BAB IV PELAKSANAAN PENELITIAN DAN ANALISIS DATA
F. Analisis Data Tertulis
6. Kesalahan Teknis
Berikut adalah penjelasan dari keenam jenis kesalahan di atas:
1. Kesalahan Data (Misused Data)
Kesalahan ini meliputi kesalahan-kesalahan yang dihubungkan
dengan ketidaksesuaian antara data yang diketahui pada soal dengan data
yang dikutip oleh siswa. Kesalahan ini dapat dilakukan baik saat pertama
kali siswa memasukkan data bersama-sama atau saat siswa pengolahan data.
a. Menambah data asing yang tidak diperlukan ke dalam penyelesaian.
b. Mengabaikan data pada soal yang diperlukan dalam penyelesaian.
c. Menguraikan syarat-syarat (contoh: dalam pembuktian, perhitungan)
yang tidak dibutuhkan dalam masalah.
d. Mengartikan informasi tidak sesuai dengan maksud teks yang
sebenarnya.
e. Memaksakan syarat yang tidak sesuai dengan informasi lain yang
diberikan
f. Menggunakan nilai sama untuk satu variabel dan variabel lain.
g. Salah dalam menyalin informasi dari soal.
2. Kesalahan dalam Mengintepretasikan Bahasa (Misinterpreted Language)
Kesalahan ini meliputi kesalahan yang berkaitan dengan
ketidaktepatan menerjemahkan suatu pernyataan matematika yang
dideskripsikan dalam suatu bahasa ke bahasa lain. Karakteristik kesalahan
jenis ini meliputi:
a. Menerjemahkan bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika atau
bentuk persamaan matematika tetapi artinya yang berbeda.
b. Menunjuk suatu simbol pada suatu konsep matematika yang artinya
berbeda dan beroprasi dengan simbol tersebut.
3. Kesalahan Penggunaaan Logika dalam Penarikan Kesimpulan (Logically
Invalid Inference)
Kesalahan ini meliputi kesalahan-kesalahan siswa yang berhubungan
dengan pemikiran yang keliru dalam menarik kesimpulan dari suatu
informasi yang diberikan atau dari kesimpulan sebelumnya. Karakteristik
kesalahan ini adalah sebagai berikut:
a. Dari pernyataan implikasi ⇒ , siswa menarik kesimpulan sebagai berikut:
Jika diketahui terjadi maka pasti terjadi (Konvers, ⇒ )
Jika diketahui tidak maka tidak (Invers, ~ ⇒ ~ )
b. Dari pernyataan implikasi ⇒ , siswa menarik kesimpulan sebagai berikut:
Diperoleh sebagai akibat dari .
Diperoleh tidak ~ sebagai akibat dari tidak ~ .
c. Menarik kesimpulan dari pernyataan implikasi ⇒ , saat tidak serta mengikuti .
d. Kesalahan dalam menggunakan istilah “semua”, “ada”, dan “beberapa”. e. Berdasarkan pernyataan di atas, siswa membuat kesimpulan tanpa
menjelaskan urutan pembuktian yang benar.
4. Kesalahan dalam Menggunakan Teorema atau Definisi (Distorted Theorem
Kesalahan jenis ini meliputi penyimpangan dari prinsip, aturan,
teorema, ataupun definisi yang telah ada. Karakteristik yang terlihat
berdasarkan jenis kesalahan ini meliputi:
a. Menerapkan suatu teorema pada kondisi yang tidak sesuai.
Contoh:
Menerapkan aturan sinus:
sin = sin
Dimana a dan tidak mengacu pada segitiga yang sama yang
memuat b dan .
b. Menerapkan sifat distributif pada fungsi atau operasi yang bukan
distributif. Contoh:
sin + = sin + sin log =loglog
(a + b)n = an + bn
c. Tidak tepat dalam mengutip sebuah definisi, teorema, atau rumus.
Contoh:
Xmin = − yang seharusnya adalah Xmin=− (a – b)2 = a2 + 2ab – b2
5. Penyelesaian yang Tidak Diperiksa Kembali (Unverified Solution)
Kesalahan jenis ini meliputi siswa telah memahami setiap proses
yang diberikan siswa tidak sesuai dengan jawaban akhir yang diminta oleh
soal. Hal itu terjadi karena siswa kurang teliti dan tidak memeriksa kembali
hasil pekerjaannya.
6. Kesalahan Teknis (Technical Error)
Kesalahan jenis ini meliputi kesalahan dalam proses perhitungan,
kesalahan dalam mengutip data pada tabel, kesalahan dalam memanipulasi
simbol aljabar dasar (misal: menulis − . − yang seharusnya −
− , tetapi melanjutkan proses seperti tanda kurung di sana, yang mana adalah suatu kecerobohan/kelalaian tanda kurung) dan kesalahan lain
pada algoritma yang biasanya dikuasai di sekolah dasar atau sekolah
menengah pertama.
Contoh kesalahan adalah:
Kekeliruan mengalikan dua bilangan
Contoh: × =
Ketidaktelitian dalam menulis
Berdasarkan hasil penelitiannya, Hadar menyatakan jenis kesalahan
dalam menggunakan teorema atau definisi adalah jenis kesalahan yang paling
banyak dilakukan siswa-siswa di sekolah menengah di Israel. Menurut Hadar,
klasifikasi kesalahan yang diusulkannya untuk kemudian dapat membantu guru
dalam meramalkan kesulitan dan kendala, serta menggunakannya dalam
dilakukan siswa. Guru dapat menggunakan klasifikasi kesalahan untuk
mengidentifikasi kecenderungan dari seorang siswa dalam membuat jenis
kesalahan tertentu di beberapa topik matematika. Di sisi lain, diharapkan dapat
bermanfaat bagi guru, pengembang kurikulum, dan para peneliti dapat tertarik
dalam diagnosis, remediasi, dan pemberantasan kesalahan matematika pada
siswa.
C. Kesalahan-Kesalahan yang Sering Dilakukan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Persamaan Linear Satu Variabel
Richard D. G. Hall (2002) melakukan penelitian dalam menemukan
kesalahan umum yang dilakukan siswa sekolah menengah dalam
menyelesaikan soal matematika pada topik persamaan linear sederhana. Dalam
artikel “Analysis of Errors Made in the Solution of Simple Linear Equation”,
Hall melakukan penelitian dalam menyelidiki kesalahan yang biasa dilakukan
siswa-siswa sekolah menengah di Bermuda saat memecahkan persamaan linear
sederhana. Tujuan penelitian yang dilakukannya adalah mengidentifikasi dan
mengklasifikasikan dengan frekuensi relatif, kesalahan paling umum yang
dilakukan siswa dalam menyelesaikan persamaan linear sederhana, sehingga
berdasarkan mekanisme kesalahan tersebut guru dapat meningkatkan kualitas
pengajaran matematika di kelas.
Hall melakukan dua jenis penelitian dengan metode penelitian yang sama,
yang pertama adalah penelitian uji coba dalam skala kecil dan kedua adalah
pertama hingga tingkat keempat dengan tiga hingga enam pertanyaan seputar
persamaan linear sederhana. Data-data yang dikumpulkan Hall berasal dari
pemeriksaan akhir yang telah dianalisis dengan mengacu pada literatur terbaru.
Hall menemukan sembilan jenis kesalahan dalam penelitian uji coba yang
dilakukannya dalam penelitian skala kecil. Tiga jenis kesalahan telah
diidentifikasi dalam literatur, dan diperoleh enam jenis kesalahan baru yang
sampai saat itu tidak dibahas dalam literatur, selanjutnya Hall mengidentifikasi
enam kesalahan tersebut. Tiga kesalahan yang telah diidentifikasi dalam
literatur adalah kesalahan penghapusan, kesalahan penukaran penjumlahan, dan
kesalahan perulangan distribusi. Sedangkan enam kesalahan lainnya yang
ditemukan dalam penelitian uji coba adalah kesalahan kelalaian, kesalahan
penyalahgunaan invers aditif, kesalahan ketidakmampuan mengisolasi variabel,
kesalahan pembagian, dan kesalahan ketiadaan struktur. Berikut adalah uraian
dari sembilan kesalahan yang diidentifikasi dalam penelitian uji coba yang
dilakukan oleh Hall:
1. Kesalahan Penghapusan (Deletion Error)
Contoh kesalahan penghapusan yang sering terlihat adalah
menyatakan:
− =
Siswa menyamakan persamaan di atas dengan:
+ − =
Dalam studi yang dilakukan oleh Carry, Lewis, dan Bernard (dalam Hall,
umum dilakukan siswa pada berbagai langkah dalam proses
menyederhanakan persamaan. Matz (dalam Hall, 2002) memasukkan
kesalahan penghapusan dalam tiga puluh daftar kesalahan, seperti:
+ = + − + = + −
+ =
Siswa cenderung menyamakan proses penyelesaian persamaan aljabar
dengan proses penyelesaian aritmatika saat menyederhanakan persamaan
aljabar (Matz dalam Hall, 2002). Berikut adalah kesalahan penghapusan
yang ditemukan oleh Hall dalam penelitian uji coba:
+ =
− + = −
+ =
Pada pekerjaan di atas terlihat bahwa siswa menyatakan:
− =
Mengacu pada literatur yang telah ada pada saat itu, kemudian Hall
menyatakan kesalahan di atas sebagai kesalahan penghapusan.
2. Kesalahan Perulangan Distribusi (Redistribution Error)
Kesalahan perulangan distribusi muncul ketika murid mencoba untuk
memberi perlakuan sama terhadap kedua ruas pada persamaan, namun
perlakuan yang diberikan tidak tepat. Misal persamaan:
Siswa menganggap bahwa persamaan di atas memiliki solusi sama dengan
persamaan berikut ini:
+ − = +
Berikut ini adalah contoh kesalahan perulangan distribusi yang
ditemukan Hall dalam penelitian uji coba:
+ = +
+ − = + −
+ + = −
Pada baris ketiga terlihat bahwa siswa kurang tepat dalam memberi
perlakuan pada kedua ruas. Siswa menambahkan pada persamaan di ruas
kiri dengan , namun pada ruas kanan, siswa mengurangkan persamaan
dengan .
3. Kesalahan Penukaran Penjumlahan (Switching Addends Error)
Sama dengan kesalahan perulangan distribusi, kesalahan penukaran
penjumlahan muncul ketika siswa mencoba memberi perlakuan sama
terhadap kedua ruas pada persamaan. Misal persamaan:
+ =
Siswa menganggap persamaan di atas memiliki solusi sama dengan
persamaan berikut ini:
= +
Berikut ini adalah contoh kesalahan penukaran penjumlahan yang
+ = + =
Berikut ini adalah mekanisme penyelesaian persamaan di atas yang dibuat
oleh siswa:
+ = +
+ = +
=
Menurut Hall, kesalahan perulangan distribusi dan kesalahan
penukaran penjumlahan dapat terjadi karena kurangnya pemahaman aspek
struktural dalam menyelesaikan persamaan linear.
4. Kesalahan Kelelahan (Exhaustion Error)
Kesalahan kelelahan adalah kategori kesalahan baru, Hall
mengidentifikasi dalam penelitian yang dilakukannya. Kesalahan jenis ini
dibuat siswa saat menjelang tahap akhir penyelesaian soal. Meskipun jika
dilihat dari pola kesalahannya, jenis kesalahan ini memiliki kesempatan
terjadi di awal penyelesaian soal. Hall mengemukakan bahwa kesalahan ini
mungkin terjadi cukup sering dan layak menjadi kategori kesalahan. Berikut
ini contoh kesalahan kelelahan yang ditemukan oleh Hall:
+ + = +
+ − = + −
= +
Pada baris kedua sampai ketiga terlihat bahwa siswa telah cukup baik
menyederhanakan persamaan baris pertama dengan memberi perlakuan
sama pada kedua ruas. Pada baris keempat, siswa mencoba
menyederhanakan persamaan dengan cara berikut:
= +
− = + +
Pada langkah sebelumnya siswa telah cukup baik menggunakan aturan
“memberi perlakuan sama pada kedua ruas”, namun pada baris keempat,
siswa justru melakukan kesalahan dalam menggunakan aturan tersebut. Hall
menyebut kesalahan yang dilakukan siswa itu sebagai kesalahan kelelahan.
Dimungkinkan bahwa kesalahan ini dapat digabungkan dengan jenis
kesalahan lain, seperti kesalahan: penghapusan, penukaran penjumlahan,
perulangan distribusi, dan transpose.
5. Kesalahan Kelalaian (Omissions Error)
Pada kategori kesalahan ini siswa telah cukup baik dalam
menyelesaikan suatu persamaan aljabar, namun karena kondisi tertentu
seperti kerumitan masalah dan tekanan dalam ujian, menyebabkan siswa
melakukan kesalahan. Contoh kesalahan kelalaian yang ditemukan Hall
dalam penelitian uji coba:
+ + = +
Pada pekerjaan di atas, siswa mencoba mengurangkan kedua ruas
persamaan dengan , namun siswa lalai mengurangkan ruas kanan dengan
. Kerumitan masalah dan tekanan dalam ujian dapat menjadi penyebab
siswa melakukan kesalahan, seperti pada contoh kesalahan siswa di atas.
6. Kesalahan dalam Penggunaan Invers Aditif (Misuse of Additive Inverse
Error)
Di bawah ini adalah kesalahan dalam penggunaan invers aditif yang
paling umum dilakukan siswa:
+ = + + = +
=
Pada pekerjaan di atas terlihat bahwa siswa memberikan perlakuan
yang sama pada kedua ruas. Siswa di atas mungkin berpikir bahwa lawan
dari + adalah + . Kesalahan jenis ini memiliki mekanisme kesalahan yang sama dengan kesalahan penukaran penjumlahan (Switching Addends
Error), sehingga pada penelitian skala besar, kedua kesalahan tersebut
digabungkan.
7. Kesalahan Ketidakmampuan Mengisolasi Variabel (Inability to Isolate
Variable Error)
Berikut ini adalah contoh kesalahan yang berupa ketidakmampuan
+ + = +
+ = +
=
Langkah Penyelesaian Berhenti
Langkah awal hingga menjelang akhir sudah cukup baik dilakukan
oleh siswa, namun langkah terhenti hanya sampai baris ketiga. Kesalahan
ini muncul karena siswa tidak tahu apa yang harus dilakukan pada bagian
akhir, siswa tidak menyadari bahwa siswa perlu memberikan perlakuan
yang sama pada kedua ruas. Kesalahan jenis ini hampir sama dengan
kesalahan kelelahan, yaitu siswa kebingungan dalam menghilangkan
variabel. Kesalahan ini juga terjadi karena siswa tidak mampu
mengidentifikasi operasi perkalian dalam persamaan:
=
Bahwa persamaan itu memiliki arti dikali sama dengan . Selain itu
dapat dimungkinkan bahwa siswa tidak mampu melakukan operasi
pembagian.
8. Kesalahan Pembagian (Division Error)
Kesalahan ini lebih mengarah pada bagaimana siswa menggunakan
pembagian dalam menentukan penyelesaian suatu persamaan linear. Hall
mengemukakan bahwa bagi siswa yang kurang menguasai pembagian, akan
penyelesaian persamaan linear. Contoh kesalahan pembagian yang
ditemukan Hall dalam penelitian uji coba:
= = ,
Kesalahan pada pekerjaan di atas adalah siswa salah menentukan hasil
dari operasi pembagian. Siswa belum menguasai operasi pembagian
bilangan, ada kemungkinan bahwa siswa demikian akan membutuhkan alat
bantu hitung (kalkulator) dalam menentukan suatu solusi.
9. Kesalahan Ketiadaan Struktur (Absence of Structure Error)
Kesalahan ini terjadi karena siswa kurang paham untuk melakukan
operasi dengan bilangan yang sama pada kedua ruas persamaan (memberi
perlakuan sama terhadap kedua ruas persamaan). Kesalahan ketiadaan
struktur merupakan kategori kesalahan yang tidak dapat terkategorikan pada
kesalahan-kesalahan lain karena pola kesalahan tidak jelas. Kesalahan
ketiadaan struktur dimungkinkan untuk menghubungkannya dengan
beberapa bentuk kebingungan struktural, baik dari penggunaan tanda
samadengan atau penerapan algoritma. Contoh kesalahan ketiadaan struktur
yang ditemukan Hall dalam penelitian uji coba:
− = − − = −
− − = − −
Langkah penyelesaian pada pekerjaan di atas perlu diselidiki lagi
dalam wawancara dengan siswa yang bersangkutan. Pada baris kedua dapat
dimungkinkan bahwa siswa melakukan pemindahan pada suku-suku
persamaan ruas sebelah kiri, dimana siswa menganggap:
− = −
Pada baris ketiga menunjukkan bahwa siswa mungkin mengurangkan
masing-masing ruas persamaan dengan , kemudian menyatukan − dan (pada ruas kiri). Berikut ini adalah mekanisme penyelesaian persamaan
baris kedua sehingga memperoleh persamaan baris ketiga:
− − = − −
− + − = − −
− − = − −
Hall memperluas penelitiannya dengan melakukan penelitian pada skala
yang lebih besar, penelitian ini dimaksudkan untuk menguji lebih lengkap
hipotesis bahwa (a) kesalahan dapat dikelompokkan ke dalam set jenis dan (b)
jenis kesalahan dapat dimasukkan ke dalam urutan frekuensi relatif, dengan
ukuran sampel diperluas. Seluruh siswa di sekolah, tanpa pengecualian
berpartisipasi dalam penelitian skala besar. Desain penelitian uji coba dan
pemikiran di dalamnya dievaluasi setelah analisis data dan beberapa perbaikan
diusulkan, misalnya beberapa jenis kesalahan yang digabung untuk
memudahkan analisis.
pengulangan distribusi, dan penukaran penjumlahan tetap dipertahankan karena
telah diidentifikasi dalam literatur. Kesalahan kelelahan tidak bertahan sebagai
jenis kesalahan, karena hanya ditemukan dua kesalahan kelelahan pada semua
pekerjaan siswa dalam penelitian skala besar. Kesalahan kelalaian semula
dipertahankan karena ditemukan dalam penelitian uji coba. Kesalahan
ketidakmampuan mengisolasi variabel dapat dimasukkan sebagai kesalahan
pembagian. Kesalahan ketiadaan struktur tidak bisa digabungkan dengan jenis
kesalahan lain, dirasa penting karena mungkin untuk menghubungkannya
dengan beberapa bentuk kebingungan struktural, baik dari penggunaan tanda
samadengan atau penerapan algoritma. Kesalahan invers yang lain dan
kesalahan menghitung melengkapi daftar 9 jenis kesalahan yang diidentifikasi.
Selain itu muncul kesalahan transpose, kesalahan ini paling sering diamati
selama bertahun-tahun oleh peneliti. Berikut ini kesalahan baru yang
diidentifikasi Hall dalam penelitian skala besar:
1. Kesalahan Transpose (Transposing Error)
Transpose adalah teknik “ubah ruas – ubah tanda”. Kesalahan
transpose terjadi karena penerapan pendekatan “ubah ruas - ubah tanda” tanpa adanya pemahaman lebih mendalam. Menurut Kieran (dalam Hall,
2002), siswa melakukan penerapan transpose namun tidak memandang
bahwa objek matematika yang digunakan adalah sebuah persamaan,
kemudian siswa secara asal memindahkan bilangan atau variabel. Contoh
kesalahan transpose adalah:
+ =
Kesalahan di atas terjadi karena siswa sering menyamakan aturan
penyelesaian di atas dengan aturan penyelesaian berikut ini:
= =
2. Kesalahan Invers yang Lain (Other Inverse Error)
Kesalahan ini muncul ketika siswa perlu menyelesaikan persamaan
aljabar dengan menggunakan invers, namun siswa salah dalam menentukan
invers suatu bentuk persamaan aljabar tersebut. Contoh kesalahan invers
yang lain:
= = −
Menurut analisis kesalahan yang dikemukan oleh Sleeman (dalam
Hall, 2002), bahwa mekanisme kesalahan di atas dapat terjadi karena siswa
menganggap sebagai + . Hall mengemukan bahwa kesalahan penghapusan dan kesalahan penukaran penjumlahan juga memiliki
mekanisme yang sama dengan kesalahan invers yang lain. Dimana
kesamaan dari kesalahan invers yang lain dengan kesalahan penghapusan
yang dilakukan oleh siswa yaitu siswa mengoperasikan setiap konstanta
tanpa memperhatikan variabel yang mengikatnya, contoh:
Sedangkan kesamaan kesalahan invers lain dengan kesalahan penukaran
penjumlahan adalah siswa tidak tepat dalam memberi perlakuan pada kedua
ruas. Kesalahan penghapusan dan kesalahan penukaran penjumlahan dapat
dikurangi dengan memberi penekanan tentang invers.
3. Kesalahan Menghitung
Jenis kesalahan ini ditandai seperti:
− + = −
Ada banyak penjelasan tentang mengapa siswa melakukan kesalahan ini.
Siswa mungkin bingung (− + dengan − + , atau ia mungkin manyalahgunakan aturan urutan operasi. Siswa berpikir bahwa hal pertama
yang dilakukan adalah menjumlahkan dan , kemudian tanda negatif
ditangani hanya dengan menempatkannya di depan . Salah satu alasan
siswa melakukan hal tersebut adalah kurangnya penguasaan siswa terhadap
materi manipulasi angka (negatif), dan keterampilan dalam
menyederhanakan persamaan yang telah diajarkan sebelum topik
persamaan linear. Kurangnya penguasaan materi tersebut menjadi hambatan
keberhasilan dalam memecahkan persamaan linear.
D. Persamaan Linear Satu Variabel
1. Persamaan Linear dengan Satu Variabel
Materi matematika yang dibahasa dalam penelitian ini adalah
yang perlu dikuasai siswa adalah membuat dan menyelesaikan model
matematika dari masalah yang berkaitan dengan Persamaan Linear Satu
Variabel.
Dalam setiap pembelajaran, materi Persamaan Linear Satu Variabel
diawali dengan Kalimat Terbuka. Kalimat Terbuka adalah kalimat yang
belum dapat ditentukan benar-salahnya, sebab masih mengandung variabel.
Contoh kalimat terbuka diantaranya:
(i) A adalah faktor dari .
(ii) + =
Kalimat (i) bernilai benar jika lambang A diganti dengan , , , atau dan
bernilai salah jika lambang A diganti dengan 3.
Variabel (peubah) banyak digunakan dalam kalimat terbuka.
Penyelesaian atau jawab adalah pengganti dari variabel (peubah) yang
menyebabkan kalimat terbuka menjadi kalimat pernyataan yang benar.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama
dengan “=”. Contoh persamaan:
+ =
+ =
– = +
Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka dengan satu variabel yang memiliki hubungan sama dengan “=”, dan variabelnya hanya
berpangkat satu. Persamaan Linear Satu Variabel mempunyai bentuk
+ =
Dimana dan adalah konstanta real dan ≠ . Penyelesaian persamaan tersebut diberikan oleh:
= −
2. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua penyelesaian dari
suatu kalimat terbuka. Salah satu cara yang dapat digunakan siswa dalam
menemukan himpunan penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
adalah substitusi. Cara substitusi artinya menyelesaikan persamaan dengan
cara mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan
tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar. Berikut ini adalah contoh
penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dalam menentukan himpunan
penyelesaian dengan cara substitusi:
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
+ =
Jika variabel pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:
Jika diganti bilangan cacah, diperoleh:
substitusi = , maka + = (kalimat salah) substitusi = , maka + = (kalimat salah)
substitusi = , maka + = (kalimat salah) substitusi = , maka + = (kalimat benar) substitusi = , maka + = (kalimat salah)
Ternyata untuk = , persamaan + = menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan + = adalah { }.
3. Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen
Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai
penyelesaian atau akar yang sama. Notasi untuk ekuivalen pada persamaan
adalah “⇔”. Contoh:
(i) + =
Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
+ =
yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan + = adalah .
(ii) + =
Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
× + =
yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan + = adalah .
(iii) + =
Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan + = adalah .
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan
mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu . Dengan demikian, persamaan
(i), (ii), dan (iii) dapat dituliskan sebagai:
+ = ⇔ + = ⇔ + =
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang
ekuivalen dengan cara:
a. Menambah atau mengurangi, mengkali atau membagi kedua ruas
persamaan dengan bilangan yang sama;
Persamaan linear dapat dianalogikan sebagai timbangan
keseimbangan. Ruas kiri dan ruas kanan dari sebuah persamaan adalah
dua wadah keseimbangan. Jika dengan menambah atau mengurangi
berat yang sama pada kedua wadah, maka timbangan akan tetap
seimbang. Demikian juga dengan persamaan, jika kedua ruas
ditambahkan atau dikurangkan, dikalikan atau dibagi (asalkan bilangan
yang dikali atau dibagi tersebut bukan bilangan nol) dengan bilangan
yang sama, persamaan tersebut tetap ekuivalen. Untuk menyelesaikan
sebuah persamaan, dapat menambahkan, mengurangkan, mengalikan,
atau membagi (asalkan bilangan yang dikali atau dibagi tersebut bukan
nol) dengan suatu bilangan yang sama pada kedua ruas sehingga
Di lapangan ditemukan bahwa beberapa guru menggunakan cara
“pindah ruas –ganti tanda” dalam menyederhanakan atau menemukan
persamaan yang ekuivalen. Cara tersebut merupakan variasi dari
langkah “memberi perlakuan yang sama pada kedua ruas” (lebih dikenal dengan “menambah atau mengurangi, mengkali atau membagi kedua
ruas persamaan dengan bilangan yang sama”). Beberapa guru mengajarkan cara “pindah ruas – ganti tanda” di kelas untuk lebih
memudahkan siswa dalam menggunakan cara “memberi perlakuan yang
sama pada kedua ruas” dalam menemukan persamaan yang ekuivalen.
“Pindah ruas – ganti tanda” dapat dilakukan dengan mengubah urutan suku persamaan dari ruas kiri ke ruas kanan atau sebaliknya. Aturan
perubahan urutan dengan memindahkan suku persamaan pada satu ruas
dan menuliskan kebalikannya pada ruas yang lain dari persamaan
tersebut. Langkahnya sebagai berikut:
1) Pindahkan bagian konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan untuk
membiarkan semua variabelnya tetap di ruas kiri.
2) Sederhanakan ruas kanan dan kiri untuk mendapat jawabannya.
4. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan
Langkah awal yang perlu dilakukan siswa dalam menyelesaikan
PLSV bentuk pecahan adalah mengubah persamaan linear bentuk pecahan
menjadi bentuk persamaan linear biasa. Caranya adalah dengan mengalikan
diperoleh persamaan linear bentuk biasa. Selanjutnya menentukan
penyelesaian persamaan linear dengan aturan penyelesaian yang telah ada.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari persamaan:
− = −
jika variabel pada himpunan bilangan rasional.
Penyelesaian:
− = −
⇔ − = − (kedua ruas dikalikan KPK dari
2 dan 5, yaitu 10)
⇔ − = −
⇔ − + = − + (kedua ruas ditambah 20)
⇔ = +
⇔ − = + − (kedua ruas dikurangi )
⇔ − =
⇔ − : − = ∶ − (kedua ruas dibagi dengan − )
⇔ = −
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan − = − adalah {–5}.
5. Model Matematika dan Penerapan Persamaan pada Soal Cerita
Langkah awal yang perlu dibuat siswa dalam menyelesaikan soal
berdasarkan pada informasi yang terdapat pada soal tersebut, yang disebut