BAB 2 LANDASAN TEORI
D. Kemampuan Penalaran
Penalaran merupakan konsep yang paling umum menunjuk pada salah satu proses pemikiran untuk sampai pada kesimpulan sebagai pernyataan baru dari beberapa pernyataan lain yang telah diketahui (Surajiyo, 2006: 20). Penalaran menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2008:950) yaitu a) cara atau perihal menggunakan nalar, pemikiran atau cara berpikir logis, b) hal mengembangkan atau mengendalikan sesuatu dengan nalar dan bukan dengan perasaan atau pengalaman, c) proses mental
dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta atau prinsip. Sedangkan menurut Jujun S. Suriasumantri (1999:42) penalaran merupakan proses berpikir dalam menarik kesimpulan yang berupa pengetahuan dan mempunyai karakteristik tertentu dalam menemukan kebenaran.
Kegiatan proses berpikir setiap orang untuk menghasilkan pengetahuan yang benar itu berbeda-beda karena apa yang disebut benar bagi tiap orang tidak sama. Setiap jalan pikiran mempunyai kriteria kebenaran. Kriteria kebenaran ini merupakan landasan bagi proses penemuan kebenaran tersebut. Penalaran merupakan proses penemuan kebenaran dan tiap jenis penalaran mempunyai kriteria kebenarannya masing-masing.
Menurut R.G Soekadijo (2008:7) Penalaran adalah proses menemukan kebenaran, artinya konklusi atau kesimpulannya harus berupa proposisi yang benar. Dalam bentuk penalaran, pengetahuan yang menjadi dasar konklusi itu adalah premis. Syarat pertama untuk mencapai konklusi yang benar adalah semua proposisi di dalam premis itu harus benar.
Penalaran merupakan proses berpikir yang membuahkan pengetahuan. Pengetahuan yang dihasilkan penalaran agar mempunyai dasar kebenaran maka proses berpikir harus dilakukan dengan cara tertentu. Penalaran sebagai kegiatan berpikir mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri yang pertama adanya pola berpikir logis menurut pola tertentu. Kegiatan berpikir bisa disebut logis bila ditinjau dari logika tertentu. Kedua, adanya proses
berpikir analitik yang merupakan konsekuensi dari pola pikir berdasarkan langkah-langkah tertentu.
Selain memiliki ciri-ciri, penalaran dibedakan menjadi dua macam, yaitu penalaran deduktif dan penalaran induktif. Penalaran deduktif merupakan cara berpikir dari pernyataan yang bersifat umum ditarik kesimpulan yang bersifat khusus. Penarikan kesimpulan secara deduktif biasanya menggunakan pola berpikir yang dinamakan silogisme. Silogisme disusun dari dua buah pernyataan dan sebuah kesimpulan. Pernyataan yang mendukung silogisme ini disebut premis yang kemudian dapat dibedakan sebagai premis mayor dan premis minor. Kesimpulan merupakan pengetahuan yang didapat dari penalaran deduktif berdasarkan kedua premis tersebut.
Contoh penalaran deduktif adalah
Premis mayor : Semua manusia akan mati Premis minor : Socrates adalah manusia Kesimpulan : Socrates akan mati
Kebenaran suatu konklusi atau kesimpulan didukung oleh tiga faktor yaitu premis, konklusi dan cara penarikan konklusi. Apabila salah satu dari ketiga faktor tersebut salah maka konklusinya juga akan salah. Contohnya apabila premis mayor atau premis minor tersebut salah maka kesimpulannya akan salah. Namun apabila premis sudah benar tetapi cara penarikan kesimpulan salah maka konklusi akan salah. Oleh karena itu untuk mendapatkan konklusi yang benar, ketiga faktor tersebut harus benar.
Penalaran induktif merupakan cara berpikir dengan menarik kesimpulan yang bersifat umum dari berbagai kasus yang bersifat individual. Penalaran secara induktif dengan dimulai menyampaikan pernyataan-pernyataan yang mempunyai ruang lingkup yang khas dan terbatas dalam menyusun argumentasi yang diakhiri dengan pernyataan yang bersifat umum.
Contoh penalaran induktif adalah
Premis 1 : Apel 1 keras dan hijau adalah masam. Premis 2 : Apel 2 keras dan hijau adalah masam. Kesimpulan : Semua apel keras dan hijau adalah masam.
Menurut R.G Soekadijo (2008:132) ciri-ciri penalaran induksi sebagai berikut pertama, premis-premis dari induksi adalah proposisi empirik yang langsung kembali kepada observasi indera atau proposisi dasar (basic statement). Kedua, konklusi penalaran induktif lebih luas daripada apa yang dinyatakan di dalam premis-premisnya. Ketiga, konklusi penalaran induktif dapat dipercaya kebenarannya oleh pikiran atau dengan perkataan lain memiliki kredibilitas rasional (probabilitas). Probabilitas itu didukung oleh pengalaman, artinya menurut pengalaman biasanya cocok dengan observasi indera, tidak mesti harus cocok.
Indikator kemampuan yang termasuk pada kemampuan penalaran matematis dalam Asmar Bani (2011), yaitu:
Analogi adalah persamaan atau persesuaian antara dua benda atau hal yang berlainan (Kamus Besar Bahasa Indonesia:2008:59), sedangkan generalisasi adalah simpulan umum dari suatu kejadian (Kamus Besar Bahasa Indonesia:2008:439). Contoh analogi dan generalisasi:
a. Balok dapat dianalogikan dengan persegi panjang. Hal ini dikarenakan panjang sisi yang berhadapan pada persegi panjang adalah sama. Begitu juga dengan luas sisi yang berhadapan pada balok adalah sama.
b. Bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap (generalisasi) Misalkan a dan b adalah sebarang bilangan bulat, maka 2a = bilangan genap dan 2b = bilangan genap, maka 2a+1 dan 2b+1 adalah bilangan ganjil. Apabila dijumlahkan maka:
+ + +
= + +
= + +
Karena a dan b bilangan bulat maka (a+b+1) juga bilangan bulat, sehingga 2(a+b+1) adalah bilangan genap. Jadi, bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap.
2. Memberikan penjelasan dengan menggunakan model
Seseorang yang mempunyai kemampuan penalaran matematis akan mudah memberikan penjelasan dengan menggunakan model.
Seseorang itu tidak berpatok pada rumus yang ada melainkan dapat menjelaskan sesuatu dengan menggunakan model.
3. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika.
Seseorang yang mempunyai kemampuan penalaran matematis akan menggunakan pola atau hubungan untuk menganalisis situasi matematika. Contoh: ketika siswa menentukan rumus volume balok. Siswa melihat hubungan antara konsep volume dengan benda apa yang dapat memenuhi balok tersebut. Volume adalah sesuatu yang dapat memenuhi bangun ruang, untuk dapat memenuhi balok maka siswa tersebut menggunakan kubus satuan. Hal ini karena hanya kubus satuan yang dapat memenuhi balok tersebut.
4. Menyusun dan menguji konjektur
Konjektur adalah suatu pernyataan yang belum diketahui kebenarannya atau belum dapat dibuktikan. Contoh konjektur adalah setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 bisa dituliskan sebagai jumlah dua bilangan prima (Konjektur Goldbach).
5. Memeriksa validitas argumen
Validitas adalah sifat benar menurut bahan bukti yang ada, logika berpikir, sifat valid, kesahihan (Kamus Besar Bahasa Indonesia:2008:1543). Seseorang yang mempunyai kemampuan penalaran matematis tidak hanya menerima argumen dengan “seadanya” melainkan memeriksa validitas dari argumen tersebut.
6. Menyusun pembuktian langsung
Pembuktian langsung adalah cara pembuktian yang berpangkal pada premis-premis yang diketahui dengan menggunakan kaidah inferensi yang sesuai dan memperoleh pernyataan yang akan dibuktikan sebagai kesimpulannya (Frans Susilo,2012:47).
7. Menyusun pembuktian tidak langsung
Pembuktian tidak langsung adalah bukti yang berpangkal pada negasi dari pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya (Frans Susilo,2012:49).
8. Mengikuti aturan inferensi
Kaidah inferensi adalah penalaran deduktif yang sah (valid), bila dan hanya bila implikasi dari yang antesedennya adalah konjungsi dari semua premis dan konsekuennya adalah kesimpulan dari penalaran deduktif itu merupakan suatu tautologi (Frans Susilo,2012:40). Contoh kaidah inferensi adalah Modus Ponens:
Premis 1 : →
Premis 2 : Kesimpulan :
Berdasarkan paparan teori tersebut, dapat disimpulkan bahwa kemampuan penalaran matematis merupakan kemampuan yang dimiliki masing-masing siswa dalam memecahkan permasalahan matematika secara logis. Dengan demikian kemampuan penalaran matematis merupakan
bagian dari intelegensi matematis-logis. Hal ini dikarenakan dalam intelegensi matematis logis menekankan pada logika atau pemikiran logis yang merupakan faktor utama dari penalaran.
