan (2) mempunyai logika yang sama, p  q  q  p

(1) Dibaca: jika saya belajar maka saya lulus ujian. Ternyata Saya tidak lulus ujian.

Kesimpulanya saya tidak belajar. (prinsip modus Tollens)

(2) Dibaca: jika saya tidak lulus ujian maka saya tidak belajar. Ternyata Saya tidak lulus ujian. Kesimpulanya saya tidak belajar. (prinsip modus Ponnens)

(1) Dan (2) dua-duanya bernilai valid 4.4.3 Prinsip Silogisme

Silogisme merupakan salah satu pengambilan kesimpulan yang valid menurut kaidah logika yang terdiri atas premis mayor, premis minor dan kesimpulan. Silogisme bekerja dari dua premis yang berbentuk implikasi (jika p maka q dan jika q maka r) dan satu kesimpulan. Kadang-kadang dua premis itu disebut premis 1 (premis mayor, premis umum)

&

& &

______________________________________________

dan premis 2 (premis minor, premis khusus). Prinsip silogisme dapat dituliskan sebagai berikut:

Prinsip dasar Silogisme:

Premis 1 : p  q Premis 2 : q  r

Konklusi : p  r

Artinya : Jika pernyataan (p  q) bernilai benar dan (q  r) bernilai benar maka dapat disimpulkan bahwa kalimat (p  r) bernilai benar. Dengan nilai kebenaran

(pq) (q  r) (pr) dapat dinyatakan sebagai tabel 4.5 berikut ini Tabel 4.5 Prinsip Silogisma

p q r p q q pr  r (p q) (qr) (pq) (q  r) (pr)

B B B B B B B B

B B S B S B S B

B S B S B S S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B

Tautologi

Catatan : Hukum transitif dapat digunakan untuk membuktikan kalimat-kalimat lebih dari 2 ekuivalen seperti : p   q r s t

Caranya: Dibuktikan rangkaian implikasi tertutupnya, p    q r s t p Contoh (4.14) : silogisme yang valid

Jika kamu benar maka saya bersalah. Jika saya bersalah saya minta maaf. Maka konklusinya adalah jika kamu benar, saya minta maaf

Pembahasan:

Misalkan: p: kamu benar q: saya bersalah r: saya minta maaf

Premis 1: Jika kamu benar maka saya bersalah ^Notasi P1: p q Premis 2: Jika saya bersalah, saya minta maaf P2: q r Konklusi: Jika kamu benar, saya minta maaf Kesimp: p r (Silogisme-valid) Contoh (4.15) : silogisme yang valid

Jika x bilangan real, maka x² 0. Jika x² 0, maka (x²2)0. Maka dapat disimpulkan bahwa jika x bilangan real maka (x²2)0

Pembahasan:

&

&

Misalkan: p: x bilangan real q: x² 0

r: (x²2)0

Premis 1: Jika x bilangan real, maka x² 0 ^Notasi P1: p q Premis 2: Jika x² 0, maka (x²2)0, P2: q r Konklusi : Jika x bilangan real maka (x²2)0 Kesimp: p r (Silogisme-valid) 4.4.4 Silogisme Kategorial

Silogisme kategorial adalah silogisme yang semua proposisinya merupakan kategorial. Misalnya ada argument: “Semua tumbuhan membutuhkan air. Akasia adalah tumbuhan maka kesimpulannya adalah Akasia membutuhkan air “

Ada beberapa hukum Siligisme Kategorik:

1) Apabila salah satu premis bersifat partikular, maka kesimpulan harus partikular juga.

Contoh (4.16):

Premis 1: Semua yang halal dimakan menyehatkan Premis 2: Sebagian makanan tidak menyehatkan.

Kesimpulannya: Sebagian makanan tidak halal dimakan.

2) Apabila salah satu premis bersifat negatif, maka kesimpulannya harus negatif juga.

Contoh (4.17):

Premis 1: Semua korupsi tidak disenangi . Premis 2: Sebagian pejabat korupsi.

Kesimpulannya: Sebagian pejabat tidak disenangi.

3) Apabila kedua premis bersifat partikular, maka tidak sah (tidak valid) kalua diambil kesimpulan.

Contoh (4.18):

Premis 1: Beberapa politikus tidak jujur Premis 2: Bambang adalah politikus.

Kesimpulannya: tidak bisa disimpulkan.

Jika dibuat kesimpulan, hanya bersifat kemungkinan (bukan kepastian).

Misalnya, Kesimpulannya adalah “Bambang mungkin tidak jujur”

4) Apabila kedua premis bersifat negatif, maka kesimpulannya tidak sah (tidak valid) Contoh (4.19):

Premis 1: Kerbau bukan bunga mawar . Premis 2: Kucing bukan bunga mawar .

Kesimpulannya: tidak mempunyai kesimpulan

5) Apabila term penengah dari suatu premis tidak tentu, maka kesimpulannya tidak sah (tidak vaid)

______________________________________________

Contoh (4.20):

Premis 1: semua ikan berdarah dingin.

Premis 2: Binatang ini berdarah dingin.

Maka kesimpulannya: binatang ini adalah ikan?

Mungkin saja binatang melata.

6) Term-1 dalam kesimpulan harus konsisten dengan term 1 yang ada pada premisnya.

Apabila tidak konsisten, maka kesimpulannya akan salah (tidak valid).

Contoh (4.21):

Premis 1: Kerbau adalah binatang.

Premis 2: Kambing bukan kerbau.

Kesimpulannya: Kambing bukan binatang?

Binatang pada konklusi merupakan term negatif sedangkan pada premis 1 bersifat positif

7) Term penengah harus bermakna sama, baik dalam premis 1 (mayor) maupun premis 2 (minor). Bila term penengah bermakna ganda kesimpulan menjadi lain dan tidak valid.

Contoh (4.22):

Premis 1: Bulan itu bersinar di langit Premis 2: Januari adalah bulan

Kesimpulannya: Januari bersinar dilangit?

8) Silogisme harus terdiri tiga term, yaitu term 1 (premis 1), term 2 (premis 2), dan term 3 adalah kesimpulan. Jika tidak demikian, maka tidak bisa diturunkan konklsinya.

Contoh (4.23):

Premis 1: Kucing adalah binatang.

Premis 2: Domba adalah binatang.

Premis 3: Beringin adalah tumbuhan.

Premis 4: Sawo adalah tumbuhan.

Dari ke 4 premis tersebut tidak dapat diturunkan kesimpulannya 4.4.5 Silogisme Hipotetik

Silogisme hipotetik adalah argumen yang premis mayornya berupa proposisi hipotetik, sedangkan premis minornya adalah proposisi katagorik. Ada 4 (empat) macam tipe silogisme hipotetik:

a) Silogisme hipotetik yang premis minornya mengakui bagian antecedent.

Contoh (4.24):

Premis 1: Jika hujan saya naik becak. P1: p q Premis 2: Sekarang hujan P2: p Kesimpulannya: Saya naik becak Kesp q

Tabel 4.6 Tabel nilai kebenaran [(pq) p] q

p q p q [(pq) p] [(pq) p] q

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Tautologi

b) Silogisme hipotetik yang premis minornya mengakui bagian konsekuennya.

Contoh (4.25):

Premis 1: Jika hujan, bumi akan basah P1: p q Premis 1: Sekarang bumi telah basah P2: q

Kesimpulan: Hujan telah turun Kesp p (Invalid) Tabel 4.7 Tabel nilai kebenaran [(pq) q] p

p q p q [(pq)q] [(pq) q] p

B B B B B

B S S S B

S B B B S

S S B S B

Bukan Tautologi c) Silogisme hipotetik yang premis minornya mengingkari antecedent.

Contoh (4.26):

Premis 1: Jika politik pemerintah dilaksanakan dengan paksa, maka kegelisahan akan timbul.

Premis 2: Politik pemerintahan tidak dilaksanakan dengan paksa.

Kesimpulan: Kegelisahan tidak akan timbul.

Pembahasan: misal p: politik pemerintah dilaksanakan dengan paksa p: politik pemerintah tidak dilaksanakan dengan paksa q: kegelisahan akan timbul

q: kegelisahan tidak akan timbul Sehingga ditulis: Premis 1: p q

Premis 2: p

Kesip: q (Invalid)

Tabel 4.8 Tabel nilai kebenaran [(pq) p] q

p q p q p q (pq) p [(pq) p] q

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B B S

S S B B B B B

______________________________________________

d) Silogisme hipotetik yang premis minornya mengingkari bagian konsekuennya.

Contoh (4.27):

Premis 1: Bila mahasiswa turun ke jalanan, pihak penguasa akan gelisah.

Premis 2: Pihak penguasa tidak gelisah.

Kesimpulan: Mahasiswa tidak turun ke jalanan.

Pembahasan: missal p: mahasiswa turun ke jalanan p: mahasiswa tidak turun ke jalanan q: pihak penguasa akan gelisah q: pihak penguasa akan gelisah Sehingga ditulis: Premis 1: p q

Premis 2: q

Kesip: p (Valid)

Tabel 4.9 Tabel nilai kebenaran [(pq) q] p

p q p q p q (pq)q [(pq) q] p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Tautologi Hukum-hukum Silogisme Hipotetik:

Jika antecedent dinyatakan dengan lambang P dan konsekuen dengan Q, maka hukum silogisme hipotetik dinyatakan sebagai berikut:

1) Jika P terlaksana maka Q juga terlaksana. (Valid)

2) Jika P tidak terlaksana maka Q tidak terlaksana. (tidak sah = Invalid) 3) Jika Q terlaksana, maka P terlaksana. (tidak sah = Invalid)

4) Jika Q tidak terlaksana maka P tidak terlaksana. (valid) 4.4.6 Silogisme Disjungtif

Silogisme disjungtif adalah silogisme yang premis mayornya merupakan keputusan disyungtif sedangkan premis minornya bersifat kategorik yang mengakui atau mengingkari salah satu alternatif yang disebut oleh premis mayor. Ada beberapa contoh silogisme disjungtif yang dapat dituliskan, valid tidaknya bergantung pada tabel nilai kebenarannya berupa tautology atau bukan. Di bawah ini diberikan beberapa bentuk silogisme disjungtif:

Contoh (4.28)

a) Premis1: Heri jujur atau berbohong. ^Notasi P1: pq Premis 2: Ternyata Heri berbohong P2: q

Konklusi : Ia tidak jujur Kesimp: p (Invalid)

Tabel 4.6a. Tabel kebenaran {(pq)q}p

p q p p  q (p q) q {(pq)q}p

B B S B B S

B S S B S B

S B B B B B

S S B S S B

Bukan Tautologi b) Premis 1: Budi menjadi guru atau pelaut. ^Notasi P1: pq

Premis 2: Budi adalah guru. P2: p

Kesimpulan: Maka Budi bukan pelaut. Kesimp: q (Invalid) Tabel 4.6b Tabel kebenaran {(pq)p}q

p q q p  q (p q) p {(pq)p}q

B B S B B S

B S B B B B

S B S B S B

S S B S S B

Bukan Tautologi c) Premis1: Hasan di rumah atau di pasar. ^Notasi P1: pq Premis2: Ternyata hasan tidak di rumah. P2: p

Konklusi: Hasan di pasar Kesimp: q (valid) Tabel 4.6c. Tabel kebenaran {(pq)p}q

p q p p  q (pq)p {(pq)p}q

B B S B S B

B S S B S B

S B B B B B

S S B S S B

Tautologi

d) Premis 1: Penjahat itu lari ke Solo atau ke Yogyakarta. ^Notasi P1: pq Premis 2: Ternyata tidak lari ke Yogyakarta P2: q Kesimpulan: Dia lari ke Solo? Kesimp: p (valid)

Tabel 4.6d. Tabel kebenaran {(pq)q} p

p q q p  q (pq) q {(pq)q} p

B B S B S B

B S B B B B

S B S B S B

S S B S S B

Tautologi

______________________________________________

Kesimpulan dari contoh diatas tampak bahwa dari tabel 4.6c dan tabel 4.6d pada kolom terakhir adalah tautology (valid), sehingga dipakai sebagai dasar silogisme disjungtif:

Prinsip dasar 1:

Premis 1: p  q Premis 2: ~p

Konklusi: q (Valid)

Artinya : Jika pernyataan (p  q) bernilai benar danp bernilai benar, maka dapat disimpulkan kalimat g pasti bernilai benar. Dinyatakan {(pq)p} adalah tautologi. q Sehingga dikatakan sebagai prinsip silogisme disjungtif yang valid.

Prinsip dasar 2:

Premis 1: p  q Premis 2: ~q

Konklusi: p (Valid)

Artinya : Jika pernyataan (p  q) bernilai benar danq bernilai benar, maka dapat disimpulkan kalimat p pasti bernilai benar. Dinyatakan {(pq)q} adalah tautologi. p Sehingga dikatakan sebagai prinsip silogisme disjungtif yang valid.

Contoh (4.29):

Premis 1: Pengalaman ini berbahaya atau membosankan Premis 2: Pengalaman ini tidak membosankan

Konklusi: Pengalaman ini berbahaya Pembahasan:

Dengan Notasi: misalkan p: pengalaman ini berbahaya, q: pengalaman ini membosankan Diperoleh: Premis 1: p  q

Premis 2: ~q

Konklusi: p (Valid)

Di bawah ini diberikan contoh-contoh silogisme disjungtif yang tidak valid, walaupun kelihatannya logis.

Contoh (4.30):

Prinsip dasar: Premis 1: p ∨ q Premis 2: q

Konklusi : ~ p (tidak valid) Nilai kebenarannya sesuai tabel 4.6a bukan tautologi

Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid.

&

&

&

&

Contoh (4.31) Konjungsi

Premis 1 : p Premis 2 : q Konklusi : p  q

Artinya : p benar, q benar dan p  q benar.

Contoh (4.32): Aturan Tambahan (Addition) Premis 1 : p Konklusi : p  q

Artinya : p benar, dan p  q benar (tidak peduli q bernilai benar atau salah) 4.4.7 Dilema Konstruktif dan Dilema Destruktif

Selanjutnya terdapat dua bentuk argument lain yang bernilai valid yaitu Dilema Konstruktif dan Dilema Destruktif.