KESEIM BAf'JGA�� G/\'/A

I\ ==

11

I

�-�

� . + 1-,

1\ ,/ ^- )__ ! ,,

1 •

Keseimbangan adalah kriteria yang sangat penting dalam statika. Kriteria ini mengatur hubungan antar komponen yang bekerja pada suatu sistem yang berada dalam keadaan diam atau lebih sering dinamakan keadaan seimbang.

Dalam bahasan Pasal 2.3 dipaparkan hukum yang pertama Newton yang merupakan konsep

dasar keseimbangan. Kita akan mengembangkan konsep itu dalam Pasal 3.6 ini.

(a) Kcscmrbnllgau dengcw Cm1 Gra(is

Tinjaulah kembali metoda poligon yang telah dibahas sebelumnya. Gaya-gaya

i), J;,

...

,

F,,

dapat dijumlahkan untuk mendapatkan resultanta

R

seperti dalam Gambar 3.9. Vektor R ,

i), J;,

. . .

, F,,

membentuk bentuk poligon, dengan pangkal R adalah pangkal vektor pertama, dan berujung pada ujung vektor yang terakhir. Jadi

f<. ...: �. + /- . + 1 6 )

Sekarang, ambillah sua tu vektor Q yang berimpit dengan garis kerja R , sama besar tetapi berlawanan arah, sehingga

() =c

Penggabungan kedua Persamaan (3.16) dan (3.17) menghasilkan

F 1 + 1 2 + . . . + F, + Q = 0

( \ 1 7 1

llAil J SIST EM GAY 11 25

yang membentuk sistem gaya yang seimbang, sesuai dengan Persamaan (2.2). Dalam Gambar 3.9 disajikan sistem gaya yang seimbang ini. Menarik untuk dicatat bahwa keseluruhan vektor

F1, F2, ... , Fn ,

dan Q berangkat dari sua tu titik, dan berakhir di titik tersebut ( dari titik

0

kembali ke

0,

dari titik A kembali ke A, dan seterusnya). Jadi, dapat dituliskan dalam bentuk

T = F1 + F2 + . . . +

f,,

+ Q = 0

(3.19)

dengan

f

dianggap perjumlahan semua gaya, namun dengan hasil T =

0

(vektor nol). Kita mengetahui bahwa vektor memiliki komponen nol, sehingga

(3.20)

untuk sistem bidang (dua dimensi).

Syarat dalam Persamaan (3.20) perlu, tetapi belum cukup berdasarkan alasan ilustratif sebagai berikut. Tinjaulah dua gaya

f;

dan

F2

dengan garis kerja sejajar, sama besar tetapi berlawanan arah. Kondisi dalam (3.20) jelas dipenuhi, namun terlihat bahwa sistem gaya

f;

dan

F2

menghasilkan kopel sebesar

(3.21)

R = � + F; + .

.

..

+ F. ⁽ⁿ⁾

F.,

(b) /

F; + � - ---- + f. -'- Q = D

26 ^{I f·K'\.IK � I -\ fiK.I I) ' I A�l •\ '\, _-\ l !�IS -,[ RL f-. ! 1 I{ lll'l\1.11 '" rt K R \".t K '}

dengan adalah gaya kopel dengan sumbu

Z

sebagai arah vektorial. Untuk keseimbangan,

maka nilai dari kopel harus nol; karena jika tidak, sistem akan berputar. Dengan demikian

(:> 27) Gabungan dari (3.20) dan (3.22) dapat disusun dalam syarat keseimbangan yang perlu dan cukup untuk sistem bidang,

yang segera dapat dikernbangkan untuk sistern ruang itiga dimensi) dalam bentuk

-- ·

-I.\ 1 , = L

' ' .

( i.2:l)

Pada hakekatnya keseimbangan kopel dapat diambil terhadap poros sernbarang; artinya,

LMx = 0 dapat diambil terhadap suatu garis sembarang yang paralel dengan sumbu

X, 2.My

=

0 terhadap garis yang paralel sumbu Y, dan seterusnya. Kondisi LEx = 0 dan

lf"

=

0

_dapat

diambil terhadap dua arah lt dan f.2 pada bidang XY, dengan e, dan £2 saling te

g

ak lurus.

Kemudian, akan terlihat bahwa tiga kondisi dalam (3.16) dapat dituliskan dalam bentuk

lain yang setara, rnisalnya keseimbangan gaya dan dua keseimbangan momen,

Ir = o

dan sebagainya. Yang penting untuk diingat adalah ada 3 persamaan keseimbangan untuk

sistem bidang, dan ada 6 persamaan keseimbangan untuk sistem ruang, dengan sernua

persamaan yang ada bebas satu sarna lain (linearly independent).

Selanjutnya, untuk kasus sistem gaya yang konkuren, keseimbangan gaya dalam persamaan

3.20 sudah merupakan syarat yang perlu dan cukup. Semua garis kerja berpotongan pada satu titik potong, akan mempunyai nilai momen nol terhadap titik potong tersebut sehingga syarat keseimbangan Per amaan 3.22 secara identik/ otomatis akan dipenuhi.

3 . 7 CONTO H P E N E RAPAN

Berikut ini diberikan beberapa contoh yang rnenyangkut operasi gaya. Dengan mengikuti contoh penerapan berikut ini, diharapkan pernahaman dan pengertian operasi gaya dapat dimantapkan.

CONTOH 3. 1 _{Dua vektor gaya F1 dan}

F2

yang bertitik tangkap pada titik awal suatu tata

sumbu Kartesius, rnasing-rnasing mernpunyai puncak (0, 4) dan (6,3). Tentukan

vektor

R

sebagai hasil perjumlahan kedua vektor tadi, dengan cara analitis. Penyelesaian

Karena vektor

1;

terletak pada surnbu

Y,

rnaka diperoleh

B.>.B 3 SISTEM GAY A

Vektor

F2

mempunyai garis kerja dengan koefisien arah

sehingga At 6 cos a2 = ----r= �-� -:;=- = =

0, 894

I}Llx-

+ !1.y- IJ 6 " + 3-. _l1.1f sm a2 = � - =

0,447

�AY2

+

t1.y2

, I ^. = 1} 62 + 32 =

,)45

= 6, 71 f;x2 ⁼

n

Fv2 = 3

Dengan menggunakan Persamaan (3.15) diperoleh

sehingga 2 R, = I I r" =

o + n

=

n

2 f\,1 = I F,1, �

4 +

3 = 7 l .

Koefisien arah garis kerja

R

yang melalui titik awal 0 diberikan oleh

( _{/( \} (

'

a, = arctan

R ^v

j

= arc tan

�)

= 49,4° Liha t

Cam bar 1.10 sebagai pcnjclasan.

y

8

8

GAMBAR 3. 1 0 Perjumlahan Vektor, Contoh Soal 3. 1

27

(3.27)

(3.28) (3.29)

(3.30)

(3.::n )

28 M � K A N I KA l T K N !K STAT!KA DALAM A N A LISJS STRUKTUR l3ERBEN fUK RAN< . K A

CONTOH 3.2 Ulangi kembali Contoh 3.1, namun dengan menggunakan metoda grafis jajaran

genjang. Penyelesaian:

Pertama-tama, gambarkan F1 dan

f2

dengan

masing-masing puncak

A(O, 4)

dan B(6, 3). Dari

A

dan

B dibuat jajaran genjang yang digambarkan secara

, skala yang betul dan teliti. Kedua garis sisi yang ditarik dari

A

dan B, bertemu pada titik C sebagai puncak dari resultanta

R

. Besar dan arah vektor

R

lalu diukur secara tepat dari gambar. Lihat Gambar 3.11 sebagai penjelasan. Jika untuk satu satuan

_ ^{vektor misalnya}

digunakan skala 1 cm, maka F1 digambarkan

sepanjang 4 cm, dan

l1_

sepanjang 6,71 cm. Dari jajaran genjang, diukurkan R , diperoleh sepanjang 9,2 cm,

- _{9 2 cm}

maka besamya R = = 9,2 satuan gaya, yang

1 cm

sedikit berbeda dari hasil eksak (analitis) dalam

Persam aan (3.30). Kesalahan tergantung dari kecermatan penggambaran serta pengukuran.

CONTOH 3.3 Kerjakanlah kembali soal Contoh 3.1,

namun dengan cara segitiga.

Penye lesa i o n :

X

2 6

GAMBAR 3 l l Perj u m l a h a n G a y a Secara

Grafis, Contoh Soa l 3.2

Untuk menyelesaikan seperti terlihat dari Gambar 3.12, solusi dilakukan dengan dua urutan, pertama dengan

f2

terlebih dahulu, kemudian dari puncaknya digambarkan

1) .

Yang kedua adalah menggambarkan

f1

terlebih dahulu, lalu dari puncaknya digambarkan

fz.

Hasil kedua urutan penggambaran sama, perbedaan hanya akibat ketelitian penggambaran.

CONTOH 3.4 Sebuah ungkit digunakan untuk mengangkat bobot seberat W. Lengan ungkit

memiliki panjang yang berbanding sebagai 1 : 2 seperti dalam Gambar 3.13.

Hitung berapa gaya yang harus dikerjakan untuk dapat mengangkat bobot tersebut, dan berapa gaya total yang dipikul oleh dudukan.

y y 8 6 4 2 X 6 6

GAMBAR 3 . 1 2 Perjumlahan Vektor Dengan Cara Grafis Segitiga, Contoh Soal 3 3

29

Penyelesa ia n :

J ika bobot W tepat pada aat ter

angka

t, maka ini berarti s istem gaya berada dalam kese imbangan. Model struktur dan gaya-gaya yang

ada

d iperli hatka:n dalam gambar b. K.ita dapat menggunakan kr iter ia ke eimbangan dalam Per amaan

(3.23)

untuk meng h

i

tung gaya F

dan reaks i R. Keseimbangan gaya di ara h hori onta l otomatls terpenuhJ, dengan t idak adanya komponen gaya yang bekerja di arah in i. Kese imb angan

gaya

vertikal memberikan

- W + R - F = 0 (1..32)

Kese imb angan momen yang d iamb il ter hadap t it ik 0 memberikan +( W) X ) + ( R) X (0) ·- u ) X. ('2L .1 = ^'

Kedua persamaan dalam

(3.32)

d an

(3.33)

dapat d ise lesaik an untuk menentukan F dan R; has il:nya adala h

1"--- L -+---w

A 0

(a) struktur

3

8 r<P

i'�

2L 1 f = 2 w '' = " w 1"--- L --,�<---- 2L

A 0 B

(b) model

Bahasan dalarn bab iru d

ap

at d1sarikan dalam

rapa pokok

<::atatan

sebag� ^{. .}

{1)

adalah besar

an

yang

termas

jenis vektor. Dengan demikian, kaidah,

dan hukum serta operasi matematis yang berlaku untcik

vektor/

juga berlaku

gaya. ., ··· · ·

·

(2) .

. Untuk

pe�umlahan•

gaya,

dapat

dipilih dua macam metoda� yaitu analitis dan

gr�is ..

J�a dalam c;;ara

analitis digunakan

operasi

matematis

yang mern.berikan hasil (!k$ak;

ll'laiq:t

ketelitian hasil . cara

grafis

· tergantu.ng

s�penuhnya kepada ke(:ern'iatan

penggambaran dan

pengukuran.

(J)

Untu.k perjw:n)ahan cara

grafis

gaya

restlltanta

bera>.val pada awal gaya pertama, dan

berujung p

ada ujnng gaya terakhir, dengan catatanbahwa yang diambil tidak n1empengaruhi hasil. Untuk

cara

analitis, gaya

resulta.nta

mcmiliki ... komponen yang merupakM

petjumlahan aljabar

darl.

semua

kotnponen

yill'lg

di beberapa arah yang satu sama. lain. ortogonal

(de:rigan perkat(lanlain,.

arah-yang bebas atu sama ·

':-30

. .::::·

· ):cul<up

ada.Iah bal'twa mofu�l'\ t�tal dari .te;rha�� suatu. titik sembarang

·� ·· ^· harus _{noL Untuk}

gaya-gay� y�g ini �

ipenuhi.

3.9 SOAL-SOAL

Dalam soal-soal berikut ini, gaya-gaya mengambil satuan gaya tertentu, demikian juga ukuran jarak pada tata sumbu. Misalnya, dapat dianggap bahwa gaya diberikan dalam satuan

kN, jarak dalam meter, dan sebagainya. Dalam mengerjakan soal-soal berikut, pilihlah sistem

satuan yang konsisten.

Soal 3.1: Untuk sistem gaya planar dan konkuren

seperti dalam Gambar 3.14, tentukanlah resultanta Gumlah) seluruh gaya dengan cara grafis dan analitis. Berikan data lengkap gaya resultanta tersebut (besar, garis kerja dan arah).

Soal 3.2: Tentukanlah resultanta sistem empat gaya planar nonkonkuren seperti dalam Gambar

3.15. Periksalah apakah sistem gaya tersebut memberikan suatu sistem yang seimbang? Berikanlah penjelasan selengkapnya.

Soal 3.3 : Periksalah apakah sistem tiga gaya planar nonkonkuren dalam Gambar 3.16 mem­ berikan suatu sistem yang berseimbang? Lakukanlah analisis selengkapnya.

GAMBAR 3 . 1 5 Sistem Cava Snal 1 2

(-1, \j

31

•3.-l: Tentukanlah resultanta dari tiga gaya planar nonkonkuren seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 3.17. Lakukanlah perjumlahan gaya dengan cara grafis dan analitis, serta bandingkan kedua hasil yang diperoleh.

Soal 3.5:

So.1l 3.6·

Soal

So.1l 3.8:

Untuk sistem gaya planar nonkonkuren dalam Gambar 3.18. Tentukanlah gaya

R

yang memberikan suatu sistem seimbang dengan tiga gaya lainnya. Lakukanlah proses penentuan keseimbangan dengan cara grafis dan cara analitis, serta bandingkan kedua hasil yang diperoleh.

Dalam Gambar 3.19, diinginkan agar gaya

R

mengimbangi dua gaya horizontal laihnya pada bidang

XY.

Berapa besar dan dimana garis kerja dari gaya

R

yang ditanyakan? Lakukanlah proses dengan cara analitis.

Gambar 3.20 memperlihatkan suatu papan kaku serta lurus sempurna dengan berat sendiri yang dapat diabaikan. Di atasnya

terletak sua tu silinder berbobot W yang berada

dalam keadaan diam di tengah papan. Berapa besar gaya vertikal

R

yang diperlukan untuk

membuat papan tepat pada saat terangkat? Berikan ulasan seperlunya, menyertai analisis yang saudara lakukan secara analitis.

) I'

(1 1,

\1�1----�·�·

11'1 l t. 1,1/ •

Untuk sistem seperti dalam Gambar 3.21, tentukan besar gaya R yang membuat sisitem berada di dalam keadaan seimbang. Berapa gaya tekan akibat papan kaku pada silinder? Lakukan analisis dengan cara analitis. Abaikan berat sendiri papan.

If I

32 ' 1'. ' • (vfEKANIKA. TEKNIK: STATIKA UM.AM AI\AI .ISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA Soal 3.9: Suatu batang kaku dengan berat sendiri

yang dapat diabaikan, memiliki hubungan sendi yang dapat berputar dengan mulus (tanpa gesekan) pada ujung kiri. Di atasnya terletak suatu silinder berbobot W yang berada dalam keadaan diam, akibat sokongan gaya F dengan arah 45° dengan kedudukan horizontal batang. Dengan cara analitis, tentukan besar gaya

F ,

serta reaksi yang timbul pada ujung sendi kiri. Lihat Gambar 3.22 untuk penjelasan.

Soal 3.10:Gambar 3.23 memperlihatkan suatu sistem balok kaku dengan berat sendiri

W yang dianggap bekerja pada tengah p anj ang, dengan ujung kiri yang ditahan dengan sendi yang mulus tanpa gesekan, sementara ujung lainnya ditahan dengan gaya

F

yang dikerjakan ortogonal dengan sumbu aksial batang. Dengan cara analitis, hitunglah besar gaya

F

serta reaksi dalam pada sendi ujung kiri.

GAM B.A Q 3 22 Si'it<'m Caya, Soal 3 9

4

Pemodela n