SISTEM STRUKTUR DENGAN BE BAN TERDISTRIBUSI

Dalam pembahasan yang lalu, telah diutarakan bahwa sifat khas pelengkung adalah sifat kerja sama ragam lentur dan aksial dalam memikul beban luar lateral. Contoh berikut akan

9.4 SISTEM STRUKTUR DENGAN BE BAN TERDISTRIBUSI

BAB 9 GARIS PENGARUH

155

(3)

D enga n m emp erha tikan muncul -tidak nya gaya sa tua n ters ebu t pada bada n b ebas ya ng d itinjau (apakah variab el x mas uk k e dalam doma in bada n b ebas , a tau tidak), terapka n kr iteria k es eimba ngan untuk m endapa tkan ekspr esi r eaksi ya ng d ita nyak an s eba ga i fu ngsi dar i var iab el lokas i.

(4)

D enga n m emas ukkan n ilai va riab el pada b eb erapa titik p enolo ng s ecukup nya , garis p engar uh r eaks i y ang d ip er tanyaka n, dapa t di gamba rka n dan s iap untuk d igunakan dalam

terapan.

M enarik untuk m eliha t bahwa gar is p en garuh m er upakan b ent uk fungsi tini er (dalam var iab el l etak gaya luar P = 1 to n) dalam param eter s umb u aksia l ba tang. D enga n d em ik ia n, b idan g p engar uh r eaks i mom en pal ing tinggi adalah b erb entuk l ini er. In i m ema ng har us d emik ia n, kar ena gaya l uar ya ng ki ta k erjaka n b er upa gaya terp usa t. Ha l ini tel ah dibahas s ecara ri nci dalam Pasal 6.7.

9.4 SISTEM STRUKTUR DENGAN BE BAN TERDISTRIBUSI

Dalam bahasa n pasal -pasal s eb el um nya , telah d isa jika n p eny us una n garis p engar uh s ua tu gaya r eaksi , y ang dapa t d igu naka n un tuk m en en tuka n b es arnya r eaksi ters eb ut akiba t gaya luar b er upa b eba n terpusa t ya ng b ek erja m eli ntas di a tas s truk tur. Pasal i ni ak an m en unjukka n bahwa gar is p engar uh ju ga dapa t di gunaka n un tuk m enentukan b esamya r eaksi ter ten tu, akiba t b eba n luar terdis trib us i ya ng b ek erja s ecara tetap ma up un yan g b ek erja d en gan l etak ya ng

variab el (a tau , m eli ntas di a tas s tr uk tur).

Untuk i tu, tin ja ul ah s ua tu sis tem s tr uk tur balok s ed erha na , d enga n b eba n terd is trib usi q b ek erja s epa njan g s ubdomain a $; x

$; b,

s ep er ti dalam Gambar

9.4.

B eban la teral ters ebu t dapa t d ipanda ng s eba gai p erjuml aha n dari b eban dif er ensial s ejarak � dari ti tik A, s epa nja ng d if er ensial

garis aks ial d� s eb esar

dP = q(�)d �

(9.5)

(a) sistem strukur

(b) badan struktur

(c) garis pengaruh RAv

156

MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA

Beban diferensial ini menimbulkan reaksi vertikal di

A

sebesar

L-.; L-.; ( )

dRAv

=

= .; dg (9.6)

yang dapat diperoleh dengan menggunakan garis pengaruh akibat beban

dP

=

1

ton di lokasi

�-

Reaksi total akibat beban terdistribusi yang bekerja pada domain a

:s;

x

:s;

b, dapat dihitung dengan jalan integrasi Persamaan

(9.6),

yaitu

b L-.;

RAv

=

fdRAv = - (9.7)

a

Jika bentuk garis pengaruh reaksi

RAv

dalam Gambar

9.4c

dikalikan dengan intensitas

q(S)

dinyatakan dengan

i(�)

=

maka bentuk dalam

(9.7)

dapat dituliskan dalam

b

RAv = fi(.;)q(.;)d.;

a

(9.8)

(9.9)

Menurut matematika, bentuk semacam ini dapat diintegrasikan untuk beberapa bentuk garis pengaruh dan

q(�)

dalam domain

a < .; < b.

Dalam rumus,

b

Iq

= f i( .;)q( .;)d.; (9.10)

a

dengan Iq adalah luas fungsi

i@q(�)

di bawah domain

a :s; � :s; b.

Bentnk integrasi dalam Persamaan

(9.10)

untuk beberapa kasus fungsi

i(�)

dan

q(�

disajikan dalam Tabel

9.1.

Tentu saja, nilai

q

untuk beban merata, konstan dimana-mana. Ini berarti bahwa, untuk beban merata

q@

=

q0

yang bekerja pada domain a

:s; .; :s;

b, nilai gaya reaksi

RAv

total adalah luas permukaan terarsir diui bidang garis pengarUh pada domain tersebut, dikalikan dengan

q0.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa tintuk semua gaya luar, baik terpusat maupun terdistribusi, tetap maupun bergerak, konsep garis pengaruh dimana dikerjakan gaya luar

b

BAB 9 GARIS PENGARUH 157

X

(a)

sistem strukur

L L

2 ---,1-'---2 ---,1

(b) garis pengaruh Q1

(c) garis pengaruh M1

GAMBAR 9.5 Garis Pengaruh Gaya Dalam Balok Sederhana Dengan Beban Merata

terpusat sebesar satu satuan gaya, di atas sistem struktur pada lokasi yang variabel, selalu dapat diterapkan. Itulah alasannya, mengapa dalam perkenalan konsep garis pengaruh dalam bab ini, secara apriori ditinjau gaya terpusat sebesar satu satuan gaya.

Sebagai contoh, garis pengaruh diterapkan untuk menghitung reaksi gaya lintang dan momen pada tengah ben tang balok sederhana akibat beban merata

q@

=

q0

yang bekerja di atas bentang penuh balok, seperti dalam Gambar

9.5.

Garis pengaruh reaksi lintang

Q1

dan momen

M1 pada tampang tengah bentang

(x = L/

2), disusun dan digambarkan sebagaimana telah dipaparkan dalam pasal terdahulu, yang disajikan dalam Gambar

9.5b

dan

9.5c.

Dengan demikian, nilai total

Q1

dan

M1

akibat beban merata penuh bentang diperoleh dengan mengalikan

q0

dengan luas bidan

g

garis pengaruh kedua gaya dalam tersebut, untuk seluruh domain

0 :5: x :5: L,

yaitu

QI = qO

X

[(t)

X

(-t)

X

(t) + t

X

(t)

X

(t)] = 0

M1 = q0

X

[f

X

(--!)

X

(t)] = -tq0L2^'

_

Hasil ini sama dengan nilai yang telah diperoleh dalam Persamaan (6.22) dari Bab 6.

(9.11)

Untuk beban merata

q0

sepanjang paroh ben tang terhitung dari perletakan

A,

garis pengaruh dalam Gambar

9.5

juga dapat digunakan untuk menghitung

Q1

dan

M1

sebesar

Q1

=

q0

X

[t

X

(-t)

X

(!)] = -iq0L

M1 = q0

X

[f

X

(-t)

X

(!)] = -ft;q0L2

9.5 GARIS PENGARUH PADA STRUKTUR BALOK MENERUS

(9.12)

Pada dasamya, penyusunan garis pengaruh reaksi struktur balok menerus secara prinsip tidak berbeda dengan kasus pada balok sederhana, kecuali munculnya sedikit kerumitan akibat interaksi antara segmen balok yang saling menyambung. Sekedar satu contoh, tinjaulah struktur balok menerus seperti terlihat dalam Gambar

9.6.

Perhatikan bahwa segmen

ABS

adalah segmen

158

MEKANIKA TEKNIK: STA TIKA DALAM ANA LIS IS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA

turnpangan, dan se segmen penumpang. Selama beban berjalan di atas

ABS,

tidak akan ada reaksi pada segmen

SC.

Dengan demikian, untuk

0

�

x

�

2L,

berlaku

L-x

RAv =

-y-x

RBv = I

Rev = 0

(9.13)

Untuk

2L

� X �

3L,

diperoleh dari badan beban se hubungan

X - 2L

Rev =

sementara dari bagian kiri diperoleh

3L - x

Rsv =

3L - x

= -Rsv = _L

_

2R

_

6L - 2x

- SV - _L

(9.14)

(9.15)

Berdasarkan

{9.13), (9.14),

dan

(9.15),

dapat digambarkan garis pengaruh

RAV' R8v,

dan

Rev

yang disajikan dalam Gambar

9.6d

hingga

9.6f

Untuk momen gaya dalam di atas tumpuan

B,

L X 1.0 B s -L P = 1

RBv _Rsv

X

I .

'

Rsv

RBv

c

(a)

sistem strukur

!

P = 1

(b) badan bebas

lRcv

(c) badan bebas potongan

(d) garis pengaruh

RAv

(e) garis pengaruh

R8v

1.0 (f) garis pengaruh Rev

{g) garis pengaruh M1

BAB 9 GARIS PENGARUH

badan bebas dalam Gambar

9o6c

dapat digunakan untuk menyusun garis pengaruh yang bersangkutano Untuk

0 :5 x :5 L,

diperoleh

M1

= RAv 0 L

-

(L

-

x) = 0 (9o16)

dan

MI

= RAV 0 L (9017)

untuk

x � L.

Gambar garis pengaruh MI terlihat dalam Gambar

9o6go

9.6

GARIS PENGARUH PADA STRUKTUR RANGKA SEDERHANA

Penyusunan garis pengaruh pada struktur rangka sederhana, perlu dilakukan dengan memperhatikan letak kerja beban bergerak. Sebagai contoh, untuk kasus rangka jembatan, perlu diketahui apakah sistem jembatan berlantai di atas atau di bawah, seperti dalam Gambar

9070

, Untuk konstruksi kap atas, lazimnya dalam praktek, beban diletakkan pada titik buhul tepi atas, sekalipun beban plafon bekerja pada titik tepi bawah. Cara pendekatan seperti ini masih memberikan hasil yang cukup baik serta memuaskano

Beban yang bekerja pada lantai jembatan disalurkan lewat gelagar memanjang ke gelagar melintang yang kemudian meneruskannya ke titik buhul. Beban atap disalu:rkan kaso ke gording yang kemudian meneruskannya ke titik buhul. Dengan demikian, dalam peninjauan beban bergerak, sebenamya hanya diperlukan adanya beban terpusat pada titik buhul; dalam perkataan lain, lokasi pada titik diskrit. Namun, orang sudah terbiasa menggambarkan garis pengaruh dalam sistem rangka sederhana, dengan gambar yang meneruso

Jantai (atas) - - - -�- 0

T

_it

l

lantai (bawah) (a) jembatan

160

MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA

Sebagai contoh, tinjaulah sistem struktur rangka jembatan berlantai atas seperti dalam Gambar

9080

Beban

P

sebesar satu satuan gaya dijalankan pada titik buhul tepi ataso Dengan menggunakan badan bebas keseluruhan, diperoleh garis pengaruh

L - x

RAv =

X

Rav = I (9018)

yang berlaku untuk seluruh bentango Sekarang; misalnya diinginkan untuk menyusun garis pengaruh untuk gaya dalam

51, 52,

dan

53

pada potongan 1-1. Untuk domain

0 � x � 2A,

kita

menggunakan badan bebas kanan,

--l:M0 = 0 --+ -$1

°

A + R8v

o

4A = 0

--+

S1 = 4R8v

l:Fy = o --+ s2 Co5 45° + Rav = o --+ 52 = -R8v .fi

l:Mc = 0 --+ s3 0 A + RBV 0 3A = 0 --+ $3 = -3 RBV ^(9o19)

Untuk domain

3A � x � 6A, P = 1

ton bekerja di sebelah kanan, sehingga supaya lebih sederhana, kita pilih badan bebas sebelah kiri, untuk menurunkan persamaan keseimbangan

l:M0 = o --+ -RAv 0 2A + S1

°

A = o --+ S1 = 2RAv

l:Fy = 0 --+ +RAv - S2

cos

45° = 0 --+ S2 = RAv .fi (9o20)

l:Mc = 0 --+ -RAv 0 3A -S3 0 A = 0 --+ S3 = -3RAv

Untuk

P = 1

yang bekerja pada potongan, yaitu

2A � x � 3A,

pengaruh dari adanya

P

diwakili oleh gaya yang dihitung seperti dalam Gambar

9o8Co

Dengan tetap melihat badan bebas sebelah kiri, namun dengan dimasukkan pengaruh langsung dari

P,

yaitu gaya sebesar

3A -

X

A

^diperoleh

= 0 --+ +RAv - S2

cos

45° - ^x = 0 --+ S2 = [ RAv - ^3A _A^{- x} ]-fi

= 0 --+ -R AV 0 3A. -

s

3 0 A + 3A _A

- X

0 A - 0 --+

- s

3 =

-

3R + AV 3A -

X

A

(9021)

Hasil dalam Persamaan

(9o19), (9o20),

dan

(9o21)

dapat digambarkan sesuai dengan domain masing-masing yang berlakuo Khusus unttik

S2,

dan

S31

faktor koreksi akibat beradanya

P = 1

langsung di atas bentang

2A. � x � 3A.,

diberikan oleh suku

3A x

dengan gambar terarsir dalam Gambar

9o8o

Sekarang, seandainya diinginkan menyusun garis pengaruh untuk

S 4

batang vertikal dalam Gambar

9o8ao

Ini dilakukan dengan melakukan potongan melalui

S4,

yaitu potongan 11-11 dalam gambaro

Untuk

0 � x � A.,

digunakan badan bebas kanan untuk memberikan

l:Fy = 0 --+ -54 + R8v = 0 --+ 54 = RBV (9o22)

...---..

Untuk

A � x � 2A.,

digunakan badan bebas kiri dengan gaya koreksi akibat adanya

P

langsung di atas badan bebaso

2A -

X

2A -

X

BAB 9 GARIS PENGARUH 161

Sedangkan untuk 21.. ::;; x ::;; 61.., tetap digunakan badan bebas kiri, namun beban P sebesar

x tidak lagi muncul di atas badan bebas, sehingga 54 ==

-RAV

Gambar garis pengaruh 54 disajikan dalam Gambar

9.9.

T

_A

l

T

_A

l

T

_A

l

3..1. - x 3..1. - x P = l

W

= l � (x - 2A.) x - 2..1. B Rav

GAMBAR 9.8 Garis Pengaruh Pada Sistem Rangka Sederhana

(9.24)

(a) struktur

(b) potongan

(c) untuk P pada potongan

162 ^{MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA} I 1 2 0 _{I .} I ...

9.7 CONTOH PENERAPAN

(d) garis pengaruh GAMBAR 9.8 (Lanjutan) I

..{2 1

- - - - I - - - ---1 3.0 -garis pengaruh R8v garis pengaruh 52 1 garis pengaruh 53

CONTOH 9. 1 : Suatu balok menerus dengan overhang sebesar sepertiga panjang

L =

6 meter, dimaksudkan untuk memikul beban keran sebesar

20

ton (termasuk peralatan tambahan), di atas bentang balok. Ingin diketahui besar geser dan momen maksimum pada tampang di atas rol, sebagai data yang diperlukan dalam perencanaan.

Penyelesaian

Kita mengetahui bahwa nilai momen unik pada tampang tepat di atas rol, tetapi geser tidak. Untuk itu, khusus untuk geser, diambil dua potongan, satu di sebelah kiri, satu di sebelah kanan di dekat rol. Garis pengaruh

Ml' Ql'

dan

Qn

terlihat dalam Gambar

9.10

yang disusun berdasarkan persamaan:

X

Qr = - L'

M1 = 0

BAB 9 GARIS PENGARUH (b) O :!> x :!> U (a) 2A :!> x :!> 6}. a tau 2A :!> x :!> 6;.

--GAMBAR 9.9 Garis Pengaruh Untuk Gaya Batang Vertikal

untuk selang

0

$; x $;

iL,

dan

Qr = L'

- X

Mr

= x -

L'

Qn = _-1

untuk selang

iL

< x $;

L,

dengan L · =

-!L

I

-. ^I

-- -- -1

163

(9.26)

Dengan menggunakan gambar garis pengaruh, diketahui bahwa

Q1

maksimum jika bekerja sedikit di sebelah kiri rol

B,

sehingga

Q1

max =

(-1,0)(20t) = -20

ton

Momen

Mr

maksimum jika

P

bekerja di ujung balok

C,

dengan nilai

Mr

max =

( -� )p

=

( -�m)2ot)

=

-40

ton m

Akhimya, geser/lintang

Qrr

akan maksimum jika

P

bekerja di mana saja asalkan di sebelah kanan

B,

dengan