BAB III DIMENSI TIGA
3.3 JARAK PADA BANGUN RUANG 1. Jarak Titik ke Titik
A B Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB
Contoh :
Dan kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 6 cm, maka:
— jarak titik A dan B adalah 6 cm; — jarak titik A dan C adalah 6 cm; — jarak titik A dan G adalah 6 cm.
2. Jarak Titik ke Garis
Jarak antara tjtik A dengan garis g adalah panjang ruas garis AP di mana titik P terletak pada g dan AP
g.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara:
b. titik A ke garis HG; c. titik A ke garis HF! Jawab:
a. Jarak titik A ke garis BD adalah AP, sebab AP BD
AP = = cm
b. Jarak titik A ke garis HG adalah AH, sebab HG siku-siku di H, AK = cm. c. Jarak titik A ke garis HF adalah AQ, sebab AFH sama sisi.
=
= 72 – 18 = 54
AQ = = cm
3. Jarak Titik ke Bidang
Perhatikan balok ABCD.EFGH pada Gambar 7.6! • Ruas ganis BF diperpanjang menjadi garis BF dan
daerah persegi panjang ABCD ‘diperluas menjadi bidang
A’B’C’D’/ ’
• Apabila kita ambil titik P sembarang pada garis BF maka proyeksi titik P pada bidang ABCD adalah titik B.
Demikan pula untuk settap tittk yang terletak pada garis BF proyeksinya pada bidang ABCD adaah titik B. dikatakan bahwa garis BF tegäk lürus pada bidang ABCD.
Dari balok di atas dapat pula ditarik kesimpulan bahwa garis tegak lurus pada garis AB dan juga tegak lurus pada garis BC. Sedangkan garis AB dan BC berpotongan di titik B.
Dari balok tersebut dapat diamati bahwa setiap garis yang terletak pada bidang
ABCD dan melaui titik B pasti tegak lurus garis BF.. Atau setiap garis yäng. terletak pada bidang ABCD pasti tegak lurus garis BF
Dari keterangan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut,
1. Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang apabila garis itu tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut
2. Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidañg maka garis itu tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang tersebut.
Perhatikan Gambar 7.71 Anda tentukan titiktitikpada bidang
H. Kemudian buat ruas-ruas garis yang B menghubungkan titik-tiik pada bidang dengan titik A.Ternyata ruas garis yang tependek adalah ruas garis yang menghubungkan Jadi, jarak titik ke bidang adalah jarak tegak lurus dan titik ke bidáng. :
Contoh 1:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Tentukan berapa jarak dan: a. titik C ke bidang ABFE;
b. titik C ke bidang BDHF! . ‘
Jawab:
a. Jarak titik C kebidang ABFE adalãh CB, sebab CB bidang ABFE CB = 6 cm
b. Jarak titik C ke bidang BDHF adalah .CP, sebab CP
bidang BDHF. = cm
c. Contoh 2:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. a. Buktikan DF bidang ACH!
b. Berapa )arak titik D ke bidang ACH?
a. AC bidang BDHF AC semua garis pada bidang BDHF Jadi,AC. DF ,... (i)
CH bidang ADGF CH semua garis pada bidang ADGF Jadi,CH DF.... (ii)
(i) AC DF DF bidang
yang memuat AC dan CH
(ii) CH DF atau DF bidang ACH (terbukti)
b. Karena DF bidang ACH maka jarak titik D ke bidang ACH adalah DP. HDS siku-siku di D
= =
Gunakan rumus luas pada HDS
HD x DS = HS x DP
= =
Jadi, jarak titik D ke bidang ACH cm
3. Jarak
Jarak antara dua bangun ditentukan oleh panjang garis hubung terpendek antara dua bangun tersebut.
1. Jarak dua titik
Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB. 2. Jarak titik dan garis
Jarak titik A ke garis g adalah AB, di mana AB garis g.
Jarak titik A ke bidang a adalah AB, di mana AB bidang a
4. Jarak dua garis sejajar
Jarak dua garis sejajar g dan h adalah AB di mana A pada g dan B adalah proyeksi A pada h
5. Jarak garis dan bidang yang sejajar
Jarak garis g dan bidang a yang sejajar adalah AB, di mana ruas garis AB . g dan AB juga . bidang
6. Jarak dua bidang yang sejajar
Jarak dua bidang sejajar dan adalah AB di mana AB tegak lurus bidang a dan AB tegak lurus bidang .
7. Jarak dua garis bersilangan
Jarak dua garis g dan h yang bersilangan adalah AG di mana AB I g dan AB .1. h. Cara melukis:
b. Buat bidang a melalui g dan h.
c. Garis g diproyeksikan ke bidang a diperoleh dan memotong h di A.
d. Melalui A ditarik garis . bidang a dan memotong g di B. e. AB adalah jarak garis g dan h.
Contoh:
Balok ABCD . EFGH dengan panjang rusuk AG =8 cm, AD =6 cm, dan AE = 5 cm. Titik P dan Q merupakan titik potong diagonal alas dan atap.
Carilah jarak: 1. titik B dan F 2. titik A dan C 3. titik A dan G 4. titik F ke garis BC 5. titik P ke garis HF 6. titik Q ke bidang ABCD 7. titik A ke bidarig BCGF 8. garis AF dan DG
9. garis BG dan AH 10. garis BC dan FH 11. garis BC dan HG
12. garis EF dan bidang ABCD 13. garis EG dan bidang ABCD 14. bidang ABCD dan bidang EFGH
1. jarak B dan F adalah BF = 5 cm 2. jarakAdanC =AC = = = 10 cm 1. jarak A dan G = AG AG = = = = 5 cm
2. Jarak titik F ke garis BC adalah panjang BE = 5 cm 3. Jarak titk P ke garis HF adalah PQ = 5 cm 4. Jarak tilik Q ke bidang ABCD adalah P0 = 5 cm 5. Jarak A ke bidang BCGF adalah AB = 8 cm 6. Jarak garis AF dan DG adalah AD = 6 cm 7. jarak garis BG dan AH adalah AB = 8 cm 8. jarak garis BC dan FH adalah BF = 5 cm
9. jarakgarisBCdanHGadalah CG =5cm
10. jarak gars EF dan bidang ABCD adalah AE = 5 cm
11. jarak garis EG dan bidang ACD adalah AE = 5 cm 12. jarak bidang ABCD dan bidang EFGH ädalah AE = 5cm,
$
1. Perhatikan gambar Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Hitunglah jarak:
a. titik D terhadap garis AE
b. Titik P terhadap garis AB c. titik H terhadapgaris EF d. titik A terhadap garis PB e. titik F terhadap bidang ADHE
f. titik P terhadap bidang ABFE g. titik D terhadap bidang BCGF h. titik C terhadap bidang ABD
2. Dan gambar kubus ABCD.EFGFH di atas. tentukan tempat kedudukan dari : a. garis AB terhadap garis HG
b. garis PB terhadap garis AD c. garis AB terhadap ganis DH d. garis EF terhadap garis CD
e. garis PF terhadap garis HB f. garis AG terhadap garis CH
3. Dan gambar kubus ABCD.EFGH di atas, tentukan tempat kedudukan dari : a. bidang ABCD dan bidang BCGF
b. bidang ABCD dan bidang EHF c. bidang APD dan bidang ABD d. bidang ACH dan bidang DEG e. bidang BDG dan bidang ACH; f. bidang ACGE dan bidang BDHF
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Hitunglah jarak: a. titik B dan titik G
b. titik B dan titik H
c. titik B dan titik P (P titik tengah FH) d. titik G ke garis BC
e. titik G ke garis BD
f. titik G ke garis BE g. titik E ke bidang CDHG h. titik E ke bidang BDHF i. titik E ke bidang AFH j. titik E ke bidang BDG
cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Hitunglah jarak titik T ke bidang ABCD!