MATEMATIKA SMA/ MA
8.8 INVERS MATRIKS PERSEGI ORDO 2 X 2
Untuk setiap bilangan real n yang bukan nol selalu mempunyai perkalian sedemikian sehingga:
n(n-1) = 1 – dan (n-1)n = 1
perhatikan matriks 2 x 2, seperti contoh berikut. Jika
A= dan B = Maka
AB= =
Dari hasil tersebut terlihat bahwa AB = BA = I. Seperti pada sistem bilangan real, maka B disebut matriks invers perkalian dari matriks A yang dinotasikan dengan A-1, dan sebaliknya A adalah matriks invers perkalian dari matriks B yang dinotasikan dengan B-1.
Untuk selanjutnya, invers perkalian suatu matriks A cukup disebut dengan invers dari matriks A. Berdasarkan uraian di atas, maka secara umum dapat dikatakan bahwa:
Jika matriks A dan B adalah matriks yang berordo 2 x 2 sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B.
Secara umum kita dapat mencari rumus invers matriks ordo 2 x 2 sebagai berikut : Jika A= dan = Maka = = = Sehingga diperoleh : ap + br = 1 .... (1) cp + dr = 0 .... (2) ap + bs = 0 .... (3) cq + ds = 1 .... (4)
dengan menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut, diperoleh :
Jadi,
Dalam hal ini (ad – bc) disebut determinan matriks A dan dinotasikan dengan |A|.
1. Tentukan hasil kali tiap pasangan matriks berikut :
JAWAB : a. b. = = IA = A b. = IA = A 2. Jika , tentukan A-1 Jawab : Maka, atriks
Sola Latihan ! .
Carilah jumlah dari matriks tersebut :
1. + =
3. + =
4. Dik : matriks A = B=
C =
Jika A+B =C, maka nilai p,q, dan r berurut-urut adalah...??????
5. Jika X adalah matriks 2x2 selesaikanlah persamaan berikut :
X + =
Sederhanakanlah matriks berikut :
1. - =
2. - =
3. Hitunglah hasil dari :
=
4. Jika X adalah matriks 2x2, selesaikan persamaan :
X - =
5. - =
Hitunghlah !
1.Dik : matriks A= dan B = , Maka A²B =
2.Jika A = B = , tentukan : a. AB b. BA 3. x = 4. x = 5. Dik : B = Hitunglah AB dan BA ? Hitunglah ! 1. Jika A = tentukan A ¹ =...
2. Jika dik : A = dan B = A.C = B , det C ... ?
3. Jika dik : P = dan Q =
4. Jika A = tentukan A-¹ =....
5. Jika dik R = dan S
BAB IX Vektor
9.1 Definisi
Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah tertentu. Suatu vektor dinamai dengan huruf kecil dengan tanda panah di atasnya, misalnya dan . Di samping itu, vektor juga sering dinotasikan dengan huruf kecil cetak tebal, misalnya a, b, c. Besar atau panjang suatu vektor, misalnya besar vektor , di notasikan dengan . Secara geometris, suatu vektor dapat di gambarkan sebagai ruas garis berarah.
A
Bentuk umum vektor biasanya di tulis dengan . Ket: A = pangkal vektor
B = ujung vektor
9.2 Operasi Aljabar pada Vektor
Sebagaimana bilangan, pada vektor juga berlaku operasi aljabar, seperti penjumlahan dan pengurangan.
a. Penjumlahan Vektor
Secara umum penjumlahan vektor dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan suatu vektor adalah hasil penjumlahan dua buah vektor dan . Vektor disebut resultan dari vektor dan . Secara aljabar, vektor dapat diperoleh dengan:
Misalkan dan , maka
Sedangkan secara geometris, vektor dapat diperoleh dengan dua cara, yaitu dengan aturan jajargenjang dan aturan segitiga.
1.) Aturan Jajargenjang
Terlebih dahulu, geser vektor sehingga titik pangkal berhimpit atau bertemu dengan titik pangkal . Dalam hal ini, vektor tidak berubah besar dan arahnya. Selanjutnya, buatlah jajargenjang semu yang dibentuk oleh vektor dan ( perhatikan gambar). Vektor
adalah vektor yangberhimpit dengan diagonal utama jajargenjang tersebut.
2.) Aturan Segitiga
Terlebih dahulu, geser vektor sehingga titik pangkal vektor berhimpit dengan titik ujung vektor . Dalam hal ini , vektor tidak berubah besar dan arahnya. Vektor adalah vektor yang titik pangkalnya berhimpit dengan titik pangkal vektor , sedangkan titik ujungnya (vektor ) berhimpit dengan titik ujung .
Misalkan dan adalah vektor-vektor sembarang, maka pada operasipenjumlahan berlaku sifat-sifat:
1. Sifat komutatif :
141 3. Sifat identitas :
4. Ketidaksamaan segitiga :
b. Pengurangan Vektor
Jika arah suatu vektor berlawanan dengan arah vektor semula, misalnya vektor , asalkan besarnya sama, dapat dituliskan dengan . Vektor disebut sebagai lawan vektor .
Misalkan vektor adalah lawan vektor maka vektor memiliki besar yang sama dengan , ditulis . Akan tetapi, vektor memiliki arah yang berlawanan dengan vektor . Dalam hal ini, vektor dapat di tuliskan dengan .
Secara aljabar, pengurangan vektor dan dapat diperoleh dengan:
Misalkan dan , maka
Secara geometris pengurangan vektor dan digambarkan sama seperti penjumlahan vektor hanya saja dengan arah vektor yang berlawanan.
c. Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika bilangan positif, maka adalah vektor yang arahnya sama dengan dan besarnya . Sementara itu, adalah vektor yang arahnya berlawanan dengan dan besarnya .
Secara aljabar perkalian vektor dapat di peroleh dengan:
Misalkan adalah suatu skalar dan maka Secara geometris perkalian vektor dapat di peroleh dengan
Sifat-sifatnya:
1. Perkalian vektor dengan bilangan real ditulis ¸dengan panjang vektor sama dengan kali panjang vektor dan,
a. Jika maka vektor searah dengan vektor
b. Jika maka vektor berlawanan arah dengan arah vektor
c. Jika maka
2. 3. 4. dan 5. 6. 7. 8. 9.
9.3 Vektor pada Bidang (R2) di Tinjau dari Sudut Aljabar a. Vektor Posisi pada Bidang
Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkal O(0,0) dan ujungnya di titik itu. Vektor posisi dapat dinyatakan sebagai
1. => vektor baris
2. => vektor kolom 3. . => vektor basis
Dengan memanfaatkan sifat penjumlahan dan pengurangan vektor kita dapat menentukan vektor yang menghubungkan dua titik A danB.
Jika dan merupakan dua titik di bidang, maka .
b. Operasi Aljabar pada Vektor
Operasi pada vektor dengan pendekatan aljabar, biasanya vektor-vektor di
c. Panjang Vektor pada Bidang
Jika adalah titik di bidang, maka P ditentukan oleh vektor posisi yang mewakili vektor ditulis atau ditentukan oleh rumus: Misalkan dan adalah bilangan real (skalar).
1. Kesamaan Vektor
Jika , maka dan 2. Penjumlahan Vektor
Jika maka
a. Unsur Identitas adalah vektor nol b. Invers aditif dari vektor adalah vektor
3. Pengurangan Vektor
d. Perkalian Skalar Dua Vektor
Hasill kali skalar dua vektor dan dan dinotasikan oleh . Misalkan vektor dan membentuk sudut , mak perkalian skalra dua vektor didefinisikan sebagai berikut:
, dengan 0 180
Sehingga rumus besar sudut antara dua vektor adalah dan :
Jika dan , maka hasil kali skalar dari vektor dan ditulis (dibaca: kali titik ) didefinisikan sebagai
9.4 Perbandingan Ruas Garis dalam Bentuk Vektor
Pada gambar di atas, di ketahui vektor posisi titik P dan Q berturut-turut adalah dan . Titik R pada ruas garis mempunyai perbandingan
atau . Jika vektor posisi titik adalah , untuk menentukan vektor dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:
Jadi, berdasarkan gambar di atas, vektor dapat ditentukan dengan rumus:
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor
Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor lain