5.1 PERMUTASI
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Notasi faktorial akan digunakan untuk mempelajari permutasi dan kombinasi. Terlebih dahulu kita akan membahas notasi faktorial.
Hasil perkalian bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial dan diberi notasi n! .
Jadi , Atau Contoh: a. 4! = 4.3.2.1 = 24 b. 6! = 6.5.4.3.2.1 =720
5.2 Jenis- jenis Permutasi
a. Permutasi unsur dari unsur
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur
dari n unsur ditulis atau
Coba perhatikan contoh-contoh di bawah untuk memahami Permutasi dalam konsep Peluang pada pelajaran Matematika.
Contoh I: {a,b,c}
unsur setiap pengambilan 2 unsur adalah 6, yaitu ab, ba, ac, ca, bc, cb.
Ditulis
Contoh II: {a,b,c}
maka, banyaknya permutasi dari 3 unsur setiap pengambilan 3 unsur adalah 6, yaitu abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Ditulis
b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Setiap unsur pada permutasi tidak boleh digunakan lebih dari satu kali, kecuali jika dinyatakan secara khusus.
Jika dari n unsure terdapat p unsur yang sama, q unsure yang sama, dan r unsur yang sama, maka banyaknya permutasi adalah:
Contoh:
Tanpa mengurangi banyak huruf pada kata “GEGANA” tentukan banyaknya permutasi yang dapat dibuat dari huruf-huruf itu.
Jawab:
♣ Banyaknya unsur n = 6 huruf
♣ Huruf G ada 2 buah dan huruf A ada 2 buah sehingga banyaknya
c. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang objeknya disusun dalam bentuk lingkaran.
{a,b,c}
Maka, jika menggunakan permutasi siklis, hasil dari pengambilan 3 unsur dari 3 unsur dapat digambarkan seperti gambar di atas.
RUMUS: banyaknya permutasi siklis dari n unsur bebeda adalah PL = = (n-1)! Atau P = (n-1)!
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
P = (6-1)!= 5!
= 5⨯4⨯3⨯2⨯1 = 120
d. Permutasi berulang
Permutasi dari ketiga huruf A, B dan C adalah ABC,
ACB,BAC,CAB,CBA. Perhatikan bahwa dlam susunan-susunan itu tiap unsur yamg tersedia tidak boleh ditulis secara berulang. Kalau unsur-unsur yang tersedia ditulis boleh berulang, sehingga kita dapat memperoleh
susunan huruf yang bentuknya seperti ini: seperti ini disebut permutasi berulang.
Banyak permutasi berulang dari tiga huruf A,B, dan C, dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
• Ada 3 cara untuk memilih huruf pertama yaitu, A,B dan C
• Oleh karena huruf-huruf itu boleh berulang, maka ada 3cara untuk memlih huruf kedua.
Contoh:
Berapa banyak susunan huruf yang diambil dari huruf-huruf, B,I ,N, dan A. kalau unsur-unsur yang tersedia itu boleh ditulis berulang?
Jawab:
Banyaknya unsur ang tersedia (perhatikan bahwa tiap unsurnya akan disusun dua unsur )
Maka:
Jadi, bannyaknya susunan dua huruf yang diambil dari huruf-huruf B,I,N dan A. Unsur
unsur yang tersedia boleh ditulis berulang seluruhnya ada 16 macam.
5.2 KOMBINASI
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n
Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur! Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
5.3 Peluang Suatu Kejadian
a. Pengertian Ruang Sampel
Himpunan” S” dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} P = {AAG, AGA, GAA}
b. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil
yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka: A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
c. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S )
= n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
d.Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah
(A) =n . P(A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
Jadi, frekuensi harapan muncul mata dadu 1 adalah 120 kali.
5.3 Kejadian Majemuk
a. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Contoh:
Sebuah kartu dicabut secara acak dan seperangkat kartu resmi, berapa peluang terambil bukan krtu As?
Peluang kartu As = P(A) =
Peluang bukan kartu As = P(A) =
1-b. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan : dibaca “
Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B.
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
Contoh:
Pada pelemparan 2 mata dadu , tentukan peluang mata dadu yang muncul berjumlah 5 atau berjumlah 6?
Jawab:
Misal: A = Kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
B = Kejadian muncul mata dadu berjumlah 6 = {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2).(5,1)}
A∩B = { }, sehingga A dan B saling lepas
P( A B) = P(A) + P(B) =
d. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai
peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
Contoh:
Dalam sebuah kotak nterdapat 8 bola merah dan 4 bola putih. Diambil satu bola berturut-turut sebanyak dua kali. Jika setelah pengambilan pertama bola tidak
dikembalikan, maka tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengabilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua.
Jawab:
Karena pengambilan tanpa pengambilan, maka terjadinya kejadian kedua akan dipengaruhi oleh kejadian pertama.
P(merah) =
Setelah pengambilan pertama, bola didalam kotak tinggal 11, sehingga P(merah/putih) =
Jadi, peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola putih pada pengambilan kedua = P(merah ∩ putih) = P(merah) . P ( Putih / merah) =
e. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
f. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
Sebuah dadu dan sebuah mata uang dilempar bersamaan. Beberapa peluang muncul mata dadu 4 pada dadu dan gambar bpada mata uang!
Jawab:
A = {(4,A), (4,G) }= n (A) = 2
B = {(1,G),(2,G),(3,G),(4,G),(5,G),(6,G)} = n (B) = 6
Karena A dan B saling bebas = P (A dan B)
= P(A) ⨯ P(B ) =
Jadi, peluang muncul mata dadu 4 dan gambar adalah
5.4 Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
Contoh:
Kotak A berisi 5 kartu bernomor 1sampai 5. Kotak B berisi 5 kartu bernomor 1 sampai 5. Dari tiap kotak diambil saty kartu secara acak. X menyatakan peubah jumlah kedua kartu yang muncul. Hitunglah:
a. P(X=5) b. P(X>7) 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,2) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,2) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,2) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
Peubah acak X dengan nilai x = 2,3,4,5,....,10
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X = x) 1/25 2/25 3/25 4/25 5/25 4/25 3/25 2/25 1/25
Dari table diatas maka:
a. P(X=5) =
=
2. Nilai Harapan Suatu Peubah Acak
Nilai harapan suatu peubah X dinotasikan dengan m atau E(X)
E(X) = + +…..+
Contoh:
Pada pelemparan 2 buah mata uang logam, jika X menyatakan banyaknya muncul angka, maka tentukan nilai harapan peubah acak X.
Jawab: X 0 1 2 P(X =x) E(X) = 0 . + 1 . + 2 . 3. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses n = Banyak percobaan x = Muncul sukses n-x = Muncul gagal
Contoh:
Sebuah dadu dilempar tiga kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu 3 sebanyak 2 kali. Jawab: n=3, p= k=2 b(2,3, ) = C (3,2) ( (1- )3-2 = 3. 4. Sebaran Seragam
sebuah sebaran dikatakan sebagai sebaran seragam apabila berlaku: P(X =k) =
Artinya, setiap nilai peubah acaknya memiliki peluang yang sama untuk terjadi. Contoh:
Pada pelemparan sebuah uang logam didapatkan: P(Angka) =
Soal –soal latihan
1. Berapa banyaknya cara yang dapat disusun dari perwakilan kelas yang terdiri atas 12 orang yang akan dibentuk ketua osis, wakil ketua, sekertaris dan bendahara?
2. Tentukan banyaknya permutasi susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA?
3. Banyaknya cara apabila suatu kelurga yang terdiri dari ayah, ibu, 3 anak laki-laki dan anak perempuan duduk dalam satu baris , sehingga ayah dan ibu tidak boleh berdekatan adalah…
4. Pelemparan dua buah dadu dilakukan sebanyak 720 kali. Frekuensi harapan muncul dadu yang berjumlah 6!
5. Tentukan nilai dari: a. C(10,3) b. C(10,7)
6. Pada pelemparan dua dadu, tentukan:
a. Ruang sampel dalam bentuk table Challey
b. n(A), jika A adalah kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 c. P(A)
7. Harin membeli 1 baju, 2 celana, dan 1 sepasang sepatu diswalayan laris. Jika diswalayan tersebut tersedia 3 baju, 3 celana, dan 4 sepatu. Ada berapa cara harin dapat memilih barang tersebut.
8. Diketahui S = {1,2,3,4,5,6,7,8} dan A = {1,3,5,7}. Tentukan: a. Ac
c. P(Ac) b. P(A) d. P(A) + P(Ac
)
9. Dua dadu dilempar bersama. Jika Aadalah kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama dan B adalah kejadian muncul mata daduganjilpada dadu kedua , maka tentukan:
a. P(A) c. P(A∩B) b. P(B) d. P(A B)
10. Pada pelemparan 3 mata uang logam bersama-sama,X menyatakan peubah banyaknya angka yang muncul. Tentukan nilai:
a. P(X = 2) b. P(1< X≤ 3)