RAv = {2L)(-1X!Xqo) = -qoL - mekanika teknik statika dalam analisis s

:

1,5 ' ' ' 0,5 p

(a) sistem struktur

(b) garis pengaruh Q1

�

1,0 1,0 _(d)garis pengaruh QII

GAMBAR 9. 1 0 Struktur Contoh Soal 9.1

Penyelesaian

Model struktur jembatan seperti dalam gambar

(b),

dan oleh karena tidak ada gaya horizontal,

RAH

0.

Untuk garis pengaruh

RAV'

dapat dikerjakan

P

1

satuan gaya di atas balok. Untuk

0 x

2L,

diperoleh

dan untuk

2L < x

3L,

dipunyai

L - x

RAv

3L - x

RAv

(9.27)

(9.28)

Garis pengaruh

MI

disusun dengan melihat ke sebelah kiri dari badan bebas potongan. Untuk

0 x

t

L, diperoleh

MI

RAv · �- (�- X) (9.29)

dan untuk

t L

x

3L,

diperoleh

(9.30)

Garis pengaruh

RAv

dan

M1

ditunjukkan dalam Gambar

9.11.

Sekarang dengan memperlihatkan garis pengaruh

RAV'

gaya ini akan bernilai positif untuk beban

q0

yang bekerja sepanjang segmen

AB,

st:hingga

R�v

(1XLX!)(q0)

!q0L

dan akan bemilai negatif jika

q0

bekerja sepanjang segmen

BC,

sehingga

RAv

{2L)(-1X!Xqo)

-qoL

(9.31)

(9.32)

BAB 9 GARIS PENGARUH

(a)

sistem struktur jembatan A I B L s c (b) model L (c) badan bebas Rei· Rsv 165

(d) garis pengaruh RAv

(e) garis pengaruh M1

GAMBAR 9. 1 1 Struktur Contoh 9.2

Perletakan di

A

harus mampu memikul gaya tekan sebesar

-!q0L,

dan tarik sebesar

q0L.

Seterusnya, momen

M1

akan bemilai positif jika

q0

bekerja pada

AB,

dan besamya adalah

M7 = (L){+tL){tXqo) = +tq0L2

(9.33)

Nilai negatif untuk

M1

diperoleh jika

q0

bekerja pada bentang

BC,

sebesar

M] = {2L){--!L){t)(q0) = --!q0L2

(9.34)

Dengan demikian, penampang I harus mampu menahan momen bolak-balik sebesar

+t q0L 2

dan

--!q0L2

sebagai momen negatif, selain gaya dalam lintang tentunya.

CONTOH 9 . 3 : Dengan menggunakan garis pengaruh, hitunglah momen pada penampang tengah bentang balok sederhana akibat beban segitiga pada separuh bentang dalam struktur Gambar 9.12.

Penyelesaian

Dengan menggunakan gambar

(b),

diperoleh garis pengaruh

RAv

sebagai

L - x

166

RAv

t

RAv

t

MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA

QI

RBv

t

GAMBAR 9. 1 2 Struktur Contoh 9.3

(a) sistern struktur

(b) badan bebas keseluruhan

(d) garis pengaruh

M1

(e) penggunaan garis pengaruh untul< beban segitiga

M1

Dari gambar

(c),

dapat diperoleh

M1 =

RAv

· -

(1{

- X

)

�

;

₀

_{< X <}

L

-- 2 (9.36)

dengan bentuk dalam Persamaan

(9.34)

telah digunakan. Garis pengaruh M1 dapat saja dilengkapi untuk domain

L/2

:5: x :5:

L,

namun sebenamya dalam pertanyaan soal, ini tidak dibutuhkan karena beban hanya bekerja dalam domain

0

:5: x :5:

L/2.

Gambar

9.12e

memperlihatkan penggunaan garis pengaruh M1 untuk kasus beban segitiga. Untuk ini diperoleh

Dengan demikian untuk seluruh beban segitiga dalam domain

0

< x :5: menjadi

�

ill[ r

= J (

J (

�) }�

3¹2 qJ}

0 _L/4

(9.37)

(9.38)

CONTOH 9 . 4 : Sistem struktur balok kantilever dengan bentang

L = 5

meter, dilintasi oleh gaya luar statis sebesar

P

10

Newton. Tentukan letak beban

P

yang memberikan nilai reaksi perletakan maksimum dari ujung jepit

A.

Berapa besar masing masing reaksi maksimum tersebut?

BAB 9 GARIS PENGARUH

Penyelesaian

Dengan

P

1

yang. bekerja sejarak

x

dari ujung A dari Gambar

9.13b

diperoleh

MA =

p .

X = X

RAV =

-P

-1 (9.39)

Garis pengaruh MA dan RAv menurut Persamaan

(9.39)

diberikan dalam Gambar

9.13c

dan

9.13d.

Untuk nilai MA yang maksimum, ordinat garis pengaruh MA maksimum di titik

B,

jadi

P

10

Newton bekerja di

B

untuk MA maksimum senilai

maksimum MA =

(L)(P)

(5

m)(lO Newton) =

50

N m

(9.40)

Garis pengaruh RAv bemilai konstan, yang berarti bahwa nilai RAv tetap untuk

P

bekerja di mana saja di atas balok kantilever, dengan nilai

maksimum RAv =

(-1)(P)

(-1)(10

l':e\••ton) =

-10

z _{t'--- L = S m}

-RBv

(a)

struktur

(b) badan bebas total

L (c) garis pengaruh

MA

1

(d) garis pengaruh

RAv

GAMBAR 9. 1 3 Struktur, Contoh 9.4

(9.41)

CONTOH 9.5: Suatu balok seperti Gambar

9.14a

berukuran

b

h

0,4

m x

0,6

m, dengan bentang

L

10

meter, dilintasi oleh beban luar sebesar

P

50

Newton yang bergerak. Hitunglah nilai momen maksimum yang bekerja di tengah balok, dan di mana beban

P

bekerja untuk nilai momen maksimum tersebut? Bobot sendiri balok diambil

25

Newton/m3.

Penyelesaian

Kita ingin menggunakan garis pengaruh untuk menentukan besar

Mr

pada tengah ben tang akibat beban luar

P,

termasuk akibat bobot sendiri. Bobot sendiri balok berupa gaya merata sebesar.

168 ^{MEKANIKA TEKNII<: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA} y

P = 50 N

c D

(a) sistem struktur

jL-2 m --,1"---6 m 2 m --;;>j

x 1 N

(b) badan bebas total

l Rev

(d) garis pengaruh MT q0 = 6 N/m

(e) peletakan beban

GAMBAR 9. 1 4 Struktur, Contoh 9.5

Dengan menggunakan badan bebas total dalam gambar

b,

diperoleh

1 RAv = -f<8 -x) (9.43)

Penggunaan badan bebas potongan dalam gambar e memberikan garis pengaruh

My

sebagai

My = 2 -1 0

:5 X :5

5 = _2

4 5

m :5

x

10 (9.44)

yang telah memanfaatkan Persamaan

(9.43).

Gambar garis pengaruh

My

diberikan dalam gambar

d,

yang siap digunakan untuk menghitung reaksi

MT.

Perhatikan bahwa bobot sendiri bekerja secara tetap untuk seluruh bentang. Jadi misalnya, bobot sendiri bagian

AB

dan CD meredusir momen

My

akibat bobot sendiri, yaitu

My =

2 _X

[ (% -1)

x _X

6

N m

= 15

N m

(9.45)

Akibat

P = 50

N momen maksimum

My

akan dihasilkan jika

P

bekerja di tengah balok, jadi

3 My = 2

50

N m

= 75

N m

(9.46)

Momen total ma�imum menjadi

BAB 9 GARIS PENGARUH 169

Sebagai tambahan, momen MT minimum jika

P

bekerja di titik A dan D, jadi

M:y = (-1) x 50 N m = -50 N m (9.47) yang menghasilkan minimum MT = 15 N m - 50 N m = -35 Nm (9.48)

9.8 RANGKUMAN

:·:

:·:.:.::•:•:•: ... :;.:;:··· ·•·•·•·..:··· ···•·•···•··· :•:.:::···

9.9 SOAL-SOAL

(:/.:::::•:::::::::::::::::::. } ..... ..::·:

{ / ··· ···> ··· ? ··^····

··· ···• ··· ·

•·•·•·•·•· Dalam soal-soal berikut ini, kita hanya akan menyusun garis pengaruh gaya atau reaksi, untuk sistem struktur yang statis tentu. Dengan demikian, dimintakan untuk melakukan peninjauan ketidaktentuan statis struktur terlebih dahulu. Penyusunan garis pengaruh dilanjutkan untuk sistem struktur yang stabil dan statis tentu.

Besaran gaya maupun ukuran dalam soal-soal, tentunya menggunakan sistem satuan tertentu. Namun, untuk kesederhanaan, satuan tersebut tidak perlu dituliskan, asal diingat bahwa besaran tersebut dapat disertakan kemudian. Misalnya, penulisan

P

= 1, hendaknya tidak perlu dipandang sebagai suatu kejanggalan, karena kita tahu bahwa gaya

P

tersebut mengandung satuan gaya, apakah itu kN, kgf, dan lain-lain. Demikian juga untuk besaran lainnya Garak, momen, gaya lintang, normal, dan lain-lain).

Soal 9.1: Tetapkan serta susun garis pengaruh gaya dalam (momen lentur dan gaya lintang) potongan tengah ben tang D, terhadap gaya yang bekerja di atas bentang AB C. Apakah lentur maksimum dan lintang maksimum di potongan D merupakan gaya reaksi yang harus koresponden (merupakan akibat dari beban dan lokasi pembebanan yang sama)? Jelaskan alasan Saudara. Lihat Gambar 9.15 untuk penjelasan.

D--1 p

,B c

- -- -�- -- - -- -�

170 ^{MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK ·RANGKA}

Soal 9.2: Gaya terpusat P = 1 kN bekerja di

atas bentang ABCD struktur dalam Gambar 9.16. Gambarkan garis peng aruh reaksi perletakan A dan reaksi sendi B, serta gunakan garis peng aruh tersebut untuk menentukan nilai

maksimum masing-masing reaksi untuk P = 10 kN dan

L

= 5 meter.

Soal 9.3:

Soal 9.4:

Untuk gaya yang beke�a pada b entang BCDE struktur dalam Gambar 9.17, susun dan gambarkan garis pengaruh reaksi perletakan di B dan A serta momen lentur balok BD pada penampang di atas C. Tentukan nilai maksimum ketiga reaksi tersebut untuk P = 10 kN dan

L

= 6 m.

Untuk beban luar yang bekerja di atas _y bentang A hingga F struktur balok menerus dalam Gambar 9.18, susun dan gambarkan garis pengaruh reaksi di A dan momen lentur di atas perletakan B. Hitung nilai ekstrim (maksimum dan minimum) kedua reaksi tersebut untuk P = 10 kN dan

L

= 5 m.

Soal 9.5: Beban luar bekerja pada bentang EBCF dari struktur dalam Gambar 9.19. Tentukan garis pengaruh dari momen lentur ujung B dari bentang BC serta reaksi rol di D. Gunakan garis pengaruh tersebut untuk menghitung nilai ekstrim kedua reaksi yang dimintakan, akibat beban merata q0 = 1 kN/m yang bekerja dengan bentang variabel di sepanjang lintasan EBCF, dan

L

= 5 m.

GAMBAR 9. 1 6 Struktur Soal 9.2

GAMBAR 9. 1 7 Struktur Soal 9.3

A ^B ^E F

"---L -f-.L +---2 L -+-.L +-2 L ----71

GAMBAR 9. 1 8 Struktur Soal 9.4

!L--L L L �

GAMBAR 9. 1 9 Struktur Soal 9.5

T

l

T

l

Soal 9.6: Untuk struktur rangka sederhana dalam Gambar 9.20, gaya terpusat bekerja pada titik-titik simpul batang tepi bawah A, C, E, G, dan I. Susunlah garis pengaruh reaksi perletakan rol A, serta gaya reaksi batang CF. Gunakanlah garis pengaruh tersebut untuk menghitung reaksi rol dan gaya batang CF akibat gaya vertikal (ke bawah) sebesar 20 kN di E dan 30 kN di I, untuk

L

= 3 m.

BAB 9 GARIS PENGARUH

GAMBAR 9.20 Struktur Soal 9.6

I

E G

t'- L --,f-- L --t- L --+--- L ----,!

171

Soal 9.7: Gaya luar bekerja pada titik-titik buhul batang tepi bawah sistem struktur rangka

sederhana menerus atas tiga perletakan seperti dalam Gambar 9.21. Gambarkanlah

garis pengaruh untuk reaksi rol A, sendi B, dan batang BD, untuk digunakan

menghitung reaksi tersebut akibat gaya vertikal ke bawah sebesar 100 kN di titik D,

untuk

H

L

= 3 m.

Soal 9.8: Pelengkung paruh lingkaran beradius R = 6 m dalam Gambar 9.22, mendapat beban luar yang bekerja sepanjang pelengkung. Gambarkanlah garis pengaruh dari reaksi

rol di B dan momen lentur di puncak C, untuk digunakan menghitung besar kedua

reaksi tersebut akibat berat sendiri pelengkung q0 = 1 kN per satuan panjang

pelengkung,. Bandingkan bentuk garis pengaruh yang diperoleh dalam soal ini dengan

garis pengaruh yang diperoleh untuk balok lurus dengan bentang yang sama. Berikan komentar Saudara mengenai ini.

JL-- L -T- L -+--- L ---,iL- L L L --,1

GAMBAR 9.21 Struktur Soal 9.7

172 ^{MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA}

GAMBAR 9.23 Struktur Soal 9.9

Soal 9.9: Lakukanlah hal yang sama dengan Soal 9.8 untuk pelengkung parabola dalam Gambar 9.23, dengan f =

t L, L

= 10 m, dan q0 = 1 kN per satuan panjang pelengkung. Soal 9.10: Pelengkung tiga sendi berbentuk lingkaran dengan radius

R

= 6 m, memikul struktur

jembatan dengan sistem yang diidealisasi seperti dalam Gambar 9.24. Gambarkanlah garis pengaruh untuk gaya reaksi sendi A dan engsel E, untuk digunakan menghitung besar reaksi tersebut akibat berat sendiri lantai jembatan

FHJ

sebesar q0 =

25 kN

per satuan panjang (dalam meter), merata sepanjang lantai jembatan.

= 1 ton

1 0. 1 U M U M

Dalam beberapa bab terdahulu, telah disajikan perhitungan gaya-gaya reaksi sistem struktur akibat gaya luar, yang dilakukan dengan cara statika. Sejauh ini, penentuan gaya reaksi batang dan reaksi perletakan dilakukan secara manual (dengan tangan) berdasarkan peninjauan kriteria keseimbangan badan bebas keseluruhan ataupun badan bebas parsial (sebagian) dari sistem struktur. Kita melihat bahwa reaksi perletakan ditentukan dengan meninjau keseimbangan badan bebas keseluruhan struktur. Gaya reaksi batang ditentukan dengan meninjau keseimbangan badan bebas parsial yang diperoleh dengan melakukan pemotongan fiktif yang memunculkan reaksi batang yang diminati dan yang ingin dihitung.

Cara-cara perhitungan manual tersebut di atas boleh jadi masih cukup sederhana dan praktis dilakukan atas sistem struktur yang masih sederhana dan relatif kecil, misalnya yang terdiri dari jumlah batang dan titik simpul yang relatif sedikit, dengan sudut orientasi batang yang relatif mudah dihitung. Cara-cara di atas akan segera terbukti kurang praktis diterapkan untuk sistem struktur yang relatif besar dan rumit. Masalah yang muncul pertama adalah dalam aspek ketelitian perhitungan. Kesalahan penerapan kriteria keseimbangan dalam satu badan bebas, akan dapat merambat ke perhitungan keseimbangan badan bebas bersebelahan. Masalah yang kedua, adalah kenyataan bahwa perhitungan semacam itu akan sangat tergantung kepada geometri (bentuk) struktur; yang memang pada umumnya hanya akan cocok dilakukan secara manual (tangan). Pengambilan badan bebas yang taktis dan segera menghasilkan penentuan nilai beberapa komponen reaksi, dilakukan berdasarkan pengamatan. Masalah berikutnya adalah bahwa perhitungan dengan cara yang demikian akan memakan waktu yang

relatif lama.

Tersedianya komputer sebagai alat ban tu hitung berkapasitas tinggi, cepat, teliti serta andal, dapat dimanfaatkan untuk mengatasi kendala-kendala yang telah dipaparkan di atas. Analisis statika dapat dituangkan dalam algoritma perhitungan yang lebih standar, dan kemudian

174 ^{MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA}

dituangkan dalam suatu program analisis yang dapat dieksekusi oleh komputer. Formulasi

analisis perlu dituangkan dalam formulasi matriks, karena penyajian semacam ini sangat cocok

untuk dieksekusi oleh komputer. Bab ini membahas perumusan matriks untuk analisis struktur, hanya dibatasi untuk kasus rangka sendi bidang saja.

1 0.2 PENYUSUNAN PERSAMAAN KESEIMBANGAN

Dalam dokumen mekanika teknik statika dalam analisis s (Halaman 173-183)