BAB II LANDASAN TEORI
A. Kajian Teoritik
8. Jarak Titik Ke Garis
Berikut ini adalah tabel standar kompetensi dan kompetensi dasar pada pokok bahasan menentukan jarak titik ke garis pada bangun ruang sisi datar menurut Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) serta indikator yang disesuaikan dengan kemampuan siswa.
A % Q & h m
Tabel 2.1 Standar Kompetensi, Kompetensi Dasar, Indikator
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator
Menentukan kedudukan,
jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan
bidang dalam ruang
dimensi tiga
Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga
• Mendefinisikan jarak
titik ke garis
• Cara menentukan
jarak titik ke garis
• Menghitung jarak
titik ke garis
Berikut ini adalah materi jarak titik ke garis dalam ruang : a. Kedudukan titik dan garis
1) Titik pada garis
Jika sebuah titik terletak pada suatu garis, maka dapat dikatakan garis tersebut melalui sebuah titik
Gb 2.8 Titik A dan B pada garis g 2) Titik di luar garis
Jika sebuah titik tidak terletak pada suatu garis, maka dapat dikatakan sebuah titik di luar sebuah garis.
Gb 2.9 Titik A dan B di luar garis g A a B g a g A B
b. Pengertian Jarak Titik ke Garis
Jarak titik ke garis adalah ruas garis yang ditarik dari titik itu (titik A) ke titik kaki (titik P) tegak lurus yang dibuat dari titik itu ke garis tersebut (garis h)
c. Metode dalam Menentukan jarak titik ke garis 1) Analisis
Pada metode analisis, hal yang perlu diketahui adalah koordinat titik dan persamaan garisnya. Untuk menentukan jarak titik ke garis adalah dengan menggunakan rumus :
d = √ 2) Vektor
Dalam menentukan jarak titik ke garis, cara yang paling cepat adalah dengan menggunakan vektor seperti pada keterangan di bawah ini :
A
P h
Jika AP dan AB vektor-vektor tak nol dan sudut diantara vektor AB dan AP, maka perkalian skalar vektor AB dan AP didefinisikan oleh :
|()****| |(+****| = |()****| x |(+****|
3) Rumus Pythagoras
Rumus pythagoras ini sering digunakan dalam perhitungan yang berhubungan dengan ruang dimensi tiga / bangun ruang, khususnya untuk menentukan jarak titik ke garis maupun jarak titik ke bidang karena jarak titik ke garis dan ke bidang dapat ditentukan bila garis tersebut tegak lurus garis lain maupun bidang. Sehingga rumus yang biasa digunakan pada segitiga siku-siku ini sangat sering digunakan. Jarak titik B ke titik C dalam suatu ruang dapat digambarkan dengan cara menghubungkan titik B dan titik C dengan ruas garis BC. Untuk mengukur jarak titik B dan titik C dilakukan dengan menarik garis lurus dari B menuju C. Panjang ruas garis BC merupakan jarak antara titk B ke titik C.
Keterangannya sebagai berikut : cos P
B A
/ = √0 + 1 0 = √/ − 1 1 = √/ − 0 Gb 2.10 Segitiga siku-siku
d. Menentukan jarak titik ke garis dalam bangun ruang
Dari keterangan di atas telah dijelaskan tentang rumus yang digunakan untuk menentukan jarak titik ke garis dan bagaimana langkah-langkah menggambarnya.
Untuk lebih jelasnya akan diberikan contoh seperti di bawah ini : Contoh : Terdapat kubus ABCDEFGH seperti pada gambar.
Gb. 2.11 Kubus pada contoh soal Tentukan :
a) Jarak titik A ke garis BC b) Jarak titik A ke garis FG c) Jarak titik C ke garis FH
A C c B a b c
d) Jarak titik P ke garis CD e) Jarak titik P ke garis BF f) Jarak titik P ke garis BD
Penyelesaian :
a) Jarak titik A ke garis BC
Untuk menentukan jarak titik A ke garis BC maka terlebih dahulu harus dibuat garis yang melalui titik A dan tegak lurus garis BC. Dari gambar tersebut terlihat bahwa garis yang melalui titik A dan tegak lurus garis BC adalah garis AB. Maka jarak titik A ke garis BC adalah sepanjang garis AB yaitu 5 cm
b) Jarak titik A ke garis FG
Untuk menentukan jarak titik A ke garis FG maka terlebih dahulu harus dibuat garis yang melalui titik A dan tegak lurus garis FG. Dari gambar tersebut terlihat bahwa garis yang melalui titik A dan tegak lurus garis FG adalah diagonal sisi AF. Maka jarak titik A ke garis FG adalah sepanjang diagonal sisi AF.
Untuk menentukan panjang diagonal sisi AF harus menggunakan rumus pythagoras sebagai berikut :
(2 = ((+) + (+2) (2 = √5 + 5
(2 = √50 (2 = 5 √2
Sehingga jarak titik A ke garis FG adalah AF = 5 √2 cm
c) Jarak titik C ke garis FH
Untuk menentukan jarak titik C ke garis FH maka terlebih dahulu harus dibuat garis yang melalui titik C dan tegak lurus garis FH. Dari gambar tersebut terlihat bahwa garis yang melalui titik C dan tegak lurus garis FH adalah garis OC, dengan titik O adalah titik tengah garis FH. Maka menentukan dahulu panjang OF.
Karena FH adalah diagonal sisi seperti yang telah ditentukan diatas, maka panjang FH adalah 5 √2 cm, dan OF adalah setengah dari panjang FH. Sehingga panjang OF adalah !√2 cm. Garis CF juga merupakan diagonal sisi dengan panjang 5 √2 cm.
Untuk menentukan panjang CO harus menggunakan rumus pythagoras sebagai berikut :
45 = (52) − (42) 45 = 675 √28 − 9!√2:
45 = 650 − 9 !:
45 = 6;! 45 = !√6
Sehingga jarak titik C ke garis FH adalah OC = !√6 cm
Gb 2.12 Jarak titik C ke garis FH
d) Jarak titik P ke garis CD
Titik P merupakan titik tengah garis CG. Untuk menentukan jarak titik P ke garis CD maka terlebih dahulu harus dibuat garis yang melalui titik P dan tegak lurus garis CD. Dari gambar tersebut terlihat bahwa garis yang melalui titik P dan tegak lurus garis CD adalah garis PC. Maka jarak titik P ke garis CD adalah sepanjang garis PC yaitu 5:2 = 2,5 cm
e) Jarak titik P ke garis BF
Untuk menentukan jarak titik P ke garis BF maka terlebih dahulu harus dibuat garis yang melalui titik P dan tegak lurus garis BC. Dari gambar tersebut terlihat bahwa garis yang melalui titik P dan tegak lurus garis BF adalah garis PQ, dengan Q adalah titik tengah garis BF. Maka jarak titik P ke garis BF adalah sepanjang
garis PQ, sedangkan garis PQ sejajar garis BC yang panjangnya 5 cm. PQ = BC = 5 cm. Sehingga jarak titik P ke garis BF adalah PQ = 5 cm
f) Jarak titik P ke garis BD
Untuk menentukan jarak titik P ke garis BD maka terlebih dahulu harus dibuat garis yang melalui titik P dan tegak lurus garis BD. Dari gambar tersebut terlihat bahwa garis yang melalui titik P dan tegak lurus garis BD adalah garis PR, dengan R adalah titik tengah garis BD. Maka jarak titik P ke garis BD adalah sepanjang garis PR. Jadi, terlebih dahulu menentukan panjang RC. Dari gambar terlihat bahwa RC merupakan setengah dari panjang diagonal sisi AC, sehingga panjang RC adalah 5√2 : 2 = !√2 cm. Dan panjang PC adalah !
cm.
Untuk menentukan panjang PR adalah sebagai berikut : )= = (=5) + ()5)
)= = 69!√2 : + 9!:
)= = 6 !+ !
)= = 6;! )= =!√3
Sehingga jarak titik P ke garis BD adalah PR = !√3 cm
Gb 2.13 Jarak titik P ke garis BD
9. Program Cabri 3D