Konvergensi Barisan dan Deret

BAB I PENDAHULUAN

D. Konvergensi Barisan dan Deret

Suatu barisan adalah himpunan dari bilangan-bilangan W , W , W_X, … dengan urutan penyusunan yang pasti (atau dengan kata lain korespondensi dengan bilangan-bilangan asli) dan tersusun menurut suatu aturan yang pasti.

Dari definisi di atas, kita juga dapat mengatakan bahwa suatu barisan (atau barisan tak hingga) adalah suatu fungsi yang daerahnya hasilnya adalah himpunan bilangan bulat positif.

Definisi 2.4.2 (Konvergensi barisan)

Suatu barisan YW ZS_{L disebut mempunyai limit L(x) bila untuk sebarang} $ > 0

ada bilangan bulat positif N sedemikian rupa sehingga )W − ) < $ bila

≤ [. Bila barisan YW ZS_{L mempunyai limit L(x), maka barisan konvergen ke} L(x) dan ditulis

lim → W = .

Definisi 2.4.3 (Deret tak hingga)

Suatu deret tak hingga adalah suatu ungkapan bentuk

U + U + U_X+ ⋯ + U + ⋯

Definisi 2.4.4 (Konvergensi deret tak hingga)

Andaikan Y^ Z adalah barisan jumlah bagian deret J]L W] ^{. Jika barisan}

Y^ Z konvergen ke limit S(x), maka deret itu konvergen dan S(x) disebut jumlah deret, ditulis

^ = J_]L W_] .

Untuk sebuah deret tak terhingga J_]L W_] , didefinisikan jumlah parsial ke-n dari deret tersebut sebagai jumlah n suku yang pertama dari deret tersebut, yaitu

^ = J]L W] ^.

Berdasarkan Definisi 2.4.4, suatu deret tak terhingga dapat dikatakan konvergen ke f(x) pada suatu interval jika diberikan sebarang bilangan positif $, sedemikian sehingga untuk setiap x di dalam interval tersebut terdapat suatu bilangan bulat positif N, sehingga )^ − ) < $ untuk semua ≥ [.

Teorema 2.4.1 (Uji banding)

Andaikan J F_] dan J G_] adalah deret dengan suku-suku positif dan andaikan

F ≤ G , F ≤ G , F_X ≤ G_X, … , F_]≤ G_], …, maka

i. Jika J G_] (deret yang lebih besar) konvergen, maka J F_] (deret yang lebih kecil) juga konvergen.

ii. Jika J F] ^{(deret yang lebih kecil) divergen, maka} J G] ^{(deret yang lebih besar)} juga divergen.

Bukti

i. Andaikan J G] ^{konvergen dan konvergen ke} B, maka untuk semua n berlaku

G + G + GX+ ⋯ + G < J]L G] = `.

Karena hipotesis kita yaitu F ≤ G , F ≤ G , F_X ≤ G_X, … , F_] ≤ G_], … , maka berlaku

F + F + FX+ ⋯ + F ≤ G + G + GX+ ⋯ + G

sehingga F + F + F_X+ ⋯ + F ≤ `.

Karena F + F + F_X+ ⋯ + F bersifat naik dan terbatas ke atas dengan batas atas B, maka dapat dikatakan bahwa setiap jumlah parsial dari J F] ^{kurang dari} B dan akibatnya J F] ^konvergen.

ii. Bagian ini merupakan ungkapan lain dari bagian (i) dengan memandang (ii) merupakan kontraposisi dari (i). Jika J F_] divergen maka J G_] juga harus divergen, karena konvergensi deret J G_] mengakibatkan J F_] juga konvergen. ∎

Definisi 2.4.5 (Deret konvergen mutlak)

Jika J )W_{]L ]} ) konvergen maka J_]L W_] disebut konvergen mutlak.

Definisi 2.4.6 (Konvergensi seragam)

Deret J_]L W_] disebut konvergen secara seragam ke S(x) dalam suatu interval jika untuk setiap $ > 0 terdapat sebuah bilangan positif N sehingga untuk semua ≥ [

)^ − ^ ) < $, untuk semua x dalam interval.

Hal yang sangat mendasar dari definisi di atas adalah bahwa N hanya tergantung pada

$ dan tidak tergantung pada nilai x di dalam interval tersebut.

Selain dengan menentukan jumlah ^ dan kemudian menggunakan Definisi 2.4.6, Weierstrass M test dapat juga digunakan untuk membuktikan konvergensi seragam dari suatu deret.

Teorema 2.4.2 (Uji Weierstrass M)

Andaikan deret J_]L W_] adalah deret yang semua sukunya terdefinisi pada suatu interval. Jika terdapat deret konstan J_]L a_] yang konvergen, sehingga )W] ) ≤ a_] untuk semua x dalam interval tersebut, maka deret J_]L W_] konvergen mutlak dan konvergen seragam pada interval tersebut.

Bukti

i. Pertama, akan dibuktikan J]L W] ^{konvergen mutlak.} Bukti

Untuk setiap x dalam suatu interval, tiap suku deret J )W_]L ] ) kurang dari atau sama dengan suku ke-n dari deret J]L a] ^{yang konvergen, dan ditulis}

)W] ) ≤ a] ^{. Menurut Uji banding dalam Teorema 2.4.1, maka deret}

J )W_{]L ]} ) adalah deret yang konvergen. Dengan demikian berdasarkan Definisi 2.4.6, maka J_]L W_] konvergen mutlak.

ii. Kedua, akan dibuktikan J_]L W_] konvergen seragam pada suatu interval dimana semua suku dari deret tersebut terdefinisi pada interval tersebut.

Bukti

Jika pendekatan suatu fungsi f oleh jumlah parsial ke-n dari J_]L W_] yaitu

^ , maka besar kesalahan pada suatu titik x adalah selisih − ^ . Selisih ini biasanya disebut sisa ke-n dari J]L W] ^{dan ditulis} b =

− ^ . Nilai mutlak dari sisa ke-n tersebut adalah

)b ) = ) − ^ )

= )W _S + W _S + W _SX + ⋯ )

≤)W _S ) + )W _S )+)W _SX ) + ⋯

≤a _S + a _S + a _SX+ ⋯

Jika = a _S + a _S + a _SX+ ⋯ merupakan sisa ke-n dari deret JI a_]

]L

yang konvergen, maka )b ) ≤ .

Karena J^I]L a] ^{adalah deret konstan yang konvergen, maka untuk setiap} $ > 0

yang diberikan, terdapat bilangan bulat positif N sedemikian sehingga < $

untuk ≤ [.

Untuk nilai N yang sama, diperoleh

)b ) ≤ < $ untuk ≤ [.

Karena N tidak tergantung pada x, tetapi hanya bergantung pada nilai $, maka terbukti bahwa J^I]L W] ^{konvergen seragam pada interval tersebut.}

Jadi terbukti bahwa JI W_]

]L ^{konvergen mutlak dan konvergen seragam pada}

interval tersebut. ∎

Teorema 2.4.3

Jika masing-masing suku dari deret tak hingga JI W_]

]L ^{kontinu pada interval (a,}

b) dan deret tersebut konvergen secara seragam ke jumlah f(x) pada interval ini, maka i. f(x) juga kontinu pada interval tersebut,

ii. deret tersebut dapat diintegralkan suku demi suku, yaitu

M YJI W_]

]L Z

O

P N = JI M W_P^O ] N

]L

atau dapat ditulis

M_P^O N = M W_P^O N + M W_P^O N + ⋯ + M W_P^O N + ⋯

Bukti

i. Andaikan diberikan x0, F < _> < G, dan andaikan diberikan $ > 0, maka harus dicari ' sedemikian sehingga untuk 0 < ) − _>) < ' ⇒ ) − _> ) < $, dan F < < G.

Karena deret J^I]L W] ^{konvergen secara seragam ke f(x), maka terdapat suatu} bilangan positif ' sedemikian sehingga

0 < ) − _>) < ' ⇒ )^ − _> ) <_X$, ≤ [. (2.13) Fungsi ^_d sebagai jumlah bagian dari fungsi kontinu adalah juga kontinu. Oleh karena itu, terdapat suatu bilangan positif ' sedemikian sehingga

0 < ) − _>) < ' ⇒ )^d − ^_{d >} ) <_X$. Berdasarkan Persamaan (2.13), diperoleh

)^d − ) <_X$, )^d − > ) <_X$.

Dengan memilih ' = minY' , ' Z, maka 0 < ) − >) < ' menunjukkan

) − > ) = ) − ^d + ^d − ^d > + ^d > − > )

≤) − ^_d ) + )^_d − ^_{d >} ) + )^_{d >} − _> ) <_X$ +_X$ +_X$ = $ untuk 0 < ) − _>) < '.

Dengan demikian telah diperlihatkan bahwa

0 < ) − _>) < ' ⇒ ) − _> ) < $, F < < G. Jadi f(x) juga kontinu pada interval (a, b).

ii. Seperti pembuktian sebelumnya, andaikan ^ adalah jumlah n bagian dari deret JI W_]

]L ^{, maka}

M ^_P^O N = M W_P^O N + M W_P^O N + ⋯ + M W_P^O N .

Untuk membuktikan teorema di atas, harus ditunjukkan bahwa M ^_P^O N

konvergen ke M_P^O N , sehingga untuk setiap $ > 0 terdapat N sehingga

eM ^_P^O N − M_P^O N e < $, ≤ [. Untuk membuktikan ini, dipilih N yang sangat besar sehingga

) − ^ ) <_OAP^f , ≤ [, F < < G, berdasarkan konvergensi seragam.

Oleh karena itu,

eM ^_P^O N − M_P^O N e = eM E_P^O − ^ HN e <_OAP^f G − F = $, ≤ [.

Dengan demikian, deret tersebut dapat diintegralkan suku demi suku, yaitu

M YJI W_] ]L Z O P N = JI M W_P^O ] N ]L ^. ∎ Teorema 2.4.4

Deret yang konvergen dapat didiferensialkan suku demi suku jika diketahui bahwa suku-suku dari deret tersebut mempunyai turunan yang kontinu dan deret dari turunan itu konvergen secara seragam, yakni jika W_]< =^ghi

g! ^{adalah kontinu pada interval}

F, G , JI W_]

]L ^{konvergen ke} f(x) pada interval F, G , dan JI W_]< ]L konvergen secara seragam pada interval F, G , maka < = JI W_]<

]L ^.

Bukti

Andaikan g(x) adalah jumlah dari deret turunan tersebut, dan ditulis

= JI W_]<

]L , F < < G. Menurut Teorema 2.4.3, fungsi g(x) adalah fungsi kontinu, dimana

M^!j P N = J M WI _P^!j ]^< N ]L , F < < G, sehingga M^!j P N = J EWI _] − W_] F H ]L = J WI _] ]L − J WI _] F ]L ^.

M^!j

P N = − F .

Jika kedua ruas diturunkan terhadap , maka = , F < < G.

Dengan kata lain, < = = JI W_]<

]L ^, F < < G.

Jadi terbukti bahwa deret tersebut dapat didiferensialkan suku demi suku. ∎

E. Deret Taylor