Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial

KUANTOR UNIVERSAL DAN EKSISTENSIAL

3.5. Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial

Kuantor adalah suatu istilah yang menyatakan “berapa banyak” anggota suatu obyek dalam semesta yang memenuhi dalam fungsi pernyataan. Kuantor dalam matematika berupa penambahan istilah semua atau terdapat didalam fungsi pernyataan yang belum mempunyai nilai kebenaran.

Perhatikan kalimat berikut

a) Makasar ibukota jawa timur

b) X adalah binatang berkaki empat, X = {kuda, burung, ular, singa}

Kalimat a). merupakan pernyataan bernilai salah. Kalimat b). bukan pernyataan, sebab belum punya nilai kebenarannya. Dan disebut kalimat terbuka. Jika X diganti dengan “kuda”

atau “singa”, maka kalimat b) bernilai benar. Tetapi jika X diganti “burung” atau “ular”, maka kalimat bernilai salah.

Sekarang apa yang terjadi jiaka kalimat terbuka pada b) ditambahkan suatu kuantor?

Seperti berikut:

1) Ditambah dengan kalimat semua

Kalimat b) menjadi: “untuk semua X adalah binatang berkaki empat”

Merupakan pernyataan bernilai salah 2) Ditambah dengan kalimat terdapat

Kalimat b) menjadi: “Terdapat X adalah binatang berkaki empat”

Merupakan pernyataan bernilai benar

______________________________________________

Kata-kata semua atau terdapat diatas disebut dengan pernyataan berkuantor (quantifier). Kuantor tersebut menunjukan banyaknya pengganti peubah x, sehingga diperoleh suatu pernyataan berkuantor yang bernilai benar saja atau salah saja.

3.5.1. Kuantor Universal (Umum)

Kuantor universal atau kuantor umun adalah ungkapan kata yang menyatakan keseluruhan, dan biasanya dinyatakan dengan kata semua (setiap, seluruh, tiap-tiap) yang menunjukan bahwa semua anggota memiliki kondisi yang sama. Kuantor universal diberi simbol khusus “” yang dibaca:

“untuk semua”, “untuk setiap”, “untuk tiap-tiap”.

Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada suatu himpunan A, dimana himpunan A adalah semesta pembicaraanya, maka notasi: “(x) (x A) p(x)” , “(x  A) p(x)” , atau “x p(x)” dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x didalam himpunan A, sedemikian hingga x mempunyai sifat p” merupakan pernyataan yang benar. Ada beberapa macam ucapan-ucapan (x  A) p(x) yaitu:

 Untuk setiap x  A berlakulah x mempunyai sifat p

 Semua x, berlaku x mempunyai sifat p

 Tiap-tiap x, x memenuhi sifat p Contoh (3.7):

Tulis dengan symbol kuantor a) Semua manusia tidak kekal b) Semua gajah mempunyai belalai c) Semua orang harus bekerja

d) Setiap bilangan genap dapat dibagi 2 e) Semua bilangan prima adalah bilangan asli Pembahasan:

a) Semua manusia tidak kekal

“Semua” Kuantor universal Ditulis: (x) M(x)K(x)

Dimana: M sebagai pengganti manusia, dan K sebagai pengganti tidak kekal Dibaca: untuk setiap x, jika x adalah manusia, maka x tidak kekal

b) Semua gajah mempunyai belalai

“Semua” Kuantor universal Ditulis: (x) G(x)B(x)

Dimana: G sebagai pengganti gajah, dan B sebagai pengganti mempunyai belalai.

Dibaca: Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai c) Semua orang harus bekerja

“Semua” Kuantor universal

Misal: O sebagai pengganti orang, dan B sebagai pengganti harus bekerja Ditulis: (x) (O(x)B(x))

Dibaca: Untuk semua x. jika x adalah orang, maka x harus bekerja d) Setiap bilangan genap habis dibagi 2.

“Setiap” Kuantor universal

Misal:G sebagai pengganti bilangan genap, dan B sebagai pengganti dapat dibagi 2 Dituliskan: (x) (G(x)B(x,2))

Dibaca: Untuk setiap x, jika x bilangan genap, maka x habis dibagi 2 e) Semua bilangan prima adalah bilangan asli

“Semua” Kuantor universal

Misal: P = bilangan prima, dan A = bilangan asli Ditulis: (x) P(x) A(x)

Dibaca: Untuk semua x, jika x bilangan prima maka x adalah bilangan asli Contoh (3.8):

Misalnya pernyataan x + 3 < 10 dengan x < 5 yang berada dalam himpunan bilangan bulat positip B. Tentukan nilai kebenaran dari (x) x  B, x + 3 > 10

Pembahasan:

Untuk menentukan nilai kebenarannya, perlu ngecek satu persatu B = {1,2,3,4}

X = 1  1 + 3 < 10, memenuhi X = 2  2 + 3 < 10, memenuhi X = 3  3 + 3 < 10, memenuhi X = 4  4 + 3 < 10, memenuhi

Sehingga pernyataan x + 3 < 10 bernilai benar 3.5.2. Kuantor Eksistensial (Khusus)

Dalam pemeriksaan suatu pernyataan berkuantor tidak selalu memenuhi sebagai kuantor universal, sehingga perlu penyajian lain yaitu kuantor eksistensial. Kuantor eksistensial sering disebut juga kuantor khusus adalah ungkapan kata yang menunjukan keberadaan khusus dan dinyatakan dengan kata terdapat (ada, beberapa, sekurang kurangnya satu) anggota yang memiliki kondisi atau sifat tertentu. Kuantor khusus ini diberi simbol “” dibaca:

“Terdapat”, “ada”, “paling sedikit satu”, “sekurang-kurangnya satu”, “beberapa”

Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunan A, dimana himpunan A adalah semesta pembicaraanya, maka notasi: “(x) (x A) p(x)” , “(x  A) p(x)” , atau “x p(x)”

dibaca sebagai “Terdapat x dalam himpunan A, sedemikian hingga x mempunyai sifat p”

merupakan pernyataan yang benar. Ada beberapa macam ucapan (x  A) p(x) yaitu:

 Terdapat x A, maka x mempunyai sifat p

 Ada x  A sedemikian hingga x mempunyai sifat p.

 Paling sedikit ada satu x  A mempunyai sifat p

 Sekurang-kurangnya satu x  A mempunyai sifat p

 Beberapa x, x mempunyai sifat p.

Contoh (3.9):

Tulis dengan symbol kuantor

a) Ada mahasiswa yang memperoleh beasiswa berprestasi

______________________________________________

b) Beberapa orang islam rajin beribadah ke masjid c) Ada ABRI wanita

d) Ada bilangan prima yang genap

e) Ada binatang yang tidak mempunyai kaki Pembahasan:

a) Ada mahasiswa yang memperoleh beasiswa berprestasi

“Ada”  Kuantor eksistensial

Misal: M sebagai pengganti mahasiswa, dan B sebagai pengganti memperoleh beasiswa berprestasi

Selanjutnya dituliskan : (x) M(x)  B(x)

Dibaca: ada x dimana x adalah mahasiswa, dan x memperoleh beasiswa berprestasi b) Beberapa orang islam rajin beribadah ke masjid

“Beberapa”  Kuantor eksistensial

Misal: O sebagai pengganti orang islam, dan R sebagai pengganti rajin beribadah ke masjid.

Dituliskan: (x) O(x)  R(x)

Dibaca: beberapa x, dimana x adalah orang islam, dan x rajin beribadah ke masjid c) Ada ABRI wanita

“Ada”  Kuantor eksistensial

Misal: A sebagai pengganti ABRI, dan W sebagai pengganti wanita Dituliskan: (x) A(x)  W(x)

Dibaca: ada x, dimana x adalah ABRI, dan x adalah wanita d) Terdapat bilangan prima yang genap

“Terdapat”  Kuantor eksistensial

Misal: P= bilangan prima, dan G = genap (even).

Selanjutnya, ditulis: (Ǝx) (P(x)  G(x))

Dibaca: Terdapat x, dimana x adalah bilangan prima dan x adalah genap f) Ada binatang yang tidak mempunyai kaki

“Ada”  Kuantor eksistensial

Misal: B sebagai pengganti binatang, dan K sebagai pengganti mempunyai kaki Selanjutnya, dituliskan (Ǝx) (B(x)  K(x))

Dibaca: ada x, dimana x itu suatu binatang dan x tidak mempunyai kaki Contoh (3.10):

a) Jika diketahui semestanya A adalah himpunan dari semua bilangan asli, maka pernyataan, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan (x) x + 1 < 5

b) Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (xB) x² = x

c) Tentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan (x) r(x), jika r(x) = 3x > 1 yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli

Pembahasan:

a) A = {1, 2, 3, 4, 5, . . . . }. Pernyataan: (x) x + 1 < 5 dapat dibaca: “terdapat x bilangan asli dan x memenuhi persamaan x + 1 < 5”.

Berarti nilai x yang memenuhi adalah bilangan 1, 2, 3

Karena yang dibutuhkan sekurang-kurangnya satu saja, maka pernyataan (x) x + 1 < 5 akan bernilai benar

b) Pernyataan: (x) (x B) x² = x dapat dibaca “ ada x adalah bilangan bulat dan x memenuhi x² = x”

Ditunjukan paling sedikit ada satu x bilangan bulat dan x memenuhi x² = x Ambil x = 1, maka ( 1) ² 1  tidak memeuhi

x = 1^{, maka} (1)² 1  memenuhi

Karena yang dibutuhkan hanya ada satu nilai saja, maka pernyataan (x) (x B) x² = x bernilai benar

c) A = {1, 2, 3, 4, 5, . . . . }. Pernyataan: (x) r(x), jika r(x) = 3 + x > 1, dibaca: “ Sekurang-kurangnya satu x dalam himpunan A, dan x memenuhi sifat 3 + x > 1”

Karena tidak ada satupun bilangan yang memenuhi pernyataan r(x) = 3 + x > 1, maka pernyataan (x) (3 + x > 1) bernilai salah.

Pemberian notasi dalam pernyataan berkuantor perlu diperhatikan, bagaimana huruf besar menggantikan predikat dan huruf kecil menggantikan variable (obyek). Selain contoh diatas misalnya:

1. Badu seorang mahasiswa, ditulis M(b)

2. Jika safitria rajin belajar, maka ia akan lulus ujian, ditulis B(s)  L(s) 3. Rumput berwarna hijau, ditulis H(x)

Tetapi kita tidak perlu harus menggunakan huruf kecil x untuk variable yang umum, tetapi yang penting konsisten contohnya:

a) Semua orang harus bekerja. Misalnya O = orang, B = harus bekerja (x) [O(x)B(x)]

b) Beberapa mahasiswa lulus sarjana. Misalnya M = mahasiswa, L = lulus sarjana (x) (M(x)  L(x))

c) Ada sesuatu yang hilang di desa condongcatur. Misalnya H = sesuatu yang hilang, C = desa Condongcatur

(x) (H(x)  C(x))

Dari berbagai contoh diatas dapat disimpulkan bahwa

Jika pernyataan memakai kuantor universal (), maka digunakan operator perangkai implikasi () yaitu “jika semua …, maka…”. Dan jika pernyataan memakai kuantor eksistensial (), maka digunakan operator perangkai konjungsi (  ) yaitu “jika ada … yang

… dan ….”