BAB I
FUNGSI
1.1 Definisi Fungsi
Anggap masing – masing unsur di himpunan A dapat dipasangkan dengan tepat suatu unsur di himpunan B. Pernyataan ini disebut suatu fungsi. Bila pernyataan itu dinyatakan dengan f, maka fungsi ditulis f : A → B dan dibaca “f adalah fungsi dari A ke B”.
Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan dari A ke B di mana untuk setiap x є A dipasangkan tepat dengan satu y є B. Jika x є A, y є B, serta x dipasangkan dengan y, maka y dinamakan bayangan atau peta dari x, atau dapat juga dikatakan x dipetakan ke y yang dituliskan sebagai x → y. Himpunan y є B yang merupakan peta dari x є A disebut range atau daerah hasil fungsi. Himpunan x є A disebut domain dan semua anggota himpunan B disebut kodomain.
A B
Gambar 1.1
1.2 NOTASI SUATU FUNGSI
Misalnya, fungsi A ke B kita sebut f maka notasi yang digunakan fungsi itu adalah:
f : A
→
B a b c p q rBila x є A, y є B dan y adalah peta (bayangan) dari x maka notasi fungsi di atas ditulis sebagai berikut:
f : x
→
yPenulisan di atas dibaca : “Fungsi f memetakan x ke y” bila notasi fungsi di atas kita tuliskan dalam bentuk rumus fungsi (formal fungsi) maka diperoleh:
f : x
→
y⇔
y = f(x) Contoh 1:Tuliskan dalam bentuk notasi fungsi!
a. Nyatakan m = 6p2 – p + 5 sebagai sebuah fungsi dalam p.
b. Nyatakan sebuah luas L dari sebuah segitiga yang tingginya 10 meter sebagai sebuah fungsi dari alas a meter.
c. Nyatakan keliling K dari sebuah persegi panjang dengan lebar 8 cm sebagai sebuah fungsi dari panjang p.
Jawab
a. Karena m adalah sebuah fungsi dari p, maka notasi fungsinya adalah: f(p) = 6p2 – p + 5. Untuk menyatakan m sebagai variable bergantung, kita dapat menuliskannya sebagai m(p) = 6p2 – p + 5.
b. Luas segitiga yang tingginya 10 meter ditentukan oleh formula:
atau L = 5a, dapat juga ditulis dalam notasi fungsi: f(a) = 5a atau L(a) = 5a.
c. Keliling persegi panjang dari lebar 8 cm ditentukan oleh: K = 2 (p + 8)
K = 2p + 16
Catatan : “untuk menyatakan bahwa pernyataan itu merupakan suatu fungsi, maka anggota domainnya harus habis dipetakan pada anggota kodomainnya, dan peta dari setiap anggota domain tidak boleh bercabang”.
1.3 Beberapa Macam Fungsi khusus
Fungsi – fungsi yang termasuk ke dalam fungsi khusus diantaranya adalah fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linier, fungsi kuadarat, dan fungsi modulus.
1. Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Dapat dinotasikan sebagai berikut;
f : x
→
f(x) = k dengan x є R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetap.Contoh ;
Tentukanlah nilai dari fungsi y = 2x dengan interval 3 ≤ x ≤ 1 ! Penyelesaian.
Dik. y = 2x dengan 3 ≤ x ≤ 1 Dit. Nilai fungsi tersebut ? Jawab
Untuk x = 3 maka nilai y = 2x adalah 6 Untuk x = 1 maka nilai y = 2x adalah 2
• Maka nilai fungsi y = 2x merupakan nilai konstanta, karena nilai x terdapat pada interval 3 ≤ x ≤ 1.
2. Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalanya.
3. Fungsi linear
Fungsi linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b є R, a ≠ 0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai
fungsi polinom atau fungsi sukubanyak berderjat satu dalam variable x.
4. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah y = f(x) = ax2 + bx + c (a, b, dan c є R, a ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai
fungsi polinom atau fungsi sukubanyak berderjat dua dalam variable x.
Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola.
5. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = |x| untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Bentuk |x| dibaca sebagai “nilai mutlak x” dan didefinisikan;
Untuk setiap bilangan real x, maka nilai mutlak x ditentukan oleh aturan |x| = x, jika x ≥ 0
Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negative, maka grafik fungsi y = f(x) = |x| tidak pernah terletak dibawah sumbu X.
1.4 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif 1. Fungsi Surjektif
Untuk memahami pengertian fungsi surjektif, perhatikan himpunan A = {1, 2, 3, 4}dan himpuna B = {a, b, c}. Dari himpunan A ke B ditentukan fungsi – fungsi f dan g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut;
f : A → B dengan f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)} g : A → B dengan g = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b)}
Dimana yang fungsi f merupakan fungsi anto atau fungsi surjektif dann yang g merupakan fungsi into atau fungsi ke dalam B.
Definisi
• Fungsi ke B, jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Wf = B
• Fungsi kedalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau Wf
⊂
B.2. Fungsi Injektif Definsi
Fungsi f : A
→
B disebut fungsi satu – satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 є A dengan a1 ≠ a2 berlaku f(a1)≠ f(a2).
3. Fungsi Bijektif Definisi
Fungsi f : A
→
B disebut fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.1.5 Melukiskan Grafik Fungsi Linear dan fungsi Kuadrat 1. Fungsi Linear
Bentuk Umum Persamaan Linear f(x) = ax + b ( a dan b є R)
Grafik fungsi linear pada bidang cartesius berbentuk garis lurus yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y.
Contoh
Diketahui fungsi linear f : x
→
f(x) = ax + b dengan nilai f(0) = 4 dan nilai f(4) = -4.a) Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah rumus untuk fungsi f(x). b) Tentukan titik – titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun
dengan sumbu Y.
c) Gambar grafik fungsi f pada bidang Cartesius untuk daerah asal Df = {x| x є R}.
Jawab
• Untuk f(0) = 4, diperoleh (0) + b = 4 b = 4 • Untuk f(4) = -4, diperoleh a(4) + b = -4 4a + 4 = -4 a = -2
• Rumus untuk fungsi f(x) adalah f(x) = -2x + 4.
Jadi, nilai a= 2, b = 4, dan rumus untuk f(x) adalah f(x) = -2x + 4.
b) y = f(x) = -2x + 4
• Titik potong dengan sumbu X diperoleh bila y = 0 -2x + 4 = 0
x = 2 ⇒ (2,0)
• Titik potong dengan sumbu Y diperoleh bila x = 0 y = -2(0) +4
y = 4 ⇒ (0,4)
Jadi, fungsi y = f(x) = -2x +4 memotong sumbu X di titik (2,0) dan memotong sumbu Y di titik (0,4).
c) Grafik fungsi y = f(x) = -2x + 4 untuk x є R pada bidang Cartesius diperhatikan pada gambar;
y 5 4 (0,4) 3 2 y = f(x) = -2x + 4 1 (0,2) x 1 2 3 4 -1 -2 -3 Gambar 1.2 2. Fungsi Kuadrat
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh
f(x) = ax2 + bx + c
dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.
Grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola.
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum
Sketsa grafik fungsi kuadrat ini secara umum dapat digambar dengan cara menentukan terlebih dulu:
i) Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y ii) Titik puncak atau titik balik parabola iii) Persamaan sumbu simetri
1. Titik potong dengan sumbu X Berikut bentuk grafiknya;
x x x a c e x x x b d f
* Jika b2 -4ac > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berlainan. Gambar (a dan b).
* Jika b2 -4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit, dalam keadaan demikian grafik fungsi f menyinggung sumbu X. pada gambar (c dan d).
* Jika b2 -4ac > 0, maka grafik fungsi f tidak memotong atau menyinggung sumbu X. pada gambar (e dan f).
2. Titik potong dangan sumbu Y Berikut bentuk grafiknya;
x
a
x x x
x x
e f
* Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong smbu Y di atas titik asal O. pada gambar (a dan b).
* Jika c= 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat di titik asal O. pada gambar (c dan d).
* Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di bawah titik asal O. pada gambar (e dan f).
Contoh
Gambarkan sketsa grafik fungsi berikut ini; a. F(x) = x2 – 3x + 2
b. F(x) = x2 4x +4 Jawab
a) Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 3x + 2 adalah parabola dengan persamaan y = x2 – 3x + 2 berarti, a = 1, b = -3, dan c = 2.
1. Titik potong dengan sumbu X dan Y
x2 – 3x + 2 = 0 ⇔(x – 1) (x – 2) = 0 ⇔ x1 = 1 dan x2 = 2
Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (1, 0) dan (2, 0). 2. Titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0
y = (0)2 – 3(0) + 2 y = 2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,2).
• Koordinat titik puncak atau titi balik.
P =
(
,
)
⇔P =
(
,
)
⇔P = (1 , - )
Oleh karena a = +1 (positif), maka p merupakan titik balik minimum, dan parabolanya terbuka ke atas.
Persamaan sumbu simetrinya adalah
x = - = - = 1
3. Dari uraian di atas, sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 3x + 2 dapat dilukiskan seperti pada gambar (a).
b) Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 4 adalah parabola dengan persamaan y = x2 – 4x + 4, berarti a = 1, b = -4 dan c = 4.
1. Titik potong dengan sumbu X dan Y
a). titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0 x2 – 4x + 4 = 0
⇔(x – 2) (x – 2) = 0 ⇔ x1 = x2 = 2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (2,0) atau grafik fungsi menyinggung sumbu X di titik (2,0).
b). titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0 y = (0)2 – 4(0) + 4
y = 4
jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,4). 2. Koordinat titik puncak atau titik balik
P =
( ,
)
⇔P =
(
,
)
Sumbu simetri x = 1 sumbu simetri x = 2 y f(x) = x2 – 3x + 2
f(x) = x2 – 4x + 4 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 x Gambar (a) p = (1 , - ) Gambar (b) P = (2, 0)
Oleh karena a = +1 (positif), maka P merupakan titik balik minimum dan parabolanya terbuka ke atas.
Persamaan simetrinya adalah;
x = - = - = 2
3. Dari uraian di atas, maka sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 4 dapat dilukiskan seperti pada gambar (b).
Soal Latiahan
1. Suatu fungsi dari A {1, 2, 3, 4} ke B {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }dengan rumus f(x) = 2x – 1, gambarkan grafik fungsi tersebut ?....
2. Diketahui nilai fungsi dengan f(x) = 4x – 6 Tentukan;
a. Nilai f(4) ??
b. Nilai f untuk x = -8 c. Nilai x jika f(x) = -14
3. Gambarkan sketsa dari fungsi berikut ini; a. f(x) = x2 – 6x + 9
b. f(x) = x2 -5x +6
4. Gambarlah fungsi linear berikut ini didalam Cartesius f(x) = 5x + 25 adalah ….
5. Lukiskan fungsi kuadrat berikut ini, f(x) = 2x2 + 6 {x| -3 ≤ x ≥ 4, x є bilangan bulat}.!
BAB II
PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
1.6 PERSAMAAN KUADRAT
A. Bentuk persamaan kuadrat
Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk 0 2 = + +bx c ax dinamakan
Dalam persamaan kuadrat ax2 +bx+c=0, a adalah koefisien dari x2 adalah b koefisien dari x dan c adalah suku tetapan..
Contoh :
1. x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4 2. x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0 3. x2 – 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2 4. x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2
Persamaan ax2 +bx+c=0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat ax2 +bx+c=0.
untuk menyelesaikan menentukan akar-akar persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantara dengan cara:
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan bentuk kudrat sempurna 3. Menggunakan rumus kuadrat
1. Memfaktorkan Contoh;
Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut ini! a. x2 – 9 = 0 b. x2 + x3 =2=0 c. 2 2 − x−1=0 x Jawab: a. x2 – 9 = 0 0 ) 3 )( 3 ( + − = ⇔ x x 3 − = ⇔ x atau x=3 b. 2 + x3 =2=0 x 0 2 3 2 + x+ = x <=>
(
x+2)(
x+1)
=0<=>
(
x+2)
=0 atau(
x+1)
=0 <=>x=−2 atau x=−1 c. 2 2 − x−1=0 x 0 ) 1 )( 1 2 ( + − = ⇔ x x 0 ) 1 2 ( + = ⇔ x atau (x−1)=0 2 1 − = ⇔ x atau x=12.Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Bentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x – 3)2 Merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna. Bentuk 2 + x2 −7
x dapat dimanipulasi aljabar sbb.
7 2 2 + x− x 7 1 ) 1 2 ( 2 + + − + ⇔ x x 8 ) 1 ( 2 − +
⇔ x memuat bentuk kuadrat sempurna (x+1)2
Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna Semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.
Contoh:
a. 2+ x3 +2=0 x b. x2 −25=0 jawab ; a. x2+ x3 +2=0 <=> 2+ x3 =−2 x <=> 4 9 2 2 3 2 + − = + x <=> 4 9 4 8 2 3 2 + − = + x <=> 4 1 2 3 2 = + x <=> 4 1 2 3 ± = + x <=> 2 3 2 1 − ± = x <=>x=−2 atau x=−1 b. x2 −25=0 25 2 = ⇔ x 25 ± = ⇔ x 5 ± = ⇔ x
3.Menggunakan rumus kuadrat
Metode yang paling umum untuk enyelesikan persamaan kuadrat 0
2
= + +bx c
ax dengan menggunakan rumus abc.
Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat ax2 +bx+c=0 Prosesnya sbb: 0 2 = + +bx c ax 0 2 + = + ⇔ x c a b x a 0 4 4 2 2 2 2 = − + + + ⇔ c a b a b x a b x a 0 4 2 2 2 = + − + ⇔ c a b a b x a c a b a b x a = − + ⇔ 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 a ac b a b x = − + ⇔ ac b a a b x 4 2 1 2 2 2 − ± = + ⇔ ac b a a b x 4 2 1 2 2 − ± − = ⇔ a ac b b x 2 4 2 − ± − = ⇔
Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.
Misalkan a, b, c bilangan rela dan a≠0 maka akar-akar persamaan kuadrat 0 2 = + +bx c ax ditentukan oleh: a ac b b x 2 4 2 12 − ± − =
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini! a. x2+ x3 +2=0 b. 3x2 − x6 +2=0 jwb.. a. x2+ x3 +2=0 <=> a = 1, b = 3, c = 2 <=> 1 . 2 2 . 1 . 4 3 3 2 12 − ± − = x <=> 2 1 3 12 ± − = x <=>x=−2 atau x=−1 b. 3x2 − x6 +2=0 a = 3, b = -6, c =2 3 . 2 2 . 3 . 4 ) 6 ( 6 2 12 − − ± = ⇔ x
6 3 2 6 6 12 6 6 24 36 6 12 ± = ± = − ± = ⇔ x 3 3 1 1 6 3 2 6 + = + = x atau 3 3 1 1 6 3 2 6 − = − = x
a.Jenis akar-akar persamaan kuadratdikaitkan dengan nilai diskriminan. Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 +bx+c=0(a≠0) adalah
a ac b b x 2 4 2 12 − ± − =
Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2 – 4ac yang disebut dengan diskriminan disingkat D.
Jenis akar-akar persamaan kuadarat ax2+bx+c=0,ditentukan oleh nilai diskriminannya (D) yaitu D =b2−4ac
• Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yangberbeda untuk D berupa bilangan kuadrat (k2 ) akarnya
untuk D bukan berupabilangan kuadrat akarnya rasional • Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama
• Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)
contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan 2x2+ x−3=0tentukan jenis akar-akarnya ! jawab :
0 3 2 2+ x− = x <=>D=b−4ac = 12−4.2.(−3) = 25 =5 2
Jadi 2x2+ x−3=0 mempunyai dua akar berlainan dan rasional
b.Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat dari 2 + + =0 c bx ax (a≠0)adalah a D b x 2 1 + − = atau a D b x 2 2 − − =
Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb: 1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
a D b a D b x x 2 2 2 1 − − + + − = + a D b D b 2 − − + − = a b − =
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
− − − + = ⋅ a D b a D b x x 2 2 2 1
2 2 4a D b − = a c a ac a ac b b = = − − = 2 2 2 2 4 4 4 ) 4 ( Contoh
Jika x dan 1 x akar-akar persamaan kuadrat 2 2x2− x3 −5=0, tentukan nilai dari :x12+x22 Jawab : 4 1 7 5 4 9 2 5 2 2 3 2 ) ( 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 = + = − − = − + = +x x x x x x
C.Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya.
Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan 2 cara:
1. Memakai faktor
Apabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x-x1)(x-x2) = 0 maka x1
dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka
persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus 0 ) )(
(x−x1 x−x2 = 2. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
0 2 = + + a c x a b x 0 ) ( 2 = + − − ⇔ a c x a b x 0 ) ( 1 2 1 2 2 = + + − ⇔x x x x x x
Jadi persamaan ax2 +bx+c=0 dapat dinyatakan dalam bentuk:
0 ) ( 1 2 1 2 2 = + + − x x x x x x contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 ! Jawab : a. Cara 1 0 )) 2 ( )( 5 (x− x− − = 0 ) 2 )( 5 (x− x+ = 0 10 3 2 = − − x x b. cara 2 0 )) 2 .( 5 ( )) 2 ( 5 ( 2 = − + − + − x x 0 10 3 2− x− = x
c.Menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan lain.
contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2+ x−4=0
jawab :
a. cara 1
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2+ x−4=0 adalah x 1 dan x maka 2 x1+ x2 =−1 dan x1.x2 =−4. Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2+ x−4=0
x dimisalkan α dan β,maka α =2+x1 dan
2
2+x =
β . Jadi didapat jumlah akar
3 ) 1 ( 4 ) ( 4 2 2+ 1+ + 2 = + 1+ 2 = + − = = +β x x x x
α dan hasil kali
akar 2 4 ) 1 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 2 )( 2 ( .
β
= +x1 +x2 = + x1+x2 +x1.x2 = + − + =−α
Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus diatas adalah:
jumlah
x2−( akar)x+(hasil kali)=0 <=>x2−(3)x+(−2)=0 <=> 2− x3 −2=0 x b. cara 2 0 4 ) 2 ( ) 2 (x− 2+ x− − = <=>x2−4x+4+x−2−4=0 <=> 2− x3 −2=0 x 1.7 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu: 1. ax2 +bx+c<0
2. 2 + + ≤0 c bx ax 3. ax2 +bx+c>0 4. ax2 +bx+c≥0\
dengan a, b, c bilangan real dan a≠0.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:
Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f(x)=x2 −3x−4 grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan y =x2 −3x−4. Sketsa grafik parabola
4 3 2 − − =x x
y diperlihatkan pada gambar berikut:
1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4. Jadi x2 − x3 −4>0 dalam selang x < -1 atau x > 4.
2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 3. Jadi x2 − x3 −4=0 untuk nilai x = -1 atau x = 4.
4. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4. Jadi x2 − x3 −4<0 dalam selang – 1 < x < 4.
Dengan demikian sketsa grafik ungsi kuadrat f(x)= x2 −3x−4 atau parabola
4 3 2 − − =x x
y dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.
a. Pertidaksamaan kuadrat 2 − x3 −4>0 x . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|−1<x<4,x∈R} b. Pertidaksamaan kuadrat 2 − x3 −4≥0 x . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|−1≤x≤4,x∈R} c. Pertidaksamaan kuadrat 2 − x3 −4<0 x . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|x<−1 atau x>4,x∈R}
d. Pertidaksamaan kuadrat 2 3 4 0 < − − x x . Himpunan penyelesaiannya adalah:HP={x|x≤−1 atau x≥4,x∈R}
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat
0 ) ( 2 = + + =ax bx c x
f dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 2 + + <0 c bx ax ; 2 + + ≤0 c bx ax ; 2 + + >0 c bx ax ; 0 2 ≥ + +bx c ax
Contoh:Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x)= x2 −2x+1,
carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut. a. x2 − x2 +1<0 b. 2 − x2 +1≤0 x c. x2 − x2 +1>0 d. x2 − x2 +1≥0 Jawab:
Sketsa grafik fungsi kuadrat ( ) 2 2 1, + − = x x x f atau parabola , 1 2 2 + − =x x
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0
1 2
2 − x+ <
x adalah Himpunan kosong ditulis φ
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0 1 2 2 ≤ + − x x adalah HP={x|x=1}
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0
1 2
2 − x+ >
x adalah HP={x|x∈Rdanx≠1} d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
0 1 2
2 − x+ ≥
x adalah HP={x|x≤1atu x≥1,x∈R} dapat juga ditulis HP={x|x∈R}
a. Dengan garis bilangan
Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan 0 4 3 2 > − − x x Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan 0 4 3 2− x− = x 0 ) 4 )( 1 ( + − = ⇔ x x 1 − = ⇔ x atau x=4
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
2 − =
x maka nilai dari x2− x3 −4=(−2)2 −3(−2)−4=6 sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0
1 =
x maka nilai dari x2− x3 −4=(1)2 −3(1)−4=−6 sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0
5 =
x maka nilai dari x2− x3 −4=(5)2 −3(5)−4=6 sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau > 0
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan x2− x3 −4>0 adalah x < -1 atau x > 4.
Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP={x|x<−1 atau x 4
Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC=x+4 cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !
jawab : A x x+4 B x+2 C 2 2 2 AC BC AB + = 2 2 2 ) 4 ( ) 2 ( + = + + ⇔x x x 16 8 4 4 2 2 2 + + = + + + ⇔x x x x x 0 12 4 2− − = ⇔x x 0 ) 2 )( 6 ( − + = ⇔ x x 6 =
⇔ x atau x=−2 (tidak memenuhi)
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !
1.Akar-akar persamaan x2+ 3x=m adalah α dan β. Bila diketahuii α+3β=5 maka nilai m adalah ...
A. -28 C. 0 E. 28
B. -20 D. 20
2.Diketahui α dan βmerupakan akar-akar persamaan 4x2− x3 −2=0. Persamaan kuadrat lain yang akarnya persamaannya (α+3) dan (β+3) adalah ...
A. 4 2−27 −43=0 x x B. 4x2−27x+43=0 C. 4x2+27x+43=0 D. 4 2+27 −43=0 x x E. −4x2+27x−43=0
3.Nilai maksimum fungsi f(x)=(t−3)x2+2tx+5adalah 9. Persamaan sumbu
simetrinya x=……. A. 3 2 atau 2 D. 2 3 atau -2 B. 3 2 atau -2 E. 2 3 atau 2 NO. 3. C C. 3 2 − atau 2
4.Jika fungsi kuadrat 2ax2−4x+3amempunyai nilai maksimum 1 maka = − a a 9 27 3 A. -2 C. 3 E. 18 NO. 4. E B. -1 D. 6
5.Jika α dan β akar-akar persamaan x2+nx+n=0maka
α
2+β
2mencapai minimum untuk…… A. -1 C. 2 1 E. 2 3 NO. 6. D B. 0 D. 16.Akar-akar persamaan kx2+(2k−4)x+(k−8)=0 adalah sama.Hasil kali kedua akar persamaan tersebut adalah…….
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 E. 25
7.Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar persamaan x2+ x−6=0 adalah …. A. − 2− −6=0 x x B. − 2− +6=0 x x C. x2− x−6=0 D. 2+ x+6=0 x E. x2− x+6=0
8.Keliling suatu segiempat adalah 40 cm dan luasnya 96 cm2 ukuran segiempat tersebut adalah…...
A. 12cm x 8cm C. 14cm x 6cm E. 16cm x 6cm B. 13cm x 7cm D. 15cm x 5cm
9.Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 −qx+(q−1)=0 adalah m dan n.Jika 4
2 2 + n =
m maka nilai q adalah...
A. -6 dan 2 C. -4 dan 4 E. -2 dan 6
B. -5 dan 3 D. -3 dan 5 C.
10.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x2 + x7 −15≤0 adalah……
A. x<−5 atau 2 1 1 ≥ x B. x≤−5 atau 2 1 1 ≥ x C. 2 1 1 ≤ x atau x≥5 D. 5 2 1 1 ≤ x≤ E. 5 2 1 1 ≤ ≤ − x
BAB III
DIMENSI TIGA
3.1 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG TITIK
A. TITIK
Suatu titik ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran(besaran), sehingga dikatakan titik tidak berdimensi.Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan dibubuhi nama pengguna huruf kapital.
Contoh:
.A .B
Titik A Titik A
B. GARIS
Garis adalah himpunan titik-titik yang memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu.
Contoh:
B B B
A
Garis I AB (dibaca sinar AB) AB (dibaca segmen garis AB) Garis AB
C. BIDANG
Bidang adalah himpunan titik-titik yang memi1iki ukuran panjang dan lebar sehingga, dikatakan bidang beidimensi dua.
Contoh :
3.2 MEMAHAMI TENTANC KEDUDUKAN A. Hubungan titik dan garis
Perhatikan gambar dibawah (kubus ABCD EFGH)
1. Melalui sebuah titik dapat dibuat banyak sekali garis.
1. Titik Pada Garis Contoh: garis yang melalui titik B adalah BA,BC,BD,BE,BH dll
2. Melalui dua titik hanya dapat dibuat sebuah garis
Contoh: Melalui A dan E adalah garis AE, garis yang melalui F dan H adalah garis FH.
1. Melalui sebuah diluar garis dapat dibuat banyak sekali garis yang memotong garis itu .
Contoh : titik D diluar garis AB garis yang memotong AB missal DA,DB dll
2. Melalui sebuah titik diluar garis hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
Contoh: Garis CDdiluar titik B garis melalui B//CD adalah garis AB
3. Melalui sebuah titik diluar garis hanya dapat dibuat sebuah garis yang garis itu
B. Kedudukan titik terhadap bidang
Mengenal kedudukan suatu titik terhadap bidang hanya ada 2 kemungkinan
a. Titik terletak pada bidang b. Titik di luar bidang
Contoh: Q
C. Kedudukan titik terhadap Garis a. Dua garis sejajar
Garis AD dan garis EF tersebut terletak satu bidang dan tidak akan terpotong
walaupun diperpanjang, dengan AB//EF b. bua garis yang berpotongi
Garis AB dan AE seperti tampak pada gambar terletak pada satu bidang yaitu AB FE dan mempunyai sebuah titik persekutuan. kedua garis itu berpotongan.
Contoh:
Gb 1 Gb 2
Garis-garis yang berpotongan adalah garis AC dan BD garis BG dan CF (Gambar 1)
a. Dua garis bersilangan (gb1)
Garis AC dan garis HF adalah dua garis yang tidak terletak pada 1 bidang tidak sejajar, garis AC dan HF ini disebut bersilangan
Contoh :
D. Kedudukan garis Terhadap Bidang
Garis II bidang V Garis a menembus. P Garis a terletak pada bidang V
E. Kedudukan bidang terhadap bidang lain a. Dua bidang sejajar
1. Contoh:
Pada kubus ABCD.EFGH, bidang atas EFGH//bidang
Bawah ABCD walaupun diperluas kemampuan kedua bidang tidak akan mempunyai garis persekutuan
b. Dua Bidang berpotongan
Pada kubus ABCD.EFGH bidang diagonal ACGE
Berpotongan dengan bidang diagonal BDHF menurut
(= sepanjang) garis PQ .Garis PQ disebut garis persekutuan antara bidang ACGE dan bidang BDHF.
Dua bidang V dan W dikatakan saling berimpit apabila semua titik yang ada pada bidang V. maka titik itu juga terdapat’terletak pada bidang W.
3.3 JARAK PADA BANGUN RUANG 1. Jarak Titik ke Titik
A B Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB
Contoh :
Dan kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 6 cm, maka:
— jarak titik A dan B adalah 6 cm; — jarak titik A dan C adalah 6 cm; — jarak titik A dan G adalah 6 cm.
2. Jarak Titik ke Garis
Jarak antara tjtik A dengan garis g adalah panjang ruas garis AP di mana titik P terletak pada g dan AP
g.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara:
b. titik A ke garis HG; c. titik A ke garis HF! Jawab:
a. Jarak titik A ke garis BD adalah AP, sebab AP BD
AP = = cm
b. Jarak titik A ke garis HG adalah AH, sebab HG siku-siku di H, AK = cm. c. Jarak titik A ke garis HF adalah AQ, sebab AFH sama sisi.
=
= 72 – 18 = 54
AQ = = cm
3. Jarak Titik ke Bidang
Perhatikan balok ABCD.EFGH pada Gambar 7.6! • Ruas ganis BF diperpanjang menjadi garis BF dan
daerah persegi panjang ABCD ‘diperluas menjadi bidang
A’B’C’D’/ ’
• Apabila kita ambil titik P sembarang pada garis BF maka proyeksi titik P pada bidang ABCD adalah titik B.
Demikan pula untuk settap tittk yang terletak pada garis BF proyeksinya pada bidang ABCD adaah titik B. dikatakan bahwa garis BF tegäk lürus pada bidang ABCD.
Dari balok di atas dapat pula ditarik kesimpulan bahwa garis tegak lurus pada garis AB dan juga tegak lurus pada garis BC. Sedangkan garis AB dan BC berpotongan di titik B.
Dari balok tersebut dapat diamati bahwa setiap garis yang terletak pada bidang
ABCD dan melaui titik B pasti tegak lurus garis BF.. Atau setiap garis yäng. terletak pada bidang ABCD pasti tegak lurus garis BF
Dari keterangan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut,
1. Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang apabila garis itu tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut
2. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidañg maka garis itu tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang tersebut.
Perhatikan Gambar 7.71 Anda tentukan titiktitikpada bidang
H. Kemudian buat ruas-ruas garis yang B menghubungkan titik-tiik pada bidang dengan titik A.Ternyata ruas garis yang tependek adalah ruas garis yang menghubungkan Jadi, jarak titik ke bidang adalah jarak tegak lurus dan titik ke bidáng. :
Contoh 1:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Tentukan berapa jarak dan: a. titik C ke bidang ABFE;
b. titik C ke bidang BDHF! . ‘
Jawab:
a. Jarak titik C kebidang ABFE adalãh CB, sebab CB bidang ABFE CB = 6 cm
b. Jarak titik C ke bidang BDHF adalah .CP, sebab CP
bidang BDHF. = cm
c. Contoh 2:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. a. Buktikan DF bidang ACH!
b. Berapa )arak titik D ke bidang ACH?
a. AC bidang BDHF AC semua garis pada bidang BDHF Jadi,AC. DF ,... (i)
CH bidang ADGF CH semua garis pada bidang ADGF Jadi,CH DF.... (ii)
(i) AC DF DF bidang
yang memuat AC dan CH
(ii) CH DF atau DF bidang ACH (terbukti)
b. Karena DF bidang ACH maka jarak titik D ke bidang ACH adalah DP. HDS siku-siku di D
= =
Gunakan rumus luas pada HDS
HD x DS = HS x DP
= =
Jadi, jarak titik D ke bidang ACH cm
3. Jarak
Jarak antara dua bangun ditentukan oleh panjang garis hubung terpendek antara dua bangun tersebut.
1. Jarak dua titik
Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB. 2. Jarak titik dan garis
Jarak titik A ke garis g adalah AB, di mana AB garis g.
Jarak titik A ke bidang a adalah AB, di mana AB bidang a
4. Jarak dua garis sejajar
Jarak dua garis sejajar g dan h adalah AB di mana A pada g dan B adalah proyeksi A pada h
5. Jarak garis dan bidang yang sejajar
Jarak garis g dan bidang a yang sejajar adalah AB, di mana ruas garis AB . g dan AB juga . bidang
6. Jarak dua bidang yang sejajar
Jarak dua bidang sejajar dan adalah AB di mana AB tegak lurus bidang a dan AB tegak lurus bidang .
7. Jarak dua garis bersilangan
Jarak dua garis g dan h yang bersilangan adalah AG di mana AB I g dan AB .1. h. Cara melukis:
b. Buat bidang a melalui g dan h.
c. Garis g diproyeksikan ke bidang a diperoleh dan memotong h di A.
d. Melalui A ditarik garis . bidang a dan memotong g di B. e. AB adalah jarak garis g dan h.
Contoh:
Balok ABCD . EFGH dengan panjang rusuk AG =8 cm, AD =6 cm, dan AE = 5 cm. Titik P dan Q merupakan titik potong diagonal alas dan atap.
Carilah jarak: 1. titik B dan F 2. titik A dan C 3. titik A dan G 4. titik F ke garis BC 5. titik P ke garis HF 6. titik Q ke bidang ABCD 7. titik A ke bidarig BCGF 8. garis AF dan DG
9. garis BG dan AH 10. garis BC dan FH 11. garis BC dan HG
12. garis EF dan bidang ABCD 13. garis EG dan bidang ABCD 14. bidang ABCD dan bidang EFGH
1. jarak B dan F adalah BF = 5 cm 2. jarakAdanC =AC = = = 10 cm 1. jarak A dan G = AG AG = = = = 5 cm
2. Jarak titik F ke garis BC adalah panjang BE = 5 cm 3. Jarak titk P ke garis HF adalah PQ = 5 cm 4. Jarak tilik Q ke bidang ABCD adalah P0 = 5 cm 5. Jarak A ke bidang BCGF adalah AB = 8 cm 6. Jarak garis AF dan DG adalah AD = 6 cm 7. jarak garis BG dan AH adalah AB = 8 cm 8. jarak garis BC dan FH adalah BF = 5 cm
9. jarakgarisBCdanHGadalah CG =5cm
10. jarak gars EF dan bidang ABCD adalah AE = 5 cm
11. jarak garis EG dan bidang ACD adalah AE = 5 cm 12. jarak bidang ABCD dan bidang EFGH ädalah AE = 5cm,
$
1. Perhatikan gambar Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Hitunglah jarak:
a. titik D terhadap garis AE
b. Titik P terhadap garis AB c. titik H terhadapgaris EF d. titik A terhadap garis PB e. titik F terhadap bidang ADHE
f. titik P terhadap bidang ABFE g. titik D terhadap bidang BCGF h. titik C terhadap bidang ABD
2. Dan gambar kubus ABCD.EFGFH di atas. tentukan tempat kedudukan dari : a. garis AB terhadap garis HG
b. garis PB terhadap garis AD c. garis AB terhadap ganis DH d. garis EF terhadap garis CD
e. garis PF terhadap garis HB f. garis AG terhadap garis CH
3. Dan gambar kubus ABCD.EFGH di atas, tentukan tempat kedudukan dari : a. bidang ABCD dan bidang BCGF
b. bidang ABCD dan bidang EHF c. bidang APD dan bidang ABD d. bidang ACH dan bidang DEG e. bidang BDG dan bidang ACH; f. bidang ACGE dan bidang BDHF
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Hitunglah jarak: a. titik B dan titik G
b. titik B dan titik H
c. titik B dan titik P (P titik tengah FH) d. titik G ke garis BC
e. titik G ke garis BD
f. titik G ke garis BE g. titik E ke bidang CDHG h. titik E ke bidang BDHF i. titik E ke bidang AFH j. titik E ke bidang BDG
cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Hitunglah jarak titik T ke bidang ABCD!
BAB IV
SYISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABLE
4.1 System Persamaan linear dua variableBentuk umum persamaan linear dua variable adalah , dengan a,b, dan c adalah konstanta, a dan b tidak sama dengan nol, sedangkan x dan y adalah variable pada bilangan real.
Bentuk umum system persamaan linear dua variable adalah,
Dengan, adalah konstanta real, a dan p adalah koefisien dari variable x, b dan q adalah koefisien dari variable y. nilai-nilai pengganti variable x dan y yang membuat system persamaan di atas bernilai benar disebut penyelesaian system persamaan itu. Adapun himpunan penyelesaiannya beanggotakan penyelesaian-penyelesaian system persamaan tersebut.
1. Menyelesaikan system persamaan linear dua variable dengan metode subtitusi.
Untuk menyelesaikan system Persamaan Dua Variabel dengan metode subtitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut.
Langkah 1 : Pilihlah salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu variable persamaan tersebut kedalam variabel yang lain sehingga diperoleh persamaan baru.
Langkah 2 : subtitusikan persamaan yang diperoleh pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya sehingga diperoleh sebuah persamaan linear dengan satu variable. Kemudian, selesaikan persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai salah satu variable.
Langkah 3 : subtitusikan nilai variable yang diperoleh pada langkah 2 kepersamaan yang diperoleh pada langkah 1 sehingga diperoleh nilai variable kedua.
Contoh :
Tentukan penyelesaian system persamaan linear berikut, dengan menggunakan metode subtitusi,
4
Jawab :
4 ...persamaan 1
……persamaan 2 Langkah 1, Dari persamaan 2, diperoleh
Langkah 2, persamaan 3 disubtitusikan ke persamaan 1, diperoleh 4 ↔ ↔ ↔ ↔ ……persamaan 4
Langkah 3, persamaan 4 disubtitusikan ke persamaan 3, diperoleh
Jadi, penyelesaian system persamaan linear tersebut adalah x=2 dan y=0
2. Menyelesaikan system persamaan linear dua variable dengan metode eliminasi
Untuk menelesaikan system persamaan linear dua variable dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
Langkah 1 : eliminasikan (hilangkan) salah satu variable, misalnya variable dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang sama dari kedua persamaan tersebut sehingga diperleh nilai variable yang kedua .
Langkah 2 : eliminasikan variable yang kedua sehingga diperoleh nilai variable .
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan linear berikut, dengan metode eliminasi.
Jawab :
Langkah 1, mengeliminasi variable untuk mendapat nilai
Langkah 2, meneliminasi variable y untuk mendapat nilai x
4.2 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat
dengan adalah konstanta real,
ada dua metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut. 1. Metode Gafik
untuk mendapatkan penyelesaian dari system persamaan linear dan kuadrat, lakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1 :
Ubahlah persamaan ke bentuk dan persamaan kuadrat ke bentuk .
Langkah 2 :
Lukislah grafik dan grafik pada suatu bidang datar.
Langkah 3 :
Tentukan titik potong kedua grafik tersebut (jika ada). Titik potong tersebut adalah penyelesaian system persamaan linear dan kuadrat.
Contoh :
Dengan metode grafik, tentukan penyelesaian dari system persamaan kuadrat berikut.
Jawab :
Langkah 2, lukislah grafik kedua persamaan tersebut. Dengan menentukan titik potong kurva-kurva tersebut terhadap sumbu X dan sumbu Y serta menentukan puncak untuk persamaan parabola maka diperoleh grafik berikut.
Langkah 3, pada grafik 1, titik potong antara kedua grafik tersebut adalah (3,0) dan (2,1). Jadi, penyelesaian sisem persamaan di atas adalah (3,0) dan (2,1).
2 Metode Subtitusi
untuk menyelesaikan system persamaantersebut dengan metode subtitusi, lakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1:
Ubahlah persamaan ke bentuk dan ke bentuk . Langkah 2:
Subtitusikan persamaan linear kepersamaan atau sebaliknya, sehingga diperoleh persamaan kuadrat persekutuan.
Langkah 3:
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat persekutuan tersebut. Langkah 4:
Subtitusikanlah nilai-nilai x yang diperoleh pada langkah 3 ke salah satu persamaan linear atau persamaan kuadrat. Pasangan berurutan dari masing-masing x dan y merupakan penyelesaian dari system persamaan linear dan kuadrat.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan berikut
Jawab :
Diketahui dua persamaan, yaitu .
Dengan mensubtitusikan kedua nilai x tersebut ke salah satu persamaan di atas, diperoleh nilai
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (-1,0), (4,10)
4.3 Model Matematika
Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah kedalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan dan fungsi.
Lia ingin membuat es buah dan puding buah, untuk membuat pudding buah, ia membutuhkan 3 kg mangga dan 2 kg melon. Sedangkan untuk membuat es buah, ia membutuhkan 1 kg mangga dan 4 kg melon. Lia memiliki persediaan 11 kg mangga dan 14 kg melon. Buatlah model matematika untuk persoalan ini! Jawab :
Misalkan,
x = banyak pudding buah y = banyak es buah
kemudian kita dapat merumuskan kendala- kendala dalam permasalahan ini sebagai berikut. 3x + y ≤ 11 …….persamaan 1 2x + 4y ≥ 14 …….persamaan 2 x ≥ 0 …….persamaan 3 y ≥ 0 …….persamaan 4 Contoh 2:
PT. Agung Jaya memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin A, 8 menit pada mesin B, dan 10 menit pada mesin C. Adapun ban sepeda diprosesnya memalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin A, dan 4 menit pada mesin B. Tiap mensin ini dapat dioperasikan 800 menit perhari.
Jawab : Misal,
x = banyak ban motor y = banyak ban sepeda
mesin A 2x + 5y ≤ 800 ……persamaan 1 mesin B 8x + 4y ≤ 800 ……persamaan 2 mesin C 10x ≤ 800 ……persamaan 3 x,y bilangan asli x ≥ 0, y ≥ 0 ……persamaan 4
BAB V
PERMUTASI , KOMBINASI DAN PELUANG-MATEMATIKA
5.1 PERMUTASI
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Notasi faktorial akan digunakan untuk mempelajari permutasi dan kombinasi. Terlebih dahulu kita akan membahas notasi faktorial.
Hasil perkalian bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial dan diberi notasi n! .
Jadi , Atau Contoh: a. 4! = 4.3.2.1 = 24 b. 6! = 6.5.4.3.2.1 =720
5.2 Jenis- jenis Permutasi
a. Permutasi unsur dari unsur
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur
dari n unsur ditulis atau
Coba perhatikan contoh-contoh di bawah untuk memahami Permutasi dalam konsep Peluang pada pelajaran Matematika.
Contoh I: {a,b,c}
unsur setiap pengambilan 2 unsur adalah 6, yaitu ab, ba, ac, ca, bc, cb.
Ditulis
Contoh II: {a,b,c}
maka, banyaknya permutasi dari 3 unsur setiap pengambilan 3 unsur adalah 6, yaitu abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Ditulis
b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Setiap unsur pada permutasi tidak boleh digunakan lebih dari satu kali, kecuali jika dinyatakan secara khusus.
Jika dari n unsure terdapat p unsur yang sama, q unsure yang sama, dan r unsur yang sama, maka banyaknya permutasi adalah:
Contoh:
Tanpa mengurangi banyak huruf pada kata “GEGANA” tentukan banyaknya permutasi yang dapat dibuat dari huruf-huruf itu.
Jawab:
♣ Banyaknya unsur n = 6 huruf
♣ Huruf G ada 2 buah dan huruf A ada 2 buah sehingga banyaknya
c. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang objeknya disusun dalam bentuk lingkaran.
{a,b,c}
Maka, jika menggunakan permutasi siklis, hasil dari pengambilan 3 unsur dari 3 unsur dapat digambarkan seperti gambar di atas.
RUMUS: banyaknya permutasi siklis dari n unsur bebeda adalah PL = = (n-1)! Atau P = (n-1)!
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
P = (6-1)!= 5!
= 5⨯4⨯3⨯2⨯1 = 120
d. Permutasi berulang
Permutasi dari ketiga huruf A, B dan C adalah ABC,
ACB,BAC,CAB,CBA. Perhatikan bahwa dlam susunan-susunan itu tiap unsur yamg tersedia tidak boleh ditulis secara berulang. Kalau unsur-unsur yang tersedia ditulis boleh berulang, sehingga kita dapat memperoleh
susunan huruf yang bentuknya seperti ini: seperti ini disebut permutasi berulang.
Banyak permutasi berulang dari tiga huruf A,B, dan C, dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
• Ada 3 cara untuk memilih huruf pertama yaitu, A,B dan C
• Oleh karena huruf-huruf itu boleh berulang, maka ada 3cara untuk memlih huruf kedua.
Contoh:
Berapa banyak susunan huruf yang diambil dari huruf-huruf, B,I ,N, dan A. kalau unsur-unsur yang tersedia itu boleh ditulis berulang?
Jawab:
Banyaknya unsur ang tersedia (perhatikan bahwa tiap unsurnya akan disusun dua unsur )
Maka:
Jadi, bannyaknya susunan dua huruf yang diambil dari huruf-huruf B,I,N dan A. Unsur
unsur yang tersedia boleh ditulis berulang seluruhnya ada 16 macam.
5.2 KOMBINASI
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n
Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur! Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
5.3 Peluang Suatu Kejadian
a. Pengertian Ruang Sampel
Himpunan” S” dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} P = {AAG, AGA, GAA}
b. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil
yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka: A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
c. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S )
= n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
d.Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah
(A) =n . P(A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu 1 adalah 120 kali.
5.3 Kejadian Majemuk
a. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Contoh:
Sebuah kartu dicabut secara acak dan seperangkat kartu resmi, berapa peluang terambil bukan krtu As?
Peluang kartu As = P(A) =
Peluang bukan kartu As = P(A) =
1-b. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan : dibaca “
Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B.
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
Contoh:
Pada pelemparan 2 mata dadu , tentukan peluang mata dadu yang muncul berjumlah 5 atau berjumlah 6?
Jawab:
Misal: A = Kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
B = Kejadian muncul mata dadu berjumlah 6 = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2).(5,1)}
A∩B = { }, sehingga A dan B saling lepas
P( A B) = P(A) + P(B) =
d. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai
peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
Contoh:
Dalam sebuah kotak nterdapat 8 bola merah dan 4 bola putih. Diambil satu bola berturut-turut sebanyak dua kali. Jika setelah pengambilan pertama bola tidak
dikembalikan, maka tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengabilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua.
Jawab:
Karena pengambilan tanpa pengambilan, maka terjadinya kejadian kedua akan dipengaruhi oleh kejadian pertama.
P(merah) =
Setelah pengambilan pertama, bola didalam kotak tinggal 11, sehingga P(merah/putih) =
Jadi, peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua = P(merah ∩ putih) = P(merah) . P ( Putih / merah) =
e. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
f. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
Sebuah dadu dan sebuah mata uang dilempar bersamaan. Beberapa peluang muncul mata dadu 4 pada dadu dan gambar bpada mata uang!
Jawab:
A = {(4,A), (4,G) }= n (A) = 2
B = {(1,G),(2,G),(3,G),(4,G),(5,G),(6,G)} = n (B) = 6
Karena A dan B saling bebas = P (A dan B)
= P(A) ⨯ P(B ) =
Jadi, peluang muncul mata dadu 4 dan gambar adalah
5.4 Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
Contoh:
Kotak A berisi 5 kartu bernomor 1sampai 5. Kotak B berisi 5 kartu bernomor 1 sampai 5. Dari tiap kotak diambil saty kartu secara acak. X menyatakan peubah jumlah kedua kartu yang muncul. Hitunglah:
a. P(X=5) b. P(X>7) 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,2) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,2) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,2) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
Peubah acak X dengan nilai x = 2,3,4,5,....,10
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X = x) 1/25 2/25 3/25 4/25 5/25 4/25 3/25 2/25 1/25
Dari table diatas maka:
a. P(X=5) =
=
2. Nilai Harapan Suatu Peubah Acak
Nilai harapan suatu peubah X dinotasikan dengan m atau E(X)
E(X) = + +…..+
Contoh:
Pada pelemparan 2 buah mata uang logam, jika X menyatakan banyaknya muncul angka, maka tentukan nilai harapan peubah acak X.
Jawab: X 0 1 2 P(X =x) E(X) = 0 . + 1 . + 2 . 3. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses n = Banyak percobaan x = Muncul sukses n-x = Muncul gagal
Contoh:
Sebuah dadu dilempar tiga kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu 3 sebanyak 2 kali. Jawab: n=3, p= k=2 b(2,3, ) = C (3,2) ( (1- )3-2 = 3. 4. Sebaran Seragam
sebuah sebaran dikatakan sebagai sebaran seragam apabila berlaku: P(X =k) =
Artinya, setiap nilai peubah acaknya memiliki peluang yang sama untuk terjadi. Contoh:
Pada pelemparan sebuah uang logam didapatkan: P(Angka) =
Soal –soal latihan
1. Berapa banyaknya cara yang dapat disusun dari perwakilan kelas yang terdiri atas 12 orang yang akan dibentuk ketua osis, wakil ketua, sekertaris dan bendahara?
2. Tentukan banyaknya permutasi susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA?
3. Banyaknya cara apabila suatu kelurga yang terdiri dari ayah, ibu, 3 anak laki-laki dan anak perempuan duduk dalam satu baris , sehingga ayah dan ibu tidak boleh berdekatan adalah…
4. Pelemparan dua buah dadu dilakukan sebanyak 720 kali. Frekuensi harapan muncul dadu yang berjumlah 6!
5. Tentukan nilai dari: a. C(10,3) b. C(10,7)
6. Pada pelemparan dua dadu, tentukan:
a. Ruang sampel dalam bentuk table Challey
b. n(A), jika A adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 c. P(A)
7. Harin membeli 1 baju, 2 celana, dan 1 sepasang sepatu diswalayan laris. Jika diswalayan tersebut tersedia 3 baju, 3 celana, dan 4 sepatu. Ada berapa cara harin dapat memilih barang tersebut.
8. Diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7,8} dan A = {1,3,5,7}. Tentukan: a. Ac c. P(Ac)
b. P(A) d. P(A) + P(Ac)
9. Dua dadu dilempar bersama. Jika Aadalah kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama dan B adalah kejadian muncul mata daduganjilpada dadu kedua , maka tentukan:
a. P(A) c. P(A∩B) b. P(B) d. P(A B)
10. Pada pelemparan 3 mata uang logam bersama-sama,X menyatakan peubah banyaknya angka yang muncul. Tentukan nilai:
a. P(X = 2) b. P(1< X≤ 3)
BAB VI
JUMLAH SELISIH DUA SUDUT
6.1 Jumlah Selisih Dua Sudut1. Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut a. Rumus cos ( α + β ) dan cos (α – β ) serta pemakaiannya
α + β = α – (-β)
Cos ( α + β ) = cos ( α – (-β ) )
= cos α cos ( -β ) + sin α sin (- β )
Catatan :
Cos (- β ) = Cos β Sin ( - β ) = - Sin β tan (- β ) = - tan β Contoh:
Tanpa tabel ( kalkulator ), hitunglah nilai dari: a. Cos 1050
b. Cos 1950
Jawab:
a. Cos 1500 = Cos ( 600 + 450 )
= Cos 600 Cos 450 - sin 600 sin 450
= - .
= -
=
Jadi, Cos 1050 =
b. Cos 1950 = cos ( 2250 – 300 )
= cos 2250 . Cos 300 + Sin 2250 sin 300
=- - .
=
Jadi, cos 1950 =
B. rumus sin ( α + β ) dan sin ( α – β )
Sin ( α – β ) = sin ( α + ( -β ))
= Sin α Cos (-β) + Cos α Sin (-β)
C. rumus tan ( α + β ) dan tan ( α – β )
Sin (α + β) = Sin α Cos β + Cos α Sin β
Sin (α - β) = Sin α Cos (-β) + Cos α Sin (-β)
tan ( α – β ) = tan ( α + ( - β)
=
=
Contoh :
Tanpa tabel (kalkulator), hitunglah : a. tan 1050 Jawab : a. tan 1050 = tan (600 + 450) = = = - (2+ ) b. tan 195 = tan 0 (2250 −300) tan (α - β) =
) 3 2 ( ) 3 3 2 3 4 ( 2 3 3 2 3 3 2 3 4 3 1 1 3 3 2 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 3 3 1 1 − = − = − = − − + = − − + − = + − =
χ
6.2 Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut Serta Sudut Ganda a. Rumus sin 2α
Dengan menggunakan rumus sin (α + β ) , untuk β = α , maka diperoleh Sin 2α = Sin (α + α )
= Sin α Cos α + Cos α Sin α = 2 Sin α Cos α
Jadi, Sin 2α = 2 Sin α Cos α Contoh :
Diketahui Sin α0 = 0,8 untuk 0 < α < 900 hitunglah nilai dari sin 2α0 ? Jawab :
Karena Sin α0 = 0,8 bearti sisi BC = 8 dan Sisi AC = 10 Sehingga Cos α0 = 0,6 C
Sin 2α = 2 sin α cos α
= 2 (0,8) (0,6) 8 10
= 0,96
B 6 A
b. Rumus Cos 2
α
Dengan menggunakan rumus Cos (α +β) untuk β = α, maka akan diperoleh: Cos 2α = Cos (α +α)
= Cos α Cos α – Sin α Sin α
Jadi ,
... ( 1) Dengan mensubsitusikan Cos2α = 1- Sin 2α ke (1), Akan diperoleh :
... (2)
Dengan mensubsitusikan Sin 2α = 1 - Cos2α ke (1), Akan diperoleh :
... (3) Cos 2α = Cos2α- Sin 2α
Cos 2α = 1-2 Sin 2α
Contoh :
Diketahui : Sinα =0,8. Hitunglah Cos2α!
Jawab : Cos2α 2α 2 1− Sin = 28 , 0 28 , 1 1 ) 8 , 0 ( 2 1 2 = − = − = Jadi, Cos2α =−0,28 b. Rumus tan 2α
Dengan menggunakan rumus tan (α + β ), untuk β = α , maka akan diperoleh Tan 2α = tan (α + α)
= =
Jadi,
Contoh :
Diketahui Sin α0 = 0,8 untuk 0 < α < 900 hitunglah nilai dari tan 2α0 ? Jawab :
Karena Sin α0 = 0,8 bearti Cos α = 0,6 tan 2 α =
Maka tan α =
= =
6.3 Aturan Sinus, Cosinus, dan Tangen
Aturan sinus
Aturan cosinus
Soal Latihan ! 1. Diketahui Sin 5 3 = x dan Sin 13 5 =
y (x dan y sudut lancip). Hitunglah nilai Sin (x – y)?
2. Diketahui Cos , 13
5 =
α dengan a lancip. Hitunglah nilai dari Sin 2 ? α
3. Diketahui Cos , 13
5 =
α dengan a lancip. Hitunglah nilai dari Cos 2 ? α
4. Dengan menggunakan rumus setengah sudut, hitunglah nilai dari Sin ? 150 5. Diketahui Cos 13 5 =
α dan
α
adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari:a) Sin 2 α
b) Cos 2 α
BAB VII
MATEMATIKA SMA/ MA
7.1 Persamaan Kuadrat
1. Persamaankuadrat mempunyai akar-akar dan .
Jika , maka nilai . . . .
A. -3 atau -7 D. 6 atau 14 B. 3 atau 7 E. -6 atau -14 C. 3 atau -7 Jawab : a = 1, b = m – 1, c = -5
Jadi, nilai m adalah 3 atau 7 Jawaban : B
2. Persamaankuadrat mempunyai dua akar real berbeda. Batas-natas nilai yang memenuhi adalah . . . .
A. D. B. E. C. Jawab : A. Akar-akar real Pembuat 0 p – 2 = 0 p – 8 = 0 p = 2 p = 8
jadi, p ≤ 2 atau p ≥ 8 Jawaban : A
7.2 Komposisi Fugsi : 4
