BAB II KAJIAN PUSTAKA
D. Persamaan Linear Satu Variabel
1. Persamaan Linear dengan Satu Variabel
Materi matematika yang dibahasa dalam penelitian ini adalah
yang perlu dikuasai siswa adalah membuat dan menyelesaikan model
matematika dari masalah yang berkaitan dengan Persamaan Linear Satu
Variabel.
Dalam setiap pembelajaran, materi Persamaan Linear Satu Variabel
diawali dengan Kalimat Terbuka. Kalimat Terbuka adalah kalimat yang
belum dapat ditentukan benar-salahnya, sebab masih mengandung variabel.
Contoh kalimat terbuka diantaranya:
(i) A adalah faktor dari .
(ii) + =
Kalimat (i) bernilai benar jika lambang A diganti dengan , , , atau dan
bernilai salah jika lambang A diganti dengan 3.
Variabel (peubah) banyak digunakan dalam kalimat terbuka.
Penyelesaian atau jawab adalah pengganti dari variabel (peubah) yang
menyebabkan kalimat terbuka menjadi kalimat pernyataan yang benar.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama
dengan “=”. Contoh persamaan:
+ =
+ =
– = +
Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka dengan satu variabel yang memiliki hubungan sama dengan “=”, dan variabelnya hanya
berpangkat satu. Persamaan Linear Satu Variabel mempunyai bentuk
+ =
Dimana dan adalah konstanta real dan ≠ . Penyelesaian persamaan tersebut diberikan oleh:
= −
2. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua penyelesaian dari
suatu kalimat terbuka. Salah satu cara yang dapat digunakan siswa dalam
menemukan himpunan penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
adalah substitusi. Cara substitusi artinya menyelesaikan persamaan dengan
cara mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan
tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar. Berikut ini adalah contoh
penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dalam menentukan himpunan
penyelesaian dengan cara substitusi:
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
+ =
Jika variabel pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:
Jika diganti bilangan cacah, diperoleh:
substitusi = , maka + = (kalimat salah) substitusi = , maka + = (kalimat salah)
substitusi = , maka + = (kalimat salah) substitusi = , maka + = (kalimat benar) substitusi = , maka + = (kalimat salah)
Ternyata untuk = , persamaan + = menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan + = adalah { }.
3. Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen
Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai
penyelesaian atau akar yang sama. Notasi untuk ekuivalen pada persamaan
adalah “⇔”. Contoh:
(i) + =
Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
+ =
yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan + = adalah .
(ii) + =
Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
× + =
yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan + = adalah .
(iii) + =
Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan + = adalah .
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan
mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu . Dengan demikian, persamaan
(i), (ii), dan (iii) dapat dituliskan sebagai:
+ = ⇔ + = ⇔ + =
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang
ekuivalen dengan cara:
a. Menambah atau mengurangi, mengkali atau membagi kedua ruas
persamaan dengan bilangan yang sama;
Persamaan linear dapat dianalogikan sebagai timbangan
keseimbangan. Ruas kiri dan ruas kanan dari sebuah persamaan adalah
dua wadah keseimbangan. Jika dengan menambah atau mengurangi
berat yang sama pada kedua wadah, maka timbangan akan tetap
seimbang. Demikian juga dengan persamaan, jika kedua ruas
ditambahkan atau dikurangkan, dikalikan atau dibagi (asalkan bilangan
yang dikali atau dibagi tersebut bukan bilangan nol) dengan bilangan
yang sama, persamaan tersebut tetap ekuivalen. Untuk menyelesaikan
sebuah persamaan, dapat menambahkan, mengurangkan, mengalikan,
atau membagi (asalkan bilangan yang dikali atau dibagi tersebut bukan
nol) dengan suatu bilangan yang sama pada kedua ruas sehingga
Di lapangan ditemukan bahwa beberapa guru menggunakan cara
“pindah ruas –ganti tanda” dalam menyederhanakan atau menemukan
persamaan yang ekuivalen. Cara tersebut merupakan variasi dari
langkah “memberi perlakuan yang sama pada kedua ruas” (lebih dikenal dengan “menambah atau mengurangi, mengkali atau membagi kedua
ruas persamaan dengan bilangan yang sama”). Beberapa guru mengajarkan cara “pindah ruas – ganti tanda” di kelas untuk lebih
memudahkan siswa dalam menggunakan cara “memberi perlakuan yang
sama pada kedua ruas” dalam menemukan persamaan yang ekuivalen.
“Pindah ruas – ganti tanda” dapat dilakukan dengan mengubah urutan suku persamaan dari ruas kiri ke ruas kanan atau sebaliknya. Aturan
perubahan urutan dengan memindahkan suku persamaan pada satu ruas
dan menuliskan kebalikannya pada ruas yang lain dari persamaan
tersebut. Langkahnya sebagai berikut:
1) Pindahkan bagian konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan untuk
membiarkan semua variabelnya tetap di ruas kiri.
2) Sederhanakan ruas kanan dan kiri untuk mendapat jawabannya.
4. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan
Langkah awal yang perlu dilakukan siswa dalam menyelesaikan
PLSV bentuk pecahan adalah mengubah persamaan linear bentuk pecahan
menjadi bentuk persamaan linear biasa. Caranya adalah dengan mengalikan
diperoleh persamaan linear bentuk biasa. Selanjutnya menentukan
penyelesaian persamaan linear dengan aturan penyelesaian yang telah ada.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari persamaan:
− = −
jika variabel pada himpunan bilangan rasional.
Penyelesaian:
− = −
⇔ − = − (kedua ruas dikalikan KPK dari
2 dan 5, yaitu 10)
⇔ − = −
⇔ − + = − + (kedua ruas ditambah 20)
⇔ = +
⇔ − = + − (kedua ruas dikurangi )
⇔ − =
⇔ − : − = ∶ − (kedua ruas dibagi dengan − )
⇔ = −
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan − = − adalah {–5}.
5. Model Matematika dan Penerapan Persamaan pada Soal Cerita
Langkah awal yang perlu dibuat siswa dalam menyelesaikan soal
berdasarkan pada informasi yang terdapat pada soal tersebut, yang disebut
dengan model matematika. Model matematika dapat diperoleh dengan cara
memisalkan besaran yang belum diketahui dengan sebuah variabel,
misalnya variabel . Berikut ini adalah langkah-langkah yang dapat
dilakukan dalam menyelesaikan soal-soal dalam kehidupan sehari-hari yang
berbentuk cerita:
a. Jika memerlukan diagram (sketsa), misalnya untuk soal yang
berhubungan dengan geometri, dapat dibuat diagram (sketsa)
berdasarkan kalimat cerita tersebut.
b. Salah satu besaran yang belum diketahui dimisalkan dengan sebuah
variabel.
c. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi model matematika dalam
bentuk persamaan.
d. Menyelesaikan persamaan tersebut, kemudian menjawab sesuai yang
ditanyakan.
Berikut ini adalah contoh soal cerita terkait persamaan linear satu
variabel dan langkah penyelesaiannya:
Harga sebuah stabilo lebih mahal Rp . dari harga sebuah spidol. Harga buah spidol dan buah stabile adalah Rp . . Tentukan model matematikanya dan harga sebuah spidol!
Misal: harga sebuah spidol = rupiah, maka harga sebuah stabilo = + . rupiah
+ + . = .
+ + . = .
+ . = .
Jadi, model matematikanya adalah + . = . .
Menyelesaikan model matematika dengan langkah penyelesaian
persamaan linear satu variabel:
+ . = .
= . − .
= .
= .
= .
Jadi, harga sebuah spidol adalah Rp . .
Tidak hanya kemampuan komputasi saja yang diperlukan siswa dalam
menyelesaikan soal cerita terkait Persamaan Linear Satu Variabel. Perlunya
memahami setiap informasi pada soal, kemampuan dalam menyusun
rencana dan strategi dalam penyelesaian masalah sangat dibutuhkan siswa
dalam menyelesaikan soal cerita terkait Persamaan Linear Satu Variabel.